14、立体几何综合应用
高中立体几何
高中立体几何一、课程目标知识目标：1. 理解立体几何的基本概念，掌握点、线、面的位置关系和性质；2. 掌握立体图形的体积、表面积计算方法，并能运用到实际问题的解决中；3. 学会运用立体几何知识解决空间直线、平面与立体的交线问题。
技能目标：1. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；2. 提高学生运用立体几何知识解决实际问题的能力；3. 学会使用几何画板等工具进行立体图形的绘制和计算。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对立体几何学科的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作意识，学会在小组讨论中分享观点，倾听他人意见；3. 培养学生严谨、求实的科学态度，树立正确的空间观念。
课程性质分析：本课程为高中数学学科中的立体几何部分，旨在帮助学生建立空间观念，提高解决空间问题的能力。
学生特点分析：高中阶段的学生已经具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但空间想象能力尚需培养。
教学要求：1. 注重理论与实践相结合，让学生在实际操作中掌握立体几何知识；2. 采用启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；3. 关注学生个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学内容1. 立体几何基本概念：点、线、面的位置关系与性质，立体图形的分类与性质；2. 立体图形的体积与表面积计算：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体的体积与表面积公式及应用；3. 空间直线与平面的交线问题：直线与平面、平面与平面的交线性质及判定；4. 空间角与距离：空间直线、平面之间的夹角，点到直线、平面的距离计算；5. 立体几何综合应用：运用立体几何知识解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
教学大纲安排：第一课时：立体几何基本概念及立体图形的分类与性质；第二课时：立体图形的体积与表面积计算；第三课时：空间直线与平面的交线问题；第四课时：空间角与距离的计算；第五课时：立体几何综合应用，布置相关练习题进行巩固。
立体几何在城市规划中有哪些应用
立体几何在城市规划中有哪些应用在当今的城市化进程中，城市规划扮演着至关重要的角色。
它不仅仅是对土地和空间的简单划分，更是一门融合了多学科知识的综合性艺术与科学。
其中，立体几何作为数学的一个重要分支，在城市规划中有着广泛而深入的应用，为创造更高效、美观和可持续的城市空间提供了有力的支持。
一、立体几何在城市建筑布局中的应用城市中的建筑布局是城市规划的核心内容之一。
通过立体几何的原理，规划师可以更好地确定建筑物的位置、高度和形状，以实现最佳的空间利用和视觉效果。
首先，在考虑建筑物的位置时，立体几何可以帮助分析建筑物之间的相互关系和空间距离。
例如，通过计算不同建筑物之间的角度和距离，可以确保建筑物之间有足够的采光和通风，同时避免相互遮挡和视线干扰。
其次，建筑物的高度规划也离不开立体几何。
在有限的土地上，为了容纳更多的人口和功能，高层建筑成为了城市发展的必然选择。
然而，过高的建筑可能会对周边环境产生不利影响，如阴影遮挡、风洞效应等。
利用立体几何知识，可以精确计算建筑物的高度和阴影范围，从而合理安排建筑高度，保障周边区域的日照时间和舒适度。
此外，建筑的形状设计也可以运用立体几何。
例如，圆形、方形、三角形等不同的几何形状在空间中的占据和视觉感受是不同的。
通过对这些形状的组合和变化，可以创造出独特而富有魅力的建筑外观，同时实现内部空间的优化布局。
二、立体几何在交通规划中的应用交通是城市的动脉，顺畅的交通系统对于城市的运转至关重要。
立体几何在交通规划中发挥着关键作用。
在道路设计方面，立体几何可以帮助确定道路的坡度、弯道半径和交叉口的形状。
合适的坡度可以保证车辆行驶的安全和顺畅，过大或过小的坡度都会增加行驶的难度和风险。
弯道半径的合理设计则能够确保车辆在转弯时的稳定性和舒适性。
而交叉口的形状和尺寸，也需要根据交通流量和车辆转向的需求，运用立体几何原理进行精确计算和设计。
高架桥和地下通道的建设是解决交通拥堵的重要手段。
高中数学的归纳立体几何与微积分的综合应用
高中数学的归纳立体几何与微积分的综合应用在高中数学的学习中，归纳、立体几何和微积分是非常重要的内容。
本文将探讨这三个部分是如何相互应用的。
一、归纳的作用归纳是数学中一种非常重要的推理方法，通过观察和总结一系列例子的共同特征，从而提炼出普遍规律。
在立体几何和微积分的学习中，归纳的作用不可小觑。
在立体几何中，归纳可以帮助我们发现不同几何体的性质和特征。
通过观察一系列立体的例子，我们可以总结出它们的面数、棱数、顶点数等基本特征，从而建立起对各种几何体的认识。
例如，通过归纳，我们可以发现所有正方体的六个面都是正方形，边长相等，这是一种普遍规律。
在微积分中，归纳可以帮助我们总结出数列和级数的通项公式。
通过观察数列或级数的前几项，我们可以猜测它们的通项公式，然后利用归纳法证明。
例如，通过归纳，我们可以总结出等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
二、立体几何与微积分的应用在高中数学中，立体几何和微积分是两个独立的学科，但在实际问题中，它们常常需要相互应用。
立体几何中的体积和表面积公式，可以通过微积分的方法来证明。
例如，对于球体的体积公式V=4/3πr^3，我们可以通过用微积分方法计算球体的曲面旋转体积来证明。
同样地，对于圆柱体的侧面积公式S=2πrh，我们可以利用微积分方法计算柱体的曲面积分来证明。
微积分中的求导和积分也可以在立体几何问题中得到应用。
当我们需要求一个曲面的切平面或者切线时，可以利用函数的导数来解决。
当我们需要求一个曲面的面积或者体积时，可以通过函数的积分来解决。
例如，在求解旋转曲面的表面积或者体积时，我们可以利用旋转体的计算公式并运用积分方法。
三、实际问题的综合应用在真实生活中，数学的应用往往是综合性的，需要综合运用归纳、立体几何和微积分的知识来解决问题。
例如，对于一个汽车制造商来说，他们需要设计一个容量为V的汽车油箱。
通过观察一系列汽车的油箱，我们可以发现它们的形状大多是长方体或者圆柱体。
数学立体几何的应用
数学立体几何的应用一、引言立体几何是数学的一个重要分支，其应用广泛而深入。
通过研究立体几何，我们可以更好地理解空间关系，并将其运用于日常生活和实际问题中。
本教案将着重介绍数学立体几何的应用领域以及教学方法。
二、数学立体几何的应用领域1. 建筑设计：建筑师需要运用立体几何的知识来设计房屋的形状、结构和空间布局。
例如，在设计一个拱形屋顶时，需要通过计算角度和弧线来确定屋顶的形状和尺寸。
2. 工程测量：在工程领域，立体几何可应用于测量和标记建筑物的尺寸、面积和容积。
例如，在测量一个建筑物的体积时，可以通过分解为不同形状的立体体积来计算。
3. 三维模型设计：在电脑图形学和游戏开发领域，立体几何被广泛应用于三维模型的设计与开发。
通过了解和运用立体几何的原理，设计师可以创建逼真的虚拟场景和角色模型。
4. 包装设计：立体几何的知识对于包装设计师而言非常重要。
他们需要考虑产品的形状、尺寸和包装材料，以确保产品在运输和存储过程中的安全和便捷。
5. 地图制作：制作地图也需要立体几何的应用。
制图师通过使用立体几何的原理，将三维地理信息转化为平面地图，使之具有地理空间的准确性和美观性。
三、数学立体几何的教学方法1. 观察与实践：教师可以引导学生观察日常生活中的立体图形，如建筑物、家具、玩具等，并鼓励学生对其形状和特征进行实地测量和观察。
2. 规律总结与归纳：通过引导学生进行讨论和探究，帮助他们总结出立体图形的特征和性质，如面、边、顶点的数量，以及各种形状的特点等。
3. 建模与求解：教师可以使用模型或图形展示工具，引导学生进行建模思维，将实际问题转化为数学问题，并通过计算和解决问题来巩固立体几何的应用技能。
4. 探究与发现：激发学生的学习兴趣和思维能力，引导他们进行立体几何的探究和发现，培养他们的分析和解决问题的能力。
5. 综合与拓展：将数学立体几何与其他学科进行综合，如物理、化学和计算机科学等，引导学生将所学立体几何的知识应用到实际问题中。
人教A版高中数学必修教案：立体几何全部教案
人教A版高中数学必修教案：立体几何全部教案第一章：绪论1.1 立体几何的概念教学目标：1. 理解立体几何的概念，掌握立体几何的研究对象和基本元素。
2. 掌握空间点、线、面的位置关系，培养空间想象能力。
教学重点：立体几何的概念，空间点、线、面的位置关系。
教学难点：立体几何的概念的理解，空间点、线、面的位置关系的应用。
教学过程：一、导入：引导学生回顾平面几何的基本概念，引出立体几何的概念。
二、新课：讲解立体几何的研究对象和基本元素，通过实物展示和图形绘制，介绍空间点、线、面的位置关系。
三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
四、小结：总结本节课的主要内容，强调立体几何的概念和空间点、线、面的位置关系的重要性。
第二章：直线与平面2.1 直线与平面的位置关系教学目标：1. 理解直线与平面的位置关系，掌握直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。
2. 培养空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：直线与平面的位置关系，直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。
教学难点：直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法的运用。
教学过程：一、导入：通过实例引入直线与平面的位置关系。
二、新课：讲解直线与平面的位置关系，介绍直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。
三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
四、小结：总结本节课的主要内容，强调直线与平面的位置关系和判定方法的重要性。
第三章：平面与平面3.1 平面与平面的位置关系教学目标：1. 理解平面与平面的位置关系，掌握平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。
2. 培养空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：平面与平面的位置关系，平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。
教学难点：平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法的运用。
教学过程：一、导入：通过实例引入平面与平面的位置关系。
二、新课：讲解平面与平面的位置关系，介绍平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。
三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
立体几何与三角函数综合应用
立体几何与三角函数综合应用立体几何与三角函数是数学中重要的两个分支，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将介绍立体几何与三角函数的基本概念，并结合实际案例，探讨它们在实际问题中的综合应用。
一、立体几何基础知识在立体几何中，有许多重要的概念，比如点、线、面、体积等。
其中，立体的体积计算是立体几何的核心内容之一。
对于不规则形状的立体，可以通过划分为若干个更简单的几何体，再计算其体积。
而三角函数则是描述角度关系的一组函数，包括正弦、余弦、正切等。
在三角函数中，有着许多常用的三角恒等式和性质。
二、综合应用案例一：建筑设计在建筑设计中，立体几何和三角函数的应用十分重要。
比如，设计师需要计算一个建筑物的体积，可以将其拆解为若干个几何体，如长方体、圆柱体等，再分别计算它们的体积，并求和得到总体积。
此外，设计师还需要使用三角函数计算出建筑物的倾斜度、角度等参数，以便在设计过程中进行合理的调整。
三、综合应用案例二：地理测量在地理测量领域，立体几何和三角函数的应用也非常广泛。
例如，测量一座山峰的高度时，可以利用三角函数的正切函数来计算山顶与视线的夹角，进而通过三角函数的性质，得到山峰的高度。
另外，在地理测量中，也经常需要计算一些不规则地形的面积，这时可以利用立体几何的概念将其划分为更简单的几何体，再进行计算。
四、综合应用案例三：机械设计在机械设计领域，立体几何与三角函数同样发挥着重要作用。
例如，设计师需要计算一台机器的体积时，可以将其划分为若干个几何体，并计算它们的体积。
此外，在机械运动的设计过程中，三角函数常用于计算角度、转速等参数，以确保机器的正常运行。
综上所述，立体几何与三角函数是数学中非常重要的分支，它们在各个领域的实际应用中发挥着重要的作用。
通过对立体几何的体积计算和三角函数的角度计算的综合运用，可以解决许多实际问题，如建筑设计、地理测量和机械设计等。
对于学习者而言，深入理解立体几何和三角函数的概念和性质，能够帮助他们更好地应用于实际问题中，提高解决实际问题的能力。
中考数学平面几何与立体几何的综合应用题分析
中考数学平面几何与立体几何的综合应用题分析中考数学试卷中，综合应用题是考察学生对知识点的综合运用能力的重点部分。
其中，平面几何与立体几何的综合应用题涉及到平面图形的性质、线段的长度、角的大小，以及立体图形的体积、表面积等多个知识点。
本文将就中考数学试卷中平面几何与立体几何的综合应用题进行分析。
一、平面几何的综合应用题平面几何的综合应用题主要考察学生对平面图形性质的理解和运用能力。
例如，题目中给出一个图形，要求求解该图形的面积、周长或者特定线段的长度等。
以解决平面几何的综合应用题为例，为了解决这类问题，我们可以采取如下步骤：1. 仔细阅读题目，理解题目的要求；2. 根据题目给出的条件，分析图形的性质；3. 运用所学的知识，设置适当的数学模型；4. 进行计算，得出最终结果；5. 检查计算结果是否符合题目要求。
解决平面几何的综合应用题需要学生综合运用知识，灵活运用定理和公式来解答问题。
因此，在平时的学习中，学生不仅要掌握平面几何的基本概念和性质，还要注意培养综合运用知识的能力。
二、立体几何的综合应用题立体几何的综合应用题主要考察学生对立体图形的体积、表面积等性质的理解和应用能力。
例如，题目中给出一个立体图形，要求求解该立体图形的体积、表面积或者特定线段的长度等。
解决立体几何的综合应用题的步骤与解决平面几何的综合应用题类似，也是需要学生仔细阅读题目、理解题目的要求，然后根据给出的条件，分析立体图形的性质并设置适当的数学模型，进行计算和检查结果的过程。
在解决立体几何的综合应用题时，需要注意对图形的分析和建模能力。
学生应该能够将问题转化为数学语言，从而运用已经学到的数学公式和定理进行计算。
同时，也要注意对结果的合理性进行判断，确保应用题的解答符合题目的要求。
总结：中考数学试卷中的平面几何与立体几何的综合应用题是一个综合性较强的部分。
解答这类题目需要学生灵活运用所学的知识，理解题目要求，建立适当的数学模型，进行计算并检查结果的合理性。
立体几何立体几何的综合应用
由(1)知 AC⊥HD′,又 AC⊥BD,BD∩HD′＝H, 所以 AC⊥平面 BHD′,于是 AC⊥OD′. 又由 OD′ ⊥ OH,AC∩OH ＝ O, 所以 OD′ ⊥平面 ABC. EF DH 9 又由 ＝ 得 EF＝ . AC DO 2 1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S＝ ×6×8－ × ×3＝ . 2 2 2 4 1 69 所以五棱锥 D′ABCFE 的体积 V＝ × ×2 2＝ 3 4 23 2 . 2
点评：(1)本题主要考查线面平行和垂直关系的判定及 点到平面距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能 力，推理论证能力和运算能力． (2)求点到平面的距离主要有两种方法： ①直接法，作出点到平面的距离，此时要特别注意垂 足的位置； ②等体积法，通过等积变换间接求出点到平面的距 离．
1．(2015· 浙江卷)设α ，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，m⊂β.则下列结论正确的是 ( ) A．若 l⊥β，则α ⊥β B．若 α⊥β，则 l⊥m C．若 l∥β，则α ∥β D．若 α∥β，则 l∥m
解：因为 l⊥β，l⊂α，所以 α⊥β(面面垂直的判定定 理)，故 A 正确．
【变式探究】
1．(2015·新课标卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC⊥平面 BED； (2)若∠ABC＝120° ，AE⊥EC，三棱锥 EACD 的体积为 6 3 ，求该三棱锥的侧面积．
解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥ BD， 因为 BE⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，所以 AC⊥ BE， BD∩BE＝B，故 AC⊥平面 BED. 又 AC⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB＝x，在菱形 ABCD 中， 3 x 由∠ABC＝120° ，可得 AG＝GC＝ x，GB＝GD＝ . 2 2 3 因为 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，可得 EG＝ x， 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实用文档
§9.11立体几何综合应用
【复习目标】
1． 初步掌握立体几何中的“探索性” “发散性”等命题的解法.； 2． 能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系，能对图形进行分
解、组合和变形，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力。
【课前预习】
1． 如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图, A 、B 、C 是展开图
上的三点, 则正方体盒子中∠ABC 的值为
（ ）
A.180°
B. 120°
C.60°
D. 45°
2． 棱长为1的正方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的中
点E 、F 、G 处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则装
水最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计） （ ）
A. 87
B. 1211
C. 4847
D. 56
55
3． 图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD （边长为1）的点A 作截面AB 1C 1D 1
而截得的, 且BB 1＝DD 1，已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角, 则这个
实用文档
多面体的体积
（ ）
A.
26 B.
36 C.
46 D. 6
6 4． 在四棱锥P －ABCD 中, O 为CD 上的动点, 四边形ABCD 满足条件 时,
V P －AOB 恒为定值 ( 写上你认为正确的一个条件即可 )。
【典型例题】
例1 如图, 四棱锥S －ABC 中,AB ∥CD,CD ⊥平面SAD, 且2
1
CD ＝SA ＝AD ＝SD ＝AB ＝1.
（1） 当H 为SD 中点时, 求证：AH ∥平面SBC 、平面SBC ⊥平面SCD ； （2） 求点D 到平面SBC 的距离；
（3） 求面SBC 和面SAD 所成的的二面角的大小.
实用文档
例2 如图, 已知距形ABCD 中, AB ＝1, BC ＝a (a ＞0), PA ⊥平面AC, 且PA ＝1.
（1） 问BC 边上是否存在Q, 使得PQ ⊥QD ？说明理由；
（2） 若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，求这时二面角Q －PD －A 的大小.
【巩固练习】
1. 正方形ABCD, 沿对角线AC 对折, 使D 点在面ABC 外, 这时DB 与面ABC 所成的
角一定不等于
（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
2. 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中
点， P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角为
（ ）
A.30°
B.60°
C.90°
D.与点P
的
位置有关
3.用一块长3cm，宽2cm的矩形木块，在二面角为90°的墙角处，围出一个直三棱
柱形谷仓，在下面的四种设计中容积最大的是（）
【本课小结】
【课后作业】
1.如图: 将边长为a的正方形剪去图中的阴影部分, 沿图中所画虚线折成一个正
三棱锥, 求这个正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值。
2.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中, E、F分别是棱AB与BC中点.
（1）求二面角B－FB1－E的大小；
（2）求点D到平面B1EF的距离；
（3）在棱DD1上能否找到一点M, 使BM⊥平面EFB1, 若能, 试确定M的位置, 若不能, 请说明理由.
实用文档。