7、恒定电场
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注电考试最新版教材-第13讲 第七章恒定电场(一)
第7章 恒定电场大纲要求：1.掌握恒定电流、恒定电场、电流密度的概念2.掌握微分形式的欧姆定律、焦耳定律、恒定电场的基本方程和分界面上的衔接条件，能正确地分析和计算恒定电场问题3.掌握电导和接地电阻的概念，并能计算几种典型接地电极系统的接地电阻7.1恒定电场的基本概念恒定电流 恒定电流是不随时间变化的电流。
→电荷分布不随时间变化→电荷产生的电场不随时间变化恒定电场 由恒定电流的电荷产生的电场。
7.1.1 电流与电流密度电流密度J 单位时间垂直穿过以该点为中心的单位面积的电量，方向为正电荷在该点的运动方向。
单位 A/m 2电流面密度J S (r) 单位时间垂直穿过单位长度的薄层截面的电量。
单位 A/m电流强度 单位时间流过导电体截面的电荷量。
单位 A 安培 0lim →∆∆∆==S n SI e J 0L S Llim →∆∆∆=n I e J ⎰⎰∙=SSJ d I电荷在导电媒质（导体）或不导电的空间中有规则的运动形成电流，二者分别称作传导电流和运流电流。
电流密度与运动电荷体密度的关系dSdl dl dS dV dq ρρρ=⋅==dtdl dS dt dq dS dI J ρ===/ v J ρ=（体电流密度矢量）v K σ=（面电流密度矢量）v I τ= （线电流密度矢量）电流密度与电场强度的关系 E J σ= σ称为导电媒质的电导率。
电流密度的量值等于观察点处垂直于单位面积上所通过的电流，电流密度的方向规定为该点正电荷运动的方向。
工程意义：同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电流线密度表示,交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分布，可用电流线密度表示。
电流密度与相应的电流之间具有以下关系：⎰⋅=SS d J I ⎰⋅=Sn dl e K I ）（ 7.1.2 电源要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B 极板的正电荷抵抗电场力搬到A 极板。
恒定电场和交变电场的作用和应用
恒定电场和交变电场的作用和应用1. 恒定电场1.1 定义恒定电场是指电场强度和方向不随时间变化的电场。
在理想情况下，恒定电场的电场线是直线，且电场强度在空间和时间上都是恒定的。
1.2 作用1.电荷分离：在恒定电场的作用下，正负电荷会分别移向电场的相反方向，从而实现电荷的分离。
2.电荷加速：带电粒子在恒定电场中会受到电场力的作用，从而产生加速度，实现电荷的加速。
3.电势差：恒定电场中，电场线与等势面垂直，因此可以通过电场线来确定电势差，进而计算电能。
1.3 应用1.静电场计算：在工程和物理问题中，经常需要计算在恒定电场中的电势、电场强度等物理量。
2.静电平衡：在静电场中，带电体的电荷分布会受到恒定电场的影响，从而达到静电平衡状态。
3.电容器设计：电容器是存储电能的装置，其工作原理就是基于恒定电场下的电荷存储。
2. 交变电场2.1 定义交变电场是指电场强度和方向随时间变化的电场。
交变电场的特点是电场强度和方向周期性变化，形成电场矢量在空间中的旋转。
2.2 作用1.电荷周期性运动：在交变电场中，带电粒子受到周期性变化的电场力，从而产生周期性运动。
2.电磁感应：交变电场可以通过电磁感应现象产生磁场，或者通过变化的磁场产生交变电场。
3.能量传输：交变电场是交流电信号传输的基础，可以有效地传输电能和信息。
2.3 应用1.交流电装置：交变电场是交流电灯、交流电动机、交流发电机等设备工作的基础。
2.信号传输：在无线电通信、有线通信等领域，交变电场是信号传输的重要手段。
3.电磁兼容性：交变电场的存在可能导致电磁干扰，因此在电子设备设计中需要考虑电磁兼容性。
3. 恒定电场和交变电场的比较恒定电场和交变电场在作用和应用上有很大的不同。
恒定电场主要涉及电荷的分离和加速，适用于静电场计算和电容器设计等领域。
而交变电场涉及电荷的周期性运动和能量传输，适用于交流电装置和信号传输等领域。
4. 结论恒定电场和交变电场是电磁学中的基础概念，它们在日常生活和工业应用中扮演着重要的角色。
恒定电场的边界条件
当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密 度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。
如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为ε0)的分 界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
E1n
E2n
s 0
1E1n 2E2n
ρs是分界面上自由电荷面密度
s
01
1 2
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场 §4.2 恒定电场与静电场的比拟 §4.3 恒定磁场的基本方程 §4.4 恒定磁场的矢量磁位 §4.5 介质中的磁场 §4.6 恒定磁场的边界条件 §4.7 电感的计算 §4.8 恒定磁场的能量和力
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
恒定电流的电流强度定义
I Q t
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
一、微分形式的欧姆定律和焦耳定律
化,故dQ/dt=0
sJ ds 0 J 0
S E ds 0
恒定电流连续性方程的微分形式
S E ds 0
如果导体的导电性能均匀, σ是常数
说明：导体内部任一闭合面S内包含的净电荷Q=0。 所
以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒
定电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电
恒定电场
S
R1 r
R1
电导
G I h ln R2 U R1
3.4.2 多电极系统的部分电导
三个及以上良导体电极组成的系统，任意两个电极之间的
电流不仅要受到它们自身间电压的影响，还要受到其他电极 间电压的影响。电压与电流的关系，不能再仅用一个电导来 表示，需要引入部分电导的概念。
第三章恒定电场
分界面可近似地看作等位面。
例3-3 铁1=5×106S/m，土壤2=102S/m，已知铁中电流J1
与法线的夹角1=895950，求土壤中电流J2与法线夹角。
解：根据
tan1 tan 2
1 2
5 10 6 10 2
5 10 8
当1=895950时，可得 2=8
第三章恒定电场
12
3.2.4 载流导体与理想介质
载流导体外的理想介质中，没有电流 J2=0 ,存在电场E2
D2 = 0
E2 = 0
22 = 0
由分界面衔接条件 J1n=J2n=0。 可知，载流导线内电流和场强 只有切线分量
J1 = Jt E1= E1t = J1t / 1
也就是说，无论导线如何弯曲，电流线和电力线同样弯曲。
6.091020 (C
/ m)2
第三章恒定电场
11
3.2.3 从良导体进入不良导体
设两种导电媒质的电导率12
tan1 1 tan 2 2
J1
1900
J2
20
可见，只要 190，tan1∞，
12
则 tan 20，20 。
电流从良导体进入不良导体时可看为与分界面垂直，
第三章恒定电场
20
恒定电场
恒定电场
恒定电场的基本方程与电路的基本定律
J dS 0
s
l1
应用到电 路的结点
I 0
应用到电 路的回路
l E dl E dl E dl
l2
U 1 U 2 U 0
恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。
上 页
下 页
第 二 章
1. 基本方程 (Basic Equations)
① E的闭合线积分及旋度
l E dl
l( Ec Ee ) dl l Ec dl l Ee dl e
斯托克斯定理
若所取积分路径不经过电源区，则
l E dl 0
得
s ( E ) dS 0
恒定电场
2. 分界面上的衔接条件（Boundary Conditions)
采用与静电场类比的方式可以方便的得 到恒定电场中不同媒质分界面的衔接条件。
静电场（=0） 恒定电场（无源区）
E dl 0
l
E1t E2t
l E dl 0
D dS 0
s
D1n D2 n
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第 二 章
恒定电场
通解
1 A B ,
2 C D
4 2U 0 ( 1 2 )U 0 电位 1 ( 1 2 ) 1 2
4 1U 0 2 ( 1 2 )
氢氧燃料电池示意图
上 页 下 页
第 二 章
恒定电场
3. 太阳能电池（光能电源）
一块太阳能电池电动势0.6V。太阳光照射到P-N结上， 形成一个从N区流向P区的电流。约 11%的光能转变为电 能，故常用太阳能电池板。 一个50cm2太阳能电池的电动势0.6V,电流0.1A
恒定电场与恒定磁场
B r E dr I 2r
A
于是跨步电压为
r d
E dr
I 2 (r d )
U A B
1 1 ) 2 r d r I d 20 0.8 3.9(V ) 1 2 r d 2 10 3 2.2 (
l H dl I
s B ds 0
安培环路定律
磁通连续性原理
7
§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
二、恒定磁场的边界条件
两种不同媒质的分界面上恒定磁场的边界条件为： n (4.2 6) ˆ ( H1 H 2 ) J s ( B1 B2 ) 0 (4.2 7) 在不同媒质的分界面上，磁通密度的法向分量永远是连续的，而磁场强 度的切向分量仅当分界面上不存在面电流时才是连续的。 在分界面上不存在面电流时，恒定磁场的边界条件化为： H1t H 2t (4.2 8) B1n B2 n (4.2 7) 若媒质的磁导率，→∞称为理想导磁体。 某些边界可近似为理想导磁体边界，称为磁壁， 该壁上切向磁场为0；
E
的关系是欧姆定律的微分形式 J E
l s
E dl 0, J ds 0,
引入电位函数 E
得到无源区电位函数方程（拉普拉斯方程）
2 0
1
§4.1 恒定电场
二、恒定电场的边界条件
在具有不同电导率1和2的两种导体的分界面上
E1t E2t , J1n J 2n
§4.1 恒定电场
Steady Electric Field
一、恒定电场基本方程
恒定电场是电磁场的特例， 满足条件
F 0 t
A
于是跨步电压为
r d
E dr
I 2 (r d )
U A B
1 1 ) 2 r d r I d 20 0.8 3.9(V ) 1 2 r d 2 10 3 2.2 (
l H dl I
s B ds 0
安培环路定律
磁通连续性原理
7
§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
二、恒定磁场的边界条件
两种不同媒质的分界面上恒定磁场的边界条件为： n (4.2 6) ˆ ( H1 H 2 ) J s ( B1 B2 ) 0 (4.2 7) 在不同媒质的分界面上，磁通密度的法向分量永远是连续的，而磁场强 度的切向分量仅当分界面上不存在面电流时才是连续的。 在分界面上不存在面电流时，恒定磁场的边界条件化为： H1t H 2t (4.2 8) B1n B2 n (4.2 7) 若媒质的磁导率，→∞称为理想导磁体。 某些边界可近似为理想导磁体边界，称为磁壁， 该壁上切向磁场为0；
E
的关系是欧姆定律的微分形式 J E
l s
E dl 0, J ds 0,
引入电位函数 E
得到无源区电位函数方程（拉普拉斯方程）
2 0
1
§4.1 恒定电场
二、恒定电场的边界条件
在具有不同电导率1和2的两种导体的分界面上
E1t E2t , J1n J 2n
§4.1 恒定电场
Steady Electric Field
一、恒定电场基本方程
恒定电场是电磁场的特例， 满足条件
F 0 t
恒定电场
E J I 2l R2 I I R U E dl d ln 2 R1 2l 2 l R1 2l G I 电导 U R2 ln R1 I I J 设 2l
图2.5.1
同轴电缆横截面
绝缘电阻
1 1 ln R2 R G 2l R1
I dI J lim n n S 0 S dS
单位: 安培/米2 (A/m2)
电流密度
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一
般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。
此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通
量，即
I J dS JdScosθ
R2
1
U 0 e
电流 电导
I J dS
U 0 U h R (e ) hd (e ) 0 ln 2 S R R1 I h R2 G ln ( S m) U 0 R1
2.5.2
接地电阻
安全接地与工作接地的概念
接地器电阻
接地电阻 接地器与土壤之间的接触电阻 土壤电阻（接地电阻以此电阻为主） 1. 深埋球形接地器
•
• •
两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;
相应电极的电压相同; 若两种场中媒质分片均匀，只要分界面具有相似
r1 1 r2 2
的几何形状，且满足条件
时，则这两种场
在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。
2.4.3
静电比拟的应用
1. 静电场便于计算—— 用静电比拟方法计算 恒定电场
2 0
D1n D2n
I J dS
S
2 0
S
q D dS
E1t E2t
图2.5.1
同轴电缆横截面
绝缘电阻
1 1 ln R2 R G 2l R1
I dI J lim n n S 0 S dS
单位: 安培/米2 (A/m2)
电流密度
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一
般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。
此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通
量，即
I J dS JdScosθ
R2
1
U 0 e
电流 电导
I J dS
U 0 U h R (e ) hd (e ) 0 ln 2 S R R1 I h R2 G ln ( S m) U 0 R1
2.5.2
接地电阻
安全接地与工作接地的概念
接地器电阻
接地电阻 接地器与土壤之间的接触电阻 土壤电阻（接地电阻以此电阻为主） 1. 深埋球形接地器
•
• •
两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;
相应电极的电压相同; 若两种场中媒质分片均匀，只要分界面具有相似
r1 1 r2 2
的几何形状，且满足条件
时，则这两种场
在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。
2.4.3
静电比拟的应用
1. 静电场便于计算—— 用静电比拟方法计算 恒定电场
2 0
D1n D2n
I J dS
S
2 0
S
q D dS
E1t E2t
恒定电场
Fk 反抗 Fe
断路：
作用机理： 做功，
将其他形式能转变为电能
Fe
K
U
Fk Fe
Fe
Fk Fe
时平衡
R
外电路： Fe 作用，将 q由正极 负极
通路
内电路： Fk Fe 将 q 由负极 正极
Fk , Fe 共同作用形成持续电流 .
空间电荷分布不变（流入 = 流出），电场分布不变
一.
电流密度矢量
自由电子、正负离子、 载流子：
1. 电流的形成 传导电流 电流
电子—空穴对…
电场
位移电流
金属导电的经典解释： 电场中，自由电子除热运动外， 叠加定向加速运动.
频繁碰撞使加速运动间断进行， 其平均效果为定向匀速运动——漂移运动.
漂移速率 u： 比较
1）静电力所做总功为零； 2）非静电力所做总功为零； 3）静电力和非静电力做功代数和为零； 4）在电源内只有非静电力做功， 在外电路只有静电力做功。
三.
欧姆定律与焦耳定律的微分形式 欧姆定律 焦耳定律
积分形式 微分形式
U I R
电流密度
Q I 2 Rt;
热功率密度
P I 2R
j E
Fe
K
Fk Fe
Fe
R
试比较电源路端电压和电源电动势这两个概念
电源路端电压 电源电动势
比较
U
E e dl
E k dl
（经外电路）
（经内电路）
练习：
单位正电荷从电源正极出发，沿闭合回路一周， 又回到电源正极时，下列哪种说法正确？
(电磁场PPT)第二章 恒定电场
第二章
由电路理论
恒定电场
2.1.3 欧姆定律的微分形式
U RI
R l
S
电导率与电阻率的关系： 1 ，
（r 电阻率）， （电导率）。 r
图2.1.5 J 与 E 之关系
在场论中 dI J dS
dU dI R J dS dl
dS
E dl
J E 欧姆定律 微分形式。
第二章
恒定电场
U RI 欧姆定律 积分形式。
本章要求:
理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。
掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件。
熟练掌握静电比拟法和电导的计算。
第二章
恒定电场知识结构
基本物理量 J、 E
欧姆定律
恒定电场
J 的散度
基本方程
E 的旋度
边界条件
边值问题
电位
一般解法 电导与接地电阻 特殊解(静电比拟)
第二章
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 • 分界面衔接条件 • 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
恒定电场
第二章
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，电 荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：恒定 ），它与静电场有相似之处。
—焦耳定律积分形式
第二章
2.2 电源电动势与局外场强
2.2.1 电源 (Source)
恒定电场
提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装置称为电源。
图2.2.1 恒定电流的形成
第四章 恒定电场和恒定磁场
E , 2 0
E1t E2t
1 2 , 1
J E
D1n D2n
1 2 2 n n
J1n J 2n
1 2 2 n n
静电场
对应物理量
12
恒定电场
E E
D
q
I
J
C G
电磁场与波
和夹角为 0的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算 沿方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为σ。 解： 设在沿方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿 方
向流动，而且电流密度是随变化的。但容易判定电位Ψ 只是变
量 的函数，因此电位函数Ψ 满足一维拉普拉斯方程
2 1 0 2 2 , z不变，变量
此时，良导体表面可近似地看作为 等位面； 若媒质1为理想介质，即1＝0，则 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体中
媒质1
E1
媒质2
E2 2
( 2 1 )
1 2
媒质1 1 0 媒质2
ˆ n E1
的电流和电场与分界面平行。
9
E2
2
( 1 0)
2
2u 1 u 1 2u 2u 2 2 2 z
方程通解为
C1 C2
0
r2
代入边界条件 可以得到
20
U0 ,
0
0
0
J σ
h r1
C1 U 0 / 0 , C2 U 0
流密度的切向分量并不连续。
理想导体与另一导体的分界面处，将只可能存在法向的恒定电 场和恒定电流。
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注册电气工程师执业资格考试专业基础复习课
一、电路与电磁场
----电磁场部分
1.7
恒定电场
辅导教师
李惠昇
教材与习题集
本课程采用教材：注册电气工程师执业资格考试辅导教材 -----专业基础部分 北京土木建筑学会电气设计委员会、电气设计情报网 组编 中国电力出版社出版 2004年.6月
本课程采用习题集：注册电气工程师执业资格考试习题与解答 -----专业基础部分 李惠昇 主编 中国电力出版社出版 2005年7月
根据静电场与恒定场的互易法 （又称静电比拟法）可知该平板 电容器的漏电导为
9 8
01 2S C 0 1 D
答案为：B
1 2 2S 110 110 0.44 8 G 4 10 S 9 8 1 2 2d 110 110 0.01
例9 一单芯电缆长 L＝ 100cm，缆芯导体半径 r1 = 1cm，铅皮 外壳半径r2 = 5cm，绝缘层电阻率ρ= 1x109Ω•m，当内导体与外 壳间电压U0为1000伏时，绝缘层中漏电流IS为（ ）。 A．9.06μA B．2.56μA C．1.10μA D．3.9μA 解：在静电场例题中求得类似结构的 U E 同轴电容器介质中的电场强度为 则漏电流密度为
答案为：A、B、C
例6 一直径为一米的球形金属接地极，深埋于电 2 2 10 S / m 的土壤中，该接地极的接 导率为 地电阻为（ ）。 A．15.9Ω B．7.96Ω C．31.8Ω D．10.9Ω 解：在静电场习题中求得金属球的 电容为 C 4 0 a 根据静电场与恒定场的互易法 （又称静电比拟法）可知该金属 接地极的电导为 G 4a
J lim
S 0
I en S
I J S lim en L
L0
I J dS
S
ห้องสมุดไป่ตู้ 三 欧姆定律
欧姆定律
U IR L R σS
微分形式 σ －电导率 S/m 二者的统一
J σE
L σS JS σES EL L L 1 I U R
四 焦耳定律
焦尔定律
微分形式 二者的统一
若d1=d2=d/2则 与静电场例23的 结论相比
ε ε 0 1 2S C ε ε 0 1 d
1 2 2S G 1 2 d
可以用静电场中求电容的公式去求恒定电场中的电导，只需 将介质的介电系数 ε替换为相应的电导率ζ。这种方法称为 静电互易法（或比拟法）。
静电互易法（或比拟法）的简单证明
2πr πr U E E 4 2
2U E πr
c a
2σbU a c 2σU ln eΦ eΦbdr c πr π c S U 该弧形金属条两端电阻为 R I 2b ln a c c
例4 如下说法，正确的有（ ）。
A. 电流有方向，但它是标量，因此电流密度也是 × 标量。 B. 欧姆定律的微分形式 E 是反映导体内部各 √ 点上的电流密度与电场强度的关系。 C. 电流密度（ 线）和电力线（ E 线）一样是起 × 始于正电荷，终止于负电荷。 D. 导体内部维持恒定电流的电场叫做恒定电场， √ 恒定电场是由处于动态平衡下的恒定电荷产生 的。 答案为：B、D
提示：设想有另一镜像半球 布置如图。 每个半球都有电流I 流入， 其电流分布大致如图。 I 可以分别计算每个半球 独自在半无穷大土壤中 的电流引起的电位，再 用叠加法计算出左半球 的总电位，进而计算出 接地电阻。
I
由例10题知左半球的接 I 地电阻为 1 1 R1 53.05 -2 2R0 2 10 0.3
做一个包围导体1 的封闭面S. 两导体间的电容
S
q C U
E dS
S
E dL
L
两导体间的电导
ε→ζ C→G
I G U
E dS
S L
C E d L
例2 一深埋地下的金属球，球的半径为a ，土壤 的电导率为ζ，计算金属球的接地电阻。 解 做一个包围金属球 的同心球面，则球面 上的电流密度大小相 等，方向为径向。 I J e I I 2 r 4πr G 4a 电导 U Φ J I E e 1 1 2 r 4πr 接地电阻 R G 4a I 金属球的电位 Φ E dr a C 4a 4πa
电路与电磁场
1.7 恒定电场
本节要求： 1 掌握恒定电流、恒定电场、电流密度的概念 2 掌握微分形式的欧姆定律、焦耳定律、恒定 电场的基本方程和分界面上的衔接条件；能 正确地分析和计算恒定电场问题 3 掌握电导和接地电阻的概念；并能计算几种 典型接地电极系统的接地电阻
电路与电磁场
1.7 恒定电场
U J E er r r ln 2 r1
ρ
1 er r ln r2 r1
r1 r2
在绝缘层中做一个同心圆筒，穿过其柱面的电流即为漏电流 U0 1 2 LU 0 I S J dS J 2 rL 2 rL r r2 r ln 2 ln
r1 r1 2 1 1000 3.9 106 A 5 1 109 ln 1
J1n J 2 n E1t E2t
1 E1n 2 E2 n 1
J1t
E dl 0
l
2
J 2t
当第二种介质为导体时 ， 2 E2 0，E1t E2t 0， Const
例1 如图所示，一平板电容器，极板面积为S，两极 板间填充两层非理想介质，它们的介电系数、电导 率及厚度分别为ε1、ε2、ζ1、ζ2、d1、d2。求介质中 的电场强度和电容器的漏电导。
解 两层媒质中的电场是匀强电 场，根据媒质交界面条件可列
σ1 E 1 σ2 E 2 E 1d 1 E 2d 2 U
解出
d 1σ2 d 2σ1 σ1 E2 U d 1σ2 d 2σ1
E1
σ2
U
电流密度 电流强度 电容器漏电导
σ 1 2 J 1E 1 2E 2 U d1 σ2 d 2σ1 σ 1 2 I JS US d1 σ2 d 2σ1 I 1 2 S G U d1 2 d 2 1
例5 下列说法，正确的有（ ）。 A. √接地电阻由接地器本身电阻、接地器与土壤接触电阻 及大地土壤的电阻三部分组成，其中占主要成分的 是大地土壤的电阻。 B. √由于恒定电场和静电场的基本方程相似，在一定条件 下把静电场中计算和实验的结果推广到恒定电场， 这种方法称为静电比拟法。 C. √根据静电比拟法，可以用静电场中求电容的公式去求 恒定电场中的电导。 D. 根据静电比拟法，静电场中不同介质分界面上电场强 × 度切向分量E1t= E2t ，因此恒定电场中不同导电媒质 分界面上电流密度切向分量δ1t = δ2t。
答案为：D
例10 半径R0= 0.4m的半球形接地电极，置于大地表层（如图）， 土壤电导率γ＝1×10-2 S／m，则该电极接地电阻为（ ）。 A．79.6Ω B． 9.8Ω C．39.8Ω D．29.9Ω
提示：设想有另一半球与其 对接如图，则与例6题金属 球深埋于土壤中相同。上 下两个半无穷大空间中恒 定电流场分布完全对称， 每个半球的接地电阻应为 全球时的2倍。 答案为：C
1 1 则接地电阻为R G 4a 1 7.96 2 4 2 10 0.5
答案为：B
例7 平行板电容器中填充介质的电导率γ＝1×10-8 S ／m，极板面积S＝0.4m2，极板间距离d＝2cm，则 该电容器的漏电导G为（ ）。 A ．2×10－7S B．2×10－8S C． 4×10－7S D．4×10－8S 解：在静电场习题中求得平板电容器 的电容为
答案为：D
引起的电位1 I R1 53.05I 在右半球电流的作用下，土壤中距其球心2h的 球面为等位面，其电位为
I
1 I 2 I R2 I 0.796I -2 2（2h） 2 10 （2 10） 左半球的总电位 1 2 53.85I 左半球的接地电阻 R 53.85 I
2 R 2 39.79 -2 4R 4 10 0.4
1
例11 半球形接地电极埋设在距直而深的陡壁h ＝10m 远处（如 图），半球形电极的半径R0＝ 0.3 m， ，土壤电导率γ＝ 10-2 S ／m，则该电极的接地电阻为（ ）。 A．63.2Ω B． 6.6Ω C．23.8 Ω D．53.8Ω
C
S
d
根据静电场与恒定场的互易法 （又称静电比拟法）可知该平板 电容器的电导为
答案为：A
110 0.4 7 G 2 10 S d 0.02
S
8
例8 在平行板电容器中，有两层导电媒质（如图）， 它们的电导率分别是γ1 ＝1×10-9 S／m，γ2 ＝1×10-8 S／m，极板面积S＝0.44m2，d＝ 1cm，则电容器的漏 电导G=（ ）。 A ．4×10－7S B．4×10－8S C． 2×10－7S D．2×10－8S 解：在静电场习题中求得该平板电容 器的电容为
P UI
p E J
P pdV E JdV EJdSdl (Edl)(JdS) UI
五 恒定电场基本方程
恒定电场基 本方程
l
E dl 0
E 0 E Φ
电流连续
J dS 0
S
J 0
六 分界面上的边界条件
J dS 0 S
例3 将一截面为a×b的矩形金属条弯曲成内半径 为c 的1/4圆弧，已知该金属的电导率为ζ，计算 其两端面间的电阻。
解 假设在金属条的两端加电压 U， 则电流线为与圆弧面平行的圆弧线。 在半径为r 的同一条圆弧线上，电 流密度J、电场强度E都是沿圆弧线 方向，且为常数。可列方程
一、电路与电磁场
----电磁场部分
1.7
恒定电场
辅导教师
李惠昇
教材与习题集
本课程采用教材：注册电气工程师执业资格考试辅导教材 -----专业基础部分 北京土木建筑学会电气设计委员会、电气设计情报网 组编 中国电力出版社出版 2004年.6月
本课程采用习题集：注册电气工程师执业资格考试习题与解答 -----专业基础部分 李惠昇 主编 中国电力出版社出版 2005年7月
根据静电场与恒定场的互易法 （又称静电比拟法）可知该平板 电容器的漏电导为
9 8
01 2S C 0 1 D
答案为：B
1 2 2S 110 110 0.44 8 G 4 10 S 9 8 1 2 2d 110 110 0.01
例9 一单芯电缆长 L＝ 100cm，缆芯导体半径 r1 = 1cm，铅皮 外壳半径r2 = 5cm，绝缘层电阻率ρ= 1x109Ω•m，当内导体与外 壳间电压U0为1000伏时，绝缘层中漏电流IS为（ ）。 A．9.06μA B．2.56μA C．1.10μA D．3.9μA 解：在静电场例题中求得类似结构的 U E 同轴电容器介质中的电场强度为 则漏电流密度为
答案为：A、B、C
例6 一直径为一米的球形金属接地极，深埋于电 2 2 10 S / m 的土壤中，该接地极的接 导率为 地电阻为（ ）。 A．15.9Ω B．7.96Ω C．31.8Ω D．10.9Ω 解：在静电场习题中求得金属球的 电容为 C 4 0 a 根据静电场与恒定场的互易法 （又称静电比拟法）可知该金属 接地极的电导为 G 4a
J lim
S 0
I en S
I J S lim en L
L0
I J dS
S
ห้องสมุดไป่ตู้ 三 欧姆定律
欧姆定律
U IR L R σS
微分形式 σ －电导率 S/m 二者的统一
J σE
L σS JS σES EL L L 1 I U R
四 焦耳定律
焦尔定律
微分形式 二者的统一
若d1=d2=d/2则 与静电场例23的 结论相比
ε ε 0 1 2S C ε ε 0 1 d
1 2 2S G 1 2 d
可以用静电场中求电容的公式去求恒定电场中的电导，只需 将介质的介电系数 ε替换为相应的电导率ζ。这种方法称为 静电互易法（或比拟法）。
静电互易法（或比拟法）的简单证明
2πr πr U E E 4 2
2U E πr
c a
2σbU a c 2σU ln eΦ eΦbdr c πr π c S U 该弧形金属条两端电阻为 R I 2b ln a c c
例4 如下说法，正确的有（ ）。
A. 电流有方向，但它是标量，因此电流密度也是 × 标量。 B. 欧姆定律的微分形式 E 是反映导体内部各 √ 点上的电流密度与电场强度的关系。 C. 电流密度（ 线）和电力线（ E 线）一样是起 × 始于正电荷，终止于负电荷。 D. 导体内部维持恒定电流的电场叫做恒定电场， √ 恒定电场是由处于动态平衡下的恒定电荷产生 的。 答案为：B、D
提示：设想有另一镜像半球 布置如图。 每个半球都有电流I 流入， 其电流分布大致如图。 I 可以分别计算每个半球 独自在半无穷大土壤中 的电流引起的电位，再 用叠加法计算出左半球 的总电位，进而计算出 接地电阻。
I
由例10题知左半球的接 I 地电阻为 1 1 R1 53.05 -2 2R0 2 10 0.3
做一个包围导体1 的封闭面S. 两导体间的电容
S
q C U
E dS
S
E dL
L
两导体间的电导
ε→ζ C→G
I G U
E dS
S L
C E d L
例2 一深埋地下的金属球，球的半径为a ，土壤 的电导率为ζ，计算金属球的接地电阻。 解 做一个包围金属球 的同心球面，则球面 上的电流密度大小相 等，方向为径向。 I J e I I 2 r 4πr G 4a 电导 U Φ J I E e 1 1 2 r 4πr 接地电阻 R G 4a I 金属球的电位 Φ E dr a C 4a 4πa
电路与电磁场
1.7 恒定电场
本节要求： 1 掌握恒定电流、恒定电场、电流密度的概念 2 掌握微分形式的欧姆定律、焦耳定律、恒定 电场的基本方程和分界面上的衔接条件；能 正确地分析和计算恒定电场问题 3 掌握电导和接地电阻的概念；并能计算几种 典型接地电极系统的接地电阻
电路与电磁场
1.7 恒定电场
U J E er r r ln 2 r1
ρ
1 er r ln r2 r1
r1 r2
在绝缘层中做一个同心圆筒，穿过其柱面的电流即为漏电流 U0 1 2 LU 0 I S J dS J 2 rL 2 rL r r2 r ln 2 ln
r1 r1 2 1 1000 3.9 106 A 5 1 109 ln 1
J1n J 2 n E1t E2t
1 E1n 2 E2 n 1
J1t
E dl 0
l
2
J 2t
当第二种介质为导体时 ， 2 E2 0，E1t E2t 0， Const
例1 如图所示，一平板电容器，极板面积为S，两极 板间填充两层非理想介质，它们的介电系数、电导 率及厚度分别为ε1、ε2、ζ1、ζ2、d1、d2。求介质中 的电场强度和电容器的漏电导。
解 两层媒质中的电场是匀强电 场，根据媒质交界面条件可列
σ1 E 1 σ2 E 2 E 1d 1 E 2d 2 U
解出
d 1σ2 d 2σ1 σ1 E2 U d 1σ2 d 2σ1
E1
σ2
U
电流密度 电流强度 电容器漏电导
σ 1 2 J 1E 1 2E 2 U d1 σ2 d 2σ1 σ 1 2 I JS US d1 σ2 d 2σ1 I 1 2 S G U d1 2 d 2 1
例5 下列说法，正确的有（ ）。 A. √接地电阻由接地器本身电阻、接地器与土壤接触电阻 及大地土壤的电阻三部分组成，其中占主要成分的 是大地土壤的电阻。 B. √由于恒定电场和静电场的基本方程相似，在一定条件 下把静电场中计算和实验的结果推广到恒定电场， 这种方法称为静电比拟法。 C. √根据静电比拟法，可以用静电场中求电容的公式去求 恒定电场中的电导。 D. 根据静电比拟法，静电场中不同介质分界面上电场强 × 度切向分量E1t= E2t ，因此恒定电场中不同导电媒质 分界面上电流密度切向分量δ1t = δ2t。
答案为：D
例10 半径R0= 0.4m的半球形接地电极，置于大地表层（如图）， 土壤电导率γ＝1×10-2 S／m，则该电极接地电阻为（ ）。 A．79.6Ω B． 9.8Ω C．39.8Ω D．29.9Ω
提示：设想有另一半球与其 对接如图，则与例6题金属 球深埋于土壤中相同。上 下两个半无穷大空间中恒 定电流场分布完全对称， 每个半球的接地电阻应为 全球时的2倍。 答案为：C
1 1 则接地电阻为R G 4a 1 7.96 2 4 2 10 0.5
答案为：B
例7 平行板电容器中填充介质的电导率γ＝1×10-8 S ／m，极板面积S＝0.4m2，极板间距离d＝2cm，则 该电容器的漏电导G为（ ）。 A ．2×10－7S B．2×10－8S C． 4×10－7S D．4×10－8S 解：在静电场习题中求得平板电容器 的电容为
答案为：D
引起的电位1 I R1 53.05I 在右半球电流的作用下，土壤中距其球心2h的 球面为等位面，其电位为
I
1 I 2 I R2 I 0.796I -2 2（2h） 2 10 （2 10） 左半球的总电位 1 2 53.85I 左半球的接地电阻 R 53.85 I
2 R 2 39.79 -2 4R 4 10 0.4
1
例11 半球形接地电极埋设在距直而深的陡壁h ＝10m 远处（如 图），半球形电极的半径R0＝ 0.3 m， ，土壤电导率γ＝ 10-2 S ／m，则该电极的接地电阻为（ ）。 A．63.2Ω B． 6.6Ω C．23.8 Ω D．53.8Ω
C
S
d
根据静电场与恒定场的互易法 （又称静电比拟法）可知该平板 电容器的电导为
答案为：A
110 0.4 7 G 2 10 S d 0.02
S
8
例8 在平行板电容器中，有两层导电媒质（如图）， 它们的电导率分别是γ1 ＝1×10-9 S／m，γ2 ＝1×10-8 S／m，极板面积S＝0.44m2，d＝ 1cm，则电容器的漏 电导G=（ ）。 A ．4×10－7S B．4×10－8S C． 2×10－7S D．2×10－8S 解：在静电场习题中求得该平板电容 器的电容为
P UI
p E J
P pdV E JdV EJdSdl (Edl)(JdS) UI
五 恒定电场基本方程
恒定电场基 本方程
l
E dl 0
E 0 E Φ
电流连续
J dS 0
S
J 0
六 分界面上的边界条件
J dS 0 S
例3 将一截面为a×b的矩形金属条弯曲成内半径 为c 的1/4圆弧，已知该金属的电导率为ζ，计算 其两端面间的电阻。
解 假设在金属条的两端加电压 U， 则电流线为与圆弧面平行的圆弧线。 在半径为r 的同一条圆弧线上，电 流密度J、电场强度E都是沿圆弧线 方向，且为常数。可列方程