2013李伟明数量关系讲义下
数量关系系统课讲义(1~3-解题技巧)
数量关系系统课讲义第一章解题技巧第一节代入排除法代入排除是数量关系第一大法。
代入排除顾名思义是将答案选项代入原题目，与题意不符的选项即可排除，最终得出正确答案。
优先使用代入排除的题型：（1）多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程等。
（2）无从正面下手的题目，可以考虑代入排除。
例题【例1】四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30 岁，四人年龄之乘积能被2700 整除且不能被81 整除。
则四人中最年长者多少岁？（）A．30 B．29 C．28D．27【年龄问题】本题问年龄最大的，所以从30岁开始代入，排除A、B，C正好符合条件（28*27*26*25）【例2】已知张先生的童年占去了他年龄的1/14，再过了1/7 他进入成年，又过了1/6 他结婚了，婚后3 年他的儿子出生了，儿子7 岁时，他们的年龄和为某个素数的平方，则张先生结婚时的年龄是：A．38 岁B．32 岁C．28 岁D．42 岁【年龄问题】32+10+7=49=72【例3】有一些信件，把它们平均分成三份后还剩2 封，将其中两份平均三等分还多出2 封，问这些信件至少有多少封？（）A. 20B. 26C. 23D. 293*7+2=237*2=3*4+2【例4】办公室小张新买了一辆汽车，车牌号除了汉字和字母外有四位不含零的号码，号码的千位数比个位数大2，百位数比十位数大。
如果把号码从右向左读出的数值加上原来的号码数，正好等于16456。
问此号码的千、百位数各是多少？（）A.9、3B.8、4C.7、5D.6、69317+7139=16456【例5】在公司年会表演中，有甲、乙、丙、丁四个部门的员工参演。
已知甲、乙两部门共有16 名员工参演，乙、丙两部门共有20 名员工参演，丙、丁两部门共有34 名员工参演。
且各部门参演人数从少到多的顺序为：甲<乙<丙<丁。
由此可知，丁部门有多少人参演？A．16 B．20 C．23D．25 甲、乙、丙、丁分别为：7、9、11、23练习【练1】小李的弟弟比小李小2 岁，小王的哥哥比小王大2 岁、比小李大5 岁。
2013-2019国考地市-数资题本 (讲义+笔记) (4)
2016 国考地市-数资（讲义）数量关系（共 10 题，参考时限 15 分钟）在这部分试题中，每道题呈现一段表述数字关系的文字，要求你迅速、准确地计算出答案。
请开始答题：61.某电器工作功耗为 370 瓦，待机状态下功耗为 37 瓦，该电器周一从 9：30 到17：00 处于工作状态，其余时间断电。
周二从 9：00 到24：00 处于待机状态，其余时间断电。
问其周一的耗电量是周二的多少倍？A.10B.6C.8D.562.某单位组建兴趣小组，每人选择一项参加。
羽毛球组人数是乒乓球组人数的 2 倍，足球组人数是篮球组人数的 3 倍，乒乓球组人数的 4 倍与其他 3 个组人数的和相等。
则羽毛球组人数等于：A.足球组人数与篮球组人数之和B.乒乓球组人数与足球组人数之和C.足球组人数的 1.5 倍D.篮球组人数的 3 倍63.某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔 2 天、乙部门每隔 3 天有一个发布日，节假日无休。
问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？A.5B.2C.6D.364.某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环境，一侧每隔 3 棵银杏树种 1 棵梧桐树，另一侧每隔 4 棵梧桐树种 1 棵银杏树，最终两侧各种植了 35 棵树。
问最多栽种了多少棵银杏树？A.33B.34C.36D.3765.某集团三个分公司共同举行技能大赛，其中成绩靠前的 x 人获奖。
如获奖人数最多的分公司获奖的人数为 y，问以下哪个图形能反映 y 的上、下限分别与x 的关系？66.李主任在早上 8 点30 分上班之后参加了一个会议，会议开始时发现其手表的时针和分针成 120 度角，而上午会议结束时发现手表的时针和分针成 180 度角。
问在该会议举行的过程中，李主任的手表时针与分针成 90 度角的情况最多可能出现几次？A.4B.5C.6D.767.为加强机关文化建设，某市直机关在本系统内举办演讲比赛，3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连。
2013-2019国考地市-数资题本 (讲义+笔记) (7)
2013 国考地市-数资（笔记）数量关系【注意】很多同学会下意识地放弃数量，因为觉得国考本身时间就不够，再做数量题就更没时间了，但建议大家最好留 10 分钟的时间做数量题，可以做 4～ 5 题，然后蒙剩余的题目，可以与其他考生拉开差距，国考中有的岗位的竞争是非常激烈的，因此建议大家尽量做一做。
国考的题目出得比较正规，有中档题，也有送分题。
61.某单位 2011 年招聘了 65 名毕业生，拟分配到该单位的 7 个不同部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？A.10B.11C.12D.13【解析】61.判定题型，已知行政部门分得的毕业生人数最多，求最多的最少有多少名，则本题为最值问题中的构造数列类题型。
（1）排序定位：构造 1～7 的名次，行政部门为人数最多的部门；（2）问谁设谁：设行政部门分得的毕业生人数为 x 名；（3）反推其他：总人数一定，要想行政部门分得的毕业生人数最少，则其他部门分得的毕业生人数应当尽可能多，因此排名第二的部门分得的毕业生人数为（x-1），本题与之前做过的题目的不同之处在于——没有“各不相同”的要求，则可以考虑并列，排名第三到第七的部门分得的毕业生人数均为（x-1）人；（4）加和求解：x+6*（x-1）=65→7x-6=65→7x=71→x=10.1+，问至少，则为“≥”，向上取整，为 11 人，对应 B 项。
【选B】【注意】1.没有“各不相同”，一定要考虑并列。
2.多退少补：问多取少，问少取多；问至少向上取整，问至多向下取整。
3.有同学列式：65/7，将求得的整数解+2，这样做也是可以的，但老师不建议这样做，因为换一个数据可能就无法使用了，考场中建议直接套公式求解，比较快速。
【知识点】构造数列类：1.题型特征：某个主体最多/少；最多/少……最……。
2.方法：排序定位——问谁设谁——反推其它——加和求解。
62.阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为 1 米，地面部分的长度为 7 米。
李委明数量关系讲义
C.132 D. 117 D. 121
D.136
【例 5】5、12、21、34、53、80、 （ ） A. 121 B. 115 C. 119 【例 6】7、7、9、17、43、 （ A. 119 B. 117 【例 7】1、9、35、91、189、 （ A. 361 B. 341 ） C. 123 ） C. 321
公 务
员
，
司
法 考
111= 119= 133= 5、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 101、103、107、109、113、127、131、137、139、149 、151 157、163、167、173、179、181、191、193、197、199
D.226 D.228 D.49
更
多
公 务
员
，
司
请
第二节
例 题 精 讲 【例 1】1、10、31、70、133、( A.136 B.186 ) C. 136 ) C.185
三级数列
) C.226 D.140 D.196 D.256
【例 2】0、4、16、40、80、 ( A. 160 B. 128 【例 3】0、1、3、8、22、63、( A.163 B.174 【例 4】1，8，20，42，79， （ ） A.126 B.128
3
李委明
数量关系内部讲义
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法 考
试
资 料
《数量关系》2015最新李委明讲义
式？
A. 9
B. 12
C. 14
D. 16
● 题型三：分配插板型
【例 5】把 9 个苹果分给 5 个人，每人至少一个苹果，那么不同的分法一共有多少种？
A.30
B.40
C.60
D.70
【例 6】（陕西 2013-80）某领导要把 20 项任务分给三个下属，每个下属至少分得三项
任务，则共有（ ）种不同的分配方式。
A.101
B.175
C.188
D.200
第 06 讲 拓展牛吃草
一、题型评述
牛吃草问题还可能出现新的变化，这类考题不是牛吃草问题的重点，但仍然值得关注。
二、破题密钥
仍然使用表格法来解题，但需要做一些修正。
三、例题精析
核心提示 如果草场有面积区别，如“M 头牛吃 W 亩草”时，N 用“M/W”代入，此时 N 代表单位面 积上的牛数。
● 题型二：归纳法
【例 2】十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走完此楼梯共有多少种方法？
A.55
B.67
C.74
D.89
【例 3】（深圳 2011-13）已知一对幼兔能在一月后长成一对成年兔子，一对成年兔子能 在一个月后生出一对幼兔，如果现在给你一对幼兔，问一年后共有（ ）对兔子。（假设每对
三、例题精析
● 题型一：枚举法
【例 1】（国家 2011-80）一个班的学生排队，如果排成 3 人一排的队列，则比 2 人一排
的队列少 8 排；如果排成 4 人一排的队列，则比 3 人一排的队列少 5 排。这个班的学生如果
按 5 人一排来排队的话，队列有多少排？
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【数量关系】讲义
} 第1页
数量关系
课堂导语
【授课内容】 数学运算部分， 具体包括历年考试中的重点题型： 行程问题、 几何问题等； 常用方法： 赋值法、代入排除法、列举法等；基本解题思想：构造、列图表等。
【授课特色】 每个课件 30 分钟左右，内容形似多样、方法简单易懂、语言简洁明了； 每个课件包括考点命题特征、解题技巧，全方位了解考点相关内容。
重点题型
【例 2】牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青草 供给 10 头牛可以吃 20 天，供给 15 头牛吃，可以吃 10 天。供给 25 头牛吃，可以吃 多少天？( A. 6 C. 4 ) B. 5 D. 3
【例 3】某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观 众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开 4 个入场口需 50 分钟，若同 时开 6 个入场口则需 30 分钟。问如果同时开 7 个入场口需几分钟？( A. 18 分钟 C. 22 分钟 B. 20 分钟 D. 25 分钟 )
【例 2】 连接正方体每个面的中心构成一个正八面体(如下图 所示)。已知正方体的边长为 6 厘米，问正八面体的体积为多少 立方厘米？( A. 18 2 C. 36 ) B. 24 2 D. 72
参考答案：BBDDD CABC
第二讲
赋值法
重要方法
【例 1】某网店以高于进价 10%的定价销售 T 恤，在售出 余下的 T 恤全部售出，该网店预计盈利为成本的：( A. 3.2% C. 1.6% B. 不赚也不亏 D. 2.7% )
几ห้องสมุดไป่ตู้问题
常用周长公式 正方形周长 C正方形 = 4a ；长方形周长 C长方形 = 2( a + b) ；圆形周长 C圆 = 2π R 常用面积公式
数量关系讲义
B．6 D. 0
） 。 （08 河南法检）——47 A. 188690 B. 188790 C. 188890 D. 188990 A． 98 B． 99 C．100 D．101
例：2，9，25，49， （
）
一个人的成功不取决于他的智慧，而是毅力！——京佳格言
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3. 求解数字推理的基本思路： 第一：看走向
第二：找特殊
第三：前三项
第四：去拆项
二、各种规律、出题类型、及特点： 1. 等差数列： 特点：
类型： 差：后项减去前项后仍然是一个等差数列： （1） 例：1，8，20，42，79， （ ） A. 126 B. 128 C. 132 D. 136 （2） 差： 例：247，18，229，-211， （ ） （06 河南招警） A．-358 B．445 C．0 D．440 2. 求和数列： 特点：
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第二节 解应用题的注意事项：
数学运算
1． 认真审题，快速准确地理解题意，并充分注意题中的一些关键信息。切忌被题中一些枝节所诱导，落 入出题者的圈套中。 2． 努力寻找解题捷径。多数计算题都有“捷径”可走，盲目计算虽然也可以得出答案，但贻误宝贵的时 间往往得不偿失。 3． 尽量事先掌握一些数学运算的技巧、方法和规则，熟悉一下常用的基本数学知识（如比例问题、百分 数问题、行程问题、工程问题等） 。 4． 学会使用排除（代入）法来提高命中率。在时间紧张而又找不出其他解题捷径的情况下，可对部分选 项进行排除，尤其是一些计算量大的题目，可以根据选项中数值的特点、尾数、位数等方面来排除， 提高答对题的概率。 5． 数学运算尽可能采用心算和速算。数量关系测验时间紧，题量大，速度要求快，只有采用心算，才能 节约时间，加之运算题都比较简单，也无需笔算。另外，心算时最好也不要硬算，寻找简单的速算方 法，几乎每道运算题都能找到巧妙的方法，这样，不但可以提高速度，还可以提高准确度。 6． 适当进行一些训练，了解一些常见的题型和解题方法。增强对数学语言的理解分析能力。 例：甲、乙两人岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数。这个质数的数字之和是 13，甲比乙 也刚好大 13 岁，那么甲、乙各是几岁？（ ） A. 40，27 B. 42，26 C. 29，16 D. 35，22
李委明 数量关系
数学运算一、尾数法：173x173x173-162x162x162=（）A926183 B936185 C926187 D926189解析：此题答案很明显是选D。
大家肯定都选对了，其实也就是我们介绍的尾数法。
那么，今晚我在此题目做了一点点改动。
请看屏幕：变形：173x173x173-162x162x162=（）A956189 B 936189 C 946189 D926189此题发现运用原始的尾数法已经不能简单的得出答案了，“弃九法”173除以9的余数是多少?再看（1+7+3=11）除以9 的余数多少？是不是相同啊?都是21、计算时，将计算过程中数字全部都除以9，留其余数进行相同的计算。
2、计算时，如有数字不在0-8之间，通过加上或减去9或9的倍数达到0-83、将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。
注意：弃九法只用在+、-、x三种运算中，不建议在除法中使用。
173，1+7+3=11 弃九，即11除以9得到的余数是2，那么162=1+6+2=9 弃九 9除以9得到的余数是0.那么此题就变成了， 2x2x2-0=8,8除以九余数还是8那么选项A 956189， 9+5+6+1+8+9=38弃九得到的余数是2，不是8排除B选项 936189, 9+3+6+1+8+9=36弃九得到的余数是0，排除C选项 946189， 9+4+6+1+8+5=37弃九得到的余数是1，排除D选项 926189， 9+2+6+1+8+5=35弃九得到的余数是8，正确其实这题，选项中的弃九不用这么麻烦，在实际操作中，采用划数的办法：当若干个数的和为9或9的倍数时就把这些数划掉，如A选项这个例子，956189将两个9划掉，将1,8一起划掉，剩下的不就是5,6=11余数2了。
1994x2002-1993x2003的值是（）A9 B19 C29 D39解法一：使用弃九法依然可以得到5x4-4x5=0选项当中只有A满足解法二:事实上，”余数估算法”不一定要以9为除数，只要条件允许，可以任何正整数为除数（只是以9为除数更加普遍和计算）本题以1993为除法计算，也就是“弃1993法”：原式1x9-0x10=9，得出A满足湖南的真题：请计算99999x22222+33333x33334的值。
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第十讲：行程问题（下）²课前自测【自测题1】（安徽2011-5）甲、乙两人同地同向直线行走，其速度分别为7千米/时、5千米/时。
乙先走两小时后甲才开始走，则甲追上乙需（）。
A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时【自测题2】（河北事业单位2011-10）一条单线铁路全长500千米，每隔25千米有一个车站，甲、乙两列火车同时从两端出发，甲车每小时行135千米，乙车每小时行驶65千米，为保证快车正点运行，慢车应给快车让路，为使等候的时间尽量短，乙车应在出发后第（）个车站等候甲车通过。
A. 5B. 6C. 7D. 10l 知识点比例原则：1. 时间相同，则路程与速度成正比；2. 速度相同，则路程与时间成正比；3. 路程相同，则时间与速度成反比。
相遇追及、流水行程问题核心公式：合成速度=速度1±速度2双人环形运动：第N次迎面相遇时，路程和为N个全程（反向运动）第N次背面追上时，路程差为N个全程（同向运动）双人往返运动：第N次迎面相遇时，路程和为2N-1（奇数列）个全程第N次追上相遇时，路程差为2N-1（奇数列）个全程l 例题精讲【例1】（浙江2011-52）A大学的小李和B大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于A、B两校之间。
现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。
问A、B两校相距多少米？（） A. 1140米 B. 980米 C. 840米 D. 760米【例2】（上海2012A-60）一艘船从A地行驶到B地需要5天，而该船从B地行驶到A地则需要7天。
假设船速、水流速度不变，并具备漂流条件，那么船从A地漂流到B 地需要（）天。
A. 40 B. 35 C. 12 D. 2【例3】（河北事业单位2011-21）自动扶梯以匀速自下向上行驶，甲每秒钟向上走1级梯，乙每秒钟向上走2级梯，结果甲30秒到达梯顶，乙20秒到达梯顶，该扶梯共有（）级。
A. 40B. 60C. 80D. 100【例4】（深圳市2011-8）英雄骑马射箭，路遇猛虎，相距50米，适逢箭矢已尽，遂驱汗血宝马逐之，意欲生擒。
今知宝马步幅较猛虎为大，宝马2步值猛虎3步，然猛虎动作较宝马迅捷，宝马奔跑3步之时猛虎已经狂奔4步，则英雄追上猛虎之时，汗血宝马跑了（）米。
A. 320B. 360C. 420D. 450【例5】（江苏2011B类-90）甲乙两人从运动场同一起点同时同向出发，甲跑的速度为200米/分钟，乙步行，当甲第5次超越乙时，乙正好走完第三圈，再过1分钟时，甲在乙前方多少米？（）A. 105B. 115C. 120D. 125【例6】甲每小时速度35千米从A地去B地，乙的速度是每小时15千米从B地去A 地，两人相向而行，第三次和第四次相遇两人的距离是100千米，问A、B两地距离是多少？A. 50B. 100C. 150D. 250【例7】（深圳市2011-7）甲乙两人从P，Q两地同时出发相向匀速而行，5小时后于M点相遇。
若其他条件不变，甲每小时多行4千米，乙速度不变，则相遇地点距M点6千米；若甲速度不变，乙每小时多行4千米，则相遇地点距M点12千米，则甲乙两人最初的速度之比为（）。
A. 2∶1B. 2∶3C. 5∶8D. 4∶3l 本讲答案：BB DBBDD DA第十一讲：几何问题²课前自测【自测题1】（江苏2011C类-34，江苏2011B类-91）过长方体一侧面的两条对角线交点，与下底面四个顶点连得一四棱锥，则四棱锥与长方体的体积比为多少？（）A. 1∶8B. 1∶6C. 1∶4D. 1∶3【自测题2】（浙江2011-54）已知一个长方体的长、宽、高分别为10分米、8分米和6分米，先从它上面切下一个最大的正方体，然后再从剩下的部分上切下一个最大的正方体。
问切除这两个正方体后，最后剩下部分的体积是多少？（）A. 212立方分米B. 200立方分米C. 194立方分米 D. 186立方分米l 知识点n 几何问题一般涉及到几何图形的边长、周长、面积、表面积、体积等相关变量，我们首先需要掌握最基础的几何公式，定位相应公式进行计算； n 对于不能直接利用公式的题目，我们往往通过“割”、“补”或者“平移”变成规则图形，然后利用公式进行计算；n 几何问题有很多重要的特性，很多题目可以利用这些几何特性来解答。
l 例题精讲【例1】（江苏2010A-26）一个正方体与其内切球体的表面积的比值是（）。
A. 1/πB. 3/πC. 6/πD. 2/π【例2】（国家2012-80）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如下图所示）。
己知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米？（A. 182 √2B. 242C. 36D. 72【例3】（北京社招2010-80）某单位计划在一间长15米、宽8米的会议室中间铺一块地毯，地毯的面积占会议室面积的一半。
若四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的宽度为多少？（）A. 3米B. 4米C. 5米D. 6米【例4】（2010年425联考-91）一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的（）倍。
A√.2 B.1.5 C. √3 D. 2【例5】如右图所示：三个半径为5cm的圆，每个圆都过另外两个圆的圆心。
请问阴影部分的面积之和为多少平方厘米？A. 29.25B. 33.25C. 39.25D. 35.35【例6】（湖北2009-100）在右图中，大圆的半径为8，求阴影部分的面积是多少？A. 120B. 128C. 136D. 144一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则：1. 所有对应角度不发生改变2. 所有对应长度变为原来的m倍3. 所有对应面积变为原来的m2倍4. 所有对应体积变为原来的m3倍【例7】（深圳教育2010A-56）等边三角形的每条边增加1/3倍，则它的面积增加了（）倍。
A.1/9B.1/3C.7/9D.4/3【例8】（山西政法2009-97）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，E为棱CC1的中点，如果将正方体的棱长扩大到3倍，则四面体E—A1BD的体积扩大为原来的多少倍？（）A. 3B. 9C. 18D. 27本讲答案：BB CCCBC BCD第十二讲：年龄问题²课前自测【自测题1】（河北招警2010-33）甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。
问多少年前，甲、乙的年龄之和是丙、丁年龄之和的2倍？（）A. 4B. 6C. 8D. 12【自测题2】（云南村官2009-20）前年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的3倍。
父亲今年（）岁。
A. 32B. 34C. 36D. 38l 知识点一般来说，年龄问题通过方程法解答最为有效，而“年龄差不变”是题型的核心所在。
例题精讲【例1】（2011年424联考-41）刘女士今年48岁，她说：“我有两个女儿，当妹妹长到姐姐现在的年龄时，姐妹俩的年龄之和比我到那时的年龄还大2岁。
”问姐姐今年多少岁?（）A. 23B. 24C. 25D. 不确定【例2】（北京2011-85）一个三口之家的年龄之和为99，其中，母亲年龄比父亲年龄的3/4大7岁，儿子年龄比母亲年龄的1/5大7岁。
问多少年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍？（）A. 12B. 14C. 15D. 10【例3】（河北2009-118）在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁。
家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子。
父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁。
四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，现在儿子多少岁？（）A. 3B. 4C. 5D. 6【例4】（内蒙古2009-10）哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在年龄的和是30岁。
问哥哥现在多少岁？A.15B. 16C. 18D. 19【例5】（北京应届2007-16）爸爸、哥哥、妹妹3个人，现在年龄和为64岁。
当爸爸是哥哥年龄3倍时，妹妹是9岁，当哥哥是妹妹年龄2倍时，爸爸34岁。
现在爸爸的年龄是（）岁。
A. 34B. 39C. 40D. 42【例6】（北京应届2008-15）甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙这么大时，乙8岁；当乙像甲这么大时，甲29岁。
问今年甲的年龄为几岁（）A. 22B. 34C. 36D. 43l 本讲答案：BB CBACC A第十三讲：容斥原理（上）²课前自测【自测题1】（上海2012A-61）某班有50位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15人，数学不及格的有19人，英文和数学都及格的有21人。
那么英文和数学都不及格的有______人。
A. 4B. 5C. 13D. 17【自测题2】（重庆法检2011-66）某专业有学生50人，现开设有A、B、C三门选修课。
有40人选修A课程，36人选修B课程，30人选修C课程，兼选A、B两门课程的有28人，兼选A、C两门课程的有26人，兼选B、C两门课程的有24人，A、B、C三门课程均选的有20人，那么，三门课程均未选的有（）人。
A. 1B. 2C. 3D. 4l 知识点n 公式法：适用于“条件与提问”都可以直接代入公式的题型；n 图示法：“条件或者提问”不能完全使用公式代入时，利用文氏图求解。
l 例题精讲核心提示两集合容斥原理公式：的个数+ 的个数－的个数＝－的个数【例1】（河南事业2010-53）某小学某班学生总数为52人。
在一次考试中有46人语文及格，有44人数学及格。
若这次考试中，语文和数学都不及格的有4人，那么这次考试语文和数学都及格的人数是：A. 22 b28 C. 38 d42【例2】（河北2011-49）某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之，没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人A. 13 b10 c8 d 5【例3】（黑龙江2010-50，广东2008）某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。
其中有12人穿白色上衣蓝裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？（A. 12 B. 14 C. 15 D. 29A. 15B. 16C. 17D. 18【例5】（北京社招2009-24）对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？A. 4B. 6C. 7D. 9核心要点当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。