江苏省南通市2021届高三上学期期中模拟考试数学试卷含答案
（2）由 a 3 ， A 1 ．及正弦定理得 b c 3 2 ，
3
sin B sin C 3
2
b 2sin ， c 2sin C 2sin( 2 ) ， 3
故 y a b c 3 2sin 2sin( 2 ) ， 3 3sin 3 cos 3
2 3 sin( ) 3 6
h(x2 )
2．
江苏省南通市 2021 届期中模拟考试
数学参考答案
一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。 1. B 2. C 3．B 4．D 5. A 6.D 8. D 7.C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. ABD 10.BD 11. ACD 12. BCD
6
D．
y
f
x
的图象关于点
6
,
0
对称
11．设 A ，B 是抛物线 y x2 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是 ( )
A．若 OA OB ，则 | OA || OB | 2 B．若 OA OB ，直线 AB 过定点 (1, 0)
2
C．若 OA OB ， O 到直线 AB 的距离不大于 1 D．若直线 AB 过抛物线的焦点 F ，且 | AF | 1 ，则 | BF | 1
3 12．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) ex (x 1) ，则下列命题正确
的是 ( )
A．当 x 0 时， f (x) ex (x 1)
B．函数 f (x) 有 3 个零点
C． f (x) 0 的解集为 ( ， 1) (0 ，1)
D． x1 ， x2 R ，都有 | f (x1) f (x2 ) | 2
__.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分 10 分)
已知等比数列{an} 满足 a1 ， a2 ， a3 a1 成等差数列，且 a1a3 a4 ；等差数列{bn} 的前 n 项和
Sn
(n
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答．题．卡．相．应． 位．置．上．。
13．已知 a x 2 x5 的展开式中 x3 的系数为 40，则实数 a 的值为________.
14．二项式 (2x2 1 )6 的展开式中的常数项是 x
．（用数字作答）
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 ．
5
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．设 an(n N *) 是等差数列，d 是其公差，Sn 是其前 n 项和.若 S5 S6 , S6 S7 S8 , 则
1) log2 2
an
．求：
（1） an ， bn ；
（2）数列 {anbn} 的前项和 Tn ．
18．(本小题满分 12 分)
3
已知在
ABC
中，
a
、b
、
c
分别为角
A
、
B
、C
的对边，且 b
a sin sin
A c sin C B sin C
．
（1）求角 A 的值；
（2）若 a 3 ，设角 B ， ABC 周长为 y ，求 y f ( ) 的最大值．
16．函数 y＝f(x)图象上不同两点 A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是 kA,kB,规定φ(A,B)＝
|kA－kB|叫做曲线 y＝f(x)在点 A、B 之间的“平方弯曲度”.设曲线 y＝ex＋x 上不同两点 |AB|2
A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1－x2＝1,则φ(A,B)的取值范围是__
因此 Tn c1 c2 cn 1 21 2 22 3 23 (n 1)2n1 n2n
．
又 2Tn 1 22 2 23 3 24 (n 1)2n n2n1
两
式
相
减
得
Tn
2
22
23
2n
n2n1
2 2n 2 1 2
n2n1
2n1
2
n2n1
பைடு நூலகம்
(1
n)2n1
2．
所以 Tn (n 1)2n1 2 ．
应的复数是( )
A.4＋8i B.8＋2i
C.2－i
D.4＋i
3．已知函数 f x ex ex (P 为自然对数的底数)，若 a 0.7 0.5 , b log 0.5 0.7,
c log0.7 5，则
A． f b f a f c
B． f a f b f c
C． f c f a f b
D． f c f b f a
4．在△ABC 中， AB AC 2AD ， AE 2DE 0 ，若 EB x AB y AC ，则（ ）
A． y 2x
B． y 2x
C． x 2 y
D． x 2y
5．函数
f
x
x3 sin x ex ex
的图象大致是
1
6.设x 0, ，则函数f (x) 1 cos x 1 cos x 的取值范围是
1 4
t
8 ，解得 t
32
.
故至少排气 32 分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态
20. 解：（1）由题意知100 (0.0015 a 0.0025 0.0015 0.001) 1 ，解得 a 0.0035 ，
18.
解：（1）由已知 b
a sin A c sin C sin B sin C
可得 b sin B b sin C
a sin A c sin C
，
结合正弦定理可得 b2 c2 a2 bc ，
cos A b2 c2 a2 1 ，
2bc
2
又 A (0, ) ， A 1 ． 3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答．题．卡．相．应． 位．置．上．。
13. 3 14. 60 15. 8
16. (0, 2 1] 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。
(n 1) log2 an 2
(n 1)n 2
．
6
所以 b1 S1 1 ， b1 b2 S2 3 ，从而 b2 2 ．
所以 {bn} 的公差 d b2 b1 2 1 1 ． 所以 bn b1 (n 1)d 1 (n 1)1 n ． （2）令 cn anbn ，则 cn n2n ．
属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男
女
合计
（参考公式： K 2
n(ad bc)2
，其中 n a b c d )
(a b)(c d )(a c)(b d )
P(K 2 k)
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0.001
k
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．(本小题满分 12 分)
已知
F1
，
F2
分别为椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右焦点，P
为C
上的动点，其中 P
到
F1 的最短距离为 1，且当△ PF1F2 的面积最大时，△ PF1F2 恰好为等边三角形．
（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆 C 的外切圆为 E ． (i) 求圆 E 的方程； (ii) 在平面内是否存在定点 Q ，使得以 PQ 为直径的圆与 E 相切，若存在求出定点 Q 的坐标；
17. 解：（1）设 {an} 的公比为 q ．
因为 a1 ， a2 ， a3 a1 成等差数列，
所以 2a2 a1 (a3 a1) ，即 2a2 a3 ．
因为 a2
0 ，所以 q
a2 a2
2．
因为 a1a3
a4 ，所以 a1
a4 a3
q
2．
因此 an a1qn1 2n ．
由题意， Sn
由 0 2 ，得 5 ，
3
66
6
当
6
2
，即
1 3
时，
ymax
3
3．
7
64
c
1 2
4
m
c 128,
19.解（1）由题意可列方程组
32
c
1 2
8m
两式相除，解昨
m
1 4
.
（2）由题意可列不等式128
1
1 4
t
2
0.5 ，
所以
1
1 4
t
2
1 2
8
，即
下列结论正确的是( )
A. d 0
B. a7 0
C. S9 S5
D. S6与S7均为Sn的最大值
10．关于函数
f
x
4
sin
2
x
3
x
R 有下列命题，其中正确的是
A． y f x 是以 2 为最小正周期的周期函数
B．
y
数学-江苏省南通市2023届高三上学期期末模拟数学试题(解析版)
【答案】BCD
【解析】
【分析】赋值法求 的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得 的值有周期性，即可求得 的值，判断D.
【详解】对于A，令 ，则由 可得 ，
故 或 ，故A错误；
对于B,当 时，令 ，则 ，则 ，
故 ，函数 既是奇函数又是偶函数；
【详解】直线 过抛物线焦点 ，设 ， ，
则 ， ， ， ，
，A错误；
中点坐标为 ， ， ，
圆方程为： ，取 得到 ， ，B正确；
不妨取 ， ，
故 ， 不共线，故 是钝角，C正确；
， ，
，D正确；
故选：BCD
12.已知函数 及其导函数 的定义域均为R，对任意的 ， ，恒有 ，则下列说法正确的有（）
A. B. 必为奇函数
上两式相加得： ，
故有： ，
在 中由正弦定理得： ，
因此 ， .
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列结论正确的是（）
A.若随机变量 服从两点分布， ，则
B.若随机变量 的方差 ，则
D选项： ， ，D选项错误；
故选：BC
11.设抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，直线 与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（）
A. B.
C. 是钝角D. 的面积小于 的面积
【答案】BCD
【解析】
【分析】联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算 ，A错误；计算圆方程为： ，计算得到B正确；计算 ，得到C正确； ， ，D正确；得到答案.
江苏省南通市海安市2025届高三上学期开学数学试题(含答案)
江苏省南通市海安市2025届高三上学期开学数学试题一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.已知集合A={x|x2>2x}，B={―2,0,1,3}，则A∩B=( )A. {―2,0,3}B. {―2,3}C. {0,3}D. {3}2.已知命题p:∃x>0，3x>1，则¬p:( )A. ∃x>0，3x≤1B. ∃x≤0，3x>1C. ∀x>0，3x≤1D. ∀x>0，3x>13.函数y={e―x,e―x⩾ln xln x,e―x<ln x在区间(0,+∞)上( )A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增4.已知函数f(x)=(x―1)2―1，则( )A. f(x―1)=f(1―x)B. f(x―1)=f(x+1)C. f(1+x)=f(1―x)D. f(1+x)=―f(1―x)5.已知2m=3n=5，则4m n=( )A. 3B. 6C. 8D. 96.设b，c∈R，函数f(x)=x+b x+c，则“关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为R”是“f(x)>0恒成立”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要7.已知直线y=ax+b与曲线y=x+1x相切，则2a+b的最大值为( )A. 12B. 2 C. 52D. 58.若函数f(x)=x|x―a|―1的3个零点由小到大排列成等差数列，则a=( )A. 2B. 5C. 433D. 21539.下列曲线平移后可得到曲线y=2x的是( )A. y=2x+3B. y=2x―3C. y=23xD. y=2x310.一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好.( )A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为200m2，则窗户面积至少应该为30m2B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好%，则教室的通风D. 若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了n%(m≠n);地面面积两次都增加了m+n2效果变差11.设函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)不恒为0，下列结论正确的是( )A. 若f(x)具有奇偶性，则满足f(x)=p(x)+q(x)的奇函数p(x)与偶函数q(x)中恰有一个为常函数，其函数值为0B. 若f(x)不具有奇偶性，则满足f(x)=p(x)+q(x)奇函数p(x)与偶函数q(x)不存在C. 若f(x)为奇函数，则满足f(x)=p(x)q(x)的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在无数对D. 若f(x)为偶函数，则满足f(x)=q(p(x))的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在无数对二、填空题：本题共3小题，共15分。
江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期9月诊断测试数学试题含答案
如皋市2023届高三上学期9月诊断测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}320223,nA n n n Z =∈＜＜的所有元素之积为（▲）.A.8648640B.55440C.665280D.02.已知复数z 满足3i i z z -+为负实数，31z z -+为纯虚数，则z =（▲）.A.B.1C.D.13.抛物线28y x =的焦点为F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上的两个动点，若124||3x x AB ++=，则AFB ∠的最大值为（▲）.A.3π B.34π C.56π D.23π4.“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示，古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为{}n a ，其中115n 且*n N ∈，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，15a =是指每月的第1天可见部分占满月的5240，8128a =是指每月的第8天可见部分占满月的128240，15240a =是指每月的第15天(即农历十五)会出现满月.已知在月相数列{}n a 中，前5项构成等比数列，第5项到第15项构成等差数列，则第3天可见部分占满月的（▲）.A.124B.112C.16D.135.在平面直角坐标系中，椭圆E ：2214x y +=，P 为E 上的动点，,A B 为两个定点，其中B 点坐标为()0,3.若PAB △的面积最小值为1，最大值为5，则线段AB 的长为（▲）.A.5B.26C.6D.76.已知函数()y f x =的图像既关于点()1,1中心对称，又关于直线0x y +=轴对称.当()0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2log 10f 的值为（▲）.A.2log 6B.175C.3D.1457.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示，即512sin18.2-=︒记2sin18m =︒，则21cos36(2)sin144m +︒=-⋅︒（▲）.A.2- B.2- C.2D.51-8.若,(0,)x y ∈+∞，ln sin y x x e y +=+，则（▲）.A.ln()0x y -< B.ln()0y x -> C.e yx < D.ln y x<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列关于复数的命题中(i 为虚数单位)，说法正确的是（▲）.A.若关于x 的方程2(1i)14i 0(R)x ax a +++-=∈有实根，则52a =±B.复数z 满足2020(1i)i 1z +==，则z 在复平面对应的点位于第二象限C.12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中p 、q 为实数，则5q =D.已知1i z a b =+，2i z c d =+，且12z z =，则,a c b d==10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点1P ，2P ，…，(2n P n 且*)n N ∈满足1223112n n n PFP P FP P FP P FP nπ-∠=∠=⋅⋅⋅=∠=∠=，则下列结论中正确的是（▲）.A.2n =时，12112||||PF P F +=B.3n =时，123||||||PF P F P F ++的最小值为9C.4n =时，1324111||||||||4PF P F P F P F +=++D.4n =时，1234||||||||PF P F P F P F +++的最小值为811.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，n M ，n N 是圆222:O x y n +=上两个不同的动点，n P 是n nM N 的中点，且满足2*20().n n n OM ON OP n N ⋅+=∈ 设n M ，n N到直线20l y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，则下列说法中正确的是（▲）.A.向量n OM 与向量n ON所成角为120︒B.||n OP n= C.22n a n n =+D.若2nn a b n =+，则数列的前n 项和为11121n +--12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，1F 、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线l ：220bx ay a b +--=，则（▲）.A.直线l 与蒙日圆相切B.C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C.记点A 到直线l 的距离为d ，则2||d AF -D.若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知1,0,0x y y x +=>>，则121x x y ++的最小值为▲.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，直线l ：y kx m =+与圆O ：225x y +=交于A ，B 两点，若PAB △为正三角形，则实数m 的值是▲.15.已知()00,P x y 是抛物线24y x =000210x y +-+的最小值为▲.16.函数())f x x R =∈的值域为▲.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）若ABC △的内角,,A B C 满足sin cos tan A B C ==.（1）若π12B =，求C 的大小；（2）求32cos cos cos A A A +-的值.18.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0.n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令221(2)n nn b n a +=+，数列的前n 项和为n T ，证明对于任意的*n N ∈，都有5.64n T <郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.（1）已知A ，B 是在直线l 两侧且到直线l 距离不相等的两点，P 为直线l 上一点.试探究当点P 的位置满足什么条件时，||PA PB -取最大值；（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.20.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足621S =，728S =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项；（2）令14(1)(21)(21)n n n n n b a a -=--+，证明：12b b ++ (22).21n n b n +++已知点B A 、分别是椭圆22:143x y Γ+=的左、右顶点，过Γ的右焦点F 作直线l 交Γ于,M N 两点，（1）设直线,,AM AN BM 的斜率分别为123,,k k k ，求12k k 和23k k 的值；（2）若直线,AM AN 分别交椭圆Γ的右准线于,P Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆经过定点.22.（本小题满分12分）已知函数()()ln ,e x x x f x g x x==.（1）求()f x 和()g x 的极值；（2）证明：存在直线y a =，其与曲线()y f x =和曲线()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.如皋市2023届高三上学期9月诊断测试数学参考答案及评分标准2022.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CCDBDBAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.题号9101112答案ACBCACDAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）所以π3C =.………………………………………………4分17.（2）………………………10分18.（1）因为数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，所以当1n =时，22211(111)(11)0S S -+--+=，即21120S S --=，解得12S =或11S =-，因为数列{}n a 都是正项，所以12S =，因为222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，则2[()](1)0n n S n n S -++=，则2n S n n =+或1n S =-，因为数列{}n a 都是正项，所以2n S n n =+，.………………………………………………2分当2n 时，有1n n n a S S -=-，所以22[(1)(1)]n a n n n n =+--+-，解得2n a n =，2n ，当1n =时，112a S ==，符合2n a n =，所以数列{}n a 的通项公式2n a n =，*;n N ∈.………………………………………………5分18.（2）证明：由222211(2)(2)4n n n n b n a n n ++==++⋅，.……………8分所以115(1)16464<+=，所以对于任意*n N ∈，都有5.64n T <.………………………………………………12分19.（1）不妨设A 点到直线l 的距离比B 点到直线l 的距离大，作A 点关于直线l 的对称点.A '当l 为APB ∠的平分线时，A '，B ，P 三点共线，故PA PB PA PB A B -='-='，.…………2分当l 不是APB ∠的平分线时，取这样的点P '，则A '，B ，P '能构成一个三角形，故P A P B P A P B A B '-'=''-'<'，因此，当且仅当P 的位置使得l 为APB ∠的平分线时，||PA PB -取最大值．.…………………5分19.（2）证明：不妨设双曲线的焦点在x 轴上，半实轴长为a ，左右焦点分别为1F ，2F ，入射光线1l 从2F 出射，入射点Q ，反射光线2l ，双曲线在Q 点处的切线3l ，3l 在Q 点处的垂线4l ，由光的反射定律，1l ，2l 关于4l 对称，故1l ，2l 关于3l 对称，要证：反射光线2l 过点1F ，只要证：3l 是12F QF ∠的角平分线，.………………………………………………7分定义双曲线焦点所在区域为内部，渐近线所在区域为外部，由双曲线的定义，122F Q F Q a -=，对于双曲线内部的一点Q '有12||2F Q F Q a '-'>，对于双曲线外部的一点Q ''有12||2F Q F Q a ''-''<，又3l 是双曲线在Q 点处的切线，故在3l 上有且仅有一点Q 使得122F Q F Q a -=，3l 上其他点Q '''均有122F Q F Q a '''-'''<，故Q 是3l 上唯一使得12F Q F Q -取最大值的点，又1F ，2F 到直线3l 距离不相等，根据(1)中结论，可知3l 是12F QF ∠的角平分线，故反射光线2l 过点1F ，命题得证．.………………………………………………12分20.（1）数列{}n a 为等差数列，依题意有117212861521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =，1d =，.………………………………………………2分所以1(1)1n a n =+-⨯，所以n a n =，.………………………………………………4分20.（2）证明：111411(2)(1)(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n n b a a n n ---=-=-+--+-+，.……………8分1123111111(1(()[(1)3355721n n b b b b n -+++⋅⋅⋅+=++--+++⋅⋅⋅+--1111122(1)1(1)1.21212121n n n n n n n --++-=+-+=++++ .………………………………………………12分21.（1）1294k k =-………………………………………………3分233k k =………………………………………………6分21.（2）此圆恒过定点()()7,01,0，………………………………………………12分22.（1）()f x 极大值1e，无极小值；………………………………………………2分()g x 极大值1e，无极小值；………………………………………………4分22.（2）证明略.………………………………………………12分。
2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高三上学期9月月考数学试题及答案
江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,3,5,7}，B ={x|−x 2+4x ≥0}，则A ∩B =( )A. [1,3]B. [5,7]C. {1,3}D. {5,7}2.设函数f(x)={log 2 (2−x),x <1,2x−1,x⩾1,则f(−2)+f(log 210)=( )A. 4B. 5C. 6D. 73.“ln x >ln y ”是“ x >y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I D =I 0e −KD 表示其总衰减规律，其中K 是消光系数，D(单位：米)是海水深度，I D (单位：坎德拉)和I 0(单位：坎德拉)分别表示在深度D 处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K 的值约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln5≈1.6)A. 0.2B. 0.18C. 0.1D. 0.145.函数y =f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f(1−12x)B. y =−f(1−12x)C. y =f(4−2x)D. y =−f(4−2x)6.今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为( )A. 12B. 24C. 28D. 367.已知x >0，y >0，x +y =1，则12x +xy +1的最小值为( )A. 54B. 43C. 1D.228.若函数f(x)=e 2x4−axe x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−12)B. (−12,0)C. (12,+∞)D. (0,12)二、多选题：本题共3小题，共15分。
江苏省南通市部分校2025届高三第一学期期初调研考数学试卷(含答案)
江苏省南通市部分校2025届高三第一学期期初调研考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A ={x |y = −x 2+1}，B ={x ||x−1|∈A }，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [0,2]D. [−1,1]2.设a,b ∈R ，则“a 3=(b +1)3”是“3a >3b ”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.若α,β为两个不同的平面，m 为一条直线，则下列结论中正确的是( )A. 若m//α，m//β，则α//βB. 若m ⊥α，α⊥β，则m//βC. 若m//α，m//β，则α与β相交D. 若m ⊥α，m//β，则α⊥β4.已知函数f (x )的部分图象如下图所示，则f (x )的解析式可能为( )A. f (x )=2cos x e x +e −xB. f (x )=2sin x e x +e −xC. f (x )=2sin 2x e x +e −xD. f (x )=4sin x e x +e −x 5.若a =log 1213,b=(13)12,c =sin 12，则a,b,c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. a >c >bD. b >c >a 6.已知平行于圆锥底面的平面将圆锥的侧面分成面积相等两部分，且原圆锥的高和底面圆的半径均为2，则截得的圆台的体积为( )A. 73πB. 8−2 23πC. 2 23πD. 2 2π7.设函数f (x )=x 3+32x 2+ax ，若函数y =f (x )在x =x 0和x =x 0+1的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为( )A. 16 B. 13 C. 12D. 238.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)上一点M (3 24a, 24b )作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于P,Q 两点，若∠MOQ =3∠MOP ，则离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 5二、多选题：本题共3小题，共15分。
2023届南通三模数学试题及答案
南通市2023届高三第三次调研测试（考前模拟）数 学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。
3. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若“()0,πsin 2sin 0x x k x ∃∈−，＜”为假命题，则k 的取值范围为( ). A. (,2]−∞−B. (,2]−∞C. (,2)−∞−D. (,2)−∞2. 复数22021202212i 3i 2022i 2023i z =+++++的虚部为( ).A. 1012B. 1011−C. 1011D. 20223. 平面向量a ，b 满足，240a a b −⋅−=，||3b =，则||a 最大值是( ).A. 3B. 4C. 5D. 64. 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X 的期望()E X 和方差()D X 存在但其分布未知的情况下，对事件“|()|X E X ε−…”的概率作出上限估计，其中ε为任意正实数．切比雪夫不等式的形式为：(|()|)((),)P X E X f D X εε−厔，其中((),)f D X ε是关于()D X 和ε的表达式．由于记忆模糊，该同学只能确定((),)f D X ε的具体形式是下列四个选项中的某一种．请你根据所学相关知识，确定该形式是( ). A. 2()D X ε⋅B. 21()D X ε⋅C.2()D X ε D.2()D X ε5. 已知三棱锥P ABC −，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为( ). A. 5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []π,2π6. 抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，以AB 为直径的圆C 交y 轴于,M N 两点，O 为坐标原点，则MNC △的内切圆直径最小值为( ). A. 38B. 36−C. 434−D. 432−7. 已知宽为a 的走廊与另外一条走廊垂直相连，若长为8a 的细杆能水平地通过拐角，则另外一条走廊的宽度至少是( ). A. 2aB. ()421a −C. 23aD. 33a8. 函数()2023f x xx =，若方程()()2sin 0x x f x ax +−=只有三个根123,,x x x ，且123x x x ＜＜，则213sin 2023x x x +的取值范围是( ).A. ()0,+∞B. ()2023,+∞C. (),2023−∞−D. (),0−∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 直线:20l mx y m +−=与圆224x y +=交于,A B 两点，P 为圆上任意一点，则( ).A. 线段AB 最短长度为22B. AOB △的面积最大值为2C. 无论m 为何值，l 与圆相交D. 不存在m ，使APB ∠取得最大值10. 正方体ABCD A B C D −''''的边长为2，Q 为棱AA '的中点，点,M N 分别为线段,C D CD ''上两动点(含端点)，记直线,QM QN 与面ABB A ''所成角分别为,αβ，且22tan tan 4αβ+=，则( ). A. 存在点,M N 使得//MN AA ' B. DM DN ⋅为定值C. 存在点,M N 使得32MN =D. 存在点,M N 使得MN CQ ⊥11. 椭圆曲线232y ay x bx cx d +=+++是代数几何中一类重要的研究对象.则关于椭圆曲线232:2453W y y x x x +=−+−，下列结论正确的有( ).A. W 关于直线1x =−对称B. W 关于直线1y =−对称C. W 上的点的横坐标的取值范围为[)1,+∞D. W 上的点的横坐标的取值范围为{}[)12,⋃+∞12. 1979年，李政道博土给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子.怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉.准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃1个桃子.然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后.也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了：以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是( ).A. 若第n 只猴子分得n b 个桃子(不含吃的)，则1541(2,3,4,5)n n b b n −=−=B. 若第n 只猴子连吃带分共得到n a 个桃子，则{}(1,2,3,4,5)n a n =为等比数列C. 若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子(不含吃的)D. 若最初有k 个桃子，则4k +必为55的倍数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 随机变量1~2,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21X σ+=__________.14. 函数32()(0)f x ax bx cx d a b =++++<在R 上是增函数，则ca b+的最大值为__________. 15. 已知0122C C C C (1)n n nn n n nx x x x ++++=+，则012111C C C C 231n n n n n n ++++=+__________. 16. 将函数()π()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎭的图象向右平移2π9个单位长度，得到的函数()g x 的图象关于点11π,018⎛⎫− ⎪⎝⎭对称，且()g x 在区间,m m ϕϕ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ=__________,实数m 的取值范围是__________.（本小题答对一空得2分，答对两空得5分）四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.17. （10分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为(01).p p <<现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束;若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为(0)a a >元. （1）①写出X 的分布列;②证明：1();E X p<（2）某公司意向投资该产品.若0.25p =，且试验成功则获利5a 元，请说明该公司如何决策投资.18. （12分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，14AB AA ==，2BC =，123A C =，AC BC ⊥，160.A AB ︒∠=（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值．19. （12分）设{}n a 是各项均为正数的等差数列，11a =，且31a +是2a 和8a 的等比中项；记{}n b 的前n 项和为n S ，*22().n n b S n N −=∈（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）设数列{}n c 的通项公式2,,n n n a n c b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数①求数列{}n c 的前21n +项和21n T +；②求(1)21ini i ia c −=∑.20. （12分）已知ABC △，D 为边AC 上一点，1AD =， 2.CD = （1）若34BA BD ⋅=，0BC BD ⋅=，求ABC △的面积； （2）若直线BD 平分ABC ∠，求ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围.21. （12分）双曲线C ：2213y x −=，点00(,)A x y 是C 上位于第一象限的一点，点A 、B 关于原点O 对称，点A 、D 关于y 轴对称．延长AD 至E 使得1||||3DE AD =，且直线BE 和C 的另一个交点F 位于第二象限中． （1）求0x 的取值范围；（2）证明：AE 不可能是BAF ∠的三等分线．22. （12分）已知函数()e xx f x =. （1）求曲线()y f x =在()()e,e f −−处的切线方程；（2）若120nii i xx ==∑,＞，证明：()212e nni i f x −=≤∑.南通2023高三三模 考前模拟数学1.若“(0,)x π∃∈，”为假命题，则k 的取值范围为( ) A. (,2]−∞− B. (,2]−∞C. (,2)−∞−D. (,2)−∞【答案】 A【解析】 【分析】本题主要考查命题的真假，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题． 由题意可得对任意(0,)x π∈，，即，求得2cos x 的范围，可得k 的取值范围． 【解答】 解：“(0,)x π∃∈，”为假命题， ∴对任意(0,)x π∈，，即对任意(0,)x π∈，，，2k ∴−…， 故选：.A2. 已知i 为虚数单位，则复数22021202212i 3i 2022i 2023i z =+++++的虚部为A. 1012B. 1011−C. 1011D. 2022【答案】 A【解析】 【分析】本题考查复数的四则运算，考查错位相减法求和，属于中档题. 利用错位相减法求和求出复数z 求解即可. 【解答】解：22021202212i 3i 2022i 2023i z =+++++， 所以23202220232320222023z i i i i i i ⋅=+++++，所以220222023(1)12023i z i i i i −=++++−20232023120231i i i−=−−20232024i i i=+= 所以2024(2024)(1)1(1)(1)i i i z i i i +==−−+ 20242024101210122i i−==−+ 所以复数z 的虚部为为1012. 故选A3. 平面向量a ，b 满足，，||3b =，则||a 最大值是( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】 B【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档题．先设向量a ，b 的夹角为θ，由已知结合向量数量积的定义可得2||443cos ||||||a a a a θ−==−，结合向量夹角的范围可求.【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，240a a b −⋅−=，||3b =，243||cos a a b a θ∴−=⋅=，2||443cos ||||||a a a a θ−∴==−，且0a ≠，0θπ剟，1cos 1θ∴−剟，则，即，解可得，，即||a 最大值是4.故选：.B4. 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X 的期望()E X 和方差()D X 存在但其分布未知的情况下，对事件“|()|X E X ε−…”的概率作出上限估计，其中ε为任意正实数．切比雪夫不等式的形式为：(|()|)((),)P X E X f D X εε−厔，其中((),)f D X ε是关于()D X 和ε的表达式．由于记忆模糊，该同学只能确定((),)f D X ε的具体形式是下列四个选项中的某一种．请你根据所学相关知识，确定该形式是 A. 2()D X ε⋅ B. 21()D X ε⋅C.2()D X ε D.2()D X ε【答案】 D【解析】 【分析】本题主要考查了切比雪夫不等式，属于中档题. 利用期望和方差的关系可得答案. 【解答】解：因为(|()|)((),)P X E X f D X εε−厔， 所以则所以((),)f D X ε的具体形式是2().D X ε故选：.D5. 已知三棱锥P ABC −，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为( ) A. 5[,]3ππ B. 2[,]23ππC. 2[,2]3ππ D. [,2]ππ【答案】 A【解析】 【分析】本题考查空间几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大. 【解答】解：连接PQ ，QA ，由2PB PC AB BC AC =====，可知：ABC 和PBC 是等边三角形，设三棱锥P ABC −外接球的球心为O ，所以球心O 到平面ABC 和平面PBC 的射影是ABC 和PBC 的中心F ，E ， PBC 是等边三角形，Q 为BC 中点，所以PQ BC ⊥，又因为侧面PBC ⊥底面ABC ，侧面PBC ⋂底面ABC BC =， 所以PQ ⊥底面ABC ，而AQ ⊂底面ABC ，因此PQ AQ ⊥，所以OFQE 是矩形.ABC 和PBC 是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高2212(2)32h =−⨯=在矩形OFQE 中，1322333OE FQ h AE h =====，连接OA ， 所以22141533OA OE EA =+=+=， 设过点Q 的平面为α，当OQ α⊥时， 此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，222211226()()333333OQ OF FQ h h h =+=+===， 因此圆Q 22156199OA OQ −=−=，所以此时面积为21;ππ⋅= 当点Q 在以O 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：2155;3ππ⋅= 所以截面的面积范围为：5[,]3ππ，故选.A6. B 【分析】根据抛物线、圆以及导数相关知识求解即可.7. D 【分析】根据解三角以及导数相关知识求解即可.8. D 【分析】根据观察法以及函数奇偶性得到2130,x x x ==−带入即可.9. CD 【分析】斜率一定存在，所以AB 错误，D 正确，直线所过定点在圆内故C 正确。
江苏省各地2025届高三冲刺模拟数学试卷含解析
江苏省各地2025届高三冲刺模拟数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．34．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥6．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．7．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±8．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．89．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．1810．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位 11．函数52sin ()([,0)(0,])33x xx xf x x -+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．12．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测(一)数学试题(含答案)
江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（一）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z 满足(1+i)z =1−2i 3，则z 的共轭复数为( )A. 32−12iB. 32+12iC. −32−12iD. −32+12i2.已知函数y =f(x)的对应关系如下表，函数y =g(x)的图象如图，则f[g(1)]的值为( ) x 123f(x)230A. 3B. 0C. 1D. 23.设集合A ={x||x−2|≤1}，B ={x|log 2x <1}，C ={x|x ∈A 且x ∉B}，则C =( )A. ⌀B. [1,2)C. [2,3]D. (2,3]4.命题p:−3≤x ≤1，q:x ≤a.若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是( )A. (−3,+∞)B. [−3,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)5.设f(x)是定义域为R 的奇函数，f(−3)=−7，当x ≥0时，f(x)=a x +b ，则f(1)=( )A. 1B. −36−1C. 37−b +bD. −37+b +b6.我们知道当0<x <2或x >4时，2x >x 2.若a =log 23，b = 3，c =2log 32，则( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. c >b >a7.函数f(x)=13x 3−x 2+ax ，对任意x 1，x 2∈[1,2]，且x 1≠x 2，都有f(x1)−f(x 2)x 1−x 2>1，则a 的范围是( )A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (2,+∞)D. [2,+∞)8.若e a =e 3b +e 2+b ，则a−2b 的最小值为( )A. 2B. 1+ln2C. 1D. ln2二、多选题：本题共3小题，共15分。
江苏省苏锡常镇四市2021届高三第二次模拟考试数学试题(含答案)
江苏省苏锡常镇四市2021届高三年级第二次模拟考试数学本试卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|x<3，x ∈R }，B ＝{x |x >1，x ∈R }，则A ∩B ＝________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足zi＋4＝3i ，则复数z 的模为________．3. 一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n 的值为________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是________．6. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为________．(第6题图)(第7题图)7. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的中点，则四棱锥PAA 1C 1C 的体积为________．8. 设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S n 成等比数列，则数列{a n }的公差为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x (x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝________．10. 若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．12. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，0≤x<4，log 2（x －2）＋2， 4≤x ≤6，若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________． 13. 已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范围是________．14. 若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，xy 的值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．16. (本小题满分14分)如图，已知四棱柱PABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点．(1) 求证：MN ∥平面PAB ；(2) 若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM ⊥AD.(第16题图)如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k.设OA＝x，OB＝y.(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)求N－M的最大值及相应的x的值．(第17题图)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值； ②若直线l 的斜率为32，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．设函数f(x)＝x－2e x－k(x－2lnx)(k为实常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，4)内至在三个极值点，求k的取值范围．已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n <52a n ＋1a n ，n ∈N *. (1) 若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2) 设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．若12S n <S n ＋1<2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3) 若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k 的公差．密封线(这是边文，请据需要手工删加)密封线____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________校学 (这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)·数学附加题 第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)数学附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 与⊙O 相切于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ，且AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．(第21A 题图)B. 选修4-2：矩阵与变换设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．D. 选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE.(1) 证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2) 求二面角ADFC 的大小．(第22题图)23. (本小题满分10分)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示．(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n ，r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 不能构成等差数列．(第22题图)密封线苏锡常镇四市2021届高三年级第二次模拟考试(一)·数学参考答案 第页(共4页) (这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. (1，3) 2. 5 3. 320 4. (－2，4) 5. 256. 67. 138. 2 9. －2 10. (2，＋∞) 11. 36412. ⎣⎡⎦⎤3，2562713. (－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－14，＋∞14. 2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：(1) 由题意知，f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos (2x ＋π3)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，(4分)所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(6分) 当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为[－7π12＋k π，－π12＋k π](k ∈Z )．(8分) (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，(10分)当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，(12分)当2x ＋2π3＝4π2，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.(14分)16. 证明：(1) 取PB 中点E ，连EA ，EN ，△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，(3分)得EN ∥AM ，EN ＝AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) 得MN ∥AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ， ∴ MN ∥平面PAB(7分)(2) 过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，∵平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC ∩平面PAD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH ⊂平面PAD ， ∴ AH ⊥平面PMC ， ∴ AH ⊥CM.(10分)∵ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM.(12分) ∵ PA ∩AH ＝A ，PA ，AH ⊂平面PAD ，CM ⊥平面PAD ， ∵ AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥AD.(14分)17. 解：(1) 因为OA ＝x ，OB ＝x ，AB ＝y ＋1， 由余弦定理，x 2＋y 2－2xy cos 120°＝(y ＋1)2，解得y ＝x 2－12－x，(3分)由x>0，y>0得1<x<2，又x>y ，得x>x 2－12－x，解得1<x<1＋32，(6分)所以OA 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋32.(7分)(2) M ＝kOB ＝ky ，N ＝4 3.S △AOC ＝3kx ，则N －M ＝k(3x －y)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －x 2－12－x ，(8分) 设2－x ＝t ∈⎝⎛⎭⎪⎫3－32，1， 则N －M ＝k ⎣⎡⎦⎤3（2－t ）－（2－t ）2－1t＝k ⎣⎡⎦⎤10－⎝⎛⎭⎫4t ＋3t≤k ⎝⎛⎭⎫10－24t·3t ＝(10－43)k.(11分) 当且仅当4t ＝3t 即t ＝32∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1取等号，此时x ＝2－32，(13分) 所以当x ＝2－32时，N －M 的最大值是(10－43)k.(14分) 18. 解：(1) 1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2a ＝12，得a 2＝4，b 2＝3.(2分)所以椭圆C ：x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ①设直线l 的方程为x ＝my ＋1，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，化简得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，易知Δ>0，(5分) 所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 所以k AP ·k BP ＝y 1－32x 1－1·y 2－32x 2－1＝y 1－32my 1·y 2－32my 2＝1m 2·y 1y 2－32（y 1＋y 2）＋94y 1y 2 ＝－1m －34，(7分)所以t ＝k AB ·k AP ·k BP ＝－1m 2－34m ＝－⎝⎛⎭⎫1m ＋382＋964，(9分)所以当m ＝－83时，t 有最大值964.(10分)②设直线l 的方程为y ＝32x ＋n ，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ⎩⎨⎧y ＝32x ＋n ，x 24＋y23＝1，得3x 2＋23nx ＋2n 2－6＝0，Δ＝(23n)2－4×3(2n 2－6)>0， 即－6<n< 6.x 1＋x 2＝－23n3，x 1x 2＝2n 2－63，(12分)OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)＝x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫32x 1＋n 2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋n 2＝74(x 21＋x 22)＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2＝74(x 1＋x 2)2－72x 1x 2＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2(14分) ＝74⎝⎛⎭⎫－233n 2－72⎝⎛⎭⎫2n 2－63＋3n(－233n)＋2n 2＝7.(16分) 19. 解：(1) 由函数f(x)＝e xx 2－(x －2ln x)(x>0)，可得f′(x)＝（x －2）（e x －x 2）x 3(2分)因为当x>0时，e x >x 2.理由如下： 要使x>0时，e x >x 2，只要x>2ln x ， 设φ(x)＝x －2ln x ，φ′(x)＝1－2x ＝x －2x，于是当0<x<2时，φ′(x)<0；当x>2时，φ′(x)>0.即φ(x)＝x －2ln x 在x ＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln 2>0，即x>0时，x>2ln x ， 所以e x －x 2>0，(5分)于是当0<x<2时，f ′(x)<0； 当x>2时，f ′(x)>0.所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，(2，＋∞)上为增函数．(6分) 所以f(x)在x ＝2处取得最小值f(2)＝e 24－2＋2ln 2.(7分)(2) 因为f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e xx 2－k x，当k ≤0时，e xx 2－k>0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k>0.(8分)又f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e xx 2－k x，令g(x)＝e xx 2，得g′(x)＝e 2·（x －2）x 3，易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，在x ＝2处取得极小值， 得g(2)＝e 24，且g(4)＝e 416，(10分)于是可得y ＝k 与g(x)＝e x x2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k ∈⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(12分)设y ＝k 与g(x)＝e xx 2在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x 1，x 2，则有0<x 1<2<x 2<4，下面列表分析导函数f′(x)及原函数f(x)：x (0，x 1) x 1 (x 1，2) 2 (2，x 2) x 2 (x 2，4) 4 x －2 － － － 0 ＋ ＋ ＋ 2 e xx 2－k ＋ 0 － e 24－k － 0 ＋ e 416－k f ′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ ＋ f(x)递减极小值递增极大值递减极小值递增可知f(x)在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，2)上单调递增． 在(2，x 2)上单调递减，在(x 2，4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点．(15分)即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(16分) 20. 解：(1) 由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ，(2分)所以34<x<3，x2<4<2x ，解得x ∈(2，3)．(4分)(2) 由题意得，∵12a n <a n ＋1<2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，∴12q n －1<q n <2q n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝⎛⎭⎫q －12>0，q n －1（q －2）<0，∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，2.(6分)又∵12S n <S n ＋1<2S n ，∴而当q ＝1时，S 2＝2S 1不满足题意．(7分)当q ≠1时，12·1－q n 1－q <1－q n ＋11－q <2·1－q n 1－q ，∴①当q ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）>－1，q n （2q －1）<1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）>－1，q 1（2q －1）<1 解得q ∈⎝⎛⎭⎫12，1；(9分) ②当q ∈(1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）<－1，q n （2q －1）>1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）<－1，q 1（2q －1）>1，无解． ∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，1.(11分)(3) ∵12a n <a n ＋1<2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1，∴12[1＋(n －1)d]<1＋nd<2[1＋(n －1)d]，n ＝1，2，…，k －1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧d （n ＋1）>－1，d （2－n ）<1，∴ d ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，(13分) 又∵ a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，∴ S k ＝d 2k 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2k ＝d2k 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2k ＝120， ∴ d ＝240－2k k 2－k ，∴240－2k k 2－k ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，解得k ∈(15，239)，k ∈N *，所以k 的最小值为16，此时公差为d ＝1315.(16分)附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A. 选修4-1：几何证明选讲解：因为DE 是⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，(3分)又AB 切⊙O 于点B ，得∠ABD ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA.(5分) 即BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝ADCD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3，(8分)由切割线定理得AB 2＝AD·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.(10分)B. 选修4-2：矩阵与变换解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，(4分) 设(x ，y )是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x ′，y ′)．则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，(6分) 所以x ′＝12x ，y ′＝2y ，且x ＝2x ′，y ＝12y ′，(8分)代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin2x ′，即y ′＝2sin2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x .(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23sin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，(3分) 所以x 2＋(y －3)2＝3.(5分) 设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，C(0，3)，PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12，(8分) 故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3，0)．(10分)D. 选修4-5：不等式选讲解：存在实数x 使f(x)＋g(x)>a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a ，(2分)因为f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，(4分)由柯西不等式：(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x)＝64，(7分) 所以f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，(9分) 故常数a 的取值范围是(－∞，8)．(10分)【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．22. 解：(1) 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，2)．∵ E 为AB 的中点，∴ E 点坐标为E(1，1，0)， ∵ D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23(1，1，－2)＝(23，23，－43)，DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0，0，2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43 ＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.(2分)设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1，0，－1)，(3分)设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1，1，1)，(4分) ∵n·p ＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0， ∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(5分)(2) 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，则 q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0，1，－1)，(7分) 设二面角A -DF -C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos θ＝－⎪⎪⎪⎪n·q |n |·|q |＝－0＋0＋12×2＝－12，(9分) ∴二面角A -DF -C 的大小为120°.(10分)23. 解：(1) 杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0，1，2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C k nC k ＋1n ＝k ＋1n －k ＝45，即么3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，(2分)解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62.(3分)即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(4分) (2) 若有n ，r(n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列，则2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n ， 即2·n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＝n ！r ！（n －r ）！＋n ！（r ＋2）！（n －r －2）！，2·n ！（r ＋2）！（n －r －2）！＝n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＋n ！（r ＋3）！（n －r －3）！.(6分)所以有2（r ＋1）（n －r －1）＝1（n －r －1）（n －r ）＋1（r ＋1）（r ＋2），2（r ＋2）（n －r －2）＝1（n －r －2）（n －r －1）＋1（r ＋2）（r ＋3），经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r(r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0. 两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列，(8分)而由二项式系的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3<C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3， 这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．(10分)。