金融工程 第十一章 二叉树简介

如果S=18，则 V=18*0.25=4.5
该组合在当前的价格：由无套利原理，组合的价
格为其价值的无风险贴现：
0.123/12
4.5e
4.367
期权的价格：设股票当前的价格为 20，期权的价 格为 f，则 20*0.25 - f = 4.367, 得 f = 0.633
1.2 推广：一般公式 记号如图
40
C
9.4636
F
•在第 1 步，
Delta=
•在第2步
Delta=
结论
在二叉树中，各个节点处的 Delta 不同，这实
际反映了Delta 值将随时间变化而变化；
看涨期权的Delta是正的，空头表示需要买入
标的，看跌期权的Delta是负的，期权空头表
示需要卖出标的。
11.7 选取 u 和 d 使得二叉树与波动率吻合 Matching volatility with u and d
S0 ƒ
S0d ƒd
考虑股票的期望价格：
当股票上涨的概率为 p 时，有
或者
代入11.2中 p的值，即有 （11.4）
风险中性世界：投资者对风险不要求任何补偿
，所有证券的期望收益等于无风险收益。
(11.4)表明：当股票上涨的概率p由(11.3)定义
时，股票的期望收益率等于无风险利率，即p
是在风险中性世界里股票上涨的概率；
Call option
D
22
B
24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 0.0
20 1.2823
A
2.0257 18 0.0
C
E
F
•在第 1 步，
Delta=
•如果在第 1 步，股价上涨，则在第2步
Delta=
Put option
D
60 50 4.1923
A
72 0
48 4 32 20
B
E
1.4147
引例
+10% p
+10% p*p
24.2
K=21, r=12% p=0.6523
22
20
-10% 1-p
-10% p*(1-p) 19.8 +10%
18 -10%
(1-p)*(1-p)
16.2
0.5 t
0
0.25
f u 2.0257 22
B
D
24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 0.0
(11.2) 表明：期权的价格等于风险中性世界里
期权期望价值的无风险贴现
2.1 应用风险中性定价的举例
计算股价上涨的概率 p
方法1：公式(11.3)
方法2：由公式(11.4) ,即
或者
即得 p=0.6523
计算期权价格 f 根据公式(11.2), 由
fu 1，f d 0
贴现，即得
0.6523e
f uu
20 1.2823
A
E
fd
18 0.0
fud
f dd
C F
节点 B 的价值 e–0.12*0.25(0.6523*3.2 + 0.3477*0) = 2.0257 节点 A 的价值 e–0.12*0.25(0.6523*2.0257 + 0.3477*0) = 1.2823
11.4 看跌期权实例 a put example
var(r ) s , E[r ] m
那么股票在 Dt 时间间隔内波动率和期望收
益率为
var(rDt ) s Dt , E[rDt ] mDt
股票价格的期望与二叉树中股票价格期望一致，
即
可得
EST
(11.11)
二叉树中，股票价格波动率应与现实世界的波动 率一致，即
ST S0 ST var var S0 S0 1 2 2 [ EST ( EST ) 2 ] S0
S0 ƒ
涨
S0 u ƒu
跌
S0d ƒd
f u max{S0u S0 , 0} 期权的价值 f d max{S0 d S0 , 0}
组合的价值
如果股票上涨，则组合的价值为
如果股票下跌, 则组合的价值为
由两种情形组合的价值相同，可计算股票头寸的数 量D
期权的价格
由构造组合的成本=组合价值的贴现：
0.120.25
0.633
结论：风险中性定价与无套利方法等价
2.2 现实世界与风险中性世界 计算股价上涨的真实概率 p* 设股票在现实世界中的期望收益率为 16%，则
得 计算现实世界期权价格 f 的困难
不能确定期权在真实世界里的期望收益率，无 法获得贴现利率
11.3 两步二叉树 Two-step binomial trees
问题 股票价格是一个随机变量，在二叉树中，如
何反映了股价的真实波动率？
二叉树中的 u 和 d 是反应股价波动率的参
数，这实际上是如何选择，使得二叉树与股
票真实的波动率吻合。
现实世界
风险中性世界
7.1 现实世界 real world
设股票在 Dt 时间间隔内收益率记为 DS rDt S 假设股票价格的年波动率为 s, 年期望收益为 m, 即
3个月股价 = $22 1 当前价格 = $20 3个月股价 = $18 0
建立一个无风险投资组合：即无论股价如何变
化，该组合的价值保持不变
购买Δ股股票； 0.25股股票
卖空一个欧式看涨期权。
如果 22D– 1 = 18 D or D =0.25， 则投资组合无风险。
该组合在到期时的价值
如果S=22，则 V=22*0.25 - 1=4.5
忽略时间的高阶项 现实世界的波动率
代入u, d
结论： 当从现实世界转向风险中性世界时，股价的收 益率期望将会发生变化，但收益的波动率(即 股价波动率)不会改变； 当从一组风险偏好转向另一组风险偏好时，变 量的期望收益率会发生变化，但波动率保持不 变。
7.3 美式期权举例 考虑一个美式看跌期权，如图，r=5%，Dt=2, s30%
11.5 美式期权 America option
定价方法
从树的末尾出发，以倒推的形式到树的起点，
在树的每个节点处计算期权的价值（价格），
直到树的起点止，由(11.5)计算。
在中间(包括起点)的每个节点处，验证提前执
行是否最优，即假设提前执行，比较与不提前 执行，期权的价值。
举例：一个美式看跌期权，假设 K = 52, Dt =1yr, u=1.2, d=0.8，r = 5%， p= 0.6282 (由(11.2))
不提前 执行 不提前 执行
D B
60 50 2 < 5.0894
Байду номын сангаас
72 0 48 4 32 20
f uu
0 fu 1.4147 A 40
E
fud
f dd
12 > f d 9.4636
提前 执行
C
F
11.6 Delta
定义：Delta (D) 是期权价格变化与标的股票
价格变化的比率
关于公式(11.2)
假设随机变量 X 表示期权在 T 时刻的价值， 并设
P{ X fu } p， P{X f d } 1 p;
期权的当前的价格即是其期望价值的无风险贴 现，即 f e rT E (X )
p: 可解释为股票上涨的概率，
p as a Probability
S0u ƒu
1.1 引例 假设股票的当前价格是20美元，3个月后，该股 票的价格可能为22美元或者18美元，一个欧式看 涨期权的敲定价格是21美元，确定期权的当前价
格。
A stock price is currently $20，K= 21 In 3 months it will be either $22 or $18
第11章 二叉树简介 introduction to binomial trees
内容提纲
11.1 单步二叉树与无套利方法
11.2 风险中性定价及其与无套利的关系
11.3 两步二叉树
11.4~11.5 看跌期权与美式期权
11.6 Delta 对冲
11.7 u和d与波动率
11.1 单步二叉树与无套利 A one-step binomial trees vs. arbitrage-free
假设 K = 52, Dt =1yr, u=1.2,d=0.8 r = 5%， p= 0.6282 (由(11.2))
D
60 50 4.1923
A
72 0
48 4 32 20
f uu
f u 1.4147
40
B
E
fd
C F
fud
f dd
9.4636
由(11.10)可得
方法总结
从树的末尾出发，以倒推的形式到树的起点， 在树的每个节点处计算期权的价值（价格）， 直到树的起点止。
f D S
意义：对于期权的空头，为了构造无风险组
合，往往需要通过持有(卖空)标的股票来对冲
风险，Delta应该持有(卖空)标的股票的数量，
这也称为Delta对冲方法或期权的复制。
举例 假设当前股价 S=20，K= 21, Dt=0.25
22 1 20
18 0
1 0 Delta 0.25 22 18
即期权的价格为：
代入 D , 即有：
(11.2)
其中
(11.3)
例 P166 ： 在前例中，有
因此
1.3 股票收益期望与期权价格的无关性