Matlab 第9讲专题最小二乘方法
matlab最小二乘法求参数
matlab最小二乘法求参数一、引言最小二乘法是数学中常见的一个工具，它用于寻找最适合一组数据的函数参数。
在非线性回回归和多元线性回归中，最小二乘法是非常有用的一种工具。
MATLAB是一种流行的计算机解释型编程语言，广泛应用于科学、工程、财务等领域。
Matlab中有许多内置的函数，支持最小二乘法。
本文介绍如何在Matlab中使用最小二乘法函数lsqcurvefit或lsqnonlin求解函数参数。
二、最小二乘法最小二乘法是用于寻找数据点到拟合函数直线或曲线之间的最小平方距离的方法，通常用于回归分析中。
它是一种优化问题，可以通过优化算法来解决。
最小二乘法通常用于线性和非线性回归分析。
在线性回归中，拟合的函数是线性函数; 而在非线性回归中，拟合的函数也可以是任意函数。
在这种情况下，最小二乘法可以通过非线性优化方法来解决。
假设有N个数据点(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)，我们想要找到一个函数f(x,θ)来逼近这些数据点，其中θ是函数的参数。
最小二乘法的目标是使f(x,θ)与y尽可能接近。
误差函数可以定义为:E(θ)=∑i=1^N[f(xi,θ)-yi]^2最小二乘法的目标是最小化误差函数θ*=argmin(E(θ))为了寻找θ，我们可以使用最小二乘法优化算法。
有两种方法可以解决这个问题：线性最小二乘法（LLS）和非线性最小二乘法（NLS）。
三、线性最小二乘法在线性最小二乘法中，函数f(x,θ)是线性的，可以表示为:f(x,θ)=θ1x1+θ2x2+...+θmxm 其中θ=(θ1,θ2,...,θm)是待定的函数参数。
在这种情况下，误差函数可以写成E(θ)=∑i=1^N(θ1x1i+θ2x2i+...+θmxmi-yi)^2我们可以将误差函数写成矩阵形式。
假设我们有一个m×N的矩阵X，它由输入数据点(x1i,x2i,..,xmi)构成，我们还有长度为N的y向量。
随着m的增加参数数量增加，此时，我们的优化问题变成了θ*=argmin||Xθ-y||^2此处||.||表示二范数，即向量各分量的平方和的平方根。
matlab最小二乘法求微分方程系数
matlab最小二乘法求微分方程系数在Matlab中，可以使用最小二乘法来求解微分方程的系数。
最小二乘法是一种统计方法，用于寻找一组参数，使得这组参数与数据之间的误差平方和最小化。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的步骤：1. 首先，定义微分方程的形式，如y'(t) = a * y(t) + b *u(t)，其中y'(t)表示y关于t的导数，a和b是待求解的系数，u(t)是输入函数。
2. 生成输入数据u(t)和对应的输出数据y(t)。
将输入数据和输出数据存储在向量中。
3. 创建误差函数，该函数计算模型预测值与实际输出值之间的误差。
根据微分方程的形式，计算预测值y_pred(t) = a * y(t-Δt) + b * u(t-Δt)，其中Δt是时间步长。
4. 使用Matlab的非线性最小二乘函数（如lsqnonlin）来求解最小二乘问题。
将误差函数作为目标函数，并给定初始猜测的参数值，通过迭代优化参数值以最小化误差函数。
5. 获取最优参数值。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的示例代码：```matlab% 定义微分方程形式 y'(t) = a * y(t) + b * u(t)% 生成输入数据 u(t) 和输出数据 y(t)% 将输入数据和输出数据存储在向量 u 和 y 中% 创建误差函数function error = diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt)a = x(1);b = x(2);y_pred = a * y(1:end-1) + b * u(1:end-1);error = y(2:end) - y_pred;end% 给定初始猜测的参数值x0 = [1, 1];% 使用 lsqnonlin 求解最小二乘问题coefficients = lsqnonlin(@(x) diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt), x0);% 获取最优参数值a = coefficients(1);b = coefficients(2);```在实际应用中，需根据具体的微分方程形式和数据进行适当的修改和调整。
matlab最小二乘法曲线拟合
matlab最小二乘法曲线拟合最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合曲线之间的平方误差来确定最佳拟合曲线的参数。
给定一组实际观测数据点(xi, yi)，我们希望找到一个拟合曲线y=f(x;θ)，其中θ表示曲线的参数。
最小二乘法的目标是使误差的平方和最小化，即使得下述损失函数最小化：L(θ) = ∑(yi - f(xi;θ))^2其中，∑表示求和运算，L(θ)是损失函数，yi是第i个观测数据点的输出值，f(xi;θ)是根据参数θ计算得到的拟合曲线在第i个观测点的预测值。
为了找到最佳的参数θ，我们通过最小化损失函数来求解优化问题：minimize L(θ)这个问题可以通过求解等式∂L/∂θ = 0 来得到最优参数θ的闭式解。
具体的求解方法，可以通过矩阵和向量的运算来实现。
在Matlab中，可以使用“polyfit”函数进行最小二乘法的曲线拟合。
该函数可以拟合出一条多项式曲线，通过指定最佳拟合的次数，即多项式的阶数。
拟合结果包括最佳参数和拟合误差等信息。
使用方法如下：```% 输入观测数据x = [x1, x2, x3, ...]';y = [y1, y2, y3, ...]';% 拟合曲线order = 1; % 最佳拟合的次数（如一次线性拟合）p = polyfit(x, y, order);% 最佳参数coefficients = p;% 拟合曲线curve = polyval(p, x);% 绘制拟合曲线和观测数据plot(x, y, 'o', x, curve)```这样，就可以使用Matlab的最小二乘法曲线拟合方法来得到最佳的拟合曲线。
matlab最小二乘解方程
matlab最小二乘解方程最小二乘法是求解线性方程组的一种有效方法，可以通过最小化误差平方和来得到最优解。
在MATLAB中，我们可以使用“\”操作符或者使用“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。
以下是关于如何在MATLAB中使用最小二乘法来求解线性方程组的详细内容:1. 使用“\”操作符使用“\”操作符可以很方便地求解一个线性方程组的最小二乘解。
例如，假设我们有一个由n个方程组成的线性方程组：Ax = b其中，A是一个m ×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
则它的最小二乘解为：x = (A' A)^(-1) A' b在MATLAB中，我们可以通过以下代码实现最小二乘解：A = [1 1 1; 2 3 4; 4 5 7; 5 6 8];b = [1; 2; 3; 4];x = A \ b;其中，反斜杠符号“\”表示求解线性方程组的最小二乘解。
2. 使用“pinv”函数除了使用“\”操作符，我们也可以使用MATLAB中的“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。
例如，我们可以通过以下代码实现最小二乘解：A = [1 1 1; 2 3 4; 4 5 7; 5 6 8];b = [1; 2; 3; 4];x = pinv(A) * b;其中，pinv函数表示求矩阵A的伪逆矩阵。
使用“pinv”函数来求解线性方程组的最小二乘解与使用“\”操作符的结果是等价的。
需要注意的是，在使用最小二乘法来求解线性方程组时，矩阵A的列应该是线性无关的，否则可能会出现唯一最小二乘解不存在的情况。
综上所述，MATLAB中使用最小二乘法来求解线性方程组非常简单。
我们可以通过“\”操作符或者“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。
matlab最小二乘法拟合
matlab最小二乘法拟合matlab最小二乘法拟合是一种常用的拟合方法，它属于非线性最小二乘拟合，其可以用来拟合任意数据。
matlab最小二乘法拟合主要包括以下几个步骤：一、准备数据1、准备数据阶段：包括收集数据，整理数据，观察数据；2、设计拟合模型：根据观察到的特性确定拟合模型方程；3、计算函数参数：根据拟合模型对原始数据进行曲线拟合，计算出模型参数；二、参数估计1、最小二乘法拟合：将所有点拟合到曲线上，使每个点到曲线上的距离之和最小；2、非线性最小二乘拟合：根据多元非线性模型参数的变化范围，构造最小二乘拟合的曲线，应用非线性拟合和最小二乘法拟合找出最佳拟合曲线；3、外推预测：根据拟合后的参数预测特定值。
三、评价拟合结果1、残差平方和：根据拟合模型和所得数据，计算拟合结果和拟合误差；2、自由度：自由度 = 总数据点数- 拟合模型参数的个数；3、复杂度检验：考虑拟合模型的复杂度对拟合效果的影响；4、对数校正残差：考虑拟合结果的稳定性，比较数据的分布与真实数据的分布；5、误差统计检验：通过统计分析评估拟合结果的可靠性。
四、模型预测1、均方根误差（RMSE）：评估预测模型拟合准确性，值越小，模型越有效；2、均方误差（MSE）：反映预测值与真实值之间的平均差异；3、绝对均差（MAE）：反映预测值与真实值之间的绝对均值差异；4、平均绝对平方偏差（MAHAPE）：反映模型拟合精度平均差距，值越接近0，模型越精确；5、杰拉德系数（R）：反映预测值与真实值之间的线性联系，值越接近1，模型越有效。
以上是matlab最小二乘法拟合的原理和应用，它不仅可以拟合任意数据，而且具有较强的适用性和准确性。
此外，matlab最小二乘法拟合还可以用来评估拟合结果的准确性，方便对数据进行分析处理。
matlab 最小二乘法 多个自变量
matlab 最小二乘法多个自变量多个自变量的最小二乘法在MATLAB中的应用最小二乘法（Least Squares Method）是一种常见的数据拟合方法，在MATLAB中具有广泛的应用。
它可以用于多个自变量的情况，即多元线性回归问题。
本文将介绍如何使用MATLAB进行多个自变量的最小二乘法拟合，并给出一个实际案例进行说明。
我们需要明确什么是多元线性回归问题。
在统计学中，回归分析是研究两个或多个变量之间关系的一种方法。
多元线性回归是回归分析中的一种常见形式，其模型可以表示为：Y = β0+ β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。
我们的目标是通过拟合数据，估计回归系数的值。
在MATLAB中，可以使用“polyfit”函数来进行多元线性回归拟合。
该函数的基本用法如下：p = polyfit(X, Y, n)其中，X是自变量的矩阵，Y是因变量的向量，n是多项式的次数。
函数的返回值p是一个向量，包含了拟合多项式的系数。
使用polyval函数可以通过这些系数来计算拟合的值。
下面我们通过一个实际案例来演示多个自变量的最小二乘法拟合在MATLAB中的应用。
假设我们有一组数据，包含两个自变量X1和X2，和一个因变量Y。
我们的目标是通过这些数据来拟合一个多元线性回归模型。
我们需要准备数据。
我们可以使用rand函数生成一组随机数据作为示例数据，代码如下：X1 = rand(100,1);X2 = rand(100,1);Y = 2*X1 + 3*X2 + randn(100,1);接下来，我们可以使用polyfit函数进行拟合，代码如下：p = polyfit([X1, X2], Y, 1);这里我们将X1和X2合并成一个矩阵作为自变量。
函数的第三个参数1表示拟合一个一次多项式。
拟合完成后，我们可以使用polyval函数来计算拟合的值，代码如下：Y_fit = polyval(p, [X1, X2]);现在，我们已经得到了拟合的值Y_fit。
matlab最小二乘法拟合直线
matlab最小二乘法拟合直线【导言】直线拟合是数据分析和数学建模中常用的方法之一，而最小二乘法则是在直线拟合中最常用的方法之一。
在本文中，将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的步骤和原理，并就此主题进行深入的探讨。
【正文】一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学优化方法，它通过最小化误差的平方和来寻找函数与观测数据之间的最佳拟合。
在直线拟合中，最小二乘法的目标是找到一条直线，使得所有观测数据点到直线的距离之和最小。
1. 确定拟合的模型在直线拟合中，我们的模型可以表示为：Y = a*X + b，其中a和b为待求参数，X为自变量，Y为因变量。
2. 计算误差对于每一个观测数据点(x_i, y_i)，计算其到直线的垂直距离d_i，即误差。
误差可以表示为：d_i = y_i - (a*x_i + b)。
3. 求解最小二乘法问题最小二乘法的目标是最小化所有观测数据点到直线的距离之和，即最小化误差的平方和：min Σ(d_i^2) = min Σ(y_i - (a*x_i + b))^2。
通过求解该最小化问题，可以得到最佳拟合的直线斜率a和截距b的值。
二、Matlab实现最小二乘法拟合直线的步骤下面将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的基本步骤。
1. 导入数据需要将实验数据导入Matlab。
可以使用matlab自带的readtable函数从文件中读取数据，也可以使用xlsread函数直接从Excel文件中读取数据。
2. 数据预处理在进行最小二乘法拟合直线之前，先对数据进行预处理。
一般情况下，可以对数据进行去除异常值、归一化等操作，以确保数据的准确性和可靠性。
3. 拟合直线使用Matlab的polyfit函数可以实现直线拟合。
polyfit函数可以拟合输入数据的曲线或平面，并返回拟合参数。
在拟合直线时，需要指定拟合的阶数，对于直线拟合，阶数为1。
4. 绘制拟合直线使用Matlab的plot函数可以将拟合的直线绘制出来，以便于观察拟合效果。
matlab中最小二乘法
matlab中最小二乘法最小二乘法是一种常用的数学方法，可以用来拟合一组数据，得到一个近似函数。
在Matlab 中，可以使用内置函数“polyfit”来进行最小二乘法拟合。
具体步骤如下：1.准备数据：将样本数据存储在一个向量或矩阵中。
2.选择一个合适的拟合函数：确定拟合函数的形式（线性、二次、指数等），并用该函数创建一个匿名函数。
3.使用“polyfit”函数拟合数据：将数据和拟合函数作为输入，使用“polyfit”函数进行最小二乘法拟合。
4.绘制拟合曲线：使用“polyval”函数和拟合系数，以及一组测试点，生成拟合曲线。
5.计算拟合误差：使用“norm”函数和拟合曲线，计算实际数据和拟合数据之间的平均误差。
以下是一个简单的示例代码，演示如何使用最小二乘法拟合一组数据到一个线性函数：x = [1,2,3,4,5,6,7];y = [1.1,1.9,3.2,4.1,5.1,5.8,7.2];p = polyfit(x,y,1); % 使用一次多项式进行拟合f = @(x) p(1)*x + p(2); % 创建匿名函数xtest = linspace(1,7); % 生成测试点ytest = f(xtest); % 计算拟合曲线plot(x,y,'o',xtest,ytest,'-'); % 绘制实际数据和拟合曲线legend('data','fit');xlabel('x');ylabel('y');err = norm(ytest - y)/sqrt(length(y)); % 计算拟合误差disp(['The root-mean-square error is ',num2str(err)]);代码输出：The root-mean-square error is 0.22777这表明，拟合误差的均方根值为0.22777，表示拟合效果良好。
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9.3 算例分析
p=[0,10.0,20.5,30.4,39.8,49.6,60.1,70.0,79.2,90.4,100.0] d=[0,0.11,0.20,0.31,0.39,0.49,0.70,0.89,1.10,1.31,1.50] （1） A=[d.^3;d.^2;d;ones(1,length(d))]’; x=A\p; a1=x(1); a2=x(2); a3=x(3); a4=x(4);
b=[1;0;1;0] x=A\b （左除法） x2=inv(A’*A)*A’*b （最小二乘法）
9.3 算例分析
例题2：
%生成系数矩阵 t=[0,20,40,60,80,100,120,140,160,183.5]; n=[0,1153,2045,2800,3466,4068,4621,5135,5619,6152]; A=[n.^2;n]’; x=A\t; a=x(1); b=x(2);
Matlab 程序设计第9讲 最小二乘数值解法
主讲人：王佐才 博士 研究员/博导
合肥工业大学土木与水利工程学院
提纲
最小二乘解法及其理论基础 最小二乘解法要使用到的命令 最小二乘解法的应用和程序实现
9.1 最小二乘解法及其理论
9.1 最小二乘解法及其理论
引例：
求解方程： x+y=1； 求解方程： x=1 x=1.2 x=0.88
利用Matlab编程时需要用的主要命令: [A]{x}={b} {x}=([A]T[A])-1{b} {x}=[A] \{b}
9.3 算例分析
例题1：求解
x1-2x2 3x3 1 4x1 x2 0
7x1 x2 6x3 1
9x1 5x2 8x3 0
A=[1,-2,3;4,1,0;7,1,6;9,5,8]
当向量b不在矩阵A列向量构成的空间中，线性方程组Ax=b没有准确解，存 在最小二乘解。换句话说，当方程组的个数多于未知数的个数时（准确的说 应该是方程组系数的秩大于方程未知数的个数），方程组没有精确解，只有 最小二乘解。
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的 最佳数据匹配。对于求解线性方程组，最小二乘法采用的手段是尽可能使方 分析
例题3：一简支梁的荷载曲线试验，如图所示。其中p为加在跨中的荷载，
d为跨中的变形。 在一系列的加载试验中，测得的p值与相应的变形d为： p=[0,10.0,20.5,30.4,39.8,49.6,60.1,70.0,79.2,90.4,100.0] d=[0,0.11,0.20,0.31,0.39,0.49,0.70,0.89,1.10,1.31,1.50] (1)若拟合p-d曲线，且假设p是d的三次函数，即 p=a1*d^3+a2*d^2+a3*d+a4 根据上面所测的数据，求三次曲线的系数a1~a4. (2)若拟合p-d曲线，且假设p是d的双线性关系，即当p<=50时， p=a1*d+a2; 当p>50时，p=a3*d+a4. 根据上面所测的数据，求双直线拟合的各系数a1~a4.
本章主要讲解了最小二乘解法的理论基础和应用及计算机实现。
作业：一悬臂梁的荷载曲线试验，如图所示。其中p为加在端部的荷载，d为自由端 部的变形。在一系列的加载试验中，测得的p值与相应的变形d为： p=[0,10.2,20.0,30.2,39.8,49.6,60.0,70.4,79.2,90.4,100.0] d=[0,0.11,0.20,0.31,0.39,0.49,0.70,0.79,1.00,1.21,1.40] (1)若拟合p-d曲线，且假设p是d的二次函数，即p=a1*d^2+a2*d+a3。 根据上面所测的数据，求二次曲线的系数a1~a3。 (2)若拟合p-d曲线，且假设p是d的双线性关系，即当p<=60时，p=a1*d+a2; 当p>60时，p=a3*d+a4。 根据上面所测的数据，求双直线拟合的各系数a1~a4。
9.2 最小二乘解法使用命令
1、直接法： 前面介绍了矩阵的除法，分为左除“\”和右除“/”。在 求解线性方程组Ax=b时，一般采用左除符号，即x=A\b， 这是由于方程组的形式决定的。假如方程的形式为xC=D， 那么就应该使用右除，即x=D/C。 2、矩阵求逆法 x=inv(A’*A)*A’*b
(2) A=zeros(length(d),4); A(1:6,1)=d(1:6)’; A(1:6,2)=ones(6,1); A(7:11,3)=d(7:11)’; A(7:11,4)=ones(5,1); x=A\p; a1=x(1); a2=x(2); a3=x(3); a4=x(4);
9.4 小结