广东省潮州市绵德中学2017届高三数学(理)试卷 Word版含答案

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广东省潮州市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

广东省潮州市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，2）3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）4．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．（5分）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．27．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π28．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是．10．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是．13．（5分）二项式（ax2﹣）5的展开式中常数项为160，则a的值为．14．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为．（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．16．（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC=A1的余弦值．18．（14分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且2S n=a n+2n2（n∈N*）．（1）求a n，S n；（2）若a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈N）是等比数列{b n}的前三项，设T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，求T n．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．20．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．广东省潮州市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B的并集，找出并集的补集即可．解答：解：∵A=（0，2]，B=（﹣∞，1），∴A∪B=（﹣∞，2]，∵全集为U=R，∴∁U（A∪B）=（2，+∞）．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，2）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简z，可得复数z在复平面内对应的点的坐标．解答：解：由于复数z=（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=2，故此复数对应点的坐标为（2，0），故选：B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：求出向量+，验证各选项是否满足x1x2+y1y2=0，从而判定向量是否与+垂直．解答：解：∵向量=（2，﹣1），=（0，2），∴+=（2，1），对于A，2×1+1×（﹣2）=0，∴该向量与向量+垂直；∴可以排除掉B、C、D选项．故选：A．点评：本题考查了平面向量的垂直问题，两向量垂直，有⊥⇔•=0⇔x1x2+y1y2=0，解题时应灵活地运用，是基础题．4．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数图象的顶点求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．解答：解：有函数的图象顶点坐标可得A=2，再根据==﹣求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=可得φ=，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数图象的顶点求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．5．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故选：B．点评：本题考查了指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．6．（5分）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2；半圆柱的底面半径为1，高为2，把数据代入棱柱与半圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2；半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=×2××2+×π×12×2=2+π．故选D．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．7．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π2考点：等比数列的性质；定积分．专题：等差数列与等比数列．分析：求定积分可得a2013+a2015=π，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得．解答：解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014•a2012+2a2014•a2014+a2014•a2016=+2a2013•a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A点评：本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题．8．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意可判断函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，从而作出函数f（x）与g（x）的图象，从而得到交点的个数即可．解答：解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=f（x+2）；故函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，作出函数f（x）与g（x）的图象如下，由图象可知函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8个．故选B．点评：本题考查了函数的性质的判断与函数的图象的作法与应用，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是a≤3．考点：绝对值不等式．专题：计算题．分析：求出绝对值的表达式的最小值，即可求出a取值范围．解答：解：因为|x+1|+|x﹣2|的几何意义是数轴上的点到﹣1，与到2的距离之和，显然最小值为3，所以a的取值范围是：a≤3．故答案为：a≤3．点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题的应用，考查计算能力．10．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为3x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：根据导数的几何意义求出函数y=f（x）在x=1处的导数，即是改点处切线的斜率，从而写出切线的方程．解答：解：∵y=f（x）=﹣x3+3x2，∴y'=f′（x）=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=﹣3×12+6×1=3，又x=1时，y=f（1）=﹣13+3×12=2；∴曲线y=f（x）=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；故答案为：3x﹣y﹣1=0点评：本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程问题，是基础题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为2．考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据抛物线的标准方程可知准线方程为x=﹣，根据抛物线的准线与圆相切可知3+=4求得p．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2；故答案为：2．点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．属于基础题．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是9．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A，y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，4），代入z=x+2y=1+2×4=9．即目标函数z=x+2y最大值为9．故答案为：9．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义结合数形结合，即可求出z的最大值．13．（5分）二项式（ax2﹣）5的展开式中常数项为160，则a的值为2．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解答：解：由通项公式T r+1==•，令10﹣=0，求得r=4，可得常数项为（﹣2）4•C a=160，解得a=2，故答案为：2．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为472．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；排列组合．分析：利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两张红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=560﹣16﹣72=472种．故答案为：472．点评：本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．考点：余弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）代入已知根据特殊角的三角函数值即可求值；（2）由已知化简可先求得sin，从而可求cos=，将f（2α）=2cos（2α﹣）用两角差的余弦公式展开后代入即可求值．解答：解：（1）f（π）=2cos（π﹣）=﹣2cos=﹣．（2）∵f（α+）=2cos（）=﹣2sinα=，∴sin∵α∈（﹣，0），∴cos=∴f（2α）=2cos（2α﹣）=cos2α+sin2α===．点评：本题主要考察了特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式的应用，考察了计算能力，属于基础题．16．（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，由此利用对立事件概率计算公式能求出在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良”的概率．（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．解答：（本小题满分13分）解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，…（2分）设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，则P（A）=1﹣=．…（5分）答：至少有1人成绩是“优良”的概率为．…（6分）（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．…..（7分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==…（11分）所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴ξ的期望Eξ==…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC=A1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连CO，OA1，A1B，由题设条件推导出△A1AB为正三角形，从而得到A1O⊥AB，由CA=CB，得到CO⊥AB，由此能够证明AB⊥A1C．（Ⅱ）以OA为x轴，以OA1为y轴，以OC为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AC=A1的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，∴△A1AB为正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O=O，∴AB⊥平面COA1，∵A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，∠BAA1=60°，∴CO=A1O==，∵A1C=，∴=，∴OC⊥A1O，∵OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，O（0，0，0），A（1，0，0），，C（0，0，），设平面AA1C的法向量为，则，，∴，∴=（，1，1），平面向量ACB的法向量=（0，1，0），cos＜＞==．∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．18．（14分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且2S n=a n+2n2（n∈N*）．（1）求a n，S n；（2）若a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈N）是等比数列{b n}的前三项，设T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，求T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件求出a1=2，a2=4，从而得到公差d=a2﹣a1=2，由此能求出a n，S n．（2）由a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈N）是等比数列{b n}的前三项，求出k=4，从而得到a nb n=，由此利用错位相减法能求出T n．解答：解：（1）∵{a n}为等差数列，且2S n=a n+2n2（n∈N*），设公差为d，当n=1时，2S1=2a1=a1+2，解得a1=2，当n=2时，2（2+a2）=a2+2×4，解得a2=4，∴d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n，=n（n+1）．（2）∵a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈N）是等比数列{b n}的前三项，∴，∴4（2k﹣2）2=2k•2（2k+1），整理，得2k2﹣9k+4=0，解得k=4或k=（舍），∴a4，a6，a9成等比数列，且q==．∴=8（）n﹣1，∴a n b n=2n•8（）n﹣1=，∵T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，∴[1×+2×+3×+…+n•]，①=[1×+2×+3×+…+n•]，②①﹣②，得﹣=[+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1]=×[﹣n•（）n+1]=﹣32﹣16（n﹣2）•，∴T n=．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）把点代入椭圆方程可得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，可得圆的标准方程；由于以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d，利用弦长公式可得弦长=2即可得出．（3）方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为，直线FN的方程为，联立解得K坐标，可得|OK|，|OM|，利用|ON|2=|OK|•|OM|即可证明．方法二：设N（x0，y0），则，，，．利用，，可证为定值．解答：（1）解：由题意得，①∵椭圆经过点，∴②又a2=b2+c2③由①②③解得a2=2，b2=c2=1．∴椭圆的方程为．（2）解：以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为．∵以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．∴，即2|2t+2|=5t，故4t+4=5t，或4t+4=﹣5t，解得t=4，或．又t＞0，故t=4．所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．（3）证明：方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为，直线FN的方程为．由，解得，故．∴；．又．∴．∴线段ON的长为定值．方法二：设N（x0，y0），则，，，．∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0．∴2x0+ty0=2．又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0．∴．∴为定值．点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆的相交问题、向量垂直与数量积之间的关系、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，，（2分）x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1．（4分）（Ⅱ），（6分）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分）②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分）（III）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最大值小于零．（9分）由（Ⅱ）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；（11分）③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时，h（1+a）＜0不成立．（12分）综上讨论可得所求a的范围是：或a＜﹣2．（13分）点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：三角函数含答案

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末)若=﹣,则sin （α+）的值为( )A ．B ．﹣C ．D ．﹣2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数()3sin()3f x x πω=+的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个所得图象对应的函数为()y g x =，则关于函数为()y g x =的性质，下列说法不正确的是(）A ．g （x )为奇函数B ．关于直线2x π=对称C.关于点(π，0)对称 D ．在(,)64ππ-上递增 3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一)）下列函数中，同时满足两个条件“①R x ∈∀,0)12()12(=-++x f x f ππ；②当36ππ<<-x 时，0)('>x f ”的一个函数是（）A ．)62sin()(π+=x x f B ．)32cos()(π+=x x f C ．)62sin()(π-=x x f D ．)62cos()(π-=x x f4、（广州市2017届高三12月模拟）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（A)8π （B ）4π （C)38π（D)34π5、（惠州市2017届高三第三次调研）函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ）(A ）34 （B ）1 （C ）32（D ）26、（江门市2017届高三12月调研）已知函数f (x )=2sinxcosx +cos2x ,则下列说法正确的是A ．f (x )的图象向右平移π4个单位长度后得到g (x )=√2sin (2x +π4)的图象B ．若f (x 1)=f(x 2)，则x 1−x 2=kπ，k ∈ZC ．f (x )的图象关于直线x =58π对称D ．f (x )的图象关于点(−38π，0)对称7、（茂名市2017届高三第一次综合测试）如图1，函数)2sin()(φ+=x A x f 2||,0(πφ<>A )的图象过点)3,0(，则)(x f 的图象的一个对称中心是( ）A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π8、（清远市清城区2017届高三上学期期末）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象( )A ．关于点)0,6(π对称 B ．关于6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．关于12x π=对称9、（汕头市2017届高三上学期期末）函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（）个单位A ．向左平移6π B ．向左平移6π C 。

广东省潮州市绵德中学2017-2018学年高二下学期期中考试理科数学试卷 Word版含答案

广东潮州市绵德中学2017-2018学年度高二级第二学期期中考试理科数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题只有一项是符合题目要求的. 1、已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥BC 3、极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-= 4、设x x y ln -=，则此函数在区间(0,1)内为（）A ．单调递增B ．有增有减C ．单调递减D ．不确定 5、f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是 ( )A ．－2B ．0C ．2D ．46、由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是（） A ． 154 B ． 174 C ． 1ln 22D ． 2ln 27、设a R ∈，若函数xy e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（） A 、1a <- B 、1a >- C 、1a e <- D 、1a e>- 8、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，当0>x 时，有0)()(2>-'x x f x f x 成立，则不等式0)(>⋅x f x 的解集是（）A. ),1()1,(+∞⋃--∞B. )1,0()0,1(⋃-C. ),1(+∞D. ),1()0,1(+∞⋃-二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为。

广东省潮州市2017-2018学年高三第二次模拟考试理数试题 Word版含答案

2017-2018学年理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1}A x y x ==+，2{|1}B y y x ==+，则下列关系正确的是（） A ．AB φ= B ．AB A =C ．A B =D ．A B B =2.在复平面内，复数21i z i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知条件:|1|2p x +<，条件:33xq <，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 4.正态分布ξ～2(,3)N a ，且(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为（） A ．73B ．43C ．1D ．45.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．8π+ B ．84π+ C ．16π+ D ．164π+6.双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=平行，则双曲线的离心率为（）A ．2C ．2D 7.已知正数组成的等比数列{}n a ，若219100a a =，那么813a a +的最小值为（）A ．20B ．25C ．50D ．不存在8.已知()f x 是定义在R 上偶函数且连续，当0x >时，'()0f x <，若(l n )(1)f x f >，则x 的取值范围是（） A ．1(,1)eB ．1(0,)(1,)e+∞ C ．1(,)e eD ．(0,1)(,)e +∞9.执行如图所示的程序框图，则输出n 的结果是（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．1710.已知,(,1),(2,3)k Z A B k C B k ∈==--，若||A B ≤则A B C ∆是直角三角形的概率是（） A ．49B ．13C ．29D ．1911.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥，如图，半球内有一内接正四棱锥S A B C D -，该四棱锥的体积为3，则该四棱锥的外接球的体积为（）A 3B 3C 3D 312.已知02πθ<<，c o s 1s in 1()1()(0)s in c o s f m m m θθθθθ--=+++>，则使得()f θ有最大值时的m 的取值范围是（）A ．1(,2)2B ．1(,3)3C ．[1,3]D ．1[,1]4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2lo g (2)u x y =+的最大值为 .14.已知平面向量,ab 的夹角为120，||2,||2a b ==，则a b+与a 的夹角是 . 15.已知抛物线22(0)y p x p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线l与抛物线交于1(,P x ，22(,)Q x y 两点，则抛物线的准线方程为 .16.已知数列{}n a 的首项11a =，且满足12n n n a a +-≤，232nn n a a +-≤-⨯，则2016a = .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在A B C ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，c o s 2c o s A A =，a =，222A B C a b c ∆=+-.（1）求角A ；（2）求A B C ∆的面积. 18. （本小题满分12分）为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果. 表1：男生上网时间与频率分布表：上网时间（分钟） [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80]人数5 25 30 25 15表2：女生上网时间与频率分布表：上网时间（分钟） [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80]人数 10 20 40 20 10（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”；（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，再从中任取2人，记被抽取的2人中上网时间少于60分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 表3：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：22()()()()()n a d b c k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 20()P Kk ≥ 0.500．40 0.250.150.100.050.025 0.010 0.0050.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7．879 10．82819. （本小题满分12分）如图，已知三棱锥O A B C -的三条侧棱,,O A O B O C 两两垂直且O A O B O C ==，A B C ∆为等边三角形，M 为A B C ∆内部一点，点P 在O M 的延长线上，且P A P B =，P A C =，O P C =.（1）证明：A B ⊥平面P O C ；（2）求二面角P O A B --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知曲线1:C 22221(0,0)x y a b ab-=>>和曲线222:153xyC +=有相同的焦点，曲线1C 的离心率是曲线2C . （1）求曲线1C 的方程；（2）设点A 是曲线1C 的右支上的一点，F 为右焦点，连A F 交曲线1C 的右支于点B ，作B C垂直于定直线:2l x =，垂足为C ，求证：直线A C 恒过x 轴上一定点.21. （本小题满分12分）已知函数2()ln (0)f x x a x x a =--≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点1212,(0)x x x x <<，记过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线的斜率为k ，问是否存在a ，使122k a =--，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知P A 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线P B C 交圆O 于点,B C ，A P C ∠的平分线分别交,A B A C 于点,,D E A C A P =. （1）证明：A D E A E D ∠=∠；（2）证明：P C A =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线221:(3)(2)1C x y -+-=，曲线24c o s :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线3C ：(c o s 2sin )7ρθθ-=.（1）以t 为参数将1C 的方程写出含t 的参数方程，化2C 的方程为普通方程，化3C 的方程为直角坐标方程；（2）若Q 为2C 上的动点，求点Q 到曲线3C 的距离的最大值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()2f x a x x >+-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.潮州市2016年高考第二次模拟考试数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．解析：R A =，[)+∞=,1B ，故B B A =⋂，选D 2．解析：1z i =+,1z i =-选D3．解析：∵p：|x+1|<2，∴-3<x<1 ,∵q：33<x,∴x <1，∴p ⇒ q,7．解析：正数组成的等比数列{}n a ，219100a a ⋅=，有813219100a a a a ⋅=⋅=有81320a a +≥=，当且仅当813a a =时，813a a +取最小值20，选A8．解析：∵f（x ）是定义在R 上偶函数,当x ＞0时，f′（x ）＜0，此时函数为减函数，则x ＜0时，函数为增函数,若f （ln x ）＞f （1），则﹣1＜ln x ＜1则1e＜x ＜e,选C9．解析：当213lo g 14,1152n s s s n n n n +=-=+==+=+时中的此时还需再循环一次才能退出，故输出的结果是16，选C 10．解析：A B ≤及,k Z ∈知{}4,3,2,1,0,1,2,3,4,k ∈----由(),1A B k =与()2,4A C AB C B =-=垂直有2k =-，()()2,3,1C B kA B k =--=由与，13k =-垂直有或，所以ABC 是直角三角形的概率是13，选B11．解析：由()2112323R R ⨯=,得3R =3433V Rπ==，选B的范围为（，法二：由()f θ求导数可得()22c o s 1s in s in c o s m m f θθθθθ-+-'=+()c o s (1)0s in (1)f m θθθ--'==--令得，由m 表示动点Q （sin θ，cos θ）到定点P （﹣1，﹣1）的斜率，又可得动点Q 的轨迹为的单位圆在第一象限的部分，画图可知：m 的范围为（，2）．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 2 ； 14．060； 15．2x =-； 16．122016-．13．解析：作出可行域，作出直线0l ：02=+y x ，平移直线0l ，当直线0l ：02=+y x 过点A 时， y x z +=2取最大值，由20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩解得A （1,2），∴y x z +=2的最大值为4，故2=u .14．解析：()2241c o s ,222ab aa b aa b a a b aa b a+⋅⋅+-++====⨯++则a b+与a 的夹角是06015．解析：过点P作1,2pP M x M P M F M x ⊥===-轴于点题有142p P F M x ===+，∴4p =-，∴抛物线的准线方程为2x =-．16．解析：由n n n a a 21≤-+，n n n a a 232⨯-≤-++11+2-2n n n a a +-≤有+111-22=2n n nn n n n n n a a a a a a ++-≤-≥-也即即，故()()()2015201420162016201620152015201421122121a a a a a a a a ∴=-+-++-+=+++=-三、解答题：（共6小题，满分共70分） 17．解：（1）由A A cos 2cos =得01cos cos 22=--A A ， ……2分所以1c o s 2A =-或co s 1A =. ……4分因为0A π<<所以1c o s 2A =-， ……5分所以角A 为23π ……6分另解：由A Acos 2cos =得()222-2A A k A A k k Z ππ=+=+∈或 ……3分因为0A π<<所以角A 为23π ……6分（2）由222A B C S a b c ∆=+-及1s in 2A B C S a b C ∆=有222s in a b C a b c=+-222in 2abcC a b+-= ……7分in c o s C C = 显然co s 0C ≠有tan 3C = ……8分∴6π=C …… 9分又由正弦定理有2s ins in36c ππ=得2c =， …… 10分又21s in s in ()362B πππ=--=…… 11分所以A B C ∆的面积1s in 2S a c B ==。

(完整word版)广东省潮州市2017届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|y=log2（x﹣1）}，则（∁R A）∩B=（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（3，5）D．（﹣1，5）2．欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e﹣i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为（）A．y=﹣0.7x+5.20 B．y=﹣0.7x+4.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25 4．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．10 B．8 C．D．6．若=﹣，则sin（α+）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣7．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．40cm3B．30cm3C．20cm3D．10cm38．将号码分别为1、2、…、6的六个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a﹣2b+2＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=，则使得f（x2﹣2x）＞f（3x﹣6）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（3，+∞）B．（2，3）C．（﹣∞，2）D．（3，+∞）10．（x++1）4展开式中常数项为（）A．18 B．19 C．20 D．2111．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点成F，过点F且倾斜角为45°的直线l与抛物线在第一、第四象限分别交于A、B，则等于（）A．3 B．7+4C．3+2D．212．设数列{a n}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若是等差数列，则=（）A．4026 B．4028 C．4030 D．4032二、填空题13．已知向量、满足||=5，||=3，•=﹣3，则在的方向上的投影是．14．已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S4=16，S8=17，则公比q=．15．已知函数f（x）=2sin2x﹣1，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为．16．已知正四棱锥的底面边长为1，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，→m=（a，c）与→n=（1+cosA，sinC）为共线向量．（1）求角A；=，求b，c的值．（2）若3bc=16﹣a2，且S△ABC18．（12分）某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据（I）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点．（1）证明：MN ∥平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20．（12分）已知点A 、B 分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C ： +=1（a＞b ＞0）的左、右顶点，且椭圆C 过点P （，）．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ，过P 点能否引圆M 的切线？若能，求出这条切线与x 轴及圆M 的弦PF 所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=mlnx +（4﹣2m ）x +（m ∈R ）．（1）当m ≥4时，求函数f （x ）的单调区间；（2）设t ，s ∈[1，3]，不等式|f （t ）﹣f （s ）|＜（a +ln3）（2﹣m ）﹣2ln3对任意的m ∈（4，6）恒成立，求实数a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知直线l ：（t 为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为（x ，y ），求x +y 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a、b满足：a2+b2=2．（1）求的最小值m；（2）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=成立，说明理由．2016-2017学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|y=log2（x﹣1）}，则（∁R A）∩B=（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（3，5）D．（﹣1，5）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|y=log2（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，则∁R A={x|﹣1＜x＜3}，则（∁R A）∩B={x|1＜x＜3}，故选A【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e﹣i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），结合三角函数的符号，即可得出结论．【解答】解：由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），∵cos（﹣1）＞0，sin（﹣1）＜0，∴e﹣i表示的复数在复平面中位于第四象限．故选D．【点评】本题考查欧拉公式，考查三角函数知识，比较基础．3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为（）A．y=﹣0.7x+5.20 B．y=﹣0.7x+4.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25【考点】线性回归方程．【分析】由表可得样本中心为（2.5，3.5），代入检验可得结论．【解答】解：由表可得样本中心为（2.5，3.5），代入检验可得y=﹣0.7x+5.25．故选D．【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．4．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得S=10，i=0执行一次循环体后，i=1，S=9不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=2，S=7不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=3，S=4不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．10 B．8 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解z的最大值即可．【解答】解：约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z=2x+y过点A时，目标函数取得最大值．由，解得A（4，2），则z=2x+y的最大值为10．故选：A．【点评】本题考查线性规划的应用，考查数形结合思想以及计算能力．6．若=﹣，则sin（α+）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式与正弦的二倍角公式可将条件转化为sin（α+）=．【解答】解：∵===﹣2cos（﹣α）=﹣2sin（α+），∴﹣2sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=．故选：C．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练应用诱导公式与正弦的二倍角公式将条件转化为sin（α+）=．7．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．40cm3B．30cm3C．20cm3D．10cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可知，几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可知，几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥，棱柱和棱锥的底面面积S=×4×3=6cm2，棱柱和棱锥高h=5cm，故组合体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20cm3，故选：C【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．8．将号码分别为1、2、…、6的六个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a﹣2b+2＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=6×6=36个，利用列举法求出使不等式a﹣2b+2＞0的基本事件个数，由此能求出使不等式a﹣2b+2＞0成立的事件发生的概率．【解答】解：∵将号码分别为1、2、…、6的六个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，基本事件总数n=6×6=36个，要使不等式a﹣2b+2＞0成立，则当a=1时，b=1；当a=2时，b=1；当a=3时，b=1，2；当a=4时，b=1，2；当a=5时，b=1，2，3；当a=6时，b=1，2，3．故满足a﹣2b+2＞0的基本事件共有m=12个，∴使不等式a﹣2b+2＞0成立的事件发生的概率p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．9．设函数f（x）=，则使得f（x2﹣2x）＞f（3x﹣6）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（3，+∞）B．（2，3）C．（﹣∞，2）D．（3，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数f（x）为奇函数和增函数，将原不等式转化为二次不等式，计算即可得到所求解集．【解答】解：函数f（x）=为奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣，可得f（x）在（0，+∞）递增，由奇函数的性质，可得f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＞f（3x﹣6），可得x2﹣2x＞3x﹣6，解得x＜2或x＞3．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查二次不等式的解法，属于中档题．10．（x++1）4展开式中常数项为（）A．18 B．19 C．20 D．21【考点】二项式系数的性质．=，（r=0，1，…，4）．的【分析】（x++1）4展开式的T r+1==x r﹣2k，令r=2k，进而得出．通项公式：T k+1=，（r=0，1，…，4）．【解答】解：（x++1）4展开式的T r+1==x r﹣2k，的通项公式：T k+1令r=2k，可得：k=0时，r=0；k=1时，r=2，k=2时，r=4．∴（x++1）4展开式中常数项=1++=19．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点成F，过点F且倾斜角为45°的直线l与抛物线在第一、第四象限分别交于A、B，则等于（）A．3 B．7+4C．3+2D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线l的方程为y=x﹣，代入y2=2px，整理得4x2﹣12px+p2=0，解得x=p，即可求出．【解答】解：直线l的方程为y=x﹣，代入y2=2px，整理得4x2﹣12px+p2=0，解得x=p，∴==3+2．故选C．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12．设数列{a n}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若是等差数列，则=（）A．4026 B．4028 C．4030 D．4032【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，求得q=1，进而得到所求和．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，可得a n=q n﹣1，由是等差数列，即﹣为常数，可得q=1，即a n=1，=1，即有=2×2014=4028．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．已知向量、满足||=5，||=3，•=﹣3，则在的方向上的投影是﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】则在的方向上的投影是，代入数值计算即可．【解答】解：由向量、满足||=5，||=3，•=﹣3则在的方向上的投影是==﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查向量投影的求法，属基础题．14．已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S4=16，S8=17，则公比q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n，且S4=16，S8=17，∴=1+q4=，解得q=．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．15．已知函数f（x）=2sin2x﹣1，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为．【考点】函数的图象；函数的图象与图象变化．【分析】函数f（x）图象沿x轴向右平移个a单位（a＞0），得函数g（x）=﹣cos2（x﹣a）的图象，结合已知中函数的对称性，可得﹣2a=，k∈Z，进而得到答案．【解答】解：函数f（x）=2sin2x﹣1可化为f（x）=﹣cos2x，将其图象沿x轴向右平移个a单位（a＞0），得函数g（x）=﹣cos2（x﹣a），由图象关于原点对称可得﹣2a=，k∈Z，当k=﹣1时，实数a的最小值为，故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换，函数的对称性，余弦型函数的图象和性质，难度中档．16．已知正四棱锥的底面边长为1，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的面积公式解之即可．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记球心为O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此时O在PO1的延长线上），在Rt△AO1O中，R2=+（R﹣1）2得R=，∴球的表面积S=．故答案为．【点评】本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016秋•潮州期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，→m=（a，c）与→n=（1+cosA，sinC）为共线向量．（1）求角A；=，求b，c的值．（2）若3bc=16﹣a2，且S△ABC【考点】正弦定理．【分析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，利用正弦定理，将边转化为角，利用和角公式，即可得到结论；==bc，bc=4，即可求b，c的（2）利用余弦定理，求得b+c=4，再由S△ABC值．【解答】解：（1）由已知得asinC=c（cosA+1），∴由正弦定理得sinAsinC=sinC（cosA+1），．…（2分）∴sinA﹣cosA=1，故sin（A﹣）=．…由0＜A＜π，得A=；…（2）在△ABC中，16﹣3bc=b2+c2﹣bc，∴（b+c）2=16，故b+c=4．①…（9分）==bc，又S△ABC∴bc=4．②…（11分）联立①②式解得b=c=2．…（12分）【点评】本题考查向量知识的运用，考查正弦定理、余弦定理，解题的关键是边角互化，属于中档题．18．（12分）（2016•南昌校级二模）某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据（I）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由人工降雨模拟试验的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，求出大雨、中雨、小雨的概率分布表，由此利用相互独立事件概率计算公式能求出甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率．（Ⅱ）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p1，p2，p3，则，p2=p（B1）=，p3=P（C2）+P（C3）=，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由人工降雨模拟试验的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：=========记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E，则P（E）=P（A2）P（B2）P（C2）==．（Ⅱ）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p1，p2，p3，则，p2=p（B1）=，p3=P（C2）+P（C3）=，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）==，P（ξ=1）=p1（1﹣p2）（1﹣p3）+（1﹣p1）p2（1﹣p3）+（1﹣p1）（1﹣p2）p3 =++=，P（ξ=2）=p1p2（1﹣p3）+（1﹣p1）p2p3+p1（1﹣p2）p3=+=，P（ξ=3）=p1p2p3==，∴随机变量ξ的分布列为：Eξ==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用．19．（12分）（2016秋•潮州期末）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABCD，AD ∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=2，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=5．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF==∴sin∠ANF==．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）（2016秋•潮州期末）已知点A、B分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点，且椭圆C过点P（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，过P点能否引圆M的切线？若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题设知a2=b2+16， +=1，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）由A（﹣6，0），F（4，0），（，），则得=（，），=（﹣，），所以=0，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积．【解答】解：（1）由题意a2=b2+16，+=1，解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为=1．（2）由（1）知A （﹣6，0），F （4，0），又（，），则得=（，），=（﹣，）．所以=0，即∠APF=90°，△APF 是Rt △，所以，以AF 为直径的圆M 必过点P ，因此，过P 点能引出该圆M 的切线，设切线为PQ ，交x 轴于Q 点，又AF 的中点为M （﹣1，0），则显然PQ ⊥PM ，而k PM =，所以PQ 的斜率为﹣，因此，过P 点引圆M 的切线方程为：y ﹣=﹣（x ﹣），即x +y ﹣9=0．令y=0，则x=9，∴Q （9，0），又M （﹣1，0），所以S 扇形MPF ==，因此，所求的图形面积是S=S △PQM ﹣S 扇形MPF =．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）（2016秋•潮州期末）已知函数f （x ）=mlnx +（4﹣2m ）x +（m ∈R ）．（1）当m ≥4时，求函数f （x ）的单调区间；（2）设t ，s ∈[1，3]，不等式|f （t ）﹣f （s ）|＜（a +ln3）（2﹣m ）﹣2ln3对任意的m ∈（4，6）恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2﹣m）﹣2ln3＞5﹣2m﹣mln3﹣﹣12+6m成立，即（2﹣m）a＞﹣4（2﹣m），根据m＞2，分离a，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）=0，得x1=，x2=﹣，当m=4时，f'（x）≤0，函数f（x）的在定义域（0，+∞）单调递减；当m＞4时，由f'（x）＞0，得﹣＜x＜；由f′（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣，），递减区间为（0，﹣），（，+∞）．（2）由（1）得：m∈（4，6）时，函数f（x）在[1，3]递减，∴x∈[1，3]时，f（x）max=f（1）=5﹣2m，f（x）min=f（3）=mln3++12﹣6m，问题等价于：对任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2﹣m）﹣2ln3＞5﹣2m ﹣mln3﹣﹣12+6m成立，即（2﹣m）a＞﹣4（2﹣m），∵m＞2，则a＜﹣4，∴a＜（﹣4）min，设m∈[4，6），则m=4时，﹣4取得最小值﹣，故a的范围是（﹣∞，﹣]．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2016秋•潮州期末）已知直线l：（t为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出圆的直角坐标方程，直线的直角坐标方程，利用直线l与曲线C相切，列出关系式，即可求α的值；（2）曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），通过圆的参数方程，得到x+y 的表达式，利用三角函数化简，即可求解取值范围．【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+5=0即（x﹣3）2+y2=4曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆．直线l的方程为：xsinα﹣y cosα+sinα=0…∵直线l与曲线C相切∴即…∵α∈[0，π）∴α=…（2）设x=3+2cosθ，y=2sinθ则x+y=3+2cosθ+2sinθ=…（9分）∴x+y的取值范围是．…（10分）【点评】本题考查直线与圆的参数方程以及极坐标方程的应用，直线与圆的位置关系，三角函数的化简求值，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•岳阳校级一模）已知正实数a、b满足：a2+b2=2．（1）求的最小值m；（2）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=成立，说明理由．【考点】基本不等式．【分析】（1）利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用绝对值形式的三角不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．又∴≥2，当且仅当a=b时取等号．∴m=2．（2）函数f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，∴满足条件的实数x不存在．【点评】本题考查了基本不等式的性质、绝对值形式的三角不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．。

广东省潮州市绵德中学2017届高三上学期第二学月考试数学(理)试卷含答案

2016—2017学年度高三级第二学月考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题只有一项是符合题目要求的. 1、设集合2{|}M x xx ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．xe x y += B ．xx y 1+= C ．xxy 212+= D ．21x y +=3、函数13)(23-+=x xx f 在x =____处取得极小值（) A ．3 B ．2 C ．0 D ．2-4、若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是(）A ．2B ．3C ．4D ．5 5．已知,,a b c R ∈，下列命题正确的是（）A.22a b ab >⇒>B 。

ba b a 22>⇒>C.11a b ab<⇒> D 。

2log2log 1ba b a <⇒<<6、已知31)29sin(=+απ，那么cos α=（）A ．32- B ．32 C ．31- D ．317．二次函数3)(22-+-=a ax x x f 有两个零点分别为1x ，2x ,且211x x <<，则a 的取值范围是( ）A ．)1,2(-B ．)2,1(-C ．),2()1,(+∞⋃--∞D ．),1()2,(+∞⋃--∞8、已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）9、设p ：实数x ，y 满足（x –1)2+（y –1)2≤2，q :实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x=- ;当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时,11()()22f x f x +=- 。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：平面向量 Word版含答案

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编平面向量一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知向量a r ，b r 满满足|a r |=5，|b r |=3，a r •b r=﹣3，则a r 在b r的方向上的投影是 ﹣1 ．2、（东莞市2017届高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC CD =u u u r u u u r，则3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若AE AB 2=，AF AD 3=，)(R AK AC ∈=λλ，则=λ（）A ．2B ．25C ．3D ．54、（广州市2017届高三12月模拟）已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若MF PF 3=，则=MN (Ａ)221(Ｂ)332 (Ｃ) 10 (Ｄ) 115、（惠州市2017届高三第三次调研）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) （A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）正三角形（D ）等腰直角三角形6、（江门市2017届高三12月调研）在中，是边的中点，，，则A ．B ．C ．D ．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =u u u r u u u r ,则AD =u u u r（A ）2133AB AC +u u u r u u u r （B ）1233AB AC +u u ur u u u r（C ）4133AB AC +u u ur u u u r（D ）2533AB AC +u u ur u u u r 8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线，切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+u u u u r u u u u r u u u r，则双曲线的离心率为（）A ．7224- B ．7224+C ．231+D ．251+9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知向量 b a , 3且、,)(b b a ⊥+则a r与b 的夹角β为10、（汕头市2017届高三上学期期末）在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（）A ．443 B ．449C. 43637+ D ．433237+11、（韶关市2017届高三1月调研）已知平面非零向量,a b r r满足()1b a b ⋅+=r r r ，且1b r =，则a r 与b r的夹角为12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）已知AB AC ⊥u u u r u u u r ，1AB t=u u u r ，AC t =u u ur ，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且AB ACAP AB AC=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，当t 变化时，PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于（A ）-2 （B ）0 （C ）2 （D ）413、（珠海市2017届高三上学期期末）已知平面向量a r ，b r 满足a r （a r ＋b r ）=5，且|a r|=2， |b r |＝1，则向量a r 与b r的夹角为A.6π B.3πC.23πD.56π 14、（东莞市2017届高三上学期期末）设向量a r＝(,2)x ，b r＝（1，－1），且a r在b r方向上的投影为2，则x 的值是_________.15、（广州市2017届高三12月模拟）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=o , 则BD CD ⋅=u u u r u u u r________．16、（江门市2017届高三12月调研）如图，空间四边形中，点分别上，，则A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（潮州市2017届高三上学期期末）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，→m =（a ，c ）与→n =（1+cosA ，sinC ）为共线向量．（1）求角A ；（2）若3bc=16﹣a 2，且S △ABC =，求b ，c 的值．2、（江门市2017届高三12月调研）已知是锐角三角形，内角所对的边分别是，满足．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的周长．3、（茂名市2017届高三第一次综合测试）设,x y R ∈，向量,i j r r 分别为直角坐标平面内,x y轴正方向上的单位向量，若向量(3)a x i y j =++r r r , (3)b x i y j =+r r r,且||||4a b +=r r ．（Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆22:1164x y E +=，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线=+y kx m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：∆OAB 的面积为定值.参考答案一、选择、填空题1、【解答】解：由向量、满足||=5，||=3， •=﹣3则在的方向上的投影是==﹣1，故答案为：﹣12、A3、D4、B5、【解析】因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选A. 6、D 7、A8、D 解：如图9，∵21M (OP)2O OF =+u u u u r u u u u r u u u r，∴M 是2F P 的中点.设抛物线的焦点为F 1，则F 1为（- c ，0），也是双曲线的焦点. 连接PF 1，OM .∵O 、M 分别是12F F 和2PF 的中点，∴OM 为 △PF 2F 1的中位线.∵OM=a ，∴|PF 1|=2 a.∵OM ⊥2PF ，∴2PF ⊥PF 1，于是可得|2PF 22442c a b -=，设P （x ，y ），则 c -x =2a ，于是有x=c-2a ， y 2=-4c （c -2 a ），过点2F 作x 轴的垂线，点P 到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y 2+4a 2=4b 2，即-4c(c-2a)+4 a 2=4(c 2- a 2)，变形可得c 2-a 2=ac ，两边同除以a 2 有 210e e --=, 所以152e +=,负值已经舍去. 故选D .9、65π10、B 11、2π 12、B 13、B14、4 15、6 16、B二、解答题1、【解答】解：（1）由已知得asinC=c （cosA +1），∴由正弦定理得sinAsinC=sinC （cosA +1），． …（2分）∴sinA ﹣cosA=1，故sin （A ﹣）=．…由0＜A ＜π，得A=； …（2）在△ABC 中，16﹣3bc=b 2+c 2﹣bc ， ∴（b +c ）2=16，故b +c=4． ①…（9分）又S △ABC ==bc ，∴bc=4．②…（11分）联立①②式解得b=c=2．…（12分） 2、解：⑴……1分43sin sin 41cos 43222=+-=B B B ……3分所以23sin ±=A ……4分又A 为锐角，所以3π=A ……6分⑵由，得①……7分由⑴知3π=A ，所以bc=24 ②……8分由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA ，将72=a 及①代入可得c 2+b 2=52③……10分 ③+②×2，得（c+b ）2=100，所以c+b=10，△ABC 的周长是7210+……12分3、 (Ⅰ)解：∵ (3)a x i y j =+r r r ， (3)b x i y j =+r r r，且||||4a b +=r r2222(3)(3)4x y x y ∴++-+=∴ 点M （x ，y ）到两个定点F 1（3-，0），F 230）的距离之和为4…………2分 ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>则c =, 2a = ∴2221b a c =-= ………………3分其方程为2214x y += …………………………………………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将=+y kx m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得222(14)84160+++-=k x kmx m 显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，由韦达定理则有,0>∆∴：122814+=-+kmx x k ，212241614-=+m x x k . ……………………………………………5分所以122||14-=+x x k…………………………………………………6分因为直线=+y kx m 与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以∆OAB 的面积1221|||||214=-=+m S m x x k …………………7分== …………8分设2214=+m t k将=+y kx m 代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440+++-=k x kmx m ………10分由0∆=，可得2214=+m k 即1=t ， …………………………………………11分又因为==S故=S . …………………………………………………………………12分。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线含答案

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点成F,过点F 且倾斜角为45°的直线l 与抛物线在第一、第四象限分别交于A 、B ，则等于( ）A ．3B ．7+43C ．3+2D ．22、（珠海市2017届高三上学期期末）已知双曲线221C 1164x y =：－,双曲线22222C 1(00)x y a b a b=>>：－，的左、右焦点分别为F 1,F 2，M 是双曲线C 2 一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，若△OMF 2的面积为 16,且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为A ．4B ．8C ．16D ．323、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知双曲线)0(1:2222>>=-a b by a x C 的右焦点为F ，O 为坐标原点,若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于B A ,两点，使0=⋅OB OA ，则双曲线离心率的取值范围是________ 4、（广州市2017届高三12月模拟）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=，则双曲线C 的离心率为(A) 25 （B) 5 （C ） 26 (D ） 65、(惠州市2017届高三第三次调研）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ,B 两点，|AB ｜为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为（）（A ）错误! （B)错误! （C)2 （D)36、(江门市2017届高三12月调研）过抛物线y 2=2px （p >0）焦点的直线 l 与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆的方程为(x −3)2+(y −2)2=16，则p = A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、（揭阳市2017届高三上学期期末）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为33则分别以,a b 为实半轴长和虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 .8、(茂名市2017届高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线,切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+，则双曲线的离心率为( ）A ．7224- B ．7224+C ．231+D ．251+9、（清远市清城区2017届高三上学期期末)已知双曲线c:，以右焦点F 为圆心，｜OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O ），若|MN ｜=，则双曲线C 的离心率是（）A ．2B ．3C ．2D ．31+10、（汕头市2017届高三上学期期末）圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 11、(韶关市2017届高三1月调研)已知点A 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，F 是右焦点，若AOF ∆(O 是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率e 为（A) 2 （B) 3 （C) 12 (D ） 13二、解答题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知点A 、B 分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，且椭圆C 过点P(，）．（1）求椭圆C 的方程;（2）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ，过P 点能否引圆M 的切线?若能,求出这条切线与x 轴及圆M 的弦PF 所对的劣弧围成的图形面积；若不能,说明理由．2、（珠海市2017届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点,左焦点为F 1(－1，0)，离心率e ＝22。

广东省潮州市绵德中学高三数学上学期期中试卷理(含解

广东省潮州市绵德中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣4＜x＜1}，则A∩B等于（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，﹣4）2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若p∨q真命题，则p、q均为真命题C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4 4．（5分）若变量x，y满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m=（）A．8 B．7 C．6 D．55．（5分）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.46．（5分）函数f（x）=sin（2x+）是（）A．奇函数且在[0，]上单调递增B．偶函数且在[0，]上单调递增C．奇函数且在[，π]上单调递增D．偶函数且在[，π]上单调递增7．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）10．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为．11．（5分）随机变量ξ的分布列如下表：ξ﹣1 0 1P a b c其中a，b，c成等差数列且a=，则E（ξ）=．12．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．13．（5分）各大学在2015届高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的6个专业A，B，C，D，E，F中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中A，B 两个专业不能同时兼报，且若考生选择A专业，则A专业只能填报为第一专业志愿，则该考生不同的填报专业志愿的方法有种．14．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB 的面积分别为的最小值为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（12分）已知函数，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．16．（13分）某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率1 [25，30）120 0.62 [30，35）195 P3 [35，40）100 0.54 [40，45） a 0.45 [45，50）30 0.36 [50，55）15 0.3（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．17．（13分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．18．（14分）在某社区举办的《119消防知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关消防知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是．（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率．（Ⅲ）记甲、乙、丙三人中答对该题的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的期望．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．广东省潮州市绵德中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣4＜x＜1}，则A∩B等于（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，﹣4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算得答案．解答：解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣4＜x＜1}，则A∩B={x|x＞0}∩{x|﹣4＜x＜1}=（0，1）．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若p∨q真命题，则p、q均为真命题C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，写出命题“若x2=1，则x=1”的否命题再判断其真假即可B，利用“或”命题的判断规律可判断B的正误；C，写出命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定后，即可判断其真假；D，利用充分必要条件的概念及应用可从充分性与必要性两个方面判断D的正误．解答：解：A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；B：若p∨q真命题，则p、q中至少有一个为真命题，故B错误；C：命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C 错误；D：x=y⇒sinx=siny，充分性成立；反之，sinx=siny，不能⇒x=y；即“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件，故D正确；故选：D．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系与充分必要条件的概念、复合命题的真假判断，考查转化思想．3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．解答：解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．（5分）若变量x，y满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m=（）A．8 B．7 C．6 D．5考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣1，﹣1）时目标函数有最小值为m=﹣3，当直线y=﹣2x+z过B（2，﹣1）时目标函数有最大值为M=2×2﹣1=3．∴M﹣m=6．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．解答：解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，所以所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故选B．点评：本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．6．（5分）函数f（x）=sin（2x+）是（）A．奇函数且在[0，]上单调递增B．偶函数且在[0，]上单调递增C．奇函数且在[，π]上单调递增D．偶函数且在[，π]上单调递增考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式、余弦函数的单调性和奇偶性，可得结论．解答：解：由于函数f（x）=sin（2x+）=cos2x，故它是偶函数，当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，此时f（x）是增函数，故选：D．点评：本题主要考查诱导公式，余弦函数的单调性和奇偶性，属于基础题．7．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；定积分．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论．解答：解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选A点评：本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积，要求熟练掌握几何概型的求解方法．8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先根据=＞0，判断的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系．再根据函数的奇偶性判断﹣1＜x＜0和x＜﹣1时f （x）与0的关系，最后去x的并集即可得到答案．解答：解：∵=＞0，即x＞0时，是增函数当x＞1时＞f（1）=0，f（x）＞0；0＜x＜1时，＜f（1）=0，f（x）＜0．又f（x）是奇函数，所以﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）＞0；x＜﹣1时f（x）=﹣f（﹣x）＜0．则不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）故选：D．点评：本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）考点：二项式定理．专题：计算题．分析：根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．解答：解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r=3可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．点评：本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．10．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：要使函数f（x）有意义，则x2﹣x＞0，解得x＞1或x＜0，即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．11．（5分）随机变量ξ的分布列如下表：ξ﹣1 0 1P a b c其中a，b，c成等差数列且a=，则E（ξ）=．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：通过等差数列以及概率和为1，求出b、c，然后求解期望．解答：解：由题意可知：，2b=，解得：b=，c=，∴E（ξ）=﹣1×+0×+1×=故答案为：．点评：本题考查等差数列以及离散型随机变量的分布列的期望的求法，基本知识的考查．12．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．解答：解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为 2．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．13．（5分）各大学在2015届高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的6个专业A，B，C，D，E，F中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中A，B 两个专业不能同时兼报，且若考生选择A专业，则A专业只能填报为第一专业志愿，则该考生不同的填报专业志愿的方法有72 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：分类讨论，分别求出甲、乙都不选、甲、乙两个专业选1个时的报名方法，根据分类计数原理，可得结论．解答：解：甲、乙都不选时，有=24种；选甲不选乙时，有=12种，选乙不选甲时有=36种，根据分类计数原理，可得共有24+12+36=72种不同的填报专业志愿的方法．故答案为．72点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB 的面积分别为的最小值为18．考点：基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．解答：解：由已知得=bccos∠BAC=2 ⇒bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2 ）=18，故答案为：18．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（12分）已知函数，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．考点：二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．解答：解：（1）（2）因为，所以所以，所以=点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围．16．（13分）某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率1 [25，30）120 0.62 [30，35）195 P3 [35，40）100 0.54 [40，45） a 0.45 [45，50）30 0.36 [50，55）15 0.3（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（I）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有频率定义知高为，在有频率分布直方图会全图形即可；（II）由题意及（I）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人，并且由题意分出随机变量X服从超几何分布，利用分布列定义可以求出分布列，并利用分布列求出期望．解答：解：（Ⅰ）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以．第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P∴数学期望．点评：此题考查了频率分布直方图及其性质，还考查了统计中的分层抽样及离散型随机变量的定义及分布列，并考查了应用其分布列求其期望，重在考查学生的理解及计算能力．17．（13分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．考点：正弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2x﹣）﹣1，由此求出最小值和周期．（Ⅱ）由f（C）=0可得sin（2C﹣）=1，再根据C的范围求出角C的值，根据两个向量共线的性质可得 sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得 b=2a．再由余弦定理得9=，求出a，b的值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）==﹣﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为π．…（5分）（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即 sin（2C﹣）=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．…（7分）∵向量与共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得 b=2a，①…（9分）∵c=3，由余弦定理得9=，②…（11分）解方程组①②，得 a= b=2．…（13分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．18．（14分）在某社区举办的《119消防知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关消防知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是．（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率．（Ⅲ）记甲、乙、丙三人中答对该题的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，则P（A）=，且有，由此能求出乙、丙两人各自回答对这道题的概率．（2）由（1）知P（）=1﹣P（A）=，，由此能求出甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的期望．解答：（本题满分14分）解：（1）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，（1分）则P（A）=，且有，（3分）即，解得P（B）=，P（C）=．（5分）（2）由（1）知P（）=1﹣P（A）=，记甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题为事件M，所以．（7分）（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，（8分），，，（12分）∴．（14分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系，即可求出单调区间，（2）分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）=x2﹣2lnx，得f（x）的定义域为（0，+∞），∴；则由f'（x）＞0且x＞0，得x＞1；由f'（x）＜0且x＞0，得0＜x＜1；所以，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（2）∵，若k′（x）=0，则x=2，当x∈[1，2）时，k′（x）＜0；当x∈（2，3]时，k′（x）＞0．故k（x）在x∈[1，2）上递减，在（2，3]上递增，∴．所以实数 a的取值范围是（2﹣2ln2，3﹣2ln3]点评：本题考查函数的单调区间的求法，不等式的解法，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g （x）的单调性，即可得出结论；（3）令x0=，利用（2）的结论，得e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．点评：该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想．属难题．。

广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测数学理试题Word版含答案

理科数学本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。

第一卷1至2页。

第二卷3至4页。

全卷总分值150分，考试时间120分钟。

考生考前须知：1．答第一卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第二卷时，必需答题卡上作答．在试题卷上作答无效．参考公式：假如事务A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 假如事务A 、B 互相独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第一卷〔选择题共40分〕一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i+=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2 2．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，那么A B =A ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．假设抛物线22y px =的焦点及双曲线22122x y -=的右焦点重合，那么p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．4 4．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是A ．10x -<<或1x >B ．1x <-或01x <<C ．1x >-D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，以下命题中是真命题的为 A ．假设m α⊥，m n ⊥，那么//n α B ．假设//m α，//n α，那么//m n C ．假设m α⊂，//n α，那么//m n D ．假设m 、n 及α所成的角相等，那么//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，那么四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯〔即n∏表示数列{}n a 的前n 项之积〕，8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，假设3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，那么A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第二卷〔非选择题，共110分〕二填空题：此题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校出名4000学生，各年级男、女生人数如表，在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，那么在高二抽取的学生人数为．10．假如实数x 、y 满意条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为．11．在ABC ∆中角A、B、C 的对边分别是a 、b 、c ，假设(2)cos cos b c A a C -=，那么cos A =．12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++件是i >？13．由数字0、1、2、3、4五位数，其中奇数有个．14．假设一个正三棱柱的三视图如以下图所示，那么这个正三棱柱的体积为．题12图主视图左视图三．解答题〔本大题共6小题，共80分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔本小题共12分〕函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数．〔1〕求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合；〔2〕假设()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．〔此题总分值12分〕近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．假设生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族〞，否那么称为“非低碳族〞．数据如下表〔计算过程把频率当成概率〕．〔1〕假如甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；〔2〕A 小区经过大力宣扬，每周非低碳族中有20%的人参与到低俯视图pp碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25个人，记X 表示25个人中低碳族人数，求()E X ． 17．〔本小题总分值14分〕点(4,0)M 、(1,0)N ，假设动点P 满意6||MN MP NP =⋅．〔1〕求动点P 的轨迹C ；〔2〕在曲线C 上求一点Q ，使点Q 到直线l ：2120x y +-=的间隔最小．18．(本小题总分值14分)梯形ABCD 中，AD∥BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，x AE =．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的中点，以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ．〔1〕当2=x 时，求证：BD ⊥EG ；〔2〕求()f x 的最大值；〔3〕当()f x 获得最大值时，求异面直线AE 及BD 所成的角的余弦值．19．〔此题总分值14分〕数列{}n a 中112a =，前n 项和2(1)n n S n a n n =--，1n =，2，…．〔1〕证明数列1{}n n S n +是等差数列；〔2〕求n S 关于n 的表达式；〔3〕设 3n n n b S =１，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．〔此题总分值14分〕二次函数()f x 满意(0)(1)0f f ==，且最小值是14-．〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-及()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；〔3〕0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：；；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，那么4p =．4．画出直线y x =及双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，明显1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >． 5．考察空间中线、面的平行及垂直的位置关系的推断．６．由0AB CD +=，得AB CD DC =-=，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅，故0DB AC =⋅，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ． 8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，那么()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=． 10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -获得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考察循环构造终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，那么=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh ===．15．解：〔1〕∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， (4)分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 获得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ………6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分．〔2〕由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x=，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分16．解：〔1〕设事务C 表示“这4人中恰有2人是低碳族〞． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=．…… 4分答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分〔2〕设A小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族互相独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数听从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分17．解：〔1〕设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-，(3,0)MN =-，(1,)NP x y =-． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅，得3(4)x --=， ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=，∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不标准的扣1分．〔2〕椭圆C 上的点Q 到直线l 的间隔的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且及椭圆C 相切的直线1l 及直线l 的间隔．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= 〔*〕．依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 及1l 的间隔d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 及1l 的间隔 d ==由于<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的间隔的最小值为．…12分当4m =-时，方程〔*〕化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的间隔最小． ……… 14分 18．〔法一〕〔1〕证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥，∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =，故⊥EG 平面DBH ．又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．〔2〕解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由〔1〕⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ， ∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+ 2288(2)333x =--+≤． ∴当2x =时，()f x 有最大值为83．〔3〕解：由〔2〕知当()f x 获得最大值时2AE =，故2BE =，由〔2〕知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 及BD 所成的角．在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴23cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 及BD 所成的角的余弦值为33．法二：〔1〕证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ， ∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如下图．当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ． ∴(2,2,2)BD =-，(2,2,0)EG =，∴440BD EG ⋅=-+=．∴BD EG ⊥，即BD EG ⊥；〔2〕解：同法一；〔3〕解：异面直线AE 及BD 所成的角θ等于,AE BD <>或其补角．又(0,0,2)AE =-，故43cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD -<>===-++⋅⋅ ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 及BD 所成的角的余弦值为33． 19．〔1〕证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n n S S n nn -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n +是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分〔2〕解：由〔1〕得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分〔3〕由〔２〕，得3n n n b S =１＝321n n n +１＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+ …１２分1111n n n =-=++． ……… 14分20．解：〔1〕由二次函数()f x 满意(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，那么221()()24a f x ax ax a x =-=--． ……………… ２分又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =． ∴2()f x x x =-； ………………４分〔2〕依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．〔1t -ｔ〕……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232tt x x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分〔3〕∵()f x 的最小值为14-，故14m ≥-，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-+≥-，故12m n ++≥． ……… 12分∵1()02m n +≥≥，102m n ++≥+≥， ……… 13分 ∴11()()22m n m n +++≥=+ ∴211()()24m n m n +++≥+． ……… 14分。

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20、(本小题满分12分)
如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，记，矩形的面积为；
（1）求出与的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）求最大值。
21、(本小题满分12分)设，函数。
(1)求的单调区间；
(2)证明：在上仅有一个零点；
(Ⅱ)射线与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标．
24．（本小题满分10分）选修：不等式选讲
设函数
（1）若，解不等式；
（2）若函数有最小值，求实数a的取值范围．
2016-2017学年度高三级第二学月考试数学（理科）参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题只有一项是符合题目要求的.
A． B． C． D．
12、设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）
A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
2016-2017学年度高三级第二学月考试
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题只有一项是符合题目要求的.
1、设集合，，则（）
A． B． C． D．
2、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．
3、函数在 ____处取得极小值（）
如图所示，已知AB是圆的直径，AC是弦，，垂足为D，AC平分．
（Ⅰ）求证：直线CE是圆的切线；
（Ⅱ）求证：．
23．（本题满分10分）选修：坐标系与参数方程.
坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数)．
以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；
(Ⅱ)因为射线的普通方程为，．………………6分
联立方程组消去并整理得．
解得或，所以P点的坐标为 ………………………8分
所以P点的极坐标为 ………………………….……………10分
另解：把代入得所以P点的极坐标为 …10分
24．解：（Ⅰ）时， .
当时，可化为，解之得；…….…2分
当时，可化为，解之得 .………4分
综上可得，原不等式的解集为 ……………………5分
（Ⅱ），函数有最小值的充要条件为
解得 ……9分，所以a的取值范围是 …………10分
（10分）
（12分）
19、(本小题满分12分)
解：⑴ ，………1分
∵ 是的极值点，∴ ，即，解得或2．………2分
经检验或2符合题意………3分
⑵∵ 在上．∴ ，∵ 在上，
∴ ，………4分
又，∴ ，∴ ，解得，………5分
∴ ，由可知和是的极值点．………6分
∵ ，………7分
∴ 在区间上的最大值为8．………8分
（II）由知：，
化简得，即（8分）
即数列是以1为首项，以为公比的等比数列，所以（10分）
所以等比数列的前项和（12分）
18、(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)样本均值为；（3分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为 ,
故推断该车间名工人中有名优秀工人.（6分）
(Ⅲ)Байду номын сангаас的可能取值为（7分）
所以，………3分
所以，………4分
所以矩形的面积， ………6分
（2）由
………8分
………10分
，，即
矩形的面积取得最大值为 ………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）依题，
∴ 在上是单调增函数；（3分）
（6分）
（12分）
22．证明：（Ⅰ）连接，因为，所以 …………..2分
又因为，所以，
已知是公差为3的等差数列，数列满足，.
（1）求的值并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和。
18、(本小题满分12分)
某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ)根据茎叶图计算样本均值；
(Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.
9、设p：实数x，y满足(x–1)2+(y–1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10、已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时，；当时， .则f(6)=（）
A．−2B．−1C．0D．2
11、已知是定义在上的奇函数，且当时，不等式成立，若，，则大小关系是（）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
D
B
D
B
B
A
D
A
A
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13、 14、 15、1 16、，
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由，当n=1时，有（2分）
因为所以（4分）
又∵ 是公差为3的等差数列，所以（6分）
A．3 B．2 C．0 D．
4、若，，则复数的模是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知，下列命题正确的是（）
A. B.
C. D.
6、已知，那么（）
A． B． C． D．
7．二次函数有两个零点分别为，，且，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
8、已知函数，则的图像大致为（）
又因为平分，所以，…..4分
所以，即，
所以是的切线……………….….6分
（Ⅱ）连接，因为是圆的直径，所以，
又因为，………………………………………8分
所以，所以，即 ……..10分
23．解：(Ⅰ)圆C的参数方程化为普通方程是．即 …2分
又，．于是，又不满足要求．
所以圆C的极坐标方程是 ………………………5分
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13、若曲线在点处的切线平行于轴，则．
14、由曲线与曲线所围成的图像的面积为．
15．已知．则 =
16．设函数
①若，则的最小值为；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、(本小题满分12分)
⑶因为函数在区间不单调，所以函数在区间上存在极值点，
所以导函数在上存在零点．………9分
而的两根为，，区间长为，
∴导函数在区间上不可能有2个零点．………10分
或 ………11分
∴ ．………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）在直角中，，，………1分
在直角中，，………2分
(3)若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：．
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请在答题卡上先填写所选题号后再解答.
22．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，从该车间名工人中,任取人,
记取出的2人中优秀工人的人数为随机变量，求的期望.
19、(本小题满分12分)
已知函数
⑴若为的极值点，求的值；
⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；
⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围．