23等差数列的前n项和
等差数列的前n项和 课件
典例导悟
类型一 等差数列前n项和公式的基本运算 [例1] 分别按等差数列{an}的下列要求计算： (1)已知a1 005＝411，求S2 009； (2)已知d＝2，S100＝10 000，求an.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a1＋a2 009＝2a1 005；②an＝a1＋(n－1)d. 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利 用等差数列的性质解题．
[解] (1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2
009＝2
009a1＋a2 2
009＝2
009a1
005＝2
009×411＝49.
(2)由S100＝100a1＋
100×100－1 2
×2＝10
000，解得a1
＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
[点评] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中 可知三求二．即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知 三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立 得方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法， 在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 运用．
(2)当已知首项a1，末项an，项数n时用公式Sn＝
na1＋an 2
求和，用此公式时，有时要结合等差数列的性
质．
(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋ nn－2 1d求和．
4．数列前n项和Sn与通项an的关系是怎样的？
提示：∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∴Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)． 在n≥2的条件下，把上面两式相减可得an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1，所以an与Sn有如下关系： an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2.
2.3等差数列的前n项和(一)
§2.3 等差数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路(重点)；2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个(重、难点).预习教材P42－43完成下列问题： 知识点一 数列a n 与前n 项和S n 的关系 1.数列的前n 项和的概念一般地，我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .2.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系当n ≥2时，有S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1，所以S n －S n －1＝a n ； 当n ＝1时，a 1＝S 1.综上可得a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【预习评价】1.利用数列的前n 项和S n 求数列的通项公式时，能不能直接运用S n －S n －1＝a n 求解？提示 不能.因为当n ＝1时，S 1－S 0没有意义. 2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n? 提示 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.知识点二 等差数列的前n 项和公式 1.等差数列的前n 项和公式2.两个公式的关系：把a n ＝a 1＋(n －1)d 代入S n ＝1n 2中，就可以得到S n＝na 1＋n （n －1）2d .【预习评价】1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？提示 不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.2.能否用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？提示 由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]. 两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )×n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ， 代入上式可得S n ＝na 1＋n （n －1）2d .知识点三 等差数列前n 项和的性质 1.若数列{a n }是公差为d的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2.若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3.设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.4.若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)， S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5.若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1.【预习评价】1.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A .－2 B.－1 C .0D.1解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 答案 B2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( )A .1 B.－1 C.2D.12解析 由于S 2n －1＝(2n －1)a n ，则， S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 答案 A题型一 数列的前n 项和S n 与通项a n 之间的关系【例1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋12n (n －1)d (d 为常数).求证：数列{a n }是等差数列.证明 根据S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， a n ＋1＝S n ＋1－S n＝(n ＋1)a 1＋12(n ＋1)[(n ＋1)－1]·d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋12n （n －1）d＝a 1＋nd .① 当n ＞1时， a n ＝S n －S n －1＝na 1＋12n (n －1)d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）a 1＋12（n －1）（n －2）d＝a 1＋(n －1)d ，当n ＝1时，a 1＝S 1，适合此式. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *).∴a n ＋1－a n ＝(a 1＋nd )－[a 1＋(n －1)d ]＝d (常数)，对任意n ∈N *成立. ∴数列{a n }是等差数列.规律方法 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示.【训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ＞1)， 当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列.题型二 等差数列前n 项和的有关运算 【例2】 在等差数列{a n }中， (1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（4＋a 8）2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.规律方法 等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.【训练2】 在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10； (2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解(1)⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.【例3】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A.13 B.35 C.49D.63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A.7B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S nn }的前10项的和为________.解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.(3)∵S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2).∴S nn ＝n ＋2，∴数列{S nn }是以首项为3，公差为1的等差数列，∴{S nn }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 答案 (1)C (2)D (3)75【迁移1】 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值.解 法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列， ∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n . 又S n T n ＝2n ＋13n －2，∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R . ∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1) ＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)， b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5) ＝t (6n －5)(n ≥2).∴a n b n ＝t （4n －1）t （6n －5）＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 【迁移2】 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________.解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列， 则S 9T 9＝9a 59b 5＝2×5＋13×5－2＝1113.答案1113规律方法 等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解.(2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S nn ＝an ＋b (a ≠0)进行计算. (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解.课堂达标1.在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A.12 B.24 C.36D.48解析 S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案 B2.记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6D.7解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.法二 由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 答案 B3.等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156， ∴4(a 1＋a n )＝280， ∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n （a 1＋a n ）2＝n2×70＝210，∴n ＝6.答案 B4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________. 解析 ∵a 24＝0，∴a 1<0，a 2<0，…，a 23<0，故S 23＝S 24最小. 答案 23或245.已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×n （n －1）2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解之得n ＝12或n ＝－5(舍去).(2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1－512）2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ， 解之得d ＝－171.课堂小结1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3.本节基本思想：方程思想、函数思想、整体思想、分类讨论思想.基础过关1.已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36D.45解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36. 答案 C2.等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12B.2C.14D.4解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋12×5×4d ，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.答案 A3.已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10为( )A.－9B.－11C.－13D.－15解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10（a 3＋a 8）2＝10×（－3）2＝－15. 答案 D4.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.解析 S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19（a 10＋a 10）2＝19a 10＝19×10＝190. 答案 1905.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案 136.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.7.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解 法一 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎨⎧10a 1＋10（10－1）2d ＝100，100a 1＋100（100－1）2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150. ∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110. 法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.能力提升8.在等差数列{a n }中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为( )A.9B.10C.11D.12解析 由题意及等差数列的性质可得4(a 1＋a n )＝20＋60＝80，∴a 1＋a n ＝20.∵前n 项之和是100＝n （a 1＋a n ）2，解得n ＝10，故选B. 答案 B9.等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15＝90，则a 8等于( )A.452B.12C.6D.454解析 在等差数列{a n }中， ∵S 15＝90，由S 15＝15a 8＝90，得a 8＝6.故选C.答案 C10.已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝43，则S 9等于________.解析 由等差数列的求和公式可得：S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9（a 2＋a 8）2＝9×432＝6. 答案 611.含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________.解析 S 奇＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2，S 偶＝n （a 2＋a 2n ）2. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n . 答案 n ＋1n12.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝32n －n 2＋1，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前多少项和最大.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝32－1＋1＝32；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(32n －n 2＋1)－[32(n －1)－(n －1)2＋1]＝33－2n ；所以：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，33－2n ，n ≥2；(2)S n ＝32n －n 2＋1＝－(n 2－32n )＋1＝－(n －16)2＋162＋1；所以，前16项的和最大.13.(选做题)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n ＋5(n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{a n }的前n 项和；(2)求数列{b n }的通项公式. 解 (1)∵a n ＝6n ＋5(n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)＋5]－(6n ＋5)＝6(n ∈N *). ∴数列{a n }是以公差为6的等差数列. 又∵a 1＝11，∴数列{a n }的前n 项和：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n [11＋（6n ＋5）]2＝3n 2＋8n . (2)∵a n ＝b n ＋b n ＋1， ∴a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＝11，b 2＋b 3＝17. 设数列{b n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2b 1＋d ＝11，2b 1＋3d ＝17，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3. ∴数列{b n }的通项公式：b n ＝3n ＋1.。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
7.等差数列的前n项和 -
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10， 则S6等于 ( )
A．12
C．24 答案：C
B．18
D．42
2．已知一个等差数列 {an } 前10项的和是310，前20项的 和是1220.求前30项的和
a1 a2 a10 a11 a12 a20 a21 a22 a30
巩固练习：
1. 3 ．一个有 11 项的等差数列，奇数项之和为 30，则它的
中间项为( D ) A．8 B ．7 C．6 D．5
2．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的 和为512，偶数项的和为480，则中间项为( c ) A．30 B．31 C．32 D．33
3．等差数列{an}的公差d＝1/2 且S100＝145， 则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( A．52.5 B．72.5
，
10a1＋45d＝35 a1＝－10 即 ，解得 . 22a1＋231d＝473 d＝3
nn－1 nn－1 3 ∴ Sn＝ na1＋ d＝－ 10n＋ ×3 ＝ 2 2 2 23 n － n. 2
2
2． 等差数列前n项和的性质
(1)数列{an}是公差为 d
d 列，且公差为 2 .
3．等差数列前n项和Sn的最值求法 等差数列的前n项和的最值问题一般采用二次函数 配方法解决，要特别注意n为正整数，当配方后对称轴 不是正整数时，它一定在两个正整数中间，离哪个较
2.3等差数列的n项和公式
1．等差数列{an}
核心知识点
(1)定义式：an＋1－an＝d 或 an－an-1＝d (n>1，d 为常数)． (2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d . (3)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N＋，n≥2)． (4)性质：①an＝am＋ (n－m)d
ab 若a，A，b成等差数列， 2 A a b或A 则 2
一般地，我们称a1 a2 a3 an为数列an 的前n项和.
数列的前n项和
记作：Sn a1 a2 a3 an
如：S5 a1 a2 a3 a4 a5 S10 a1 a2 a3 a10 Sn-1 a1 a2 a3 an（n>1) -1
高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德，被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。
求 S=1+2+3+···+100=？ ··· 高斯算法：
首项与末项的和：
第2项与倒数第2项的和：
你知道是怎么 计算的吗？
1＋100＝101，
2＋99 =101，
17 (1)d , n 27 13 (2)a1 11, an 23
例3 等差数列-10，-6，-2，2， …的前多少项的 和为54？
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn.
则a1＝-10，d＝-6-（-10）＝4，Sn＝54.
由等差数列前n项和公式，得
n(n 1) 10 n 4 54. 2
结论：知 三 求 二
举例
例1:根据题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn
(1)a1 5, an 95, n 10;
高中数学：第二章 2.3 等差数列的前n项和
等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n(a1＋a n)2S n＝na1＋n(n－1)2d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和()(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式()(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1()解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.★答案★：(1)√(2)×(3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.★答案★：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，a n和S n，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q，常与求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用．[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.已知S n求a n问题[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式， 所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [★答案★] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.★答案★：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .★答案★：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. ★答案★：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． ★答案★：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1， 则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ， 又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＝22，5a 3＝45， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.★答案★：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.★答案★：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。
第4章 4.2.2 等差数列的前n项和公式(第1课时)
等差数列的前n 项和公式(第1课时)素养目标学科素养1.掌握等差数列前n 项和公式的推导方法．(难点)2．掌握等差数列的前n 项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点) 3．掌握等差数列的前n 项和的简单性质．(重点、难点)1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学高斯在10岁时就发现了1＋2＋3＋…＋100的求和规律，而这正是等差数列前n 项和的算法．1．等差数列前n 项和 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2.(1)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a 3＝7，公差d ＝2，则S 20＝440. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 1＝2，a n ＝10，S n ＝72，则n ＝12. 2．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 6，S 12，S 18也成等差数列．(×) (2)若等差数列{a n }共有20项，则S 奇S 偶＝a 8a 10.(×)1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差d ＝－2.若S 10＝S 9，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24A 解析：∵S 10＝S 9，∴S 10－S 9＝0，即a 10＝0. ∵a 10＝a 1＋9d ＝a 1－18＝0，∴a 1＝18.2．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 30＝30，则S 30的值为( ) A ．456 B ．465 C ．930D ．654B 解析：S 30＝30×(a 1＋a 30)2＝30×(1＋30)2＝465.3．等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48B 解析：∵S 10＝10×(a 1＋a 10)2＝120，∴a 1＋a 10＝24.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列{a n }的通项a n ＝________.2n 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝12，S 3＝3a 1＋3d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .5．在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________. 15 解析：∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴2×5＝4＋(S 6－9)，∴S 6＝15.6．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，那么数列{a n }的前11项和等于________． 22 解析：因为数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，所以数列{a n }的前11项和S 11＝(a 1＋a 11)×112＝(a 3＋a 9)×112＝22.【例1】(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 9＝________. (2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. (3)在等差数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，则公差d ＝________.(1)81 (2)15 (3)－171 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝1＋3d ＝7，所以d ＝2.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9＋9×82×2＝81.(2)设等差数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3×22d ＝3，S 6＝6a 1＋6×52d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. (3)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.【例2】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63C 解析：∵a 2＋a 6＝a 1＋a 7＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要注意等差数列性质的应用．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a 12；(2)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求d ；(3)S 5＝24，求a 2＋a 4.解：(1)由题意知S n ＝n ×32＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.(3)(方法一)设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则 S 5＝5a 1＋5×(5－1)2d ＝24，即得5a 1＋10d ＝24，∴a 1＋2d ＝245，a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.(方法二)由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝24，得a 1＋a 5＝485.∴a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝485.探究题1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝310，S 20＝1 220，求S 30. 解：(方法一)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧10a 1＋12×10×9×d ＝310，20a 1＋12×20×19×d ＝1 220，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S 30＝30×4＋12×30×29×6＝2 730.(方法二)∵数列{a n }为等差数列， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，即2×(1 220－310)＝310＋S 30－1 220， ∴S 30＝2 730.(方法三)设S n ＝A n 2＋B n (A ，B 为常数)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 310＝100A ＋10B ，1 220＝400A ＋20B ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴S n ＝3n 2＋n .∴S 30＝3×900＋30＝2 730.(方法四)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得S n n ＝a 1＋(n －1)d 2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，d2为公差的等差数列，∴S 1010，S 2020，S 3030成等差数列， ∴S 1010＋S 3030＝2×S 2020， ∴S 30＝30⎝⎛⎭⎫S 2010－S 1010＝30×(122－31)＝2 730.探究题2 项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)(n ＋1)12(a 2＋a 2n )n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43.∴n ＝3.∵S 奇＝(n ＋1)a n ＋1＝44， ∴a n ＋1＝11.∴这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7(项)．(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. (2)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(4)若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1.设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－2，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，a 1＝－2， ∴7＝7×(－2)＋7×62d ，解得d ＝1.∴a n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.(2)S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)＝n －52， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12.又S 11＝a 11＝－2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .1．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 5＝20，则{a n }的前6项的和为( ) A ．30 B ．40 C ．50D ．60D 解析：因为数列{a n }是公差不为0的等差数列， 且a 2＋a 5＝20，所以a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝20，则S 6＝a 1＋a 62×6＝202×6＝60.故选D ．2．若等差数列的前两项分别为1,3，则该数列的前10项和为( )A ．81B ．90C ．100D ．121C 解析：因为公差d ＝3－1＝2，所以该数列的前10项和为10×1＋10×92×2＝100.故选C ．3．记S n 为等差数列{a n }的前5项和为S 5＝25，a 3＋a 7＝18，则{a n }的公差d 等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2D 解析：根据题意，等差数列{a n }中，若S 5＝25，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝25，则a 3＝5.又由a 3＋a 7＝18，则a 7＝13，则等差数列{a n }的公差d ＝a 7－a 34＝2.故选D ．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝36，则a 3＋a 7＝( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．24B 解析：由S 9＝36，即9(a 1＋a 9)2＝36得a 1＋a 9＝8，故a 3＋a 7＝a 1＋a 9＝8.故选B ．5．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝6，a 9＝17. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，(1)因为a 1＋a 3＝2a 2＝6，所以a 2＝3，所以d ＝a 9－a 29－2＝17－39－2＝2，则a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3＋(n －2)×2＝2n －1. (2)a 1＝1，S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝n 2.1．(1)由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中的三个便可求出其余的两个，即“知三求二”．(2)在运用等差数列的前n 项和公式求和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，则用公式S n ＝n (a 1＋a n )2较简便；若已知a 1及公差d ，则用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 较好．(3)在运用公式S n ＝n (a 1＋a n )2求和时，要注意性质“m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ”的运用．2．等差数列的前n 项和S n 的有关性质在解题过程中如果运用得当，可以化繁为简，化难为易．课时分层作业(五)等差数列的前n 项和公式(第1课时)(60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等差数列的前n 项和公式1．(5分)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15B 解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 5＝5a 1＋10d ＝25，a 2＝a 1＋d ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. ∴a 7＝a 1＋6d ＝13.2．(5分)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176B 解析：S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 4＋a 8)2＝88.3．(5分)设等差数列{a n }的前10项和为20，且a 5＝1，则{a n }的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4B 解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 10＝10a 1＋45d ＝20，a 5＝a 1＋4d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－7，d ＝2.4．(5分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，S 5＝60，则a 5＝( ) A ．16 B ．20 C ．24D ．26A 解析：设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5， ∴3a 1＋3d ＝2a 1＋7d ，∴a 1＝4d . 又∵S 5＝5a 1＋10d ＝30d ＝60， ∴d ＝2，∴a 1＝8.∴a 5＝a 1＋4d ＝16.5.(5分)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝________. 10 解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14，∴d ＝2， ∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，即n 2＝100，解得n ＝10或n ＝－10(舍)．知识点2 等差数列前n 项和性质的应用6．(5分)含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A ．2n ＋1nB ．n ＋1nC ．n －1nD ．n ＋12nB 解析：∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2，又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B ．7．(5分)已知一个有限项的等差数列{a n }，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为( )A ．12B ．14C ．16D ．18B 解析：由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，两式相加得a 1＋a n ＝30.又因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝30n 2＝210，所以n ＝14. 8.(5分)在等差数列{a n }中，S 3＝30，S 6＝100，则S 9＝________. 210 解析：∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即30,70，S 9－100成等差数列，∴140＝30＋S 9－100，∴S 9＝210.9.(5分)在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝________. －11 解析：由题意知，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，首项为a 11＝－11， 设公差为d ，则S 1010－S 88＝2d ＝2，∴d ＝1， ∴S 1111＝－11＋10×1＝－1.∴S 11＝－11. 能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)(多选)数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则( )A ．a 1＝1B ．d ＝－23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40ACD 解析：设数列{a n }的公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2，解得a 1＝1.又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.由{a n }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10.11．(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝12，则S 13等于( )A ．52B ．54C ．56D ．58A 解析：∵a 3＋a 7＋a 11＝12，∴a 7＝4，∴S 13＝13·(a 1＋a 13)2＝13a 7＝52. 12．(5分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( ) A ．310B ．37C ．13D ．12A 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 4S 8＝4a 1＋6d 8a 1＋28d ＝13，∴a 1＝52d . ∴S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝48d 160d ＝310. 13.(5分)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.5 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.14.(5分)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等差中项为________．－6 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 9＝9a 1＋36d ＝－36，S 13＝13a 1＋78d ＝－104， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－2. ∵a 5与a 7的等差中项为a 6，∴a 6＝4＋5×(－2)＝－6.15.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，d ＝12，a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________. 2 3 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)×12＝3，S n ＝na 1＋n (n －1)4＝152，得n 2－13n ＋30＝0，∴n ＝3或n ＝10.又当n ＝3时，a 1＝2>0；当n ＝10时，a 1＝－32<0，不合题意，舍去， 故a 1＝2，n ＝3.16.(12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝2n ＋10.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2＋11n . 令n 2＋11n ＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去).17.(13分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 2＝2，S 3＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(2)是否存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，说明理由． 解：(1)设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4.d ＝－6， ∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝7n －3n 2. (2)存在．S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6. S n ＋2＝7(n ＋2)－3(n ＋2)2＝－3n 2－5n ＋2， 2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4. 若存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，∴存在n＝5，使S n，S n＋2＋2n，S n＋3成等差数列．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们 出了一道 题：计算从1到100的自然数之和。那个 老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间， 所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师， 我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪最 小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上 写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓 励他，老师买了一本数学书送给他。
n(a1 an ) (1) 2
思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？
Sn
na1
n(n 1) 2
d (2)
等差数列的前n项和公式的其它形式
Sn
n（a1 2
an )
an a1(n1)d
Sn
na1
n（n 1) 2
d
分析公式的结构特征
举例
例:等差数列－10,－6,－,2,…的前多少项的和为54？
解得
a 4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
4、S K，S2K
S K，S3K
S2 K，S4 K
S3
，
K
也成等差数列
作业
P.52 练习1、2、3
S14
2
735.
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
3、 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它 们的比是3：4：5.
证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列，
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
由勾股定理，得到
(a d)2 a2 (a d)2
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54. 由等差数列前n项和公式，得
10n n(n 1) 4 54 2
解得 n1＝9，n2＝－3（舍去）. 因此，等差数列的前9项和是54.
1.an＝？ an = 4n-14 2. Sn呢？ Sn = 2n2-12n
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
问题2
• 如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层 的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多 少根圆木？请用简便的方法计算.
数列前n 项和的意义
数列｛ an ｝： a1， a2 ， a3 ，…， an ，… 我们把 a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an 叫做数列｛ an ｝ 的前n项和，记作Sn
Sn的深入认识
an an = 4n-14
Sn = 2n2-12n Sn
O
6n
O
n
课外探索
1、已知等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大？
2、 求集合 M m | m 7n, n N,且m 100
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的元素个数，并求这些元素的和.
思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出 它的值呢？
问题1
1.计算：1 2 3 99 100 100 ＋99＋98＋ …＋2 ＋1
1 2 3 99 100 100 (1100) 5050 2
2.计算：
1 2 3 (n 1) n n＋(n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
公式的推导
设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]
又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]
∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)
此种求 和法称 为倒序 相加法
=n(a1+an) n个
Sn
解：7n 100 n 100 14 2
7
7
所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出，得
7,27, 37, 47, , 147,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14 14 (7 98)
Sn
n（a1 2
an )
P43，例1
思考：对于等差数列的相关量a1,an,d,n,sn,已 知几个就可以确定其他的量？
知三求二 练习：P45，1
利用sn 求an
练习：P45，2，3
作业：P46，1（1）（3），2（1）（4），4 选做： P46，6 做在课本上：P46的其他题 课后证明：若sn是等差数列{an}的前n项和，求证： sk,s2k-sk,s3k-s2k也成等差数列。