第一章随机事件与概率1-4,zh

其中M N , n N 解：
M N M k n k P , N n
k min M , n
例3. 两封信随机地向四个邮筒投寄，求 A∶第二个邮筒恰好被投入一封信的概率， B∶两封信在同一邮筒的概率。
解：
P(A)=(3+3)/42=3/8 P(B)=4/42=1/4
(1) A1 A2 A3 , (2)B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
(3) A1 A2 A3 ,
(4) A A2 A3 B 1


思考题： 设A.B为二个事件，且 B A, 则A B ?
§1.2 等可能概型 一 古典概率 二 几何概率
一. 古典概率
二、 样本空间
将随机试验的结果与集合对应起来： 一个随机试验，每一个可能出现的结果 称为样本点，记为ω； 全体样本点组成的集合称为样本空间， 记Ω，也即样本空间是试验的所有可能结果 组成的集合，集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集、可数集或一个 区间．
在例１中 （１）．抛一枚均匀硬币三次，观察正面向 上的次数，样本空间是有限集: Ω＝｛正正正、正正反、正反正、正反反、 反正正、反正反、反反正、反反反｝
（２）观察某交通道口在一个小时内的汽 车流量，样本空间是可数集：
Ω＝｛０，１，２，３，…｝
（３）从某厂生产的相同型号的灯泡中抽 取一个测试它的寿命，样本空间是一个区间：
Ω＝［０，＋∞）
（４）向一个直径为５０cm的靶子射击，观 察弹着点的位置，样本空间是一个平面区 域： Ω＝｛（x,y）|x2+y2≤25２}



如果一组事件中任意两个事件都互不相 容，那么称这组事件两两互不相容。 （7）对立事件：事件Ω-A称为事件A的对 立事件（逆、余），记Ā.
A A A A
Ā
A

（8）运算定律 交换律：
A B B A , A B B A

结合律：
A B C A B C, A B C A B C

随机事件A发生的可能性大小常用区间 [0，1]中的一个数来刻划，这个数值称为A 发生的概率，记为P（A）。

自然地规定
P（Ω）=1， P（ ）=0。 0≤P(A) ≤1



在现实问题中，有很大一类随机现象具有一 些共同的特征，可以直接计算出事件的概率， 比如： （1）一盒灯泡100个，任取一个检查其质 量，100个灯泡被抽取的机会相同； （2）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面 的可能性相同。
A为必然事件 A为复合事件，含 A为不可能事件 15个样本点
四、事件之间的关系与运算

（1）事件的包含：若事件A发生必然导致 事件B发生，则称事件B包含事件A， 记 A B
Ｂ Ａ
（2）事件的相等：若事件A包含事件B， 事件B也包含事件A，则称事件A与事件B相 等。记A=B.


（3）和（并）事件：当且仅当事件A与事 件B中至少有一个发生时，称A与B的和事 件发生，记A∪B。
概率论所讨论的试验称为随机试验，它 具有以下三个特点： （1） 在相同的条件下试验可以重复进行； （2） 每次试验的结果具有多重可能性，试 验之前可以明确试验的所有可能结果； （3）但是在试验前不能准确地预言该次试 验将出现哪种结果。
例１ （１）抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上 的次数； （２）观察某交通道口在单位时间内的汽车 流量； （３）从某厂生产的相同型号的灯泡中抽取 一个，测试它的寿命； （４）向一个直径为５０cm的靶子射击，观 察弹着点的位置．
在古典概型中显然有
n nA nA p A 1 1 p A n n
例4，掷两颗骰子，试求出现的点数之 和小于10的概率。 解：样本空间共含36个样本点，点数之 和大于等于10含样本点共6个 （5，5），（4，6），（6，4）， （5，6），（6，5），（6，6） 因此 P=1-1/6=5/6
甲水厂 乙水厂
１ ３
B A1 A2 A3
城 市
２
C A1 A2 A3 A1 A2 A3
例６（ P5,例1.5） 某工程队承包了3幢 楼房，设事件Ai表示“第i幢楼房经验收合 格” （i=1、2、3）。试用A1、A2、A3表 示下列事件∶ （1）只有第1幢楼房合格； （2）恰有1幢楼房合格； （3）至少有1幢楼房合格； （4）至多有1幢楼房合格。
nA P A n
例1. 盒中装有5个球，三白两红，从中 任取一个，问： （1）取到白球的概率是多少？ （2）若从中任取两个，问两个球全是白球的 概率是多少？ 解： 3 P 1 5 3 2 3 P2 5 4 10
例2. （ 第7页例1.7）一个盒子中装有 10个晶体管，其中3个是不合格品。从这个 盒子中依次随机地取2个，在有放回与无放 回抽样的二种情况下求2个中恰有1个是不 合格品的概率。 （注意抽样的区别：有放回抽样和无放回抽样） 解：（1）有放回的情况下 P=(7×3+3×7)/102=0.42 （2）在无放回的情况下 P=(7×3+3×7)/(10×9)=0.47

分配律：
A B C A B A C , A B C A B A C

对偶律
A B A B
表示A与B至少有一发生的对立事件是A、 B都不发生。
A B A B
表示A与B同时发生的对立事件是A、B至 少有一不发生。 这一性质可推广到n个事件上去
在无放回的情况下，我们也可以用以下 方法计算
7 3 1 1 21 0.47 P2 45 10 2
这一方法可推广到一般的无放回抽样检 验中去。

例：N件产品中有M件次品，现从中不放回地抽 取 n件，求n件中恰有k件次品的概率
概率论与数理统计
概率论章 第三章 第四章 第五章
随机事件与概率 离散型随机变量及其分布 连续型随机变量及其分布 随机变量的数字特征 中心极限定理
数理统计授课内容
第七章 数理统计的基本概念 第八章 参数估计 第九章 假设检验
第一章 随机事件与概率
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 随机事件 等可能概型 频率与概率 概率的公理化定义与性质 条件概率与随机事件的独立性 全概率公式与贝叶斯公式
这两个试验的共同特点是： ①每次试验只有有限种可能的试验结果， 即样本点总数有限（即样本空间为有限 集）； ②每次试验中各基本事件出现的可能性 是相同的（即等可能性）。

在概率论中，把具有上述两个特点的试 验叫做古典型试验，它的数学模型称为古 典概型。 在古典概型中，记n为样本点总个数，如 果事件A中包含nA个样本点，（或称有利于 A的样本点个数为nA ）那么规定

（5）差事件：当且仅当事件A发生而事件 B不发生时，称事件A与B的差事件发生， 记 A-B。
Ｂ

A-B
Ｂ
Ａ
（6）互不相容事件：如果A∩B= ，则称 事件A与事件B互不相容（互斥）．
例３ 抛二次均匀硬币， Ω={正正，正反，反 正，反反} 。 A={第一次出现正面} ={正正，正反}， B={第二次出现正面}={正正，反正}。 A与B的和事件∶第一次或第二次出现正面，表 示为 A∪B={正正，正反，反正} 。 A与B的积事件∶第一次且第二次都出现正面， 表示为 A∩B={正正} 。 A与B的差事件∶第一次正面第二次出现反面，表 示为 A-B={正反}.



每次试验中一定发生的事件称为必然事 件. 由于Ω包含所有样本点，因此每次试验 中必定有Ω中的一个样本点出现，故Ω是必 然事件； 每次试验中一定不发生的事件称为不可 能事件. 由于 表示空集，其 中不包含任何样 本点，因此可表示不可能事件。 为讨论问题方便，将上述两个事件也当 作随机事件中的两个极端情况。
Ａ

Ｂ

可推广至有限或可列和： A , A2 ,, An 至少有一发生，记 1
A1 A2 An Ai
i 1 n

A , A2 ,, An , 1
至少有一发生，记
i 1
A A2 An Ai 1

（4）积（交）事件：当且仅当事件A与事 件B同时发生时，称事件A与B的交事件发 生，记A∩B。

（2）并联系统：
1
2
n

B A A2 An 1
例５（P5，例1.4）某城市的供水系统 由甲，乙两个水源与三部分管道１，２， ３组成，每个水源都足以供应城市用水， 用Ａi（i=1，2，3）表示“第i号管道正常 工作”这一事件。 设B:“城市正常供水”和C:“城市断 水”，求B、C两个事件用Ａi表示的表示式.
例如 抛一枚均匀硬币三次，观察正面向 上的次数， Ω＝｛正正正、正正反、正反正、正反反、 反正正、反正反、反反正、反反反｝ Ａ={恰好出现一次正面} ＝｛正反反、反正反、 反反正｝ 当“正反反”这一样本点在试验中出现时， 表示事件Ａ发生了，其余类似。


在随机事件中，有的可以看成是由某 些事件复合而成的，而有些事件则不能分 解为其它事件的组合，这种不能分解成其 它事件组合的最简单的随机事件称为基本 事件。 一般地说，只含一个样本点的随机事 件称为基本事件。
例5，在电话簿中任取一个电话号码，求 后面四个数全不相同的概率。 （设后四个数每个都是等可能性的取自0， 1，2，…，9）。 解： 10 9 8 7 0.504 P= 4
A1 A2 An A1 A2 An ; A1 A2 An A1 A2 An
例４ 设Ai={第i个电子元件正常工作}， i=1,2,…n.用事件之间的关系表示 n个电子元件串联或并联系统正常工作这 一事件Ｂ。 （1）串联系统：