根式函数的性质及其应用
根式的知识点总结
根式的知识点总结一、根式的定义根式是求一个数的n次方根的运算，表示为√a，其中a为被开方数，n为指数。
如果n 为2，则称为开平方；n为3，则称为开立方；一般地，n为正整数，则称为开n次方。
根式也可以表示为a的1/n次方。
二、根式的性质1. 若a≥0，则√a存在且是实数；若a>0，则√a>0。
2. 根式的值唯一，即√a的值只有一个。
3. 若a＞b＞0，则√a＞√b。
4. 根式的运算律：①√(a×b)=√a×√b；②√(a÷b)=√a÷√b；③√(a±b)=√a±√b。
三、根式的化简对于根式的化简，我们首先需要找出被开方数的因数，然后利用根式的运算规律和因数分解法进行化简。
具体步骤如下：1. 将被开方数a分解成质因数的乘积形式：a=p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ。
2. 对开根号进行因数分解：√a=√(p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ)。
3. 利用根式的运算规律化简：√a=√(p₁^m₁)×√(p₂^m₂)×⋯×√(pₙ^mₙ)。
化简根式的目的是为了简化计算和做题的过程，避免繁琐的计算和错误的产生。
四、根式的运算规则1. 加减法运算对于根式的加减法运算，首先要将根式化为同类项，然后按照同类项的相加减法则进行计算。
具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相同指数的根式进行加减法运算。
例如：√3+√5=√3+√52√3-√5=2√3-√52. 乘法运算对于根式的乘法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相乘的根式进行乘法运算。
例如：√3×√5=√(3×5)=√15(2√3)×(3√5)=2×3×√(3×5)=6√153. 除法运算对于根式的除法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相除的根式进行除法运算。
高中数学-根式
∵－3<x<3，
∴－4<x－1<2,0<x＋3<6.
当－4<x－1<0，即－3<x<1 时，
|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；
当 0≤x－1<2，即 1≤x<3 时，
数 学
|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.
必
修 ①
· 人 教
∴ x2－2x＋1－ x2＋6x＋9＝－ －24x－2
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
[解析]
5
(1)
－25＝－2.
6
(2)
π－46＝6
4－π6＝4－π.
4
(3)
x＋24＝|x＋2|＝－x＋x－2 2
x≥－2 x<－2 .
数
7
(4)
x－77＝x－7.
学
必
修
①
·
人
教
A
版
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
『规律方法』 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然 后运用根式的性质进行化简或求值．
修
① n次方根的个数要求．
·
人
教
A
版
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
[解析] (1)∵(±9)2＝81，∴81 的平方根为±9，即 a＝±9. 又(－2)3＝－8，∴－8 的立方根为－2，即 b＝－2. ∴a＋b＝－9－2＝－11 或 a＋b＝9－2＝7，∴a＋b＝－11 或 7.
(2)①由于 6 为偶数，所以 x＝±6 2016.
[分析]
去根号，化为含绝 对值的形式
小学数学根式的基本概念与运算课件
目录
01.
02.
03.
04.
05.
根式：表示一个数的平方根的代数式 根号：表示一个数的算术平方根的符号 被开方数：根号下的数 根式的值：被开方数的平方根
平方根式：表示被开方数为非 负数
算术平方根式：表示被开方数 为非负数，且根号内不含分母
立方根式：表示被开方数为任 意实数
开方根式：表示被开方数为任 意实数，且根号内不含分母
根式的基本性质：根式具有非负性，即被开方数必须是非负数。 根式的运算性质：根式可以进行加、减、乘、除等运算，运算结果仍为根式。
根式的简化性质：可以通过因式分解、约分等手段简化根式，使其更易于理解和运算。
根式的应用性质：根式在数学、物理等多个领域都有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具之一。
合并同类项：将根式中的同类项进行合并，简化根式。 系数相加减：根式中的系数可以进行加减运算。 被开方数不变：在进行根式加减法时，被开方数保持不变。 根号次数不变：在进行根式加减法时，根号次数保持不变。
代数方程求解：利用根式表示方程的解，简化求解过程 函数极值问题：通过根式计算函数的极值点，便于分析函数的性质 积分运算：利用根式简化积分运算，提高计算效率 数学归纳法：通过根式证明数学归纳法的正确性，简化证明过程
根式可以表示分数：例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4，等等。
根式可以化简分数：例如， √(4/9) = 2/3，√(9/16) = 3/4， 等等。
代数方程的解法：通过移项、合并 同类项、化简等步骤求解一元一次 方程
根式在解一元二次方程中的应用： 通过因式分解或公式法利用根式求 解一元二次方程
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二次根式及性质
《二次根式》（第1课时）教学设计教材：2011版课程标准北师大版八年级(上)钱生来银川市第六中学一、教学内容解析1．内容二次根式与最简二次根式的概念，二次根式的性质以及二次根式的化简。
2．内容解析《二次根式》是北师大版八年级上册《第二章实数》的第7节，是在学习了勾股定理、算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数等概念，会用根号表示数的平方根、立方根，了解了开方与乘方互为逆运算的基础上的进一步学习。
二次根式既是实数加减乘除等运算的需要，也是将来九年级学习锐角三角函数以及一元二次方程、二次函数等内容的重要基础。
在初中学段课程标准只要求学习根号下仅限于数的二次根式及其加减乘除四则运算，而不研究一般意义下的二次根式（根号下含字母），显然是在充实实数的学习，其核心是学习有无理数参与的实数加减乘除四则运算。
教材共为本节设计了三个课时，分别是：第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．本节课是第1课时，不仅是对实数的延续与扩充，还是为后继学习二次根式的四则运算奠定基础。
本课时的教学内容主要由概念性知识和程序性知识两部分构成。
对于最简二次根式的概念以及二次根式的性质等概念性知识教材都没有直接给出，而是让学生从一定数量的具体例子中通过观察、分析、归纳、概括后形成，从而让学生充分体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想。
化简二次根式的一般步骤是：把根号下大于1的带分数或小数化成假分数，把小于1的正小数化成真分数；被开方数是正整数的要因数分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号、约分。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
不等式的幂函数与根式
不等式的幂函数与根式幂函数和根式是高中数学中常见的数学概念和工具，它们在解决各种数学问题和应用中扮演着重要角色。
当这两个数学工具与不等式结合时，能够更加灵活地处理和求解各种不等式问题。
本文将重点介绍不等式的幂函数和根式，并展示它们在不等式求解中的应用。
1. 幂函数的性质与不等式幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n是实数。
幂函数具有以下性质：- 当n为奇数时，幂函数是增函数；当n为偶数时，幂函数是关于原点对称的，即f(x) = f(-x)。
- 当n>1时，幂函数在整个定义域上都是正的；当0<n<1时，幂函数在正数域上是增函数，且约束域为正数。
对于不等式而言，利用幂函数的性质能够达到快速求解不等式的目的。
举个例子，我们来看一道简单的幂函数不等式：x^2 > 4由于幂函数在正数域上是增函数，我们可以将不等式进行平方根处理，得到：|x| > 2这时可以发现，不等式的解为x < -2或者x > 2。
通过这个例子，我们可以看到幂函数的性质与不等式的关系，并能够将不等式的求解转化为解析解。
2. 根式的性质与不等式根式是指形如√(x)或者∛(x)的函数，其中√(x)表示x的平方根，∛(x)表示x的立方根。
根式具有以下性质：- 根式的定义域为非负实数，即x≥0。
- 根式函数也是增函数，即当x1 < x2时，f(x1)<f(x2)。
这一性质同样适用于根式的多项式复合函数。
根式在不等式的求解中经常被用到，举个例子：√(x+3) > 2因为根式函数为增函数，我们可以将不等式两边进行平方操作，得到：x + 3 > 4解得：x > 1，然后再对根式的定义域进行检查，x ≥ 0。
综合考虑，原不等式的解为：x > 1。
通过这个例子，我们可以看到根式的性质与不等式的关系，并能够灵活应用根式来求解不等式问题。
3. 幂函数与根式的组合与不等式在实际应用中，不等式的求解经常涉及到幂函数和根式的组合。
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式及性质知识点
二次根式及性质.知识要点：（1）平方根与立方根a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
用±a 表示。
例如：因为()±=±=±525252552，所以的平方根为。
b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根为0。
用a 表示a 的算术平方根。
例如：3的平方根为±3，其中3为3的算术平方根。
c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，用a 3表示。
例如：因为3272727333==，所以的立方根为。
d. 平方根的特征：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
②0有一个平方根，就是0本身。
③负数没有平方根。
e. 立方根的特征：①正数有一个正的立方根。
②负数有一个负的立方根。
③0的立方根为0。
④-=-a a 33。
⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。
（2）二次根式a. 二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）。
b. 二次根式的基本性质： ①a a ≥≥00（） ②()a a a 20=≥（）③a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||（）（）（）④ab a b a b =⋅≥≥（，）00⑤b a b a a b =>≥（，）00c. 二次根式的乘除法 ①a b ab a b ⋅=≥≥（，）00②b a ba ab =>≥（，）00d. 最简二次根式的标准：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
e. 同类二次根式的识别：几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。
例如：8222=与是同类二次根式，35a a 与-是同类二次根式。
根式函数公式汇总
根式函数公式汇总1. 根式函数定义根式函数是指含有根号的数学函数，通常表示为√x，其中x为函数的自变量。
根式函数可以用来表示平方根、立方根等。
2. 常用根式函数公式汇总以下是一些常见的根式函数公式：- 平方根函数：- √(a * b) = √a * √b- (√a)^2 = a- √(a^2) = a，其中a为非负实数- √(a/b) = √a / √b，其中a、b为非负实数- 立方根函数：- ^(3)√(a * b) = ^(3)√a * ^(3)√b- (^(3)√a)^3 = a- ^(3)√(a^3) = a，其中a为实数- ^(3)√(a/b) = ^(3)√a / ^(3)√b，其中a、b为实数且a/b≥0- n次方根函数：- ^(n)√(a * b) = ^(n)√a * ^(n)√b- (^(n)√a)^n = a- ^(n)√(a^n) = a，其中a为实数- ^(n)√(a/b) = ^(n)√a / ^(n)√b，其中a、b为实数且a/b≥0以上公式可以帮助你在计算根式函数的过程中简化求解，并且可以根据需要进行变形。
3. 注意事项在使用根式函数公式时，需要注意以下几点：- 确保根号内的值为非负实数，否则将无法求解实数解。
- 注意乘法和除法运算的顺序，不同的顺序可能导致结果不同。
- 在计算多次方根时，注意区分奇次方和偶次方的不同性质。
4. 示例假设有以下根式函数：- f(x) = √(5x+2)- g(x) = ^(3)√(2x-3)根据上述公式，可以得到以下推导：- f(4) = √(5*4+2) = √(22) ≈ 4.69- g(5) = ^(3)√(2*5-3) = ^(3)√7 ≈ 1.91注意，在计算时应根据具体的函数表达式进行相应的公式运算。
5. 总结本文总结了根式函数的一些常用公式，希望可以帮助你更好地理解和应用根式函数。
在使用根式函数时，需要熟练掌握公式和注意事项，以避免求解错误或出现歧义。
高考复习-基本初等函数5
基础知识梳理
(2)正数的负分数指数幂的意义与负 m 整数指数幂的意义相仿； 我们规定 a－ n 1 ＝ m(a>0，m，n∈N*且 n>1)． an (3)0的正分数指数幂等于0；0的 负分数指数幂没有意义．
基础知识梳理
3．有理指数幂的性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
第5课时
指数函数
基础知识梳理
1.根式的概念
根式的概念 如果 xn＝a ，那么x叫做a的n 次方根 当n为奇数时，正数的n次方 根是一个 正数，负数的n次方 根是一个 负数 符号表示 备注 n＞1且 n∈N*
n a
零的n次 方根是零
n 当n为偶数时，正数的n次方 负数没有 ± a(a＞0) 根有 两个 ，它们互为 相反数 偶次方根
基础知识梳理
4．指数函数及其性质 (1)一般地，函数 y＝ax(a>0且a≠1) 叫 做指数函数，其中x是自变量 ，函数的 定义域是R. (2)一般地，指数函数y＝ax(a>0且 a≠1)的图象与性质如下表所示：
基础知识梳理
a>1 0<a<1
图象
定义域
R
基础知识梳理
a>1 值域 0<a<1
(0，＋∞)
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分 12 分)已知 f(x)＝
1 1 3 ＋ x (a>0 x a －1 2
且 a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)求a的取值范围，使f(x)>0在 定义域上恒成立．
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根式函数b
ax y +=
2的性质及其应用
摘要：
关键词：
1、 引言
高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题.
下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉.
2、
性质归纳
性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） ),[+∞b
性质3（单调性） 在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y 轴对称
将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得 性质6（特殊性）
① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数
有了性质作辅助，遇题便有章可依.
3、 典例分析
例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a
证明：设函数14)(2
+=x x f ，它的图象是双曲线14
12
2
=-x y 的上支(如右图)
)(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2
(2)()(b
a f
b f a f +≥+ ∴
124214142
22+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥+++b a b a 即得2214142
2≥+++b a 证毕.
推广： 若),,2,1(n i R x i i =∈，且11
=∑=n
i i x ，则有21
2bn a b ax n
i i +≥+∑=
例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立.
② 若b a ≠，原不等式等价于2|1
414|22≤-+-+b
a b a
设函数14)(2
+=x x f ，则b
a b a -+-+1
41422可看作函数)(x f 图象上任意两点
()14,2+a a P ，()
14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率， 即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1
44)(2'+=
x x x f ，∴ 2|
|2|
|41
4||4|)(|2'<<
+=
x x x x x f ∴ 2|1
414|
22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间.
例3 当b a <<0时，求证：()14414142
22+->
+-+a a b a a b
证明：原不等式等价于
1
441
4142
22+>-+-+a a a
b a b
设函数14)(2
+=x x f ，则a b a b -+-+1
41422可看作函数)(x f 图象上任意两点
()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在
()b a ,上存在一点ξ，使得
)()
()('ξf a
b a f b f =--.
1
44)(2'+=
x x x f 且()
01
44
)(2
32
''>+=
x
x f ，∴ )('x f 在()b a ,上单调递增. 又 b a <<<ξ0，∴ )()(''a f f >ξ ∴
)()
()('a f a
b a f b f >--
即
1
441
4142
22+>-+-+a a a
b a b ∴
()1
4414142
22+->
+-+a a b a a b 证毕.
4、 高考竞赛在线
例4 (2000年全国高考试题) 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取
值范围，使函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数. 解：不妨设1C ：ax y =1，2C ：122+=x y ，
整理得1C ：ax y =1，2C ：122
2=-x y ()0≥y
则函数)(x f 表示双曲线122=-x y ()0≥y 及直线ax y =对应
x 的点的纵坐标之差，又双曲线2C 的渐近线为x y ±=，从图理解可知，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数.
例5 (2001年全国联赛试题) 求函数232+-+=x x x y 的值域. 解： 因为()x x x x x x y --+-=+-+=232322， 不妨设1C ：x y -=1,2C ：2322+-=x x y
整理得1C ：x y -=1,2C ：41)23(2
22=--y x ()0≥y
则本题可转化为求双曲线()014141)23(22
≥=--y y x 及直线
x y -=对应x 的点的距离差，其中(2≥x 或1≤x ).
又双曲线2C 的渐近线为⎪⎭⎫ ⎝⎛
-±=23x y ，其中一条与x y -=平行.
从图立即可得函数的值域为),2[)2
3
,1
[+∞ ．
5、拓宽延伸
通过对根式函数b
y+
=2图象和性质的研究，有助于遇到同类型题目时
ax
消除陌生感，减弱畏惧心，
6、总结提炼
参考文献
1 江建平.导数的另类应用[J].中学数学研究，2009年第6期
2 陆建.把握特征诱发直觉[J].中学数学教学参考，2005年第6期。