2020年高考数学考点22等差数列及其前n项和

考点22等差数列及其前n项和
、选择题
1. （2020 •江西高考文科・T5）设｛a n｝为等差数列，公差d 2, S n为其前n项和，若Sw 和，则a i
【思路点拨】首先求出a ii，再根据等差数列的通项公式求a i。

【精讲精析】选B.
由S io S ii得，S I I-S I Q =a ii 0,又因为d 2,
a1 a11 10d 0 10 （ 2） 20.
2. （2020 •陕西高考文科・T10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵
树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）
（A）①和？（B）⑨和⑩ （C）⑨和？（D）⑩和？
【思路点拨】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论.
【精讲精析】选D （方法一）
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两
端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。

树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是
10 (1 2 L 19)
19（1 19）
2 10 2 3800 ;树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程
2
总和是10 (1 2 L9) 2 10 (1 2 L 10) 2
9 (1 9)
10 2
2
10 (1 10) 10 2
2
900 1100 2000
A. 18 B . 20 C . 22 D . 24
g i (20 i)
2 (20 i)(i 1
2
所以路程总和最小为2000米.
二、填空题
3. （2020 •辽宁高考文科・T 15）S为等差数列｛a n｝的前n项和，S2S6, a4 1，则a5 ______________ 【思路点拨】可利用等差数列的下标性质，迅速求解.
【精讲精析】答案：1.T S2 S5 ,即S6 S2 0.
二a3 a4 a5 a6 0 •由下标性质知：2® a5） 0,
• a4 1，—a5 1 .
4. （2020 •广东高考理科• T 11）等差数列a n前9项的和等于前4项的和.若a1 1,a k a4 0,则k
【思路点拨】利用等差数列前n项和公式求得公差d，然后再由a k a4 0求得k的值•
【精讲精析】答案：10.由题意得9 1竽d 4 1害d，解得d 1 .则a k 1 （k 1）（ 1） 1k 7，
2 2 6 6 6 6 a4 13（1）1.由a k a4 0 得1k 7 1 0，解得k 10.
6 2 6 6 2
5. （2020 •湖南高考理科・T12 ）设S n是等差数列｛a n｝（n N*）的前n项和，且a11,a47,则S5 _________ .
【思路点拨】本题主要考查等差数列的基本公式：通项公式和求和公式.
5 4
【精讲精析】答案：25.由a1 1,a4 7得到公差d=2，则S5 = 5 1 2 25.
2
6. （2020 •陕西高考理科・T14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_________________________________ （米）.
【思路点拨】把实际问题转化为数学模型，然后列式转化为函数的最值问题.
【精讲精析】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图）
J J
1 1 ----------- 1--------- l------- X
------- 1I |
1 1 1 1 1 1 1 T
11 1 1 1
1 2 …i …19 20
那么各个树坑到第i个树坑距离的和是
(i i) 10 [(i 1) i] 10 L (20 i) 10 s (i 1) 10 (i 2) 10 L
20) 10 [i i
10(i2 21i 210)，当i 10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米•(方法二)根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两
端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总
和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。

树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是
10 (1 2 L 19) 2
19(1 19)
10 2 3800 ；树苗放在第10个(或第11个)树坑旁边时，路程总和是
2
10 (1 2 L 9) 10 (1 2 L 10) 2
9 (1 9) 10 (1 10)
10 2 10 2 900 1100 2000，所以路程总和最小为2000米.
2 2
【答案】2000
7. (2020 •天津高考文科11)已知｛a n｝为等差数列，S n为其前n项和，n N* ,
若33 =16, S20 = 20,则S。

的值为—r—
【思路点拨】联立33,S20求出首项和公差•代入求和公式计算•
【精讲精析】答案：110.
由题意可得：
3 2d 16
“““ “31 20,d 2, Sw 10a1 45d 110
20a1190d 20
三、解答题
8. (2020 •福建卷文科17)已知等差数列｛a n｝中，31=1, 33=-3.
(1)求数列｛a n｝的通项公式；
(II )若数列｛a n｝的前k项和£ =-35，求k的值.
【思路点拨】(1)通过a n a1 (n 1)d来求a n；
(2)表示S k，建立方程S k 35，解方程得k的值.
【精讲精析】(1)设等差数列｛a n｝的公差为d，则a n a1 (n 1)d .
由a1 1,a3 3可得1 2d 3，解得d 2.
从而a n 1 (n 1) ( 2) 3 2n.
(2)由(1)可知a n 3 2n ,
n[1 (3 2n)] 2 丄"口2所以S n 2n n •由S k 35 可得2k k 35,
2
2
即k 2k 35 0,解得k 7或k 5.
又k N ,故k 7.。