左手介质中电磁波的传播速度
电磁波在不同介质中传播的速度变化规律分析
电磁波在不同介质中传播的速度变化规律分析电磁波是一种波动现象，它在不同介质中传播时会遇到不同的阻碍和影响，导致传播速度变化。
本文将分析电磁波在不同介质中传播的速度变化规律，并探讨其相关的原理和应用。
首先，我们来看电磁波在真空中的传播速度。
根据物理学原理，真空中光速是一个常量，约为每秒299792458米。
当电磁波在真空中传播时，其速度达到了极限，不会受到其他因素的影响。
然而，一旦电磁波进入其他介质，情况就会发生变化。
对于电磁波在介质中的传播速度，我们可以运用折射定律来进行分析。
折射定律告诉我们，当电磁波从一个介质传播到另一个介质时，其传播速度会发生变化，同时也会发生折射现象。
这是由于不同介质对电磁波的阻碍程度不同所导致的。
电磁波在不同介质中的传播速度变化有着明确的规律。
根据介质的光密度（光速和介质中的光速之比），我们可以得到电磁波在介质中传播的速度。
根据光密度的不同，电磁波在不同介质中的传播速度也会不同。
对于光密度较小的介质，如气体，其光速较大。
相对于真空中的传播速度，电磁波在气体中的传播速度较慢。
这是因为气体中存在着大量分子，电磁波在传播过程中会与分子相互作用，导致传播速度减慢。
对于光密度较大的介质，如液体和固体，其光速较小。
相对于真空中的传播速度，电磁波在液体和固体中的传播速度较快。
这是因为液体和固体中分子的密度更高，相互作用更加频繁，导致电磁波的传播速度增加。
值得注意的是，不同频率的电磁波在介质中的传播速度变化规律也不相同。
根据电磁波的频率和介质的性质，电磁波在介质中的传播速度会有所差异。
一般而言，低频电磁波在介质中的传播速度会较高，而高频电磁波的传播速度则相对较低。
了解电磁波在不同介质中传播速度变化的规律对于实际应用具有重要意义。
例如，根据电磁波的传播速度变化规律，我们可以利用超声波在医学领域进行体内显影。
超声波的频率较低，传播速度较高，可以通过皮肤和其他组织层进行传播，提供有关人体内部器官的重要信息。
左手材料
左手材料一、概念的提出左手材料就是介电常数ε<0、磁导率μ<0的材料，是一种人工制备的亚观材料，在自然界中不存在天然的这类材料. 当介质的介电常数和磁导率都为正值时，根据电磁波理论可知介质中的电场、磁场和电磁波传播常数(E、H、k)三者之间构成右手螺旋关系，所以这类物质被称为右手材料(right一handed materials，RHMs)。
而左手材料是指介电常数和磁导率同时为负数的材料，在这种介质中，电场、磁场和电磁波传播常数三者之间构成左手螺旋关系。
这是一种新颖奇异的材料,其通常也称负折射率材料。
1996年Pendry提出了金属线周期结构，首次制备出这个亚观的左手材料。
2001年，加州大学San Diego分校的Smith等物理学家根据Pendry等人的建议，首次制造出在微波波段具有负介电常数和负磁导率的物质。
2002年，美国加州大学Itoh教授和加拿大多伦多大学Eleftheriades教授领导的研究组几乎同时提出一种基于周期性LC网络的实现左手材料的新方法。
2002年底，麻省理工学院孔金瓯教授也从理论上证明了“左手”材料存在的合理性，他称之为“导向介质”。
2003年美国Parazzoli C G等人及Houcl等人同时分别进行了一系列成功的实验工作，样品实验的数据与模拟计算非常吻合，都晰而显著地展示出负折射现象；且在不同入射角下测量到的负折射率是一致的，完全符合Snell定律，证实了左手材料的存在。
二、左手材料的性质材料与电磁波的相互作用主要体现在材料的介电常数ε和磁导率μ这两个物理参数上。
在第一象限中,ε>0,μ>0,自然界中的绝大部分材料均处于这一象限.有少部分材料在某些状态下会处于第二象限(ε<0,μ>0),如等离子体及位于特定频段的部分金属.当ε<0,μ>0时,折射率n= √ε√μ为虚数.这意味着在这种材料中电磁波只能是消逝波(evanescent waves),因电磁波只能在折射率为实数的材料中传播.处于第四象限中的材料,其ε>0,μ<0,因而折射率也为虚数.电磁波入射到处于第四象限中的材料的行为与入射到第二象限中的材料的行为相似。
电磁波在不同介质传播速度计算公式
电磁波在不同介质传播速度计算公式电磁波是一种由电场和磁场交替变化而产生的波动现象。
在不同介质中传播时，电磁波的速度会发生变化。
电磁波在真空中的速度为光速，即299792458 m/s。
而在介质中传播时，电磁波的速度通常会下降。
本文将介绍电磁波在不同介质中传播速度计算的公式。
1. 真空中传播的电磁波速度公式真空中传播的电磁波速度公式为：v=c其中，v为电磁波在真空中的速度，c为光速，即299792458 m/s。
2. 电磁波在折射率为n的物质中传播的速度公式当电磁波传播时遇到介质界面时，由于介质的折射率不同，其速度也会发生变化。
设电磁波在真空中的速度为v1，介质中的折射率为n，则电磁波在介质中的速度为：v2=v1/n其中，v2为电磁波在介质中的速度。
3. 电磁波在两层介质中传播的速度公式在两层介质中传播时，电磁波的速度可以通过介质的折射率计算。
设电磁波在介质1中的速度为v1，折射率为n1；在介质2中的速度为v2，折射率为n2，则两层介质中的电磁波速度为：v=v1n1/((n2-n1)v2+n1v1)其中，v为电磁波在两层介质中的速度。
4. 电磁波在导体中传播的速度公式导体是一种介质，其内部的电子运动会干扰电磁波的传播，导致电磁波速度下降。
导体中电磁波的速度可以通过介质的损耗和电导率计算。
设导体中电磁波的电导率为σ，损耗因子为α，则电磁波在导体中的速度为：v=c/(sqrt(1+(αλ)/(2πσ))^2)其中，v为电磁波在导体中的速度，c为光速，λ为电磁波的波长。
总之，在不同介质中传播的电磁波速度是由各种因素共同作用的结果。
不同类型的介质都具有不同的电磁波速度计算公式。
这些公式为我们理解电磁波在介质中的传播特性提供了重要的数学工具。
电磁波在介质中的传播速度公式
电磁波在介质中的传播速度公式电磁波在咱们的日常生活中那可是无处不在呀！从手机信号到 Wi-Fi 网络，从广播电视到卫星通信，都离不开电磁波。
那电磁波在介质中的传播速度公式，可是个相当重要的知识点。
咱们先来说说电磁波到底是个啥。
想象一下，电磁波就像是一群在介质里奔跑的小精灵，它们以波的形式向前冲。
而这个介质呢，就像是它们奔跑的道路，不同的道路条件会影响它们奔跑的速度。
电磁波在真空中的传播速度那可是相当快，约等于3×10^8 米每秒。
但一旦进入介质，情况就变得复杂起来啦。
电磁波在介质中的传播速度公式是：v = c / n 。
这里的 v 就是电磁波在介质中的传播速度，c 是真空中的光速，而 n 则是介质的折射率。
折射率这个概念可能有点抽象，咱们来打个比方。
比如说，光从空气进入水中，水就相当于一种介质。
在水里，光的传播速度就会变慢，这是因为水的折射率比空气大。
就像我之前有一次去潜水，当我戴着潜水镜潜入水中，我发现我看到的东西都有点变形了。
原本在水面上看起来直直的杆子，到了水下就好像弯曲了。
这其实就是因为光在水这种介质中的传播速度发生了变化，导致了光线的折射。
再回到电磁波的话题。
不同的介质具有不同的折射率，这也就导致了电磁波在不同介质中的传播速度有所不同。
比如电磁波在玻璃中的传播速度就比在空气中慢。
在实际生活中，这个公式的应用可广泛啦。
比如说在光纤通信中，我们需要知道电磁波在光纤这种介质中的传播速度，才能保证信息的准确传输。
还有在医学上的 X 光检查，X 光也是一种电磁波，医生们需要了解它在人体组织这种介质中的传播情况，才能更好地诊断病情。
在物理学的研究中，对于电磁波在各种介质中的传播速度的研究，也有助于我们更深入地理解物质的性质和宇宙的奥秘。
总之，电磁波在介质中的传播速度公式虽然看起来简单，但它背后蕴含的科学原理和实际应用可真是丰富多样。
咱们只有深入理解它，才能更好地掌握电磁波的奥秘，让它为我们的生活带来更多的便利和惊喜！。
左手材料(Left-Handed
自然界中物质的μ和ε一般都与电磁波频率有关，并且在 大多数情况下都为正数，此时方程(1)有波动解，电磁波能在 其中传播。对于无损耗、各向同性、空间均匀的介质，由 右手材料 左手材料 ( < 0, < 0) Maxwell方程组能推出 ( > 0, > 0)
光刻蚀技术(photolithography) 近场光学显微仪 (near-field optical microscopy) 可选波长的滤光器 (wavelength-tunable filter) 光学显示器 (optical displays)
Fig 5. (A) A negative index metamaterial formed by SRRs and wires deposited on opposite sides lithographically on standard circuit board. The height of the structure is 1 cm. (B) The power detected as a function of angle in a Snell’s law experiment performed on a Teflon sample (blue curve) and a negative index sample (red curve). Shelby R. ,Smith D.R. ,et al ,Science ,2001,292,77
折射光仍然满足Snell定律 n1 sin 1 n 2 sin 2
E1
H1
1
( 1 >0, 1 >0 )
v k k
H2
v S S
电磁波在左手材料中的传播
·226·一、左手材料的来源众所周知，介电常数和渗透率是电磁研究中两个最重要的物理参数，而电磁波在物质中的传播特性也是由它们决定的。
在自然界中，介电常数和电导率都大于零。
当电磁波在介质中传播时，电场矢量E 、磁场矢量H 和波矢量k 三者之间遵循的是右手螺旋定则，这是传统的材料，称它为右手材料。
然而介电常数有时也会出现负值。
接下来，将给出详细的分析。
大多数自然界存在材料都处于第一象限(0,0>>µε)。
但是在第二象限(0,0><µε)中也有个别的材料，如等离子体及位于特定频段的部分金属。
在第二象限，因为0,0><µε，所以折射率µε=n 为虚数是虚数。
由于电磁波只能在实数折射率的材料中传播，所以说电磁波在这种材料中传播时只能是消逝波,在第四象限中0,0<>µε，所以折射率同样是个虚数。
电磁波在第四象限的性质和第二象限的材料性质类似。
在第三象限中0,0<<µε，因此折射率是实数。
但是它与电磁波在第一象限中材料的传播性质完全不同。
在第三象限中，电磁波的能流密度和波矢量是反平行的，也就是说电磁波的群速度和相速度是反平行的。
在0,0<<µε的材料中，麦克斯韦方程组仍然允许电磁波传播，但要求材料的折射率n 必须为复数。
左手材料是一种负介电常数和磁导率的新型人工合成材料，其折射率为负，因此具有不同于右手材料的独特性能。
平面电磁波，也可以在负介电常数和负磁导率的材料中传播，电磁波此时的电场矢量E 、磁场矢量H 和波矢量k 之间遵循左手螺旋定则，这种材料称它为左手材料。
其实自然界中并没有这种材料。
因此，有关左右材料的研究很少。
直到1968年，前苏联科学家V.G.Veselago 通过计算，预测介质介电常数和磁导率都取负值时，电磁波的传播将表现出不同寻常的物理性质。
交指型左手微带天线研究
图３．４支路四单元等幅同相馈电结构示意图和模拟结果………………………．．３５
图３．５干路四单元等幅同相馈电结构示意图和模拟结果…………………………３６ 图３．６ ４ｘ４等幅同相馈电结构示意图和模拟结果………………………………．．３８ 图３．７ Ｌ波段４ｘ４左手微带天线阵列……………………………………………．．３９ 图３．８ Ｌ波段４ｘ４左手微带天线阵列实物图与回波损耗结果…………………．．４１ 图３．９ １．６０３ＧＨｚ处Ｌ波段４ｘ４左手微带天线阵列方向图………………………４２
图２．１１ １．６ＧＨｚ处小型化交指型左手微带天线方向图…………………………．．２２ 图２．１２ Ｌ波段传统微带天线和小型化左手微带天线实物图及测试结果………２３
Ｖ
图表目录
图２．１３小型化交指型左手微带天线单元色散曲线图……………………………２５
图２．１４小型化交指型左手微带天线和传统微带天线的ＲＣＳ对比……………．．２７
ａｎｔｅｎｎａ（ＩＬＨ—ＭＳＡ）ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｔｏ
ｅｌｉｓＢ）．＇ｅ
Ｏｉｌ
ｒａｄｉ ａＩｉｏｎ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ，ｔｈｅ ａｖａｉｌａｂｌｅ ｒａａｇｅｓ ｏｆ
１ｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ＩＬＨ－ＭＳＡ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｏｂｔａｉｎｅｄ
ａｓＩＬｒｉ
Ｔｈｅｎ，ａｎ
图２．１５宽波束左手微带天线………………………………………………………．．２８ 图２．１６宽带左手微带天线…………………………………………………………２９
图３．１并联馈电……………………………………………………………………．．３２
图３．２串联馈电………………………………………………………………………３２ 图３．３等路径长度馈电……………………………………………………………．．３３
探讨电磁波在不同介质中的传播速度和频率的关系
汇报人：XX
目录
电磁波的基本特性
01
介质对电磁波传播的 影响
02
电磁波在不同介质中 的传播速度
03
电磁波的频率与传播 速度的关系
04
实际应用与案例分析
05
结论与展望
06
电磁波的基本特 性
电磁波的定义
电磁波是电磁场 的一种传播形式， 由电场和磁场相 互激发、相互转
电磁波的频率与传播速度成正比
高频电磁波在空气中的传播速度比低频电磁波快
电磁波的频率越高，其在同种介质中的传播速度越快
电磁波的频率与传播速度的关系遵循公式：v=fλ，其中v为传播速度，f为频率，λ为 波长
实际应用与案例 分析
无线通信中的频段划分
频段划分：根据电磁波的频率和传播速度，将无线通信频段划分为多个频段 频段特点：每个频段都有其特定的传播速度和频率范围，适用于不同的通信场景 应用案例：例如，2G、3G、4G、5G等移动通信技术，都在不同的频段上进行通信 频段选择：根据实际应用场景和需求，选择合适的频段进行通信，以提高通信质量和效率
水中的传
播速度：
约
为
225,000
公里/秒
玻璃中的
传播速度：
约
为
200,000
公里/秒
铜中的传
播速度：
约
为
231,000
公里/秒
铁中的传
播速度：
约
为
200,000
公里/秒
电磁波的频率与 传播速度的关系
频率与波长的关系
电磁波的频率与波长之间 的关系：f = c/λ
其中，f表示频率，c表示 光速，λ表示波长
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即
c kc d n k dn - 2 = v- v n n dk n dk k dn n dk
u= v 1-
dn < 0 ( 现有的左手介质材料中 , n 都小于 - 1 ,所以 dω
n +ω
在经典电动力学中 , 介质的电磁性质可以用介 电常量 ε及磁导率μ 两个宏观参数来描述 , 它们决 定着电磁波在物质中的传播特性 . 长久以来 ,人们 对各类自然物质的 ε和μ 已作了详细的研究 , 对于 大多数各向同性的自然物质 ,ε和 μ 的实部均取正 值 ; 而有些自然物质 , 如金属和等离子体 , 对于频率 低于其等离子体频率的电磁波而言 , 其 ε表现为负 值 . 但迄今为止 ,在自然界中尚没有发现ε和μ 同时 为负值的物质 . 根据 Maxwell 方程组和介质的本构 关系 ,从理论上可推出正弦时变电磁场的波动方程 , [2 ] 即 Helmholtz 方程 : 2 2 ( 1) E+ k E=0 2 2 2 ε = ω μrμ0ε 其中 k = ω μ rε 0 . 对于 ε 和 μ 都为正 数的介质 ,方程 ( 1) 有波动解 ,电磁波能在其中传播 . 2 2 ε 如果两者中一个为正数而另一个为负数 , k = ω μ < 0 , k 无实数解 , 即方程 ( 1 ) 无波动解 , 电磁波不能 2 在其中传播 . 如果介质的 ε 和 μ 都 小 于 零 , k = 2 ωμ ε> 0 , k 有实数解 ,即方程 ( 1 ) 有波动解 ,但传播 规律与在常规介质中不同 . 这种介质的 E 、 H、 k三 者间不再满足右手螺旋关系 , 而是满足左手螺旋关 系 . 1968 年 ,前苏联科学家 Vesalago 首次指出 , 当 ε 和μ 同时为负数时 ,Maxwell 方程仍然成立 ,但电磁 波将逆着波矢方向传播 , 并可表现出一些奇异的电 磁特性 ,如逆多普勒效应 、 逆斯涅耳折射效应及逆 [3 ] Cerenkov 辐 射 效 应 等 . 1996 年 , 英 国 皇 家 学 院 John Pendry 指出可以用细金属导线阵列构造介电 常量 ε为负的人工介质 . 1999 年 , 有人指出可以用 谐振环阵列构造磁导率为负的人工介质 . 2001 年美
收稿日期 :2006 - 01 - 11 ; 修回日期 :2006 - 07 - 20
[1 ]
国加州大学圣迭戈分校的 David Smit h 等人在 《Sci2
ence》 杂志上发表文章 , 沿用 Pendry 的方法构造出
了介电常量与磁导率同时为负的人工介质 , 并通过 实验观察了微波频段的电磁波通过这种人工介质与 空气的交界面时发生的 “负折射” 现象 . Vesalago 最 初称此类介质为 “左手介质” , 中文文献中有人叫做 “异向介质” . 下面对左手介质及其中电磁波的相速 和群速作些分析 .
π π π 2 c 2 2 因为 k = λ , n = ,d k = d λ = - 2 dλ,所以 v λ π v d k dn 2 = n dk λ c dk
c v
dn < - 1) ,得到 u 的方向和 v 的方向为一正 dω
λ = v
1 dv λ dv ( 23) = 2 v dλ v dλ
2. 2 群速度
在左手介质中传播的高斯波或微波都可以看成 是由众多不同频率 、 不同振幅的单色正弦波或余弦
图1 左手介质中的 ( E , H , k) 与 ( E , H , S )
式 ( 5) 表明 E 、 H 和坡印亭矢量 S 的方向始终呈右 手螺旋关系 . 坡印亭矢量 S 指示的方向是能量传播的方向 , 而 k 的方向表示相速度的方向 . 因此 , 在左手介质 (ε< 0 ,μ < 0 ) 中能量传播方向 ( 也即群速度 v g 的方 向) 与相速度的方向是相反的 ,即波前是朝着波源方 ε 向传播的 . 取 k = - ω μ 为负数 ,则介质的折射率
dn dω
( 16) ( 17) ( 18)
( 9)
令 得
π ν和 k = 2 π λ 都是不随 t 和 r 而改变的 式中 ω = 2 Π 量 . 故等相面方程为 ωt - k r = 常量 ( 10) 由此得 ωd t - k d r = 0 ,或 ω dr λ ( 11) = v= =ν dt k
两波叠加后的合成波的包络不按波的相速度 v =
一负 ,并有 v < c . 根据以上讨论可以得出结论 : S 始终与 E 、 H构 成右手螺旋关系 , 在左手介质中 , k 与 E 、 H 构成左 手螺旋关系 . S 是能流的方向 ,同时也是群速度的方 向 ; k 代表相速度的方向 , 若取 k 的方向为正 , 则 S 的方向相反 ,即负方向 . 这就是说 ,在左手介质中 ,群 速度为负群速度 ,能流的方向在负方向 ,即为负向能 流 . 对于负群速度可以形象地解释为 : 有一排汽车首 尾相接地匀速前进 ; 第一辆突然加速 ,之后又恢复原 速 ,这时第一辆和第二辆之间拉开了一个空隙 ; 紧接 着 ,第二辆突然加速 , 追上第一辆后也恢复原速 , 因 此那个空隙就移到了第二辆和第三辆之间 ; 依此类 推 ,空隙将以一定速度向后移动 ,这种移动并不携带
dω d c = k dk dk n
=
c dk d + k n dk dk
c n
= ( 21)
若 n < 0 , 则 ln n 不存在 , 所以无法推出瑞利公式 ( 20) . 从上面的讨论可以看出 , 而在左手介质中 , 由 于 n < 0 时 ,群速度方向与相速度方向相反 ,故群速 度和相速度不再满足瑞利关系 . 这一点也可由式
( 20)
dω d c = k dk dk n
k dn n dk
=
c dk d + k n dk dk
c n
= ( 27)
下面讨论瑞利公式为何不适用于左手介质 . 即 1) 当 n > 1 时
c 利用 ω = kv = k ,得 n u =
v 1 -
u= v 1-
k
dk
d ln n
( 28)
( 8)
dr dt
ξ = 2 A cos
这个速度为相位速度 ,简称相速度 . 波的场量表达式总是 t 和 r 的函数 , 可以写成 下列形式 :
E = A cos (ωt - k r)
ω1 + ω2 k1 + k2 tr ・ 2 2 ω1 - ω2 k1 - k2 cos tr = 2 2 ωt - Δ k r) cos (ωt - k r) 2 A cos (Δ ωt - Δ k r) A 0 = 2 A cos (Δ ξ= A 0 cos (ωt - k r)
H 和传播常数 k 满足右手螺旋关系 , 这类物质叫右
手介质 ( RHM , right2handed material ) , 又称同向介 质 ;而当 ε < 0 ,μ < 0 时 , E 、 H、 k 满足左手螺旋关 系 ,如图 1 ,这类介质称为左手介质 (L HM) . 表征电磁波功率流动的坡印亭矢量定义为
k=
2 电磁波在左手介质中的传播速度
2. 1 相速度
在左手介质中 ,按照波动理论 ,波速的数值由下 [5 ] 列方程决定 :
E = A cos ω t r v
( 6)
( 12) ( 13) ( 14)
不难看出 ,这里 v 代表的是单色平面波以一定相位
r 向前移动的速度 ,由等相面方程 ω t v
S = E ×H
( 5)
第 12 期
张登玉等 : 左手介质中电磁波的传播速度
15
式 ( 11) 表示的相位速度乃是严格的单色波 (ω 有单 一的确定值) 所特有的一种速度 ,单色波以 t 和 r 的 余弦函数表达 ,ω 为常量 . 这种严格的单色波的空间 和时间延续都是无穷无尽的余弦 ( 或正弦 ) 波 , 但是 这种波仅是理想的极限情况 .
ω
k
Δ ω 传播 ,而是按由式 ( 17 ) 得到的 u = Δ 速度传播 , u k 就是群速度 . 极限情况下 ,应为
16
大 学 物 理
第 25 卷
u=
dω dk
( 19)
利用 ω = kv = k
u =
c ,得 n
描述相速度和群速度关系的瑞利公式为 δv u= v-λ δ λ
2. 3 讨论
研工作 .
Δ
[ E ( r) , H ( r) ] = [ E0 e
- j k・ r
, H0 e
- j k・ r
]
( 2)
利用 Maxwell 方程可得 μH0 k × E0 = ω εE0 k × H0 = - ω 物质的本构关系为
D =εE B = εH
( 3)
( 4)
由式 ( 3) 可以看出 , 当 ε> 0 ,μ > 0 时 , 电场 E 、 磁场
代入式 ( 22) ,得
u= v-λ
dv dλ
( 24)
式 ( 24) 即为瑞利公式 . 2) 当 1 > n > 0 时 若介质是色散性质的 , 即 n = n (ω) , 则 k = ωn (ω) ,由式 ( 19) 可知
c u=
dω 1 1 = = dk dk d ωn dω dω c
v
=
c n +ω
c ck n= = 也为负数 . v ω
波叠加而成的 ,即可将任何波写成傅里叶级数或傅 里叶积分的形式 . 在无色散介质 ( 如真空 ) 中所有这 些组成波的单色平面波都以同一速度传播 , 那么该 波在传播过程中将永远保持形状不变 , 整个波也永 远以这一速度向前传播 . 但是除真空以外 ,任何介质 通常都具有色散的特征 ,也就是说 ,各个单色平面波 各以不同的相速传播 ,其大小随频率而变 ,所以由它 们叠加而成的波在传播过程中将不断改变其形状 . 在寻常介质中 , E ×H 给出平面波的传播方向 , 同时也是能流方向 . 而对于 μ 和ε同时为负数的左 手介质 , E ×H 的方向仍是能流方向 ,但波的传播方 向 ( 相速度的方向) 却反了过来 . 由于群速度是波包 振幅的传播速度 ,因此也是能量传播的速度 . ω, 假定两列波具有不同的角频率 : ω1 = ω + Δ ω2 = ω - Δ ω , 具有相同的振幅 A , 并沿相同方向传 播 ,则可表为 : ξ 1 = A cos (ω 1 t - k 1 r) ξ 2 = A cos (ω 2 t - k 2 r)