第二章概念答案
操作系统第二章课后答案

第二章进程管理2、试画出下面4条语句的前趋图:S2: b:=z+1;S3: c:=a-b;S4: w:=c+1;3、程序在并发执行时,由于它们共享系统资源,以及为完成同一项任务而相互合作,致使在这些并发执行的进程之间,形成了相互制约的关系,从而也就使得进程在执行期间出现间断性。
4、程序并发执行时为什么会失去封闭性与可再现性?因为程序并发执行时,就是多个程序共享系统中的各种资源,因而这些资源的状态就是由多个程序来改变,致使程序的运行失去了封闭性。
而程序一旦失去了封闭性也会导致其再失去可再现性。
5、在操作系统中为什么要引入进程概念?它会产生什么样的影响?为了使程序在多道程序环境下能并发执行,并能对并发执行的程序加以控制与描述,从而在操作系统中引入了进程概念。
影响: 使程序的并发执行得以实行。
6、试从动态性,并发性与独立性上比较进程与程序?a、动态性就是进程最基本的特性,可表现为由创建而产生,由调度而执行,因得不到资源而暂停执行,以及由撤销而消亡,因而进程由一定的生命期;而程序只就是一组有序指令的集合,就是静态实体。
b、并发性就是进程的重要特征,同时也就是OS的重要特征。
引入进程的目的正就是为了使其程序能与其它建立了进程的程序并发执行,而程序本身就是不能并发执行的。
c、独立性就是指进程实体就是一个能独立运行的基本单位,同时也就是系统中独立获得资源与独立调度的基本单位。
而对于未建立任何进程的程序,都不能作为一个独立的单位来运行。
7、试说明PCB的作用?为什么说PCB就是进程存在的唯一标志?a、PCB就是进程实体的一部分,就是操作系统中最重要的记录型数据结构。
PCB中记录了操作系统所需的用于描述进程情况及控制进程运行所需的全部信息。
因而它的作用就是使一个在多道程序环境下不能独立运行的程序(含数据),成为一个能独立运行的基本单位,一个能与其它进程并发执行的进程。
b、在进程的整个生命周期中,系统总就是通过其PCB对进程进行控制,系统就是根据进程的PCB而不就是任何别的什么而感知到该进程的存在的,所以说,PCB就是进程存在的唯一标志。
物理八年级上第一章 第二章知识点汇总及习题册(含答案)

第一章 机械运动知识点1.长度的测量1. 长度单位及换算常用的长度单位由大到小排列为km 、m 、dm 、cm 、mm 、µm 、nm .记忆它们之间的换算关系时,有以下方法:按单位的大小顺序记忆:先记住长度单位大小的排列顺序;再记住相邻单位之间的换算关系(如下图所示);需进行单位换算时,根据上图便可算出所需换算的两单位之间换算关系:如要知道km 与cm 之间的换算关系,则可由图得出:3113+1+151km=101010cm=10cm=10cm ⨯⨯;又如要知道nm 与dm 之间的换算关系,则可由图得出:3311331181nm=10101010dm=10dm=10dm ---------⨯⨯⨯.知识点2.正确选择、使用刻度尺、认识长度 测量长度的工具是刻度尺。
(1)使用刻度尺测量物体长度前,首先要弄清刻度尺的量程、分度值和零刻线的位置。
(2)选择刻度尺时应根据测量的要求来选择。
(例如:要测量一支钢笔的长度,精确到mm ,则可选用分度值是1mm 、量程是150mm 左右的刻度尺;而在体育课上要测量跳远的长度,则可选用分度值是1cm 的皮卷尺。
)(3)使用刻度尺测量物体长度时,刻度线要紧贴被测物体,被测长度的一端要与刻度尺的零刻线对齐(若零刻线已磨损,则选择刻度尺上另一完好的刻度线),读数时视线要与尺面垂直,且正对刻度线读数。
知识点3.测量结果的记录 测量结果是由数字和单位组成的。
其中数字部分由准确值加上一位估计值组成。
测量结果在书写的时候一定要估读到分度值的下一位。
知识点4.实验误差(1)误差与错误:首先误差不是错误。
错误,是指由于实验方法不正确或实验时违反操作造成的,错误是能够避免的。
误差,是指测量值与真实值之间的差异。
我们不能消除误差,只能尽量减小误差。
错误与误差的最大区别是,错误可以避免,误差不能消除。
(2)误差产生的原因3种:测量仪器不够精密、测量方法不够完善、测量的人为因素。
第二章 复习思考题

第二章:复习思考题答案要点1.景区产品的概念如何理解?答案要点:旅游景区产品(Product of Tourism Attraction )从狭义讲,景区产品是一种单项旅游产品,是旅游景区借助一定的资源、设施而向旅游者提供的有形产品和无形产品的总和。
从广义来讲,景区产品是多种单项旅游产品的组合,旅游产品所包含的4As——旅游资源(Attraction),交通运输设施和服务(Access),住宿、餐饮、娱乐、零售等旅游生活设施和相应服务(Amenities)辅助设施。
2.试阐述景区产品的特点?答案要点:主要从7个方面理解:(1)不可检验性。
(2)生产与消费的同步性。
(3)不可储存性。
(4)不可移动性。
(5)季节性。
(6)脆弱性。
(7)共享性。
3.为什么说景区产品是一种准公共产品?结合景区经营权和管理权等问题加以阐述。
答案要点:景区产品是一种准公共产品的特征主要从景区产品的排他性和非竞争性两方面分析(课本第29页)。
排他性问题要从景区日常经营的门票制度来分析,最好能引导学生分析景区门票“涨声一片”与准公共产品经营权和管理权之间的矛盾和可能的解决方法。
4.整体产品有哪3个层次构成?景区产品的构成如何?答案要点:整体产品是指核心产品、有形产品和扩展产品3个层次;景区产品的构成包括:(1)旅游景区吸引物-核心产品(2)旅游景区活动项目-有形产品(3)旅游景区管理和服务——扩展产品。
5.试以博物馆为例说明景区产品的生命周期理论。
答案要点:引导学生分析某一类型博物馆游客流量变化和时间变化之间的关系,分析课本图2-7博物馆生命周期曲线存在的可能性及原因。
6.景区产品创新的方法有哪几种?结合案例说明。
答案要点:景区产品创新的方法有主题创新、结构创新、功能创新,详细内容参见课本40页。
引导学生列举不同创新方法的景区产品。
大学物理学(第三版)第二章课后答案

习题22.1选择题(1) 一质点作匀速率圆周运动时,(A)它的动量不变,对圆心的角动量也不变。
(B)它的动量不变,对圆心的角动量不断改变。
(C)它的动量不断改变,对圆心的角动量不变。
(D)它的动量不断改变,对圆心的角动量也不断改变。
[答案:C](2) 质点系的内力可以改变(A)系统的总质量。
(B)系统的总动量。
(C)系统的总动能。
(D)系统的总角动量。
[答案:C](3) 对功的概念有以下几种说法:①保守力作正功时,系统内相应的势能增加。
②质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零。
③作用力与反作用力大小相等、方向相反,所以两者所作功的代数和必为零。
在上述说法中:(A)①、②是正确的。
(B)②、③是正确的。
(C)只有②是正确的。
(D)只有③是正确的。
[答案:C]2.2填空题(1) 某质点在力(SI)的作用下沿x轴作直线运动。
在从x=0移动到x=10m的过程中,力所做功为。
[答案:290J](2) 质量为m的物体在水平面上作直线运动,当速度为v时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动,经过距离s后速度减为零。
则物体加速度的大小为,物体与水平面间的摩擦系数为。
[答案:](3) 在光滑的水平面内有两个物体A和B,已知m A=2m B。
(a)物体A以一定的动能E k与静止的物体B发生完全弹性碰撞,则碰撞后两物体的总动能为;(b)物体A 以一定的动能E k与静止的物体B发生完全非弹性碰撞,则碰撞后两物体的总动能为。
[答案:]2.3 在下列情况下,说明质点所受合力的特点:(1)质点作匀速直线运动;(2)质点作匀减速直线运动;(3)质点作匀速圆周运动;(4)质点作匀加速圆周运动。
解:(1)所受合力为零;(2)所受合力为大小、方向均保持不变的力,其方向与运动方向相反;(3)所受合力为大小保持不变、方向不断改变总是指向圆心的力;(4)所受合力为大小和方向均不断变化的力,其切向力的方向与运动方向相同,大小恒定;法向力方向指向圆心。
第二章经济活动区位及影响因素分析习题及参考答案

第二章经济活动区位及影响因素分析1.概念题区位:是人类活动(人类行为)所占有的场所。
区位主体:区位中占有场所的事物。
区位理论:是关于区位即人类活动所占有的场所的理论。
区位条件:区位(场所)所特有的属性或资质。
区位因子:是指影响区位主体分布的原因。
交通网:由交通接点和交通路线组成的地理网络。
交通网的密度:是指在某一区域内单位面积的运输线路的总长度。
通达性:是衡量网络中点之间移动的难易程度的指标,可以用通达指数和分散指数来衡量。
连接度:表示交通网络的发达程度。
2.简述古典区位理论与现代区位理论的区别。
答:古典区位论与现代区位的主要区别在于立论依据以及考虑问题的范围和内容的不同。
在区位目标上,古典区位理论仅考虑利润(或成本),而现代区位理论还要额外考虑到非金钱收益和“满足”的需要;在具体目标上,古典区位理论缺乏或轻视区位选择的具体目标,而现代区位理论则有市场占有率、吸引与稳定人才、形象、名声、市场测试、回避汇率风险、收集信息、避免贸易摩擦等多种具体目标;另外,古典区位理论的区位选择基准是成本最小,而现代区位理论则要考虑前述具体目标中的风险及不确定性。
3.简述区位条件与区位因子的区别。
答:区位条件是相对于区位而言由于场所不同而导致的生产条件不同;区位因子则是对于生产者(区位主体)而言,由于场所不同而造成的生产条件的不同,所表现出其生产费用或利益的差异。
4.试述土地对经济活动区位的影响。
答:土地作为生产要素之一,主要是通过自身的特性及其所处经济区位对经济活动发生影响的。
土地一般以两种基本方式参与经济活动。
一种是作为劳动对象,像农业生产活动,在这种土地利用形态中,土地的自然特性起着决定性的作用。
另一种是作为作业的空间或活动场所,像工业、交通以及城市建设土地利用等。
在这种土地利用形态中,土地所处的经济区位起着决定性的作用。
5.试述原材料对经济活动区位的影响。
答:原材料对于经济活动来说极其重要,它是经济活动尤其是生产活动所加工的对象。
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示学案文(含答案)

高考数学一轮总复习学案:第1讲函数及其表示1.函数与映射的概念函数映射两集合A,B 设A,B是两个非空的数集设A,B是两个非空的集合对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x)(x∈A)对应f:A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.[注意] 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.常用结论1.直线x =a (a 是常数)与函数y =f (x )的图象有0个或1个交点. 2.几个常用函数的定义域(1)分式型函数,分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.(3)f (x )为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f (x )=x 0,则定义域为{x |x ≠0}.(5)正切函数y =tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π+π2,k ∈Z .一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f (x )=x 2-2x 与g (t )=t 2-2t 是相等函数.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( )(3)若集合A =R ,B ={x |x >0},f :x →y =|x |,则对应关系f 是从A 到B 的映射.( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)对函数概念理解不透彻; (2)解分段函数不等式时忘记范围; (3)用换元法求解析式,反解时忽视范围.1.已知集合P ={x |0≤x ≤4},Q ={y |0≤y ≤2},下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________.(填序号)①f :x →y =12x ;②f :x →y =13x ;③f :x →y =23x ;④f :x →y =x .解析:对于③,因为当x =4时,y =23×4=83∉Q ,所以③不是函数.答案:③2.设函数f (x )=⎩⎨⎧(x +1)2,x <1,4-x -1,x ≥1,则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________.解析:因为f (x )是分段函数,所以f (x )≥1应分段求解.当x <1时,f (x )≥1⇒(x +1)2≥1⇒x ≤-2或x ≥0,所以x ≤-2或0≤x <1;当x ≥1时,f (x )≥1⇒4-x -1≥1,即x -1≤3,所以1≤x ≤10.综上所述,x ≤-2或0≤x ≤10,即x ∈(-∞,-2]∪[0,10].答案:(-∞,-2]∪[0,10]3.已知f (x )=x -1,则f (x )=________.解析:令t =x ,则t ≥0,x =t 2,所以f (t )=t 2-1(t ≥0),即f (x )=x 2-1(x ≥0). 答案:x 2-1(x ≥0)函数的定义域(多维探究) 角度一 求函数的定义域(1)已知函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数g (x )=f (2x -1)ln (1-x )的定义域是( )A .[0,1]B .(0,1)C .[0,1)D .(0,1](2)(2020·高考北京卷)函数f (x )=1x +1+ln x 的定义域是________. 【解析】 (1)由函数f (x )的定义域为[-1,1],得-1≤x ≤1,令-1≤2x -1≤1,解得0≤x ≤1,又由1-x >0且1-x ≠1,解得x <1且x ≠0,所以函数g (x )的定义域为(0,1),故选B .(2)函数f (x )=1x +1+ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠0,x >0,所以x >0,即定义域为(0,+∞).【答案】 (1)B (2)(0,+∞)求解函数定义域的策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题.在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域:①若y =f (x )的定义域为(a ,b ),则解不等式a <g (x )<b 即可求出y =f [g (x )]的定义域;②若y =f [g (x )]的定义域为(a ,b ),则求出g (x )在(a ,b )上的值域即得y =f (x )的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组),然后求解. [提醒] (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简. (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式. 角度二 已知函数的定义域求参数(1)如果函数f (x )=ln(-2x +a )的定义域为(-∞,1),那么实数a 的值为( )A .-2B .-1C .1D .2(2)若函数y =ax +1ax 2-4ax +2的定义域为R ,则实数a 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12B .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12C . ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12 D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,12 【解析】 (1)因为-2x +a >0, 所以x <a2,所以a2=1,所以a =2.(2)由ax 2-4ax +2>0恒成立, 得a =0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=(-4a )2-4×a ×2<0,解得0≤a <12. 【答案】 (1)D (2)D已知函数定义域求参数的取值范围,通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题,然后求得参数的值或范围.1.函数f (x )=3xx -1+ln(2x -x 2)的定义域为( )A .(2,+∞)B .(1,2)C .(0,2)D .[1,2]解析:选B .要使函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x -1>0,2x -x 2>0, 解得1<x <2. 所以函数f (x )=3xx -1+ln(2x -x 2)的定义域为(1,2).2.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[-3,3],则函数y =f (x )的定义域为________. 解析:因为y =f (x 2-1)的定义域为[-3,3],所以x ∈[-3,3],x 2-1∈[-1,2],所以y =f (x )的定义域为[-1,2].答案:[-1,2] 3.若函数y =mx -1mx 2+4mx +3的定义域为R ,则实数m 的取值范围是________.解析:因为函数y =mx -1mx 2+4mx +3的定义域为R ,所以mx 2+4mx +3≠0,所以m =0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0,Δ=16m 2-12m <0,即m =0或0<m <34, 所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,34.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,34求函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +1=lg x ,则f (x )的解析式为________________.(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2+1x2=x 4+1x4,则f (x )的解析式为________________.(3)若f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2,则f (x )的解析式为________________.(4)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,则f (x )的解析式为______________. 【解析】 (1)(换元法)令2x+1=t ,由于x >0,所以t >1且x =2t -1, 所以f (t )=lg2t -1, 即f (x )的解析式是f (x )=lg2x -1(x >1). (2)(配凑法)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2+1x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 22-2,所以f (x )=x 2-2,x ∈[2,+∞).(3)(待定系数法)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 又f (0)=c =3.所以f (x )=ax 2+bx +3,所以f (x +2)-f (x )=a (x +2)2+b (x +2)+3-(ax 2+bx +3)=4ax +4a +2b =4x +2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a =4,4a +2b =2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1,所以函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-x +3. (4)(解方程组法)因为2f (x )+f (-x )=2x ,① 将x 换成-x 得2f (-x )+f (x )=-2x ,② 由①②消去f (-x ),得3f (x )=6x , 所以f (x )=2x . 【答案】 (1)f (x )=lg 2x -1(x >1) (2)f (x )=x 2-2,x ∈[2,+∞) (3)f (x )=x 2-x +3 (4)f (x )=2x求函数解析式的4种方法(1)配凑法:由已知条件f [g (x )]=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),得f (x )的表达式.(2)换元法:已知复合函数f [g (x )]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围.1.(一题多解)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,则f (x )=_______. 解析:方法一(换元法):令2x +1=t (t ∈R ),则x =t -12,所以f (t )=4⎝ ⎛⎭⎪⎫t -122-6·t -12+5=t 2-5t +9(t ∈R ),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R ).方法二(配凑法):因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R ).方法三(待定系数法):因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c .因为f (2x +1)=4x 2-6x +5, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a =4,4a +2b =-6,a +b +c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-5,c =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R ). 答案:x 2-5x +9(x ∈R )2.已知函数f (x )满足2f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x=3x ,则f (x )=________________. 解析:因为2f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x=3x ,① 把①中的x 换成1x,得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +f (x )=3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =3x ,2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +f (x )=3x ,解此方程组可得f (x )=2x -1x(x ≠0).答案:2x -1x(x ≠0)3.已知函数f (x +1)=x +2x ,则f (x )的解析式为________________. 解析:方法一(换元法):设t =x +1,则x =(t -1)2,t ≥1,代入原式得f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-2t +1+2t -2=t 2-1.故f (x )=x 2-1,x ≥1.方法二(配凑法):因为x +2x =(x )2+2x +1-1=(x +1)2-1, 所以f (x +1)=(x +1)2-1,x +1≥1, 即f (x )=x 2-1,x ≥1. 答案:f (x )=x 2-1(x ≥1)分段函数(多维探究) 角度一 分段函数求值(1)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x,x ≤0,f (x -3),x >0,则f (5)的值为( )A .-7B .-1C .0D .12(2)若函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,则f [f (-9)]=________.(3)(2021·广东省七校联考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(3-x ),x ≤02x -1,x >0,若f (a -1)=12,则实数a =________.【解析】 (1)f (5)=f (5-3)=f (2)=f (2-3)=f (-1)=(-1)2-2-1=12.故选D .(2)因为函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,所以f (-9)=lg 10=1,所以f [f (-9)]=f (1)=-2.(3)当a -1≤0,即a ≤1时,log 2(4-a )=12,4-a =212,故a =4-212,不满足a ≤1,舍去.当a -1>0,即a >1时,2a -1-1=12,2a -1=32,解得a =log 23,满足a >1.综上可得a =log 23.【答案】 (1)D (2)-2 (3)log 23分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f [f (a )]的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.角度二 分段函数与方程(1)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +a ,x <0,3x ,x ≥0,若f [f (-1)]=9,则实数a =( )A .2B .4C .133D .4或133(2)已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +1,-1<x <0,2x ,x ≥0,若实数a 满足f (a )=f (a -1),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =( )A .2B .4C .6D .8【解析】 (1)因为-1<0,所以f (-1)=a -2, 所以f (a -2)=9. 当a -2≥0,即a ≥2时, 3a -2=9,解得a =4.当a -2<0,即a <2时,2(a -2)+a =9,解得a =133(舍去).综上可知a =4.故选B . (2)由题意得a >0.当0<a <1时,由f (a )=f (a -1),即2a =a ,解得a =14,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =f (4)=8.当a ≥1时,由f (a )=f (a -1),得2a =2(a -1),不成立.故选D .【答案】 (1)B (2)D(1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参; (2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 角度三 分段函数与不等式(一题多解)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)【解析】 方法一:①当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x ≤0,即x ≤-1时,f (x +1)<f (2x )即为2-(x +1)<2-2x,即-(x +1)<-2x ,解得x <1.所以不等式的解集为(-∞,-1].②当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x >0时,不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x ≤0,即-1<x ≤0时,f (x +1)<f (2x )即为1<2-2x ,解得x <0.所以不等式的解集为(-1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x >0,即x >0时,f (x +1)=1,f (2x )=1,不合题意.综上,不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,0). 故选D .方法二:因为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x,x ≤0,1,x >0,所以函数f (x )的图象如图所示.由图可知,只有当⎩⎪⎨⎪⎧2x <0,x +1≥0或2x <x +1<0时,满足f (x +1)<f (2x ),故x <0,所以不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,0).【答案】 D涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.1.(2021·长沙市统一模拟考试)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3 x ,x >0,x 2,x ≤0,则f [f (-3)]=( )A .-2B .2C .-1D .1解析:选D .f (-3)=3,则f [f (-3)]=f (3)=log 33=1.故选D .2.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-x+a ,x ≤2,f (x -1),x >2,若f (3)=-89,则实数a =( )A .1B .-1C .19D .0解析:选B .f (3)=f (3-1)=f (2)=3-2+a =-89,解得a =-1.3.(2021·六校联盟第二次联考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+x 2,x ≤0,1,x >0,若f (x -4)>f (2x -3),则实数x 的取值范围是( )A .(-1,+∞)B .(-∞,-1)C .(-1,4)D .(-∞,1)解析:选C .函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+x 2,x ≤0,1,x >0在(-∞,0]上是减函数,在(0,+∞)上函数值保持不变,若f (x -4)>f (2x -3),则⎩⎪⎨⎪⎧x -4<0,2x -3≥0或x -4<2x -3≤0,解得x ∈(-1,4).故选C .4.已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +a ,x <1,-x -2a ,x ≥1.若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为________.解析:由题可知,1-a 与1+a 异号,当a >0时,1-a <1,1+a >1, 所以2(1-a )+a =-1-a -2a ,解得a =-32(舍去).当a <0时,1-a >1,1+a <1, 所以-1+a -2a =2+2a +a , 解得a =-34.答案:-34核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题定义函数问题是指给出阅读材料,设计一个陌生的数学情境,定义一个新函数,并给出新函数所满足的条件或具备的性质;或者给出函数,再定义一个新概念(如不动点),把数学知识与方法迁移到这段阅读材料,考生需捕捉相关信息,通过归纳、探索,发现解题方法,然后解决问题.若函数f (x )满足:在定义域D 内存在实数x 0,使得f (x 0+1)=f (x 0)+f (1)成立,则称函数f (x )为“1的饱和函数”.给出下列四个函数:①f (x )=1x;②f (x )=2x ;③f (x )=lg(x 2+2);④f (x )=cos (πx ).其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A .①③ B .②④ C .①②D .③④【解析】 对于①,若存在实数x 0,满足f (x 0+1)=f (x 0)+f (1),则1x 0+1=1x 0+1,所以x 20+x 0+1=0(x 0≠0,且x 0≠-1),显然该方程无实根,所以①不是“1的饱和函数”;对于②,若存在实数x 0,满足f (x 0+1)=f (x 0)+f (1),则2x 0+1=2x 0+2,解得x 0=1,所以②是“1的饱和函数”;对于③,若存在实数x 0,满足f (x 0+1)=f (x 0)+f (1),则lg[(x 0+1)2+2]=lg(x 20+2)+lg(12+2),化简得2x 20-2x 0+3=0,显然该方程无实根,所以③不是“1的饱和函数”;对于④,注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+1=cos 4π3=-12,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+f (1)=cos π3+cos π=-12,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+1=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+f (1),所以④是“1的饱和函数”.综上可知,其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④.【答案】 B处理新定义函数问题的常用方法(1)联想背景:有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的,可以通过阅读材料,分析有关信息,联想背景函数及其性质,进行类比,捕捉解题灵感,然后解决问题.(2)紧扣定义:对于题目定义的新函数,通过仔细阅读,分析定义以及新函数所满足的条件,围绕定义与条件来确定解题的方向,然后准确作答.(3)巧妙赋值:如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程,可采用赋值法,即令x ,y 取特殊值,或为某一范围内的值,求得特殊函数值或函数解析式,再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题.(4)构造函数:有些定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的.1.对于函数f (x ),若存在常数a ≠0,使得x 取定义域内的每一个值,都有f (x )=f (2a -x ),则称f (x )为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( )A .f (x )=xB .f (x )=x 2C .f (x )=tan xD .f (x )=cos (x +1)解析:选D .由题意可得准偶函数的图象关于直线x =a (a ≠0)对称,即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴.选项A ,C 中函数的图象不存在对称轴,选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴,只有选项D 中的函数满足题意.2.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点,则称函数f (x )为n 阶整点函数.给出下列函数:①f (x )=sin 2x ;②g (x )=x 3;③h (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x;④φ(x )=ln x .其中是一阶整点函数的是( ) A .①②③④ B .①③④ C .①④D .④解析:选C .对于函数f (x )=sin 2x ,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D ;对于函数g (x )=x 3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A ;对于函数h (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,它的图象(图略)经过整点(0,1),(-1,3),…,所以它不是一阶整点函数,排除B .故选C .。
第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)
第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第一节函数及其表示1.函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域❶;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域❷.显然,值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法:解析法、图象法、列表法.3.分段函数❸若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义,或从实际出发.(2)如果函数y=f(x)用表格给出,则表格中x的集合即为定义域.(3)如果函数y=f(x)用图象给出,则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集,由函数的定义域和对应关系共同确定.(1)分段函数虽由几个部分构成,但它表示同一个函数.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.(3)各段函数的定义域不可以相交.[熟记常用结论](1)若f(x)为整式,则函数的定义域为R;(2)若f(x)为分式,则要求分母不为0;(3)若f(x)为对数式,则要求真数大于0;(4)若f(x)为根指数是偶数的根式,则要求被开方式非负;(5)若f(x)描述实际问题,则要求使实际问题有意义.如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,求定义域常常等价于解不等式(组).[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.()(3)函数是一种特殊的映射.()(4)若A=R,B=(0,+∞),f:x→y=|x|,则对应f可看作从A到B的映射.()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、选填题1.下列图形中可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的是()解析:选C A选项,函数定义域为M,但值域不是N,B选项,函数定义域不是M,值域为N,D 选项,集合M中存在x与集合N中的两个y对应,不能构成函数关系.故选C.2.下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是( ) A .y =(x +1)2 B .y =3x 3+1 C .y =x 2x+1D .y =x 2+1解析:选B 对于A ,函数y =(x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B ,定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C ,函数y =x 2x +1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D ,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.3.函数f (x )=2x -1+1x -2的定义域为________. 解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,x -2≠0,解得x ≥0且x ≠2.答案:[0,2)∪(2,+∞)4.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x ≤1,5-x 2,x >1,则f (f (2))=________. 解析:由题意知,f (2)=5-4=1,f (1)=e 0=1, 所以f (f (2))=1. 答案:15.已知函数f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则f (2)=________. 解析:∵函数f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1,4) ∴4=-a +2,∴a =-2,即f (x )=-2x 3-2x , ∴f (2)=-2×23-2×2=-20. 答案:-20考点一 求函数的解析式[师生共研过关][典例精析](1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,求f (x )的解析式.(2)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,求f (x )的解析式. (3)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x )的解析式. [解] (1)(换元法)令2x +1=t ,得x =2t -1,代入得f (t )=lg2t -1,又x >0,所以t >1, 故f (x )的解析式是f (x )=lg2x -1,x ∈(1,+∞). (2)(待定系数法)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx , 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x ,x ∈R.(3)(解方程组法)由f (-x )+2f (x )=2x ,① 得f (x )+2f (-x )=2-x ,② ①×2-②,得3f (x )=2x +1-2-x . 即f (x )=2x +1-2-x3.故f (x )的解析式是f (x )=2x +1-2-x3,x ∈R.[解题技法]求函数解析式的3种方法及口诀记忆[过关训练]1.[口诀第3句]已知函数f (x -1)=xx +1,则函数f (x )的解析式为( ) A .f (x )=x +1x +2 B .f (x )=x x +1 C .f (x )=x -1xD .f (x )=1x +2解析:选A 令x -1=t ,则x =t +1,∴f (t )=t +1t +2,即f (x )=x +1x +2.故选A.2.[口诀第2句]若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )=________. 解析:设g (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), ∵g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =-2,c =0,∴g (x )=3x 2-2x .答案:3x 2-2x3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,则f (x )=________. 解析:∵2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,①把①中的x 换成1x ,得2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x .②联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x,解此方程组可得f (x )=2x -1x (x ≠0).答案:2x -1x (x ≠0)考点二 函数的定义域[全析考法过关][考法全析]考法(一) 已知函数解析式求定义域 [例1] 求下列函数的定义域:[解] (1)要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧|x -2|-1≥0,x -1>0,x -1≠1,解不等式组得x ≥3.因此函数f (x )的定义域为[3,+∞).(2)要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,-x 2-3x +4>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x >-1,(x +4)(x -1)<0,解不等式组得-1<x <1. 因此函数f (x )的定义域为(-1,1). 考法(二) 求抽象函数的定义域[例2] 已知函数f (x )的定义域为(-1,1),则函数g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x 2+f (x -1)的定义域为( ) A .(-2,0) B .(-2,2) C .(0,2)D.⎝⎛⎭⎫-12,0 [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-1<x 2<1,-1<x -1<1,∴⎩⎪⎨⎪⎧-2<x <2,0<x <2,∴0<x <2,∴函数g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x 2+f (x -1)的定义域为(0,2),故选C. [答案] C考法(三) 已知函数的定义域求参数的值(范围) [例3] (1)若函数y =mx -1mx 2+4mx +3的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0,34B.⎝⎛⎭⎫0,34C.⎣⎡⎦⎤0,34 D.⎣⎡⎭⎫0,34 (2)若函数f (x )=ax 2+abx +b 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为________. [解析] (1)∵函数y =mx -1mx 2+4mx +3的定义域为R ,∴mx 2+4mx +3≠0,∴m =0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0,Δ=16m 2-12m <0,即m =0或0<m <34,∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0,34. (2)∵函数f (x )=ax 2+abx +b 的定义域为{x |1≤x ≤2}, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0,f (1)=0,f (2)=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =-3,∴a +b =-92.[答案] (1)D (2)-92[规律探求]1.[口诀第1、2、3、4句]y = x -12x-log 2(4-x 2)的定义域是( ) A .(-2,0)∪(1,2) B .(-2,0]∪(1,2) C .(-2,0)∪[1,2)D .[-2,0]∪[1,2] 解析:选C要使函数有意义,则⎩⎨⎧x -12x≥0,x ≠0,4-x 2>0,解得x ∈(-2,0)∪[1,2),即函数的定义域是(-2,0)∪[1,2).2.[口诀第1句]已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[-3, 3 ],则函数y =f (x )的定义域为________. 解析:因为y =f (x 2-1)的定义域为[-3,3],所以x ∈[-3, 3 ],x 2-1∈[-1,2],所以y =f (x )的定义域为[-1,2].答案:[-1,2]3.[口诀第1、3句]若函数f (x )=x 2+ax +1的定义域为实数集R ,则实数a 的取值范围为________________.解析:若函数f (x )=x 2+ax +1的定义域为实数集R , 则x 2+ax +1≥0恒成立,即Δ=a 2-4≤0,解得-2≤a ≤2, 即实数a 的取值范围是[-2,2]. 答案:[-2,2]考点三 分段函数[全析考法过关][考法全析]考法(一) 分段函数求值[例1] (1)(2019·石家庄模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ,x ≤0,log 3x ,x >0,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19=________. (2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -3,x ≥9,f (f (x +4)),x <9,则f (7)=__________________________________.[解析] (1)∵f ⎝⎛⎭⎫19=log 319=-2, ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19=f (-2)=⎝⎛⎭⎫13-2=9. (2)∵7<9,∴f (7)=f (f (7+4))=f (f (11))=f (11-3)=f (8). 又∵8<9,∴f (8)=f (f (12))=f (9)=9-3=6. 即f (7)=6. [答案] (1)9 (2)6考法(二) 求参数或自变量的值(范围)[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)(2)(2019·长春模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x >0,x +1,x ≤0.若f (a )+f (1)=0,则实数a =________.[解析] (1)∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x,x ≤0,1,x >0,∴函数f (x )的图象如图所示.结合图象知,要使f (x +1)<f (2x ), 则需⎩⎪⎨⎪⎧x +1<0,2x <0,2x <x +1或⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,2x <0, ∴x <0,故选D.(2)当a >0时,由f (a )+f (1)=0得2a +2=0,无实数解;当a ≤0时,由f (a )+f (1)=0得a +1+2=0,解得a =-3,满足条件.[答案] (1)D (2)-3[规律探求]1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ,x ≥4,f (x +1),x <4,则f (1+log 25)=________.解析:因为2<log 25<3,所以3<1+log 25<4,则4<2+log 25<5,则f (1+log 25)=f (1+1+log 25)=f (2+log 25)=⎝⎛⎭⎫1222+log 5=14×15=120. 答案:1202.(2018·衡阳模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ,x ≥0,2-x ,x <0(a ∈R),若f (f (-1))=1,则a =________.解析:∵f (-1)=2-(-1)=2,∴f (f (-1))=f (2)=4a =1,解得a =14.答案:14[课时跟踪检测]一、题点全面练1.(2019·重庆调研)函数y =log 2(2x -4)+1x -3的定义域是( )A .(2,3)B .(2,+∞)C .(3,+∞)D .(2,3)∪(3,+∞)解析:选D 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧2x -4>0,x -3≠0,解得x >2且x ≠3,所以函数y =log 2(2x -4)+1x -3的定义域为(2,3)∪(3,+∞),故选D.2.(2018·合肥质量检测)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,则f (f (1))=( )A .-12B .2C .4D .11解析:选C ∵f (1)=12+2=3,∴f (f (1))=f (3)=3+13-2=4.故选C.3.已知函数f (x )=5|x |,g (x )=ax 2-x (a ∈R).若f (g (1))=1,则a =( ) A .1 B .2 C .3D .-1解析:选A 由已知条件可知f (g (1))=f (a -1)=5|a -1|=1,∴|a -1|=0,得a =1.故选A. 4.(2018·荆州联考)若函数f (x )的定义域是[1,2 019],则函数g (x )=f (x +1)x -1的定义域是( )A .[0,2 018]B .[0,1)∪(1,2 018]C .(1,2 019]D .[-1,1)∪(1,2 018]解析:选B 由题知,1≤x +1≤2 019,解得0≤x ≤2 018,又x ≠1,所以函数g (x )=f (x +1)x -1的定义域是[0,1)∪(1,2 018].5.已知f ⎝⎛⎭⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( ) A.74 B .-74C.43D .-43解析:选A 令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,故f (x )=4x -1,则f (a )=4a -1=6,解得a =74.6.(2019·石家庄模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x +b ,x ≤0(0<a <1),且f (-2)=5,f (-1)=3,则f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3解析:选B 由题意得,f (-2)=a -2+b =5,① f (-1)=a -1+b =3,②联立①②,结合0<a <1,得a =12,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,⎝⎛⎭⎫12x +1,x ≤0,则f (-3)=⎝⎛⎭⎫12-3+1=9,f (f (-3))=f (9)=log 39=2.7.(2018·福州二模)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x +a ,x >0,4x -2-1,x ≤0.若f (a )=3,则f (a -2)=( )A .-1516B .3C .-6364或3D .-1516或3解析:选A 当a >0时,若f (a )=3,则log 2a +a =3,解得a =2(满足a >0);当a ≤0时,若f (a )=3,则4a -2-1=3,解得a =3,不满足a ≤0,舍去.于是,可得a =2.故f (a -2)=f (0)=4-2-1=-1516.故选A.8.(2019·合肥质检)已知函数f (x )满足f (2x )=2f (x ),且当1≤x <2时,f (x )=x 2,则f (3)=( ) A.98 B.94 C.92D .9解析:选C ∵f (2x )=2f (x ),且当1≤x <2时,f (x )=x 2,∴f (3)=2f ⎝⎛⎭⎫32=2×⎝⎛⎭⎫322=92. 9.(2019·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0},且3f (x )+5f ⎝⎛⎭⎫1x =3x +1,则函数f (x )的解析式为________________________.解析:用1x代替3f (x )+5f ⎝⎛⎭⎫1x =3x +1中的x ,得3f ⎝⎛⎭⎫1x +5f (x )=3x +1, ∴⎩⎨⎧3f (x )+5f ⎝⎛⎭⎫1x =3x +1, ①3f ⎝⎛⎭⎫1x +5f (x )=3x +1, ②①×3-②×5得f (x )=1516x -916x +18(x ≠0).答案:f (x )=1516x -916x +18(x ≠0)10.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln (-x ),x <0,-ln x ,x >0,若f (m )>f (-m ),则实数m 的取值范围是________.解析:函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln (-x ),x <0,-ln x ,x >0,当m >0时,f (m )>f (-m ),即-ln m >ln m ,即ln m <0,解得0<m <1;当m <0时,f (m )>f (-m ),即ln(-m )>-ln(-m ), 即ln(-m )>0,解得m <-1. 综上可得,m <-1或0<m <1. 答案:(-∞,-1)∪(0,1)二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.若函数y =f (x +1)的值域为[-1,1],则函数y =f (3x +2)的值域为( ) A .[-1,1] B .[-1,0] C .[0,1]D .[2,8]解析:选A 函数y =f (x +1)的值域为[-1,1],由于函数中的自变量取定义域内的任意数时,函数的值域都为[-1,1],故函数y =f (3x +2)的值域为[-1,1].故选A.2.(2018·山西名校联考)设函数f (x )=lg(1-x ),则函数f [f (x )]的定义域为( ) A .(-9,+∞) B .(-9,1) C .[-9,+∞)D .[-9,1)解析:选B f [f (x )]=f [lg(1-x )]=lg [1-lg(1-x )],其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,1-lg (1-x )>0的解集,解得-9<x <1,所以f [f (x )]的定义域为(-9,1).故选B.3.(2018·安阳三校联考)若函数f (x )=mx 2+mx +1的定义域为一切实数,则实数m 的取值范围是( )A .[0,4)B .(0,4)C .[4,+∞)D .[0,4]解析:选D 由题意可得mx 2+mx +1≥0恒成立. 当m =0时,1≥0恒成立;当m ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧m >0,m 2-4m ≤0,解得0<m ≤4.综上可得,0≤m ≤4.4.(2019·珠海质检)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(1-2a )x +3a ,x <1,ln x ,x ≥1的值域为R ,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1] B.⎝⎛⎭⎫-1,12 C.⎣⎡⎭⎫-1,12 D.⎝⎛⎭⎫0,12 解析:选C 由题意知y =ln x (x ≥1)的值域为[0,+∞),故要使f (x )的值域为R ,则必有y =(1-2a )x +3a 为增函数,且1-2a +3a ≥0,所以1-2a >0,且a ≥-1,解得-1≤a <12.5.(2018·合肥质检)已知函数f (x )=mx 2+(m -3)x +1的值域是[0,+∞),则实数m 的取值范围是________.解析:当m =0时,函数f (x )=-3x +1的值域是[0,+∞),显然成立;当m >0时,Δ=(m -3)2-4m ≥0,解得0<m ≤1或m ≥9.显然m <0时不合题意.综上可知,实数m 的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).答案:[0,1]∪[9,+∞) (二)技法专练——活用快得分6.[排除法]设x ∈R ,定义符号函数sgn x =⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则( )A .|x |=x |sgn x |B .|x |=x sgn|x |C .|x |=|x |sgn xD .|x |=x sgn x解析:选D 当x <0时,|x |=-x ,x |sgn x |=x ,x sgn|x |=x ,|x |sgn x =(-x )·(-1)=x ,排除A 、B 、C ,故选D.7.[特殊值法]函数y =a -a x (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 485=( )A .1B .2C .3D .4解析:选C 当x =1时,y =0,则函数y =a -a x 在[0,1]上为减函数,故a >1.∴当x =0时,y =1,则a -1=1,∴a =2.∴log 256+log 2485=log 2⎝⎛⎭⎫56×485=log 28=3. 8.[数形结合法]设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f (x -1)>1的x 的取值范围是________.解析:画出函数f (x )的大致图象如图,易知函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增.又因为x >x -1,且x -(x -1)=1,f (0)=1,所以要使f (x )+f (x -1)>1成立,则结合函数f (x )的图象知只需x -1>-1,解得x >0.故所求x 的取值范围是(0,+∞).答案:(0,+∞)(三)素养专练——学会更学通9.[逻辑推理]具有性质f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,给出下列函数:①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A .①③B .②③C .①②③D .①②解析:选A 对于①,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x -x =-f (x ),满足题意;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x+x =f (x ),不满足题意;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x <1,0,1x=1,-x ,1x>1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.10.[数学运算]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1,x ≤0,x -1,x >0,g (x )=2x -1,则f (g (2))=__________,f (g (x ))的值域为________.解析:g (2)=22-1=3,∴f (g (2))=f (3)=2.易得g (x )的值域为(-1,+∞),∴若-1<g (x )≤0,f (g (x ))=[g (x )]2-1∈[-1,0);若g (x )>0,f (g (x ))=g (x )-1∈(-1,+∞),∴f (g (x ))的值域是[-1,+∞).答案:2 [-1,+∞)11.[数学抽象]设函数f :R →R ,满足f (0)=1,且对任意x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )f (y )-f (y )-x +2,则f (2 018)=________.解析:令x =y =0,则f (1)=f (0)·f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2.令y =0,则f (1)=f (x )f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1,f (1)=2代入,可得f (x )=1+x ,所以f (2 018)=2 019.答案:2 019第二节函数的单调性与最值❶函数在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质.❸对于∀x 1,x 2∈D ,都有(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]>0或f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0.❻若函数f (x )的值域是开区间,则函数无最值;若函数f (x )的值域是闭区间,则闭区间上的端点值就是最值.1.函数的单调性❶ (1)增函数、减函数如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y =f (x )的单调区间❺.2.函数的最值❻x 12(1)任意性;(2)有大小,即x 1<x 2(x 1>x 2); (3)属于同一个单调区间.对于∀x1,x 2∈D ,都有(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0或f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0.(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数,但在整个定义域上不一定是单调函数,如函数y =1x 在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,但在定义域上不具有单调性.(4)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念,显然N ⊆M .[熟记常用结论]1.若函数f (x ),g (x )在区间I 上具有单调性,则在区间I 上具有以下性质: (1)f (x )与a ·f (x )在a >0时具有相同的单调性,在a <0时具有相反的单调性. (2)当f (x ),g (x )都是增(减)函数时,f (x )+g (x )是增(减)函数.(3)当f (x ),g (x )都是增(减)函数时,若两者都恒大于零,则f (x )·g (x )也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则f (x )·g (x )是减(增)函数.2.复合函数的单调性对于复合函数y =f [g (x )],若t =g (x )在区间(a ,b )上是单调函数,且y =f (t )在区间(g (a ),g (b ))或(g (b ),g (a ))上是单调函数,若t =g (x )与y =f (t )的单调性相同,则y =f [g (x )]为增函数;若t =g (x )与y =f (t )的单调性相反,则y =f [g (x )]为减函数.简称“同增异减”.3.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y =1x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(2)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( )(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( ) (4)所有的单调函数都有最值.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A .y =|x | B .y =3-x C .y =1xD .y =-x 2+4解析:选A y =3-x 在R 上递减,y =1x 在(0,+∞)上递减,y =-x 2+4在(0,+∞)上递减,故选A.2.函数f (x )=-x +1x 在区间⎣⎡⎦⎤-2,-13上的最大值是( ) A.32 B .-83C .-2D .2解析:选A ∵函数y =-x 与y =1x 在x ∈⎣⎡⎦⎤-2,-13上都是减函数,∴函数f (x )=-x +1x 在⎣⎡⎦⎤-2,-13上是减函数,故f (x )的最大值为f (-2)=2-12=32.3.设定义在[-1,7]上的函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =f (x )的增区间为________.解析:由图可知函数的增区间为[-1,1]和[5,7]. 答案:[-1,1]和[5,7]4.若函数y =(2k +1)x +b 在R 上是减函数,则k 的取值范围是________. 解析:因为函数y =(2k +1)x +b 在R 上是减函数,所以2k +1<0,即k <-12.答案:⎝⎛⎭⎫-∞,-12 5.若函数f (x )满足“对任意的x 1,x 2∈R ,当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”,则满足f (2x -1)<f (1)的实数x 的取值范围为________.解析:由题意知,函数f (x )在定义域内为减函数, ∵f (2x -1)<f (1),∴2x -1>1, 即x >1,∴x 的取值范围为(1,+∞). 答案:(1,+∞)考点一 确定函数的单调性(区间)[全析考法过关][考法全析]考法(一) 确定不含参函数的单调性(区间)[例1] (1)函数f (x )=|x 2-3x +2|的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎭⎫32,+∞ B.⎣⎡⎦⎤1,32和[2,+∞) C .(-∞,1]和⎣⎡⎦⎤32,2D.⎝⎛⎦⎤-∞,32和[2,+∞) (2)函数y =x 2+x -6的单调递增区间为__________,单调递减区间为____________.[解析] (1)y =|x 2-3x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-3x +2,x ≤1或x ≥2,-(x 2-3x +2),1<x <2.如图所示,函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1,32和[2,+∞). (2)令u =x 2+x -6, 则y =x 2+x -6可以看作是由y =u 与u =x 2+x -6复合而成的函数.令u =x 2+x -6≥0,得x ≤-3或x ≥2.易知u =x 2+x -6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y =u 在[0,+∞)上是增函数,∴y =x 2+x -6的单调递减区间为(-∞,-3],单调递增区间为[2,+∞).[答案] (1)B (2)[2,+∞) (-∞,-3] 考法(二) 确定含参函数的单调性(区间) [例2] 试讨论函数f (x )=axx -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性. [解] 法一:(定义法)设-1<x 1<x 2<1, f (x )=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝⎛⎭⎪⎫1+1x -1,则f (x 1)-f (x 2)=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 1-1-a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 2-1=a (x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1).由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递减;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递增.法二:(导数法)f ′(x )=(ax )′(x -1)-ax (x -1)′(x -1)2=a (x -1)-ax (x -1)2=-a (x -1)2.当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递增.[规律探求][过关训练]1.函数f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -x 2的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎦⎤-∞,12 B.⎣⎡⎦⎤0,12 C.⎣⎡⎭⎫12,+∞ D.⎣⎡⎦⎤12,1解析:选D 令t =x -x 2,由x -x 2≥0,得0≤x ≤1,故函数的定义域为[0,1].因为g (t )=⎝⎛⎭⎫12t是减函数,所以f (x )的单调递增区间即t =x -x 2的单调递减区间.利用二次函数的性质,得t =x -x 2的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12,1,即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12,1.故选D. 2.判断函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,+∞)上的单调性.解:设x 1,x 2是任意两个正数,且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时, 0<x 1x 2<a ,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.综上可知,函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数.考点二 函数单调性的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 比较函数值的大小[例1] 已知函数f (x )的图象关于直线x =1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (e),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >bD .b >a >c[解析] 由f (x )的图象关于直线x =1对称,可得f ⎝⎛⎭⎫-12=f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,知f (x )在(1,+∞)上单调递减.∵1<2<52<e ,∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e),∴b >a >c . [答案] D考法(二) 解函数不等式[例2] (1)已知函数f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A .(-1,1) B .(0,1)C .(-1,0)∪(0,1)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)定义在[-2,2]上的函数f (x )满足(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,x 1≠x 2,且f (a 2-a )>f (2a -2),则实数a 的取值范围为________.[解析] (1)由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1,x ≠0,即⎩⎨⎧|x |<1,x ≠0.所以-1<x <0或0<x <1.故选C.(2)因为函数f (x )满足(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,x 1≠x 2,所以函数在[-2,2]上单调递增, 所以-2≤2a -2<a 2-a ≤2, 解得0≤a <1. [答案] (1)C (2)[0,1)考法(三) 利用函数的单调性求参数[例3] 若f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3a -1)x +4a ,x <1,-ax ,x ≥1是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围为________.[解析] 由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧3a -1<0,(3a -1)×1+4a ≥-a ,a >0,解得⎩⎨⎧a <13,a ≥18,a >0,所以a ∈⎣⎡⎭⎫18,13. [答案] ⎣⎡⎭⎫18,13[规律探求][过关训练]1.已知函数f (x )=log 2x +11-x,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),则( ) A .f (x 1)<0,f (x 2)<0 B .f (x 1)<0,f (x 2)>0 C .f (x 1)>0,f (x 2)<0D .f (x 1)>0,f (x 2)>0解析:选B 因为函数f (x )=log 2x +11-x 在(1,+∞)上为增函数,且f (2)=0,所以当x 1∈(1,2)时,f (x 1)<f (2)=0, 当x 2∈(2,+∞)时,f (x 2)>f (2)=0, 即f (x 1)<0,f (x 2)>0.故选B.2.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+4x ,x ≤4,log 2x ,x >4.若函数f (x )在区间(a ,a +1)上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1]B .[1,4]C .[4,+∞)D .(-∞,1]∪[4,+∞)解析:选D 作出函数f (x )的图象如图所示,由图象可知,若f (x )在(a ,a +1)上单调递增,需满足a ≥4或a +1≤2,即a ≤1或a ≥4,故选D. 且f ⎝⎛⎭⎫12=0,3.已知定义在R 上的奇函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增,则不等式f (log 19x )>0的解集为________.解析:∵y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且y =f (x )在(0,+∞)上单调递增. ∴y =f (x )在(-∞,0)上也是增函数,又f ⎝⎛⎭⎫12=0,知f ⎝⎛⎭⎫-12=-f ⎝⎛⎭⎫12=0. 故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝⎛⎭⎫12或f ⎝⎛⎭⎫-12<f (log 19x )<f ()0, ∴log 19x >12或-12<log 19x <0,解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <13或1<x <3.答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <13或1<x <3考点三 函数的最值[师生共研过关][典例精析](1)已知函数y =1-x +x +3的最大值为M ,最小值为m ,则mM 的值为( ) A.14 B.12 C.22D.32(2)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为________.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0,x +3≥0得函数的定义域是{x |-3≤x ≤1},y 2=4+21-x ·x +3=4+2-(x +1)2+4,当x =-1时,y 取得最大值M =22;当x =-3或1时,y 取得最小值m =2,所以m M =22.(2)当x ≥1时,函数f (x )=1x 为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2. [答案] (1)C (2)2[解题技法]求函数最值(值域)的常用方法[过关训练]1.函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13,则a +b =________.解析:易知f (x )在[a ,b ]上为减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=1,f (b )=13,即⎩⎪⎨⎪⎧1a -1=1,1b -1=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4.所以a +b =6.答案:62.函数y =x -x (x ≥0)的最大值为________.解析:令t =x ,则t ≥0,所以y =t -t 2=-⎝⎛⎭⎫t -122+14,当t =12,即x =14时,y max =14. 答案:143.设0<x <32,则函数y =4x (3-2x )的最大值为________.解析:y =4x (3-2x )=2[2x (3-2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x +(3-2x )22=92,当且仅当2x =3-2x ,即x =34时,等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0,32, ∴函数y =4x (3-2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. 答案:92[课时跟踪检测]一、题点全面练1.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )A .y =11-xB .y =cos xC .y =ln(x +1)D .y =2-x解析:选D 函数y =2-x =⎝⎛⎭⎫12x在(-1,1)上为减函数.2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )=ln(x 2-2x -8)的单调递增区间是( ) A .(-∞,-2) B .(-∞,1) C .(1,+∞)D .(4,+∞)解析:选D 由x 2-2x -8>0,得x >4或x <-2.因此,函数f (x )=ln(x 2-2x -8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞).注意到函数y =x 2-2x -8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f (x )=ln(x 2-2x -8)的单调递增区间是(4,+∞).3.若函数f (x )=x 2-2x +m 在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m 的值为( ) A .-3 B .-2 C .-1D .1解析:选B 因为f (x )=(x -1)2+m -1在[3,+∞)上为增函数,且f (x )在[3,+∞)上的最小值为1,所以f (3)=1,即22+m -1=1,m =-2.故选B.4.函数f (x )=x 1-x 的单调递增区间是( )A .(-∞,1)B .(1,+∞)C .(-∞,1),(1,+∞)D .(-∞,-1),(1,+∞)解析:选C 因为f (x )=-(1-x )+11-x =-1+11-x,所以f (x )的图象是由y =-1x 的图象沿x 轴向右平移1个单位,然后沿y 轴向下平移一个单位得到,而y =-1x的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞);所以f (x )的单调递增区间是(-∞,1),(1,+∞).故选C. 5.(2019·赣州模拟)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的单调递减区间是( )A .(-∞,0]B .[0,1)C .[1,+∞)D .[-1,0]解析:选B由题知,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,可得函数g (x )的单调递减区间为[0,1).6.若函数f (x )=x 2+a |x |+2,x ∈R 在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤-113,-3 B .[-6,-4] C.[]-3,-22D.[]-4,-3解析:选B 由于f (x )为R 上的偶函数,因此只需考虑函数f (x )在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f (x )在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故-a2∈[2,3],即a ∈[-6,-4].7.函数y =2-xx +1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( )A .(1,2)B .(-1,2)C .[1,2)D .[-1,2)解析:选D 函数y =2-x x +1=3-x -1x +1=3x +1-1,且在x ∈(-1,+∞)时单调递减,在x =2时,y =0; 根据题意x ∈(m ,n ]时y 的最小值为0, 所以-1≤m <2.8.已知函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g (x )=f (x )x 在区间(1,+∞)上一定( )A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数解析:选D 由题意知a <1,又函数g (x )=x +ax -2a 在[|a |,+∞)上为增函数,故选D.9.(2019·湖南四校联考)若函数f (x )=x 2+a |x -2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是________.解析:∵f (x )=x 2+a |x -2|,∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+ax -2a ,x ≥2,x 2-ax +2a ,x <2.又∵f (x )在(0,+∞)上单调递增,∴⎩⎨⎧-a2≤2,a2≤0,∴-4≤a ≤0,∴实数a 的取值范围是[-4,0]. 答案:[-4,0]10.已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38,49,则函数g (x )=f (x )+1-2f (x )的值域为________. 解析:∵38≤f (x )≤49,∴13≤1-2f (x )≤12.令t =1-2f (x ),则f (x )=12(1-t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12, 令y =g (x ),则y =12(1-t 2)+t ,即y =-12(t -1)2+1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12. ∴当t =13时,y 有最小值79;当t =12时,y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79,78. 答案:⎣⎡⎦⎤79,78二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.函数y =log 13(-x 2+2x +3)的单调递增区间是( )A .(-1,1]B .(-∞,1)C .[1,3)D .(1,+∞)解析:选C 令t =-x 2+2x +3,由-x 2+2x +3>0,得-1<x <3. 函数t =-x 2+2x +3的对称轴方程为x =1, 则函数t =-x 2+2x +3在[1,3)上为减函数, 而函数y =log 13t 为定义域内的减函数,所以函数y =log 13(-x 2+2x +3)的单调递增区间是[1,3).2.(2019·西安模拟)已知函数y =log 2(ax -1)在(1,2)上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .(0,1] B .[1,2] C .[1,+∞)D .[2,+∞)解析:选C 要使y =log 2(ax -1)在(1,2)上单调递增,则a >0且a -1≥0,∴a ≥1.故选C. 3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax 2-x -14,x ≤1,log a x -1,x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14,12 B.⎣⎡⎦⎤14,12 C.⎝⎛⎦⎤0,12 D.⎣⎡⎭⎫12,1解析:选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调,则二次函数y =ax 2-x -14的图象开口向上,所以函数f (x )在R 上单调递减, 故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,12a≥1,a ×12-1-14≥log a1-1,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,0<a ≤12,a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14,12.4.已知函数f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,若f (a 2-a )>f (a +3),则实数a 的取值范围为________.解析:由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a >0,a +3>0,a 2-a >a +3,解得-3<a <-1或a >3,所以实数a 的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).答案:(-3,-1)∪(3,+∞) (二)技法专练——活用快得分5.[构造法]已知减函数f (x )的定义域是实数集R ,m ,n 都是实数.如果不等式f (m )-f (n )>f (-m )-f (-n )成立,那么下列不等式成立的是( )A .m -n <0B .m -n >0C .m +n <0D .m +n >0解析:选A 设F (x )=f (x )-f (-x ),由于f (x )是R 上的减函数,∴f (-x )是R 上的增函数,-f (-x )是R 上的减函数, ∴F (x )是R 上的减函数, ∴当m <n 时,有F (m )>F (n ), 即f (m )-f (-m )>f (n )-f (-n )成立.因此,当f (m )-f (n )>f (-m )-f (-n )成立时,不等式m -n <0一定成立,故选A. 6.[三角换元法]函数y =x +-x 2+10x -23的最小值为________. 解析:原函数可化为:y =x +2-(x -5)2.由2-(x -5)2≥0⇒|x -5|≤2, 令x -5=2cos α,那么|2cos α|≤2⇒|cos α|≤1⇒0≤α≤π, 于是y =2cos α+5+2sin α=2sin ⎝⎛⎭⎫α+π4+5. 因为α+π4∈⎣⎡⎦⎤π4,5π4,所以sin ⎝⎛⎭⎫α+π4∈⎣⎡⎦⎤-22,1, 所以函数的最小值为5- 2. 答案:5- 27.[数形结合法]设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧m +x 2,|x |≥1,x ,|x |<1的图象过点(1,1),函数g (x )是二次函数,若函数f (g (x ))的值域是[0,+∞),则函数g (x )的值域是________.解析:因为函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧m +x 2,|x |≥1,x ,|x |<1的图象过点(1,1),所以m +1=1,解得m =0,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,|x |≥1,x ,|x |<1.画出函数y =f (x )的大致图象如图所示,观察图象可知,当纵坐标在[0,+∞)上时,横坐标在(-∞,-1]∪[0,+∞)上变化. 而f (x )的值域为[-1,+∞), f (g (x ))的值域为[0,+∞), 因为g (x )是二次函数,所以g (x )的值域是[0,+∞). 答案:[0,+∞)(三)素养专练——学会更学通8.[数学抽象]已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(全集为R)( )A .(-1,2)B .(1,4)C .(-∞,-1)∪[4,+∞)D .(-∞,-1]∪[2,+∞)解析:选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f (x +1)<1即为f (0)<f (x +1)<f (3),所以0<x +1<3,所以-1<x <2,故不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞).9.[数学运算]已知函数f (x )=1a -1x (a >0,x >0).(1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,求a 的值. 解:(1)证明:设x 2>x 1>0,则x 2-x 1>0,x 1x 2>0, 因为f (x 2)-f (x 1)=⎝⎛⎭⎫1a -1x 2-⎝⎛⎭⎫1a -1x 1=1x 1-1x 2=x 2-x 1x 1x 2>0, 所以f (x 2)>f (x 1),所以f (x )在(0,+∞)上是增函数. (2)因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2, 又由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上是单调增函数, 所以f ⎝⎛⎭⎫12=12,f (2)=2, 解得a =25.10.[数学运算]已知函数f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫x +ax -2,其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域;(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,+∞)上的最小值;(3)若对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围. 解:(1)由x +ax -2>0,得x 2-2x +a x>0,当a >1时,x 2-2x +a >0恒成立,定义域为(0,+∞); 当a =1时,定义域为{x |x >0且x ≠1}; 当0<a <1时,定义域为{x |0<x <1-1-a 或x >1+1-a }.(2)设g (x )=x +a x -2,当a ∈(1,4),x ∈[2,+∞)时,g ′(x )=1-a x 2=x 2-ax2>0恒成立,所以g (x )=x +ax -2在[2,+∞)上是增函数. 所以f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫x +ax -2在[2,+∞)上是增函数. 所以f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫x +a x -2在[2,+∞)上的最小值为f (2)=lg a 2. (3)对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0, 即x +ax -2>1对任意x ∈[2,+∞)恒成立. 所以a >3x -x 2,令h (x )=3x -x 2,而h (x )=3x -x 2=-⎝⎛⎭⎫x -322+94在[2,+∞)上是减函数,所以h (x )max =h (2)=2,所以a >2. 即a 的取值范围为(2,+∞).第三节函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.并不是所有周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.[熟记常用结论]1.奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.2.周期性的4个常用结论设函数y=f(x),x∈R,a>0.(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;(3)若f(x+a)=1f(x),则函数的周期为2a;(4)若f(x+a)=-1f(x),则函数的周期为2a.3.对称性的3个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.()(2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.()(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选填题1.下列函数中为偶函数的是()A .y =x 2sin xB .y =x 2cos xC .y =|ln x |D .y =2-x解析:选B A 中函数为奇函数,B 中函数为偶函数,C 与D 中函数均为非奇非偶函数,故选B. 2.下列函数为奇函数的是( ) A .y =x B .y =e x C .y =|x |D .y =e x -e -x解析:选D A 、B 选项中的函数为非奇非偶函数;C 选项中的函数为偶函数;D 选项中的函数为奇函数,故选D.3.若y =f (x )(x ∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y =f (x )图象上的是( ) A .(a ,-f (a )) B .(-a ,-f (a )) C .(-a ,-f (-a ))D .(a ,f (-a ))解析:选B 因为(a ,f (a ))是函数y =f (x )图象上的点,且y =f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,所以点(-a ,f (-a )),即(-a ,-f (a ))一定在y =f (x )的图象上.4.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是________. 解析:∵f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,∴a -1+2a =0,∴a =13.又f (-x )=f (x ),∴b =0,∴a +b =13.答案:135.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+2,-1≤x <0,x ,0≤x <1,则f ⎝⎛⎭⎫32=________.解析:∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数, ∴f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫2-12=f ⎝⎛⎭⎫-12=-4×⎝⎛⎭⎫-122+2=-1+2=1. 答案:1判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=(x +1)1-x1+x;。
电磁场与电磁波第二章课后答案
电磁场与电磁波第二章课后答案本页仅作为文档封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第二章 静电场重点和难点电场强度及电场线等概念容易接受,重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程,即散度方程和旋度方程,并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。
利用亥姆霍兹定理,直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。
通过书中列举的4个例子,总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。
至于媒质的介电特性,应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。
讲解介质中静电场方程时,应强调电通密度仅与自由电荷有关。
介绍边界条件时,应说明仅可依据积分形式的静电场方程,由于边界上场量不连续,因而微分形式的场方程不成立。
关于静电场的能量与力,应总结出计算能量的三种方法,指出电场能量不符合迭加原理。
介绍利用虚位移的概念计算电场力,常电荷系统和常电位系统,以及广义力和广义坐标等概念。
至于电容和部分电容一节可以从简。
重要公式真空中静电场方程:积分形式:⎰=⋅SS E 0d εq⎰=⋅ll E 0d微分形式:ερ=⋅∇E0=⨯∇E已知电荷分布求解电场强度:1,)()(r r E ϕ-∇=; ⎰''-'=V Vd )(41)(|r r |r r ρπεϕ2,⎰'''-'-'=V V 3d |4))(()(|r r r r r r E περ3,⎰=⋅SS E 0d εq高斯定律介质中静电场方程:积分形式:q S=⋅⎰ d S D⎰=⋅ll E 0d微分形式:ρ=⋅∇D0=⨯∇E线性均匀各向同性介质中静电场方程:积分形式:εqS=⋅⎰ d S E⎰=⋅ll E 0d微分形式:ερ=⋅∇E0=⨯∇E静电场边界条件:1,t t E E 21=。
逻辑导论课本参考答案
逻辑导论第二章参考答案第一题1、内涵2、外延3、内涵4、外延(军队,警察,法庭,监狱等)、内涵(阶级压迫的工具)5、内涵6、内涵7、内涵8、内涵(希望他人向自己发出要约意思表示)、外延(寄送的价目表、拍卖公告、招标公告、招股说明书、商业广告等)9、内涵10、外延第二题1、单独概念,集合概念2、普遍概念,非集合概念3、单独概念,集合概念4、普遍概念,非集合概念5、单独概念,集合概念6、普遍概念,非集合概念7、单独概念,集合概念8、普遍概念,集合概念9、普遍概念,集合概念10、普遍概念,非集合概念11、单独概念,集合概念12、普遍概念,集合概念13、动物:普遍概念,集合概念人类:单独概念,集合概念第三题1、全同2、反对3、种属4、属种5、交叉6、反对7、矛盾8、交叉9、属种(刑罚和主刑)、属种(刑罚和附加刑)10、全同五1.a与b:属种关系;a与c:交叉关系b与a:种属关系;b与c:交叉关系c与a:交叉关系;c与b:交叉关系2.a与b:交叉关系;a与c:属种关系b与a:交叉关系;b与c:属种关系c与a:种属关系;c与b:种属关系3a与b:属种关系;a与c:属种关系b与a:种属关系;b与c:交叉关系c与a:种属关系;c与b:交叉关系4a与b:交叉关系;a与c:交叉关系;a与d:交叉关系;b与c:交叉关系;b与d:交叉关系;c与d:交叉关系六.1.“非人文科学”“自然科学”或“社会科学”2.“非导体”“半导体”或“绝缘体”3.“外国律师”“美国律师”4.“不合法行为”“违法行为”第七题Array a和b是属种关系b和c是属种关系c、d、e是全同关系第八题正确的是第1、10、16第九题1、 限制:程序法; 扩大:行为规范2、 限制:女审判员; 扩大:司法人员3、 限制:大兴安岭森林; 扩大:植物4、 不能限制(单独概念); 扩大:作家第三章 参考答案第一题1. 联言P ∧q2. 联言P ∧q3. 负命题┐p4. 负命题┐p5. 选言命题p ∨q6. 选言命题p ∨q7. 必要条件假言¬p →¬q 8. 必要条件假言命题q →p 9. 等值命题p ↔q 10. 选言命题(P ∧q )∨(┐p ∧┐q )11. 排斥选言┐(p ↔q ) 12. 联言P ∧q 13. 联言P ∧q ∧r14. p ∧(q ∧r ∧s ∧t ) 15. 联言P ∧q 16. 联言(p →q )∧(┐p →r ) 17. 联言P ∧q 18. 联言P ∧q 19. 选言p ∨q ∨r20. 排斥选言 ┐(p ↔q ) 21. 假言p ∨q →r 22. 必要条件假言命题q →p 23. 选言p ∨q 24. 假言p →q 25. 联言P ∧q 第二题1. (p ∨q )→¬r2. p ∧[┐(q ∨r )∧(¬s ∨¬t )]→¬u 3. (p ∨q )∧r →¬s ∧(t ∨u )4. p ∧(q ∨r )∧s →t ∧s 5. p ∨q →r6. p ∧q ∧r ∧s ∧t7. (p →q )∧ (p ∧s →t )∧(p ∧s →u )8. (¬p ∨q )∧¬s →¬r 第三题1.011011)(q p q p →⌝∧→⌝ 是重言式 2 不是重言式301111)(q p q p →⌝∧∨⌝ 不是重言式4011011111)(r p r q p →∧∧→ 是重言式5 不是重言式 60111101111)(r q p r q p →∧∧→∨ 是重言式7是重言式 81101011111111111)()(s r q p s q r p ∨→∧∧→∧→ 是重言式90011100000111111)()()(ps p s r q r q p ⌝→∧⌝∧∨⌝∨⌝∧∧→是重言式101100111q p q p ⌝∨⌝⇔⌝→ 是重言式11 是重言式 12 不是重言式131111111111)()()()(q p q p q p q p ∨⌝∧⌝∨⇔⌝⇔⌝∨⇔是重言式140000111011001)()(sr q p s q r p ∨→∧⇔→∨→ 是重言式15 不是重言式第四题1.""q p ∧与__7__相互等值,与___2_相互矛盾。
微积分课后题答案第二章习题详解
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点,并说明间断点的类型:
(1) f(x)= ;(2) f(x)=;
(3) f(x)= ;(4) f(x)= ;
(5) f(x)= .
解: (1)由得x=-1, x=-2
证:
,由极限的保号性知.
,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.
(7)正确,见教材§2.3定理5;
(8)错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量,但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2;(2) f(x)=lnx,x→0+,x→1,x→+∞;
(3) f(x)= ,x→0+,x→0-;(4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
也即,所以当时,.
再证必要性:
若当时,,则,
所以==.
综上所述,当x→x0时,(x)~β(x)的充要条件是
=0.
2. 若β(x)≠0,β(x)=0且存在,证明(x)=0.
证:
即.
3. 证明: 若当x→0时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb),则f(x)·g(x)=o(),其中a,b都大于0,并由此判断当x→0时,tanx-sinx是x的几阶无穷小量.
解: ∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)= ,讨论f(x)的连续性.
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第二章概念
1.试述关系模型的三个组成部分。
答:
关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
2.试述关系数据语言的特点和分类。
答:
关系数据语言可以分为三类:
1) 关系代数语言,例如ISBL。
2) 关系演算语言:元组关系演算语言,例如APLHA,QUEL;域关系演算语言,例如
QBE。
3) 具有关系代数和关系演算双重特点的语言,例如SQL。
这些关系数据语言的共同特点是:具有完备的表达能力;是非过程化的集合操作语言;
功能强;能够嵌入高级语言中使用。
3.定义并理解下列术语,说明它们之间的联系与区别。
答:
(1)域:域是一组具有相同数据类型的值的集合。
笛卡尔积:给定一组域D1,D2,… ,Dn,这些域可以有相同的。这组域的笛卡
尔积为
D1×D2ׄ×Dn={(d1,d2,„,dn)|di∈Di,i=1,2,„,n}
其中每一个元素(d1,d2,„,dn)叫做一个n元组或简称元组。元素中的每一个值di叫做一
个分量。
关系:在域D1,D2,„,Dn上笛卡尔积D1×D2ׄ×Dn的子集称为关系,表示
为R(D1,D2,„,Dn)。
元组:关系中的每一个元素是关系中的元组。
属性:关系也是一个二维表,表的每行对应一个元组,表的每列对应一个域。由
于域可以相同,为了加以区分,必须对每列起一个名字,称为属性。
(2)候选码:若关系中的某一属性组的值能惟一地标识一个元组,则称该属性组为候
选码。
主码:若一个关系有多个候选码,则选定其中一个为主码。
外部码:设F是基本关系R的一个或一组属性,但不是关系R的码,如果F与基
本关系S的主码Ks相对应,则称F是基本关系R的外部码,简称外码。基本关系R称为参
照关系,基本关系S称为被参照关系或目标关系。关系R和S可以是相同的关系。
(3)关系模式:关系的描述称为关系模式。它可以形式化地表示为R(U,D,dom,F),
其中R为关系名,U为组成该关系的属性名集合,D为属性组U中属性所来自得域,Dom为
属性向域的映像集合,F为属性间数据的依赖关系集合。
关系数据库:关系数据库有型和值之分。关系数据库的型也称为关系数据库模式,
是对关系数据库的描述,它包括若干域的定义以及在这些域上定义的若干关系模式。关系数
据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合,通常称为关系数据库。
4.试述关系模型的完整性规则。在参照完整性中,为什么外部码属性的值也可以为空?什么
情况下才可以为空?
答:
实体完整性规则:若属性A是基本关系R的主属性,则属性A不能取空值。
参照完整性规则:若属性(或属性组)F是基本关系R的外码,它与基本关系S的主码
Ks相对应(基本关系R和S不一定是不同的关系),则对于R中每个元组在F上的值必须为:
1)或者取空值;2)或者等于S中某个元组的主码值。
用户定义的完整性是针对某一具体关系数据库的约束条件。它反映某一具体应用所涉及
的数据必须满足的语义要求。
在参照完整性中,外部码属性的值可以为空,它表示该属性的值尚未确定,但前提条件
是该外部码属性不是其所在关系的主属性。
6.试述等值连接与自然连接的区别和联系。
答:
连接运算中有两种最为常用的连接,一种是等值连接,另一种是自然连接。θ为“=”
的连接运算,称为等值连接。它是从关系R与S的笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些
元组。
自然连接是一种特殊的等值连接,它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性
组,并且在结果中把重复的属性列去掉。