平面向量基本定理

A
C
a
O
e1 e2 B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 形？
A
C
a
e1 O
'
e1
B e 2 A
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 形？
' B e
A
2
C
a
e1 O
'
e1
B e 2 A
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 形？
1 1 解析：如图， EF ( AD BC) [(d a ) (c b)] 2 2 1 (c d a b ) 2
解析： ∵点D, E , F分别为△ABC的边AB, BC, CA的中点， 1 1 (OA OB) OD, (OA OC) OF , 2 2 1 (OB OC) OE, 2 1 1 1 即： (OA OB) (OA OC) (OB OC) 2 2 2 OA OB OC OD OF OE， | OA OB OC || OD OF OE | ， | OA OB OC | | OD OF OE | 1.
演示
数形结合 探究规律
平面向量基本定理 如果 e1 、 e2 是同 一平面内的两个不共 线的向量，那么对于这一平面内的任何向 2 ，使 量 a ，有且只有一对实数 1 ，
a 1 e1 2 e2
这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） C F M M C A O a N B O a N E
解：
e1 e2
应用举例：
例1 ：如图， 已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2
应用举例：
例1 ：如图， 已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2
2e1
应用举例：
例1 ：如图， 已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 使 a 2e1 3e2 .
4、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b A 试用 a , b 表示AG。
F G D E
B
C
变式 设M是△ABC的重心，若MA= a, MB=b,试用 a , b 表示AB，AC，BC。
A F M D E
B
C
3.在梯形ABCD中，AD ∥ BC, O为梯形所在平面内任意 一点， 设OA a, OB b, OC c, OD d .E , F分别为AB, CD的中点，则（） 1 (a b c d ) 2 1 C.EF (c d a b) 2 A.EF 1 (a b c d ) 2 1 D.EF (a b c d ) 2 B.EF
解：
e1 e2
2e1
应用举例：
例1 ：如图， 已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2
2e1
应用举例：
例1 ：如图， 已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1
2e1 3e 2
O
A
向量的夹角与垂直: 两个非零向量 a 和 b ,作OA a ，

B

b
叫做向量 a 和 b 的夹
角． 特别的： a
O b B
A

AOB OB b ,则
数 ，使得：
长度：
b a b a
方向：1. 当 0时： b 与 a 方向相同。 2. 当 0 时： b 与 a 方向相反。 3. 当 0 时： b 0 a 0
复习
3.同起点的三个向量终点共线的充要条件：
A
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 e1 e2
演示
特别的： 1 0 , 2 0 时, a 2 e 2 ， a 与 e 共线. 2 1 0, 2 0 时, a 1 e1 ，a 与 e1 共线. 1 2 0 时, a 0
(3)如果基底选定，则 1 ， 2 唯一确定,可以为零.
D
M
C
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
1、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 参考答案：
1 DC e1 ; 2
D
M
C
e2
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
o
A
P
B
OP OA 1 OB R



创设情境、提出问题
a
b
1 请大家现在用平行四边形法则作出 a 2b, a b 2
B a A b a+2b D D'
D1 1
C
C
1 a b 2
B
a b
D
b
b 2
A
想一想：
确定一对不共线向量e1， e2 后， 是否平面内任意一个向 量都可以用
C
e1 A a
B e O e B 2 2
'
e1 e 2B O a
C
A
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
C
M
e1 A a
N
B e O e B 2 2
'
e1 e 2B O a
C
A
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
练习
4e1 e2
1.如图，已知向量 e1、e2求作下列向量： 1 e e. (1) 3e1 2e2 ; (2) 4e1 e2 ; (3) 2 2 B A A e1 B e2 e2
1 2
4e1
C
O
O
练习
(1) 3e1 2e2 ; (2) 4e1 e2 ;
应用举例：
例1 ：如图， 已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 使 a 2e1 3e2 .
e1 e2
应用举例：
例1 ：如图， 已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2
应用举例：
例1 ：如图， 已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 使 a 2e1 3e2 .
a b 试用 、 分别表示 BF 和 DE。
A
D
F N B
C E

(2)若M为AB的中点，N在BD上， 3BN=BD,求证：M,N,C三点共线
M
说明:我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和已
知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而
使问题简化.
学以致用
1、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分别 是DC、AB的中点. A
O
2e1
1 2e1 e2 ; 2
1.如图，已知向量 e1、e2求作下列向量： e1
O
1 (3) 2e1 e2 . 2
e2
2e1
A B
C
A
1 B e2 2
平面向量基本定理的应用 例1：在 ABCD 中， ， 。 AD b AB a F (1) 如果 E 、 DC 的中点， 、 分别是BC
温故知新
一. 向量的加法：
1.三角形法则：
a
B C
b
2.平行四边形法则：
a
A
B
b
ab
a
A
ab
C
b
共同起点
D
首尾相接
二. 向量的减法：
A
a
B
a b
共同起点 指向被减数
b
D
温故知新 二、向量共线定理: 向量 b 与非零向量 a 共线,则有且只有一个实
C
M
e1 A a
N
B e O e B 2 2
'
A
e1 e 2B O e1 a '
C
A
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
C
M
e1 A a
N
B e O e B 2 2
'
A
e1 e 2B O e1 a '
C
A
N
M
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 形？
a
e2
用平行四边形法则呢？
练习
(1) 3e1 2e2 ; (2) 4e1 e2 ;
1.如图，已知向量 e1、e2求作下列向量：
3e1
A
2e2
1 (3) 2e1 e2 . 2
B
e1
A
e2
B
3e1 2e2 ;