2017年春季学期新人教A版高中数学必修5学案 3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)

3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)
学习目标
1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进一步熟悉一元二次不等式的解法.
2.会解含参数的一元二次不等式.
3.能应用一元二次不等式解决简单问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
题组一:再现型题组
解答下列各题:
(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是.
(2)若关于x的不等式x2+2x+m>0的解集为R,则实数m的取值范围是.
(3)已知a<0,则关于x的不等式(x-a)(x+a)<0的解集为.
(4)若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},则a+b= .
二、信息交流,揭示规律
问题1:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)之间有怎样的关系?
问题2:通过前面的学习思考:确定一元二次不等式的解集的因素有哪些?
三、运用规律,解决问题
题组二:提高型题组
【例1】已知关于x的不等式ax2+x+2>0.
(1)若该不等式对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若该不等式的解集为{x|-1<x<t},求实数t的值.
【例2】已知a>0,解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
【例3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度x km/h有如下的关系:s=x+x2.
在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多少?(精确到0.01km/h)
四、变式训练,深化提高
题组三:反馈型题组
变式训练1:若不等式ax2+x+2>0对任意的x∈(-1,2)恒成立,求实数a的取值范围.
变式训练2:若将例2中的条件“a>0”换为“a∈R”,再去求解.
五、反思小结,观点提炼
问题3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想?
参考答案
一、设计问题,创设情境
题组一:再现型题组
(1)0,4 {x|0<x<4}
(2)(1,+∞)
(3)(a,-a)
(4)-1
二、信息交流,揭示规律
问题1:规律一:一元二次方程和一元二次不等式都可以看做是相应二次函数的特殊情形.一元二次方程的解是相应二次函数的函数值等于零时,自变量的取值.也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.而一元二次不等式的解集是相应的二次函数的函数值大于零时,自变量的取值集合,也就是函数图象在x轴上方的部分对应的横坐标的取值集合.
一元二次不等式解集的情形与一元二次不等式的根的个数的情形相对应.当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x<x1或x>x2}时,可以得到a>0,且x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解;当一元二次不等式ax2+b x+c>0(a≠0)的解集为{x|x1<x<x2}时,可以得到a<0,且x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解.
问题2:规律二:首先是二次项系数a的符号;其次是相应一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac的符号;最后是相应一元二次方程的根.总之,一元二次不等式的系数a,b,c决定了它的解集.因此,当系数a,b,c不确定时,往往按照上述三个方面的情形分类讨论.
三、运用规律,解决问题
题组二:提高型题组
【例1】解:(1)由题意,得
解得a>.
(2)由题意,-1,t是关于x的方程ax2+x+2=0的两根,
所以解得a=-1,t=2.
【例2】解:不等式可化为a(x-1)<0,
①当<1,即a>1时,不等式的解集为;
②当=1,即a=1时,不等式的解集为⌀;
③当>1,即0<a<1时,不等式的解集为.
综上所述,当a>1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当0<a<1时,不等式的解集为.
【例3】解:设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h,根据题意,我们得到x+x2>39.5.
移项整理得:x2+9x-7110>0,
显然Δ>0,
方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即x1≈-88.94,x2≈79.94.
所以不等式的解集为{x|x<-88.94,或x>79.94}.
在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
四、变式训练,深化提高
题组三:反馈型题组
变式训练1:解:方法一:设f(x)=ax2+x+2,
①当a≥0时,因为-1<x<2,所以x+2>0,故f(x)>0显然成立;
②当a<0时,由二次函数图象知,只需即
解得a≥-1,所以-1≤a<0.
综上可知,实数a的取值范围是a≥-1.
方法二:①当x=0时,不等式ax2+x+2>0显然成立,此时a∈R;
②当x≠0时,不等式ax2+x+2>0可以化为a>-2,
令t=,则t∈(-∞,-1)∪.
由题意,不等式a>-2t2-t在t∈(-∞,-1)∪时恒成立,所以,a≥-1.
综上可知,实数a的取值范围是[-1,+∞).
变式训练2:解:①当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);
②当a>0时,同例2;
③当a<0时,因为<1,所以,不等式的解集为∪(1,+∞).
综上所述,当a>1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当0<a<1时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);当a<0时,不等式的解集为∪(1,+∞).
五、反思小结,观点提炼
问题3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一元二次不等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想.。