§2 曲面论基本定理

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作者：王幼宁
推论 1，可知在区域 U0 内 σ(S*) 与 S 重合；此即在区域 U0 内 S* 与 S 合 同．
关于解曲面，其局部存在性保证其在区域 U 内具有可延拓性，而其局 部唯一性保证其在单连通区域 U 内的任意延拓与途径无关；从而解曲面在 单连通区域 U 内具有合理延拓，结论得证． □
① ϕ = du2 + dv2 , ψ = du2 + dv2 ； ② ϕ = du2 + cos2u dv2 , ψ = cos2u du2 + dv2 ． ⒊ 设正则曲面 S 在参数 (u, v) 下的第一和第二基本形式为
Ⅰ= (1 + u2) du2 + u2 dv2 , Ⅱ=
du2 + u2 dv2 1 + u2
注记 ① 解曲面不一定能“解出显式”． ② 利用有限覆盖和局部唯一性可以证明解曲面在单连通区域 U 内的 任意延拓与途径无关，而在复连通区域内的延拓与途径有可能相关．
例 已知对常数 a ≠ 0 ，正螺面
r = r(u, v) = (v cos u , v sin u , au) , −∞ < u < +∞ , −∞ < v < +∞ 的第一和第二基本形式分别计算为
从上述过程中可以进一步体会标架空间在几何学中的合理运用．
二．曲面论基本定理的证明和说明
曲面论基本定理的证明 对于推论 1 所确定的单连通区域 U0⊂U ，推 论 1 和推论 2 说明方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下所存在 的唯一解 {r; r1, r2, n} 对应于解曲面 S: r(u1, u2) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下在区域 U0 内的存在性和唯一性结论．以下需要证明解曲面在区域 U0 内的唯一性结论②．
推论 2 在曲面论基本定理条件下，对于推论 1 所确定的单连通区域 U0⊂U ，方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下的唯一解 {r; r1, r2, n} 是正则曲面 S: r(u1, u2) 的自然标架场，并且其第一和第二基本形式的 系数函数组 gij =⎯gij ，Ωij =⎯Ωij ．
由Gauss-Codazzi方程的导出过程可见，方程组 (2.1) 解函数的二阶偏导次序
可交换的充要条件即为⎯g 和⎯Ω 满足Gauss-Codazzi方程，故可得下列引理
1，并由Darboux定理得到推论 1．
引理 1 在曲面论基本定理条件下，方程组 (2.1) 是完全可积的，即： 若方程组 (2.1) 有解 {r; r1, r2, n} ，则解函数的二阶偏导可交换次序．
引理 2 在曲面论基本定理条件下，对于推论 1 所确定的单连通区域 U0⊂U ，方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下的唯一解 {r; r1, r2, n} 一定满足
(2.4)
ri•rj =⎯gij ，
ri•n = 0 ， n•n = 1 ，
i, j = 1, 2 ．
任意取定一点 (u01, u02)∈U ，任意取定右手标架 {r0; (r1)0, (r2)0, n0} ，考 虑微分方程组 (2.1) 在初始条件
(2.2)
r(u01, u02) = r0 , ri(u01, u02) = (ri)0 , i = 1, 2 n(u01, u02) = n0 ,
之下的解，并且满足适定条件
实可以受到途径的影响．形象地看，正螺面的“一个螺纹”对应于在参数
(x, y) 下保持唯一性的解存在的“极大范围”． □
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作者：王幼宁
习题
⒈ 设曲面 S 在参数 (u, v) 下的第一和第二基本形式为Ⅰ=Ⅱ= du2 + cos2u dv2 ．试证曲 面 S 是单位球面的一部分．
⒉ 下列微分形式组 ϕ, ψ 能否分别成为某张正则曲面在参数 (u, v) 下的第一和第二基本 形式？
(r1, r2, n) > 0 ，
证明 [想法是等价地转化为一阶线性常微分方程组的解的存在唯一性 问题] 沿着从 (u01, u02)∈U0 出发的任意一条曲线 Γ: ui = ui(t) , i = 1, 2 ，函 数组 {r; r1, r2, n} 由 (2.1) 式直接可验证满足下列三组等式：
作者：王幼宁
第五章 曲面论基本定理
§2 曲面论基本定理
关于曲面如何依赖于其第一和第二基本形式，本节将要做出回答．一 方面，关于唯一性，需要确定具有相同的第一和第二基本形式的曲面是否 合同；另一方面，关于存在性，需要确定什么样的函数组能够成为正则曲 面第一和第二基本形式的系数函数组．利用自然标架场的运动公式，以下 的理论证明建立在相应的微分方程组的解的存在唯一性定理——Darboux 定理的基础之上．
曲面论基本定理 给定 (u1, u2) 平面上的单连通区域 U ．给定 U 上 C2 函数⎯gij 和 C1 函数⎯Ωij ，使⎯g = (⎯gij)2×2 正定、⎯Ω = (⎯Ωij)2×2 对称，并且⎯g 和⎯Ω 满足Gauss-Codazzi方程．则在 E3 中
① 存在正则曲面 S: r = r(u1, u2) , (u1, u2)∈U ，使其第一和第二基本形 式的系数函数组 gij =⎯gij ，Ωij =⎯Ωij ；
已知方程组 (2.1) 在区域 U0 内的两张解曲面 S: r = r(u1, u2) 和 S*: r = r*(u1, u2) 同时以 (u1, u2) 为参数并具有相同的第一和第二基本形式的系数函 数 组 gij = g*ij ， Ωij = Ω*ij ； 要 证 这 两 张 曲 面 合 同 ． 任 取 定 点 (u01, u02)∈U0 ，这两张曲面在此对应点的自然标架分别记为 {r0; (r1)0, (r2)0, n0} 和 {r*0; (r*1)0, (r*2)0, n*0} ，则这两个右手标架之间相差一个线性变换；因为 这两个右手标架的度量系数矩阵相同，所以其间相差的线性变换是一个平 移和正交变换的复合，并且该变换对应于一个刚体运动 σ : E3→E3 ．由于 第一和第二基本形式的系数函数组在刚体运动下都不变，故不妨设 S* 在 σ 下的像 σ(S*) 在点 (u01, u02) 处的自然标架重合于 {r0; (r1)0, (r2)0, n0} ．再由
(ri•rj −⎯gij)k = rik•rj + ri•rjk −⎯gijk = ⎯Γilkrl•rj +⎯Ωikn•rj +⎯Γjlkrl•ri +⎯Ωjkn•ri −⎯gijk =⎯Γilk(rl•rj −⎯glj) +⎯Γjlk(rl•ri −⎯gli) +⎯Γilk⎯glj +⎯Γjlk⎯gli −⎯gijk
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作者：王幼宁
(2.3)
[ri•rj](u01, u02) =⎯gij(u01, u02) ,
[ri•n](u01, u02) = 0 ,
i, j = 1, 2 ．
[n•n](u01, u02) = 1 ，
此即：考虑自然标架场 {r; r1, r2, n} 所满足的一阶线性偏微分方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 下的解的存在性以及在适定条件 (2.3) 下的解的性质．而
= (x2 + y2 + a2)
(x dy − y dx)2 (x2 + y2)2
+
(x dx + y dy)2 x2 + y2
，
Ⅱ=
2aρ cosθ sinθ a2 + ρ 2
dθ 2
+
2a a2 + ρ 2
dθdρ
=
2axy(x dy − y dx)2 (x2 + y2)2 (x2 + y2)( a2 + x2 + y2)
+
2a(x dy − y dx)(x dx + y dy) (x2 + y2) (x2 + y2)(a2 + x2 + y2)
．
这说明正螺面位置向量为 (x, y) 的多值函数，而在参数 (x, y) 下的第一和第
二基本形式系数分别为 (x, y) 的单值函数；此即说明，在二连通区域内由预
定的第一和第二基本形式系数函数组反解而确定曲面时，局部解的延拓确
推论 1 在曲面论基本定理条件下，∀(u01, u02)∈U ，存在单连通区域 U0⊂U ，满足 (u01, u02)∈U0 ，使方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 下存在唯一一 组解 {r; r1, r2, n} ．
注记 一般而言，单连通条件是必要的．从本质上看，微积分学相应 的结论是说，单连通区域上的二元函数 f(u1, u2) 若具有连续的二阶偏导函 数且偏导次序可交换，即 fij = fji ，则沿路径的积分 ∫ df = ∫ fidui 只依赖于路 径的端点而与中间途径选取无关，从而使二元函数 f 是单连通区域上的单 值函数．
② 上述曲面 S 在合同意义下是唯一的．
一．相关方程及其解的性质
首先建立并考察一阶齐次线性偏微分方程组
(2.1)
∂r ∂ui
= ri ,
∂ri ∂uj
=⎯Γikjrk +⎯Ωijn ,
∂n ∂ui
= −⎯Ωil⎯glk rk ;
其中 (⎯gij)2×2 =⎯g−1glj)i + (⎯gli)j − (⎯gij)l]⎯glk ，i, j, k, l = 1, 2 ．
Ⅰ = ds2 = (v2 + a2)du2 + dv2 ，
Ⅱ=
2av cos u sin u a2 + v2
du2 +
2a a2 + v2
dudv ，
反解时其局部解可以任意延拓．若更换参数，取 (x, y) 平面上的极坐标系，