机械能守恒和圆周运动的结合2010—2011
什么是机械能守恒举例说明机械能守恒的应用
什么是机械能守恒举例说明机械能守恒的应用知识点：什么是机械能守恒以及机械能守恒的应用一、什么是机械能守恒机械能守恒是指在一个封闭的系统中，不受外力或外力做功可以忽略不计的情况下，系统的机械能（动能和势能的总和）保持不变。
这里的机械能包括动能和势能，其中动能是指物体由于运动而具有的能量，势能是指物体由于位置或状态而具有的能量。
二、机械能守恒的原理机械能守恒的原理可以概括为能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转化为另一种形式。
在封闭的系统中，没有外力做功，系统的总机械能（动能和势能之和）保持恒定。
这意味着，如果一个物体在运动过程中没有外力作用，它的动能和势能之间的相互转化不会改变它们的总和。
三、机械能守恒的应用1.自由落体运动：在真空中，一个物体从高处自由下落，没有空气阻力作用。
在这种情况下，物体的势能逐渐转化为动能，但总机械能（势能加动能）保持不变。
2.抛体运动：在忽略空气阻力的情况下，抛出物体（如抛物线运动），物体的机械能同样保持不变。
在抛体运动中，物体的势能和动能会根据其位置和速度发生变化，但总机械能保持恒定。
3.理想弹性碰撞：在理想弹性碰撞中，两个物体碰撞后，它们的机械能（动能和势能之和）在碰撞前后保持不变。
这意味着碰撞过程中，动能可能从一个物体转移到另一个物体，但总机械能不会改变。
4.滑梯：一个孩子在滑梯上滑下时，势能转化为动能。
在没有外力作用（如摩擦力）的情况下，孩子的总机械能保持不变。
5.摆钟：摆钟的摆动过程中，势能和动能之间的相互转化使摆钟保持恒定的周期运动。
在没有外力作用（如摩擦力和空气阻力）的情况下，摆钟的机械能保持不变。
通过以上知识点的学习，我们可以更好地理解机械能守恒的概念及其在实际中的应用。
在解决相关问题时，要善于运用机械能守恒原理，分析物体在不同状态下的能量转化，从而得出正确答案。
习题及方法：1.习题：一个物体从地面上方以初速度v0竖直下落，不计空气阻力。
求物体落地时的速度大小。
例谈机械能守恒定律在解竖直圆周运动问题中的运用
例谈机械能守恒定律在解竖直圆周运动问题中的运用作者：梁超联来源：《中学教学参考·理科版》2011年第08期能量转化和守恒问题是自然界中最普遍、最基本，也是最重要的客观规律。
在用机械能守恒定律解决竖直面内的圆周运动问题时，既要掌握圆周运动的规律，更要正确理解机械能守恒的条件：其一，对某一物体来说，若只有重力做功，或其他外力做功的代数和为零，物体的机械能守恒；其二，对某一系统，在某一运动过程中，物体间只有动能和重力势能（或弹性势能）的相互转化，则系统机械能守恒。
因此在解题时，分析物体运动过程中的受力情况和做功情况以及动能关系是解题的关键。
竖直圆周运动中，物体所受的力是变力，只要符合守恒条件，机械能就守恒。
对竖直圆周运动问题的解决，首先要对物理过程进行受力分析，做功分析，判断机械能是否守恒。
其次要根据机械能守恒列方程，其思路是（1）从守恒观点出发，初末状态机械能不变；（2）从能量转化观点看，动能（或势能）的减少量等于势能（或动能）的增加量，-；（3）从能量转移的观点看，系统中A的机械能的增加，等于B机械能的减少，-。
在竖直圆周运动中，往往已知状态是间接给出。
要运用圆周运动的特点，找出竖直圆周运动中的关键点，最高点和最低点。
同时注意关键词，如“恰好”，“刚好”等。
图1【例1】如图1，斜槽轨道下端与竖直圆轨道相接成过山车轨道的一部分，一质量为m的过山车从斜槽轨道A点静止下滑，运动到圆形轨道时恰好通过最高点C，轨道光滑，则（1）过山车在A点时离轨道低点至少多高？（2）过山车经轨道最低B时速度多大？对轨道压力多大？解析:过山车沿光滑轨道由A运动到C，受重力和支持力作用，支持力始终与运动方向垂直，不做功，只有重力做功，故机械能守恒。
取最低点B为参考面，设过山车过C点时的速度为，则有机机，C点速度未知。
因为过山车“恰好”能通过圆周运动的最高点，说明在最高点时只有重力提供向心力，车对轨道无压力，则有①②联立①②解得A点离最低点的高度（2）设最低点B的速度为，对轨道压力为，则小车受轨道的支持力和重力mg作用，由圆周运动规律得-③④联立解得，。
机械能守恒和圆周运动的结合
欢迎来到本次演讲！我们将探索机械能守恒与圆周运动的奇妙联系，以及在 这一领域内的一些令人惊叹的应用。
机械能守恒的定义
机械能守恒是指在一个闭合系统中，机械能（动能和势能之和）的总量保持不变。这个概念是我们理解圆周运 动的基础。
圆周运动的基本概念
圆周运动是物体绕着一个固定轨道做匀速运动，如行星绕太阳运动。这种运 动的特点是速度的大小不变，但方向不断改变。
机械能守恒和圆周运动的联系
在圆周运动中，机械能守恒的原理发挥了重要作用。它使我们能够更好地理 解和分析物体在圆周运动过程中的能量转换。
圆周运动中的重力势能和动能 的转换
在圆周运动中，重力势能可以转换为动能，反之亦然。这一转换过程是圆周 运动中能量守恒的关键。
机械能守恒在圆周运动中的应 用
通过理解机械能守恒的原理，我们可以解释许多圆周运动现象，如摩天轮的 运动和卫星绕地球的轨道。
圆周运动中的角速度和角加速 度
角速度是描述物体在圆周运动中旋转快慢的指标，而角加速度则是描述旋转 加速度的指标。它们与机械能守恒密切相关。
结论和要点
通过机械能守恒理论的运用，我们能够更好地理解和分析圆
机械能守恒
碰撞前 碰撞后
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r v1'
r v2'
16
3.7 碰撞 如果在两物体碰撞之后， 如果在两物体碰撞之后，由于非保守内力作功 将动能转化为其它形式的能量（如热能，光能）， 将动能转化为其它形式的能量（如热能，光能）， 它们的动能之和将减少，这类碰撞称作非弹性碰撞 非弹性碰撞。 它们的动能之和将减少，这类碰撞称作非弹性碰撞。 如果两物体作非弹性碰撞后以同一速度运动， 如果两物体作非弹性碰撞后以同一速度运动，这类 碰撞称作完全非弹性碰撞 完全非弹性碰撞。 碰撞称作完全非弹性碰撞。
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Wint,cons = −∆Ep Wint = Wint,n−cons − ∆Ep
2
3.6 功能原理 机械能守恒
1 1 2 2 Wext +Wint = ∑ mi vi − ∑ mi vio =∆Ek 2 2
Wext +Wint,n−cons − ∆Ep = ∆Ek
mmS 1 2 mv'3 −G =0 2 RS
v' = v'3 −vE
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12
3.6 功能原理 机械能守恒 抛体在脱离了地球的束缚后， 抛体在脱离了地球的束缚后，要再脱离太阳的束 缚，相对于地球参照系的速度不能小于
v' = v'3 −vE =
(
GmS 2 −1 RS
问题 如果两物体作完全非弹性碰撞， 如果两物体作完全非弹性碰撞，损失的 动能到哪去了? 动能到哪去了?
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3.7 碰撞 小球作完全弹性对心碰撞，取速度方向为 轴正向 轴正向， 小球作完全弹性对心碰撞，取速度方向为x轴正向， 沿x轴方向系统的动量和动能守恒 轴方向系统的动量和动能守恒
(完整版)机械能守恒定律练习题及其答案
机械能守恒定律专题练习姓名：分数：专项练习题第一类问题：双物体系统的机械能守恒问题例1. （2007·江苏南京）如图所示，A 物体用板托着，位于离地面处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A 物体质量，B 物体质量，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：B 物体在上升过程中离地的最大高度为多大？（取）（例1）（例2）例2. 如图所示，质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点，用轻质细线连接跨过光滑圆柱体，B着地A恰好与圆心等高，若无初速度地释放，则B上升的最大高度为多少？第二类问题：单一物体的机械能守恒问题例3. （2005年北京卷）是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径，不计各处摩擦，求：为R，小球的质量为m（1）小球运动到B点时的动能；（2）小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；（3）小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大。
例4. （2007·南昌调考）如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O（1）小球落地点到O点的水平距离；（2）要使这一距离最大，R应满足何条件？最大距离为多少？第三类问题：机械能守恒与圆周运动的综合问题例5. 把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图所示），摆长为l ，最大偏角为，小球运动到最低位置时的速度是多大？（例5）（例6）例6. （2005·沙市）如图所示，用一根长为L 的细绳，一端固定在天花板上的O点，另一端系一小球A ，在O 点的正下方钉一钉子B ，当质量为m 的小球由水平位置静止释放后，小球运动到最低点时，细线遇到钉子B ，小球开始以B 为圆心做圆周运动，恰能过B 点正上方C ，求OB 的距离。
机械能守恒二
人生最可爱的，是为人真诚------温洛基朔城区一中高一年级 物理 导学案(重)班级 姓名 学生使用时间2011年 月 日 第 周课时目标要求，重、难点应用机械能守恒定律分析圆周运动中的临界问题问题探究1.回忆运用向心力解决竖直面内圆周运动的解题思路2.结合机械能守恒解题的思路总结机械能和圆周运动结合题目的解题思路典例剖析如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R 。
一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。
要求物块恰好能通过圆形轨道的最高点求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h应为多少？【拓展延伸】若要使该小球在最高点与轨道间的压力不能超过5mg （g 为重力加速度）。
则h 的取值范围如何 实战演练1．物体的质量为m ，沿光滑的弯曲轨道滑下，与弯曲轨道相接的圆轨道的半径为R ，要使物体沿光滑圆轨道到最高点的速度为gR 2，则物体应从离轨道最低处h＝的地方由静止滑下2．一内壁光滑的细圆钢管如图所示，一小钢球以某一初动能从A处正对着管口射人，欲使小钢球恰能到达C处及能从C处平抛恰好落回A处，在这两种情况下，小钢球的初动能的比值为。
3.如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R=0.5m，轨道在C 处与水平地面相切。
在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0=5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平面上的D点。
求C、D间的距离s。
取重力加速度g=10m/s2。
4．如图所示，ABCD为固定在竖直面内的槽形轨道．其中BCD段为1／2圆周轨道，其半径为r=l.15m，B、D两点与圆心O等高．一质量为m=1.0kg的质点从A点由静止开始下滑，经B点时的速度大小为6m／s，经D点时的速度大小为4m／s，从D点飞离轨道后被接住，则质点经过轨道最低点C时的速度大小为多少？（g取10m／s2）人生最可爱的，是为人真诚------温洛基。
机械能守恒与圆周运动
机械能守恒与圆周运动1.(多选)如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数F N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有()A．F N小于滑块重力 B．F N大于滑块重力C．F N越大表明h越大 D．F N越大表明h越小【答案】BC2.(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是()A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2RD．小球能从细管A端水平抛出的最小高度H min ＝R 【答案】BC3.如图所示是离心轨道演示仪结构示意图．光滑弧形轨道下端与半径为R的光滑圆轨道相接，整个轨道位于竖直平面内．质量为m的小球从弧形轨道上的A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开圆轨道．小球运动到圆轨道的最高点时，对轨道的压力恰好与它所受到的重力大小相等．重力加速度为g，不计空气阻力，求：(1)小球运动到圆轨道的最高点时速度的大小；(2)小球开始下滑的初始位置A点距水平面的竖直高度h.【答案】(1)(2)3R4.如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高，一质量m＝0.8 kg 的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2，试求：(1)小球从平台上的A点射出时的速度大小v0；(2)小球从平台上的射出点A到圆轨道入射点P之间的水平距离L；(3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小；(4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小．【答案】(1)3 m/s(2)1.2 m (3)m/s(4)小球对外壁有弹力，大小为6.4 N15.素有“陆地冲浪”之称的滑板运动已深受广大青少年喜爱．如图所示是由足够长的斜直轨道，半径R1＝2 m的凹形圆弧轨道和半径R2＝3.6 m的凸形圆弧轨道三部分组成的模拟滑板组合轨道．这三部分轨道依次平滑连接，且处于同一竖直平面内．其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O与M点在同一水平面上．一可视为质点，质量为m＝1 kg的滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下，经M点滑向N点，P点距水平面的高度h＝3.2 m，不计一切阻力，g取10 m/s2.求：(1)滑板滑至M点时的速度大小；(2)滑板滑至M点时，轨道对滑板的支持力大小；(3)若滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，求滑板的下滑点P距水平面的高度．【答案】(1)8 m/s(2)42 N(3)5.4 m6.如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m 的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看做重合的点．现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放．(g取10 m/s2)(1)若要使小球经C点水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少多高？(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h.【答案】(1)0.2 m(2)0.1 m7.某游乐场过山车模型简化为如图所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．(1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？(2)考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少？【答案】(1)2.5R(2)3R28.如图所示，质量m＝2 kg的小球用长L＝1.05 m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H＝6.05 m的O点．现将细绳拉直至水平状态，自A点无初速度释放小球，运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至水平地面上C点．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：(1)细绳能承受的最大拉力的大小；(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间；(3)小球落地瞬间速度的大小．【答案】(1)60 N(2)1 s(3)11 m/s9.为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB 段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个质量m＝1 kg的小物块以初速度v0＝5.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC＝4.0 m/s.取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？【答案】(1)90 N(2)－16.5 J(3)R≤0.32 m310.如图所示，用细圆管组成的光滑轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r<<R.有一质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度v0射入圆管．(1)若要小球能从C端出来，初速度v0需多大？(2)在小球从C 端出来的瞬间，管壁对小球的压力为mg，那么小球的初速度v0应为多少？【答案】(1)v0≥2(2)或4。
机械能及其守恒定律
，合外力做功为零．的粗糙的斜面体上，当两者一起向右匀速直线运所受重力做的功是多少？摩擦力做功多少？，则在两球向左下摆动时．下列说法正确的是：一个力对物体做不做功，是正功还是负功，判断的方法是：①看力与位移之间夹角，或者看力与速度方向之间球的速度方向就是锐角；为钝角时，力对物体做负功，上例作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做负功，不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功数值相等，一正一负．所以作用力与反作用力做功不这类力做功与物体的运动路径有关。
在上例中，滑动摩擦力是一个变力，方向在变化，可转化为恒力做功，同时滑动摩擦力做功要看物体运动的路程，这是摩擦力做功的特）由功率的定义；（4）由动能定理求解．的小球，开始时，细线被拉直，并处于水O A的过程中，，则心脏每跳动一次所需的时间是，心房、心室共同处于期，lmmHg＝133．322Pa）收缩一次输出血量平均为70ml，那依题意sinθ＝5/100。
汽车将加速上坡，速，如果一个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量．物体由于运动而具有的能． E k＝½mv2，其大小与参照系的选22只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程．即可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功．计算时要把各力的功连同符号（正负）一同代入公式．W=Fscosα求出变力做的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在解决这类问题关键是分清哪一过A）弹性势能，发生弹性形变的物体而具有的势能．高中阶段不要求具体利用公式计算弹性势能，但往往要根据功能关系与L、L二弹簧相连，仍守恒，即对于物体系统只有动能与势能的相互转化，而无机械能与其他形式转化（如系统无滑动摩擦和与弹簧相连，当A、与一质量为m=10kg的重物相连，，开始时让它们处于静止状态．不计绳6m/ s而动能定理揭示的是物体动能的变化跟并在半圆最高点D水平进入轨道,然物体在绳、杆、轨道约束的情况下在竖直平面内做圆周运动，往往伴随着动能，势能的相互转化，若机械能守恒，即可根据机械能守恒去求解物体在运动中经过某位里时的速度，再结合圆周运动、牛顿定律可求解相关的运动学、动力学的量．点由静止释放后到达最将该十mg0.5l=½mv2C5中在速度改变瞬间（B中绳的作用力与速度垂直，所以只改变了速度的方向而没有改变速度．由动量定理可知，沿半径方向绳的拉力，因此该情况就有能量损失，也就不可用机械能守恒O点下摆，当摆到或者从一个物体转移到另一个若物体最后静止在B点的左侧或中水面静止在同一高度上，水受到重力、器壁压力和两。
2010年全国高考物理试题万有引力定律部分归类赏析
2010年全国高考物理试题万有引力定律部分类赏析河南省卢氏县第一高级中学 徐建强来源 人教网万有引力定律常结合牛顿第二定律、匀速圆周运动规律和物理建模，考查学生应用知识综合分析天体运动的能力，为每年高考必考试题。
随着新课改的推进，试卷结构发生变化，该部分内容以选择题为主要考查题型，常以双星、地球同步卫星、当年航天大事为题材进行出题，难度中等。
以下对该部分试题涉及的知识结合2010年全国高考物理试题，进行归类分析。
一、根据万有引力定律分析天体、卫星的运动 思路引导天体、卫星的运动近似看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即222224M m vG ma mm r mr rrTπω====，根据实际情况选择不同的关系式；同时利用星球表面物体所受万有引力近似等于物体重力的规律公式，2G M R g =，进行求解问题。
当卫星由于某种原因速度突变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力就不再提供向心力，卫星将变轨运行，可结合开普勒定律进行解题。
当v 增大时，卫星做离心运动，脱离原轨道，轨道半径增大，进入新轨道后，由v =知其运行速度减小，但重力势能、机械能均增加。
当v 减小时，卫星做向心运动，脱离原轨道，轨道半径变小，进入新轨道后，由v =但重力势能、机械能均减小。
（一）定轨运行特征量计算问题 1、（2010·全国2，21）已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为( )A ．6小时B ．12小时C ．24小时D ．36小时解析：对地球同步卫星有4πGR 3地ρ1m 3(7R 地)2＝m (2πT 1)2×7R 地，对某行星的同步卫星有4πGR 3行ρ2m 3(72×R 行)2＝m (2πT 2)2×72R 行，两式相比得T 1∶T 2＝ 8×ρ2ρ12∶1，那么行星的同步卫星周期为12小时，即该行星的自转周期约为12小时，B 项对，故答案：B点评：本题考查同步卫星的相关知识，对考生的运算能力要求较高．2、（2010·四川，17）a 是地球赤道上一幢建筑，b 是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106m 的卫星，c 是地球同步卫星，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方(如图甲所示)，经48 h ，a 、b 、c 的大致位置是图乙中的(取地球半径R ＝6.4×106 m ，地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝10)( )解析：对b 有G Mm (R ＋h )2＝m (2πT b )2(R ＋h )，而G MmR 2＝mg ，所以b 的运动周期T b ＝2π (R ＋h )3gR 2，即T b ＝2.0×104s ＝50.9 h ．故b 经48 h 转过的圈数为n ＝t T b ＝8.64圈．而c 的周期与地球的自转周期相同，即a 与c 都转过2圈，回到原处，所以答案应为B .点评：本题考查万有引力与人造地球卫星，意在考查考生对同步卫星运动特点的理解，并能正确利用卫星做圆周运动所需的向心力即卫星所受的万有引力解答卫星运动问题． 3、（2010·北京，16）一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )A ．(4π3Gρ)12B ．(34πGρ)12 C ．(πGρ)12 D ．(3πGρ)12解析：赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有G Mm R 2＝m 4π2T 2R 和ρ＝M43πR 3T ＝3πGρ，选项D 正确． 点评：本题意在考查考生运用万有引力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力．计算天体圆周运动时的周期，为密度计算的逆过程。
竖直平面内圆周运动与机械能守恒问题
竖直平面内圆周运动与机械能守恒问题
【变式训练】
小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另 一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内 做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球 飞行水平距离d后落地。如图所示。已知握绳的手离地面高 度为d，手与球之间的绳长为 d，重力加速度为g。忽略手 的运动半径和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。
A、一定可以表示为v02/2g B、可能为R/3 C、可能为R D、可能为5R/3
竖直平面内圆周运动与机械能守恒问题
【解析】
小球在运动过程中，机械能守恒，则有： 解得：h≤ R，根据竖直平面内的圆周运动知识可知小 球在上升到 R之前就做斜抛运动了，所以最大高度不可 能是 R，AD错误；由圆周运动的知识可知，小球在与 圆心高度等高或小于圆心高度时的速度是可以为零的 ，所以若v0≤ ，则有关小球能够上升到最大高度可以 为R，也可以为 R，BC正确。
完成圆周运动的条件不同：在绳（或沿圆轨道内侧运动）
的约束下，最高点速度v≥
度v ≥ 0．
竖直平面内圆周运动与机械能守恒问题
【经典例题】
如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一 个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平 初速v0，若 ，则有关小球能够上升到最大高度（距离底部） 的说法中正确的是：（ ）
知识点——竖直平面内圆 周运动与机械能守恒问 题
竖直平面内圆周运动与机械能守恒问题
【处理竖直平面内圆周运动的方法】
如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重
力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能
定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此
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课题：学案班别：姓名：学号：一、知识回顾1、机械能守恒定律（1）守恒条件：只有和做功（2）表达式：EK1+Ep1=（3）解题步骤：习题1 （1）①、选取研究对象——物体系或物体。
②、根据研究对象经历的物理过程，进行分析、分析，判断机械能是否守恒。
③、恰当地选取，确定研究对象在过程的、状态时的。
④、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。
2、运用圆周运动向心力公式的技巧：（1）公式（请写出F向与v，ω，T三个物理量的关系式）：（2）解题技巧：习题1（2）公式左：做受力分析，寻找的来源。
公式右：根据题目出现的、、选择公式。
二、习题1、如图所示把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L，最大偏角为θ，小球从静止释放，求：（1）小球运动到最低位置时的速度是多大；（2）小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。
2、如图所示，用长为L的轻绳，一端拴一个质量为m的小球，一端固定在O点，小球从最低点开始运动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，求：（1）小球通过最高点的向心力；（2）小球通过最高点的速度；（3）小球通过最低点的速度。
（4）小球通过最低点时受到绳子的拉力。
3、AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始Array沿轨道下滑。
已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，求（1）小球运动到B点时的速度；（2）小球经过光滑圆弧轨道的B点和光滑水平轨道的C点时，所受轨道支持力F NB、F NC。
课题：机械能守恒和圆周运动的结合教学目标提高学生对机械能守恒和圆周运动向心力公式两个知识点的运用能力，学会将两个知识点有机地结合起来进行解题。
通过习题的实践，教师的引导，使学生学会如何将知识进行整合和迁移。
教材分析重点：机械能守恒定律，圆周运动向心力的来源。
难点：机械能守恒定律和圆周运动向心力两个知识点的综合运用。
教学过程前面我们学习了机械能守恒定律，那么机械能守恒的条件是什么？只有重力和弹簧弹力做功只有重力做功等同于物体仅受重力吗？只有重力做功可能出现几种情况？（课件）只有重力做功：①、物体仅受重力，只有重力做功——自由落体、抛体运动；②、物体除受重力外，还受其他外力的作用，但只有重力做功。
——摆球摆动的过程、小球冲上光滑圆环。
情况2中的摆球、小球冲光滑圆环物理模型属于圆周运动，而且它们指向圆心的力都有一个共同特点——不做功，只有重力做功，满足机械能守恒定律，因而在实际运用中常把这两个知识点糅合起来，对同学们进行考查，这就是我们今天要讲的内容——机械能守恒和圆周运动的结合。
首先，让我们一起来回顾一下机械能守恒和圆周运动的一些重要的知识点，完成学案知识回顾。
一、知识回顾1、机械能守恒定律（1）守恒条件：只有重力和弹簧弹力做功（2）表达式：2211k p k p E E E E +=+2222112121mv mgh mv mgh +=+ 注意：①、h ——相对于零势面的高度②、零势面的选取：（课件）一般选地面；为了解题方便，很多时候选物体运动的最低点，例如摆球、圆形轨道选最低点。
③、在图中明确定位初、末位置（可用A 、B 、C 点表示），列出对应状态下面的k p E E 和。
（3）解题步骤①、选取研究对象——物体系或物体。
②、根据研究对象经历的物理过程，进行受力分析、做功分析，判断机械能是否守恒。
③、恰当地选取参考平面（零势面），确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。
④、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。
通过习题1 （1）回顾机械能守恒的解题步骤。
2、运用圆周运动向心力公式的技巧：刚才有部分同学完成了习题1（1）后已经进入了第二问的解答，那么解答第二问时是否还是继续用机械能守恒定律？由于模型是圆周，所以要用到之前的圆周运动的公式，习题1（2）（定点A ）＋最低点的向心力由什么力提供？（拉力等于重力吗？）解答计算题时一定要对模型进行受力分析，还要有必要的文字表述（1）公式：r )Tπm(r m ωr v ＝m F 向2222==（2）解题技巧：公式左：受力分析，寻找向心力的来源；公式右；根据题目出现的v ，ω，T 选择公式实际上，真正与机械能守恒有关联的是公式1分析习题1的解答过程，知识运用：机械能守恒→圆周运动，通过习题1的解答过程，我们将曾经学到的圆周运动和机械能守恒定律这两个知识点的运用有机地结合起来。
下面我们通过习题2、3加深我们对这两个知识点的整合运用的认识。
待会请一些同学上台演示解答过程。
（投影），总结解题规律。
解题的时候一定要进行模型的分析、还要有必要的文字表述。
二、习题4、如图所示把一个质量为m 的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L ，最大偏角为θ，小球从静止释放，求：（1） 小球运动到最低位置时的速度是多大；（2） 小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。
解：（1）∵整个过程指向圆心绳拉力不做功，只有小球重力做功——机械能守恒和圆周运动的结合∴机械能守恒，以最低点（B ）为零势面小球离零势面高度为θcos L L h -=初状态——起始点A 点 0=A v末状态——最低点B 点221B mv mgh = )cos 1(22θ-==gL gh v Ba) 小球运动到最低点受重力mg ，绳子的拉力Tr v m mg ＝T F B 向B 2=- )cos 23(θ-=mg T② ① 公式左 公式右③2如图所示，用长为L 的轻绳，一端拴一个质量为m 的小球，一端固定在O 点，小球从最低点开始运动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，求：（1） 小球通过最高点的向心力；（2） 小球通过最高点的速度； （3） 小球通过最低点的速度。
（4） 小球通过最低点时受到绳子的拉力。
解： （1）∵小球恰能通过最高点（A 点）∴在最高点时小球只受重力最高点的向心力 ＝mg F 向A（2）根据 L v m mg F A 向2A == 求得 gL =A v（3）整个过程，小球在重力和绳的拉力作用下做圆周运动，指向圆心拉力不做功，只有重力做功。
——机械能守恒和圆周运动结合∴机械能守恒，以最低点（B ）点为零势面2221212B A mv mv L mg =+⨯ 5gL =v公式左 公式右（4）Lv m mg F 向2B B T =-= mg Lv m +=2B T mg 6T =3、AB 是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B 与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自A 点起由静止开始沿轨道下滑。
已知圆轨道半径为R ，小球的质量为m ，求（1） 小球运动到B 点时的速度；（2） 小球经过光滑圆弧轨道的B 点和光滑水平轨道的C 点时，所受轨道支持力F NB 、F NC 。
解：（1）∵从A 下滑到B 的过程，轨道对小球指向圆心的支持力不做功，只有小球重力做功——机械能守恒和圆周运动结合∴机械能守恒，以BC 为零势面221B mv mgR = gR v B 2=（2） 从A 到B 小球做圆周运动R v m mg ＝F F B NB 向B 2=- mg RgR mmg F NB 32=+= 小球从B 到C 做匀速直线运动 mg F =三、小结机械能守恒和圆周运动的结合的解题技巧1、根据题意，确定研究对象，建立模型2、对研究对象进行受力分析，做功分析，判断机械能是否守恒，分析向心力的来源（由那些力提供）3、确定零势面，初、末状态的机械能（定点列出初、末状态的k p E E 和）4、根据机械能守恒和圆周运动的规律列方程联合求解小结：解题中易漏易错点四、知识迁移这节课我们介绍了如何将两个知识点有机地结合起来解答题目的方法，其实机械能守恒定律、圆周运动这些知识点还可以跟更多的其他类型的知识点整合在一起，例如平抛运动、牛顿第二运动定律。
今天的作业是练习卷的习题4、5，导学，同学们尝试一下自己能否独立地把上述的知识点糅合在一起，综合解题。
4一质量m =2Kg 的小球从光滑斜面上高h =3.5m 处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R =1m 的光滑圆环，如图所示，试求（g =10m/s 2）（1） 小球滑至圆环底部时对环的压力； （2） 小球滑至圆环顶点时对环的压力；（3） 小球至少应从多高处由静止滑下才能刚好越过圆环最高点．解： （1）∵从A 下滑到B 的过程，斜面对小球的支持力不做功，只有小球重力做功∴机械能守恒，以B 点所在的水平面为零势面初状态——起始点A 0=A v末状态——最低点B 221B mv mgh = gh v B 2=R v m mg ＝N F B B 向B 2=- )(160)15.321(102)21(2N R h mg R gh m mg N B =⨯+⨯⨯=+=+= （2）∵从A 到C 的过程，只有小球重力做功∴机械能守恒，以B 点所在的水平面为零势面初状态——起始点A 0=v末状态——圆环最高点C2212C mv R mg mgh +⨯= R v m mg ＝N F C C 向C 2=+ )(40)515.32(102)52(2N R h mg mg R v m N C C =-⨯⨯⨯=-=-= （3）刚好能越过最高点，小球在最高点只受重力根据 Rv m mg F 向2== 求得 gR =v2/212mv R mg mgh +⨯= )(5.215.25.2/m R h =⨯==5、如图所示，半径R ＝0.4m 的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平面相切于圆环的顶点A 。
一质量m ＝0.10kg 的小球以初速度v 0＝7.0m/s 在水平地面上向左做加速度的大小为3.0m/s 2的匀减速直线运动，运动4.0m 后，冲上竖直半圆环，求（g =10m/s 2）（1） 小球到达端点A 时的速度；（2） 小球是否能到达圆环的最高点B ；（3） 如果小球能够到达圆环的最高点，求小球通过B 点的速度和小球对B 点的压力；（4） 小球冲上竖半圆环，最后落在C 点，求A 、C 间的距离。
解：（1）∵小球在水平面做匀减速直线运动∴a ＝－3.0m/s 2as v v A 2202=- )/(54)3(272220s m as v v A =⨯-⨯+=+=（2）假设小球能冲上光滑圆环，根据机械能守恒定律2221221B A mv R mg mv +⨯= 代入数字可得s m v B /3= 设小球到达最高点B 的最小速度为最小B v ，此时小球重力充当向心力第 11 页 共 11 页 根据 R v m mg F B 向2最小== 求得 s m v B /2gR ==最小∵ 最小B B v v >∴ 小球能到达最高点B（3）s m v B /3= Rv m mg ＝N F B 向2=+ N mg R v m N B 25.12=-= 根据牛顿第三定律 N ’=N=1.25N方向：竖直向上（4））小球冲上半圆环从B 点以水平速度抛出，在重力的作用下，做平抛运动，最终落在C 点2212gt R h == )(4.0104.044s t R t =⨯== )(2.14.03m t v x B BC =⨯==。