第五章数值微积分
数值计算中的微积分算法
数值计算中的微积分算法在数值计算领域中，微积分算法是非常重要的一部分。
微积分是一个研究函数、极限、连续性、导数和积分等的数学分支。
它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
而在数值计算中，微积分算法的应用更是不可避免。
本文将介绍几种常见的微积分算法及其应用。
一、极限和连续性极限是微积分中最基本的概念之一。
在数值计算中，选择逼近某个固定点的函数值序列来计算极限，是一种常用的求解极限的方法。
例如，要求解 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}$，可以选取一系列 $x$ 的值，让它们逐渐靠近 0，然后计算相应的函数值，最后观察函数值的变化趋势来得到极限的值。
连续性是另一个微积分中重要的概念。
在数值计算中，要保证函数的连续性，可以采用数值微分的方法，例如数值逼近法和差商逼近法。
此外，如果要计算微分方程的解，也必须保证函数的连续性。
在微积分中，连续性和微分方程可以紧密结合，例如欧拉法、龙格-库塔法和梯形法等。
二、导数和积分导数和积分是微积分中最核心的内容之一。
在数值计算中，要计算函数的导数和积分，可以采用微积分的数值逼近方法，例如差商逼近法、辛普森法和梯形法等。
差商逼近法是微积分中一种常用的导数计算方法。
该方法的思路是：将函数的导数近似为两个函数值之比的差。
例如，对函数$f(x)$ 的导数可以表示为：$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$当 $h$ 很小时，上式可以近似为 $f'(x)$ 的值。
在计算过程中，需要注意使用合适的 $h$ 值，以便得到精度较高的结果。
梯形法和辛普森法是微积分中常用的积分计算方法。
在梯形法中，通过将积分区间划分为若干小块，然后分别计算每一块的积分值，最后将它们相加即可得到总积分的值。
在辛普森法中，则是将积分区间划分为若干个小块，并在每个小块上采用二次多项式来逼近积分函数，最后将所有积分区间上的多项式积分相加得到整个积分区间的积分值。
第五章 数值微积分
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【例5-4】
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多项式相关函数： 多项式相关函数： polyval(P,x)：按多项式的系数计算x点多项式的值 polyder(P): 求多项式P的导函数
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5.2
数值微分
数值方法的基本思想： 对于已知的原型函数，可通过diff( )函数 对于已知的原型函数，可通过diff( )函数 求取各阶导数解析解，如果函数表达式未 知，只有实验数据，在实际应用中经常也 有求导的要求，这样的问题就不能用前面 的方法获得问题的解析解。 要求解这样的问题，需要引入数值算法得 出所需问题的解 在MATLAB中没有现成的数值微分函数。 MATLAB中没有现成的数值微分函数。
第 五 章 数值微积分 的MATLAB求解
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主要内容
插值与数据拟合 数值微积分
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5.1 插值与数据拟合
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在实际问题中常遇到这样的函数
，其在
某个区间[a b]上是存在的。但是， 某个区间[a，b]上是存在的。但是，通过观察或 [a， 上是存在的 测量只能得到在[a b]区间上有限个离散点 测量只能得到在[a，b]区间上有限个离散点 [a， 上的函数值 ，而不知道 该函数的解析式。或者函数的表达式是已知的， 该函数的解析式。或者函数的表达式是已知的， 但却很复杂不便于计算，希望用一个简单的函数 但却很复杂不便于计算， 来描述它。 来描述它。 由这些已知样本点的信息获得该函数在其他点上 函数值的方法称为函数的插值
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第数值微积分
第五章数值微积分一、内容分析与教学建议本意内容是数值微积分。
数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson外推法求数值微分。
数值积分包括：常见的Newton-Cotes求积公式，如：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式；复化求积公式；Romberg求积公式和Gauss型求积公式等内容。
(一)数值微分1、利用Taylor展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor公式的余项估计误差；由于当步长h很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。
2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。
借助第二章的Lagrange插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。
常用的有三点公式和五点公式。
3、阐明用三次样条函数s(x)求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数s(x)的性质知：只要f(x)的4阶导数连续，则当步长h 0时，s(x)收敛到f (x) , s(x)收敛到f (x) , s (x) 收敛到f (x).因此，用三次样条函数s(x)求数值微分，效果是很好的。
指出其缺点是：需要解方程组，当h很小时，计算量较大。
4、讲解用Richardson外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。
（二）数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。
2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。
3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。
（三）等距节点的求积公式1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式--- Newton-Cotes公式以及Cotes系数。
Chapt-5 数值微积分的值解法
Comp f(x) T=T+f(x) END DO i
T=T*h END subroutine （3）梯形积分子程序框图
§5.2 梯形积分法
10C 主控程序 20 PROGRAM main 30 read(5,*) a,b,n 40 call SUBRPUTINE 50 &txjf(a,b,n,T) 60 write(6,*) T 70 END 80C 函数子程序 90 FUNCTION f(x) 100 f=expr(x) 110 END FUNCTION f 120C 梯形积分子程序
§5.2 梯形积分法
第i个区间：
Ti=(f(xi)+f(xi+1))*h/2 第i-1个区间：
Ti-1=(f(xi-1)+f(xi))*h/2
求和得到：
n1
Tn h[(f(a)f(b))/2 f(xi)]
i1
x0 a, xi1xi h, i1,2,3, ,n-1 定步长梯形积分法的截断误差为:
用p(x)=c*x+d直线近似代替f(x)(参见图5-2）
§5.2 梯形积分法
(xi1, f (xi1))
(xi , f (xi ))
p(x)cxd
用插值的方法，我们可求得 p(x)xx i 1 xx ii f(xi 1)x xi x xii 1 1f(xi)
将其代入积分公式有
Bx0 Bx1
C C
求出系数A, B, C
y2
Ax22
Bx2
C
S 1 x x 0 2 ( A x 2 B x C ) d x ( y 0 4 y 1 y 2 ) h /3
matlab课程设计
-问题抽象与数学描述
- Matlab工具箱在工程问题中的应用
2.案例一：振动分析
-振动系统的建模
-振动信号的时频域分析
3.案例二：电力系统稳定性分析
-电力系统模型的建立
-系统稳定性的时域仿真
4.案例三：金融市场模拟
-股票价格模拟
-期权定价模型（Black-Scholes模型）的Matlab实现
5.案例四：数字通信系统设计
-信号调制与解调
-误码率性能分析
-基于Matlab的通信系统仿真设计
5、教学内容
《Matlab课程设计》
章节：第九章课程实践项目
1.项目一：数据可视化与分析
-数据预处理与清洗
-利用Matlab进行数据可视化
-数据分析报告撰写
2.项目二：优化算法实践
-选择合适的优化算法解决实际问题
matlab课程设计
一、教学内容
《Matlab课程设计》
章节：第五章数值计算
1.数值微积分
-数值积分的应用与实现
-数值微分的应用与实现
2.线性方程组求解
-高斯消元法
-矩阵分解法（LU分解、QR分解）
3.非线性方程求解
-二分法
-牛顿法
4.常微分方程数值解
-欧拉法
-龙格-库塔法
பைடு நூலகம்5.数据插值与拟合
-插值方法（拉格朗日插值、牛顿插值）
-数字滤波器设计
3.仿真与模拟
-随机过程的模拟
-蒙特卡洛方法在数值计算中的应用
4.机器学习初步
-数据预处理
-线性回归与逻辑回归的Matlab实现
5.控制系统设计与分析
-控制系统的时域分析
微积分的基础知识与运算
微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱 布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应 用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章 链式法则与微分中 值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合 函数的导数计算规则， 对于求解复杂函数的 导数具有重要作用。 通过链式法则，我们 可以更有效地计算复 合函数的导数，提高 求导的效率。
物理学
近似计算物理现象 解决实际问题
工程学
估算工程参数 优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工 具
积分中值定理的 概念
积分中值定理描述函 数在某一区间上的平 均值性质，其中有柯 西中值定理、勒贝格 积分中值定理等，为 理解函数性质提供重 要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的 性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和 方法
理解应用场 景
将理论知识应用 到实践中
多练习计算
熟练运用微积分 技巧
多与他人交 流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等 高级概念 深入理解微积分的推导和 应用
探索多元微积分
理解多元函数概念 学习多元微分、多元积分 等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值 近似
牛顿-拉夫逊 插值
曲线的插值与逼 近
预处理法
提高数值解的精 度
龙贝格积分 法
加速定积分的收 敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用
数值分析第五版课后习题答案
数值分析第五版课后习题答案数值分析是一门应用数学的分支学科，主要研究如何利用数值方法解决实际问题。
在学习这门课程的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。
本文将对《数值分析第五版》的课后习题进行一些探讨和解答。
第一章是数值分析的导论，主要介绍了误差分析和计算方法的基本概念。
在课后习题中，有一道题目是关于误差传播的。
假设有一个函数f(x, y) = x^2 + y^2，其中x和y的测量误差分别为Δx和Δy，要求计算f(x, y)的误差。
解答：根据误差传播公式，可以得到f(x, y)的误差为Δf = √[(∂f/∂x)^2 *(Δx)^2 + (∂f/∂y)^2 * (Δy)^2]。
对于本题而言，∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y。
代入公式，得到Δf = √[(2x)^2 * (Δx)^2 + (2y)^2 * (Δy)^2] = 2√(x^2 * (Δx)^2+ y^2 * (Δy)^2)。
第二章是插值与多项式逼近的内容。
其中一道习题涉及到拉格朗日插值多项式。
给定n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，要求构造一个n次多项式p(x)，使得p(xi) = yi (i = 0, 1, ..., n)。
解答：拉格朗日插值多项式的表达式为p(x) = Σ(yi * Li(x))，其中Li(x) = Π[(x - xj) / (xi - xj)]，j ≠ i。
将数据点代入表达式中，即可得到所求的多项式。
第三章是数值微积分的内容，其中一道习题是关于数值积分的。
给定一个函数f(x)，要求使用复化梯形公式计算定积分∫[a, b]f(x)dx。
解答：复化梯形公式的表达式为∫[a, b]f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2Σf(xi) + f(b)]，其中h = (b - a)/n，xi = a + i * h (i = 1, 2, ..., n-1)。
根据给定的函数f(x)，代入公式中的各个值，即可得到近似的定积分值。
数值微分计算方法
数值微分计算方法数值微分是微积分中的一个重要概念，用于近似计算函数的导数。
它在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值求解微分方程、优化问题以及实时数据处理等领域。
数值微分最基本的思想是通过两个离得很近的点，利用函数值的变化情况来估计导数的变化情况。
常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。
有限差分法是一种简单且直接的数值微分方法，常用的有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
前向差分法用于近似计算函数的导数，通过函数在特定点上和该点之后的一点的差值来估计导数的值。
设函数在点x处的导数为f'(x)，则前向差分法的计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h其中，h为一个小常数，表示两个点之间的距离。
后向差分法与前向差分法的思想类似，只是对应的计算公式稍有不同。
后向差分法通过函数在特定点上和该点之前的一点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h中心差分法是一种更加精确的数值微分方法，通过函数在特定点的前后两点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法来说，误差更小，计算结果更稳定。
除了有限差分法，插值法也是一种常用的数值微分方法。
它通过利用已知点的函数值来估计未知点上的函数值，从而近似计算函数的导数。
常见的插值法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法通过构造一个次数为n的多项式来逼近给定的函数，然后求该多项式的导数。
牛顿插值法则是通过利用已知点的函数值来构造一个插值多项式，然后求该多项式的导数。
插值法在实践中广泛应用，能够提供更精确的数值微分结果。
总的来说，数值微分是一种基于离散点求导数的近似计算方法，可以通过有限差分法和插值法来进行计算。
不同的方法在精度和稳定性上有所差异，具体的选择需根据实际情况进行考虑。
数值微分在科学计算和工程应用中具有重要的地位和作用，是了解和掌握的必备技巧之一。
第五章 数值积分与微分1
b−a T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
b−a a+b S( f ) = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) 6
b−a C( f ) = [ 7 f (a ) + 32 f (a + h) + 12 f (a + 2h) 90
+32 f (a + 3h) + 7 f (b )]
( f ( x)dx ≈ (b − a)∑Ckn) f (a + kh) = In ( f ) k=0
n
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
a k =0
n
求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision */） 求积公式的代数精度（/* 代数精度
Def 1如果求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
次的多项式都恒成立 对一切不高于m次的多项式都恒成立， 对一切不高于 次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 次多项式不能精确成立 次多项式不能精确成立， m次代数精度。 次代数精度。 次代数精度
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1− 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1− 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
数值积分和数值微分ppt课件
5.2.2 数值微分
设函数 f(x)在[a,b]上可导，已知 f(x)在 x j 的函数 值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b . 如果 f(x)的解析表达式未知，问如何近似计算 f(x)在 某点 x=c 处的导数？特别是如何近似计算 f(x)在 x0, x1,, xn 的导数？
y4
未 知 函 数 f(x)
y3
已知结点
线 性 插 值 函 数 S41(x)
y2
y1
y0
y
0
x0
x1
x2
x3
x4
x
图5.9 复化梯形求积公式示意图
5.2.1 数值积分
容易求得
b a
Sn1
(
x)dx
的值为
1 n
Tn 2 j1 x j x j1 y j1 y j
(5.2.1)
如果划分 a x0 x1 xn b 将区间[a,b] n 等分，
b]为n等分，分点为 xk x0 kh k = 0, 1, 2,…, n
2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik 3）取和值，作为整个区间上的积分近似值。 这种求积方法称为复化求积方法。
j
值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b ，
5.2.2 数值微分
先考虑简化的问题：设划分 a x0 x1 x2 b 将 区间[a,b]二等分，记 h (b a) 2 ，已知 f(x)在 x j 的函
数值 y j f (x j ) (j=0,1,2). 记
L2 (x) c1(x x1)2 c2 (x x1) c3 是由结点 (x j , y j ) (j=0,1,2)确定的至多二次插值多项
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第五章 数值微积分一、内容分析与教学建议本章内容是数值微积分。
数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。
数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。
（一） 数值微分1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。
2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。
借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。
常用的有三点公式和五点公式。
3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。
指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。
4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。
（二） 数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。
2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。
3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。
（三）等距节点的求积公式1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式——Newton-Cotes公式以及Cotes系数。
2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式。
要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。
3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3；并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。
（四）复化求积公式1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。
2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。
3、简介事后估计和自适应Simpson方法。
（五）R omberg求积法1、Romberg求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公式为基础构造高精度求积公式的方法，是一种快速、有效的求积法。
2、阐明Romberg公式的建立过程：利用事后估计的思想，从复化梯形公式建立一整套递推算法，进而得到Romberg公式，整个过程实际上是一个加速的过程。
3、可通过例子验证Romberg求积法的加速效果。
（六）G auss型求积公式1、Gauss型求积公式也是一种高精度的插值型求积公式，但它的节点不是等距的，因而Gauss型求积公式不属于Newton-Cotes公式的范畴。
2、阐明Gauss型求积公式的代数精度是插值型求积公式的最大值，介绍Gauss点的概念，并说明Gauss点实际上是某个正交多项式的零点。
3、讲清楚Gauss型求积公式的求积系数的特殊构造，并由此证明Gauss型求积公式是稳定的，以及Gauss型求积公式的收敛性。
4、介绍几种Gauss型求积公式：古典Gauss公式、Gauss-Tchebyshev公式、Gauss-Laguerre 公式和Gauss-Hermite公式。
让学生了解上述四中Gauss型求积公式的表达式、表达式中的权函数、定积分的上、下限以及求积系数，并通过2—3个例子具体阐述上述Gauss型求积公式是如何求数值积分的，并和以前的方法比较它们的精度。
本章结束时，建议安排一次上机实习，让学生自己动手，根据书中的算法，编程计算各种数值积分的例子，加深和巩固学生对本章内容和方法的了解和掌握。
二、补充例题例1 用三点公式求21()(1)f x x =+在 1.0,1.1,1.2x =处的导数值，并估计误差，()f x 的函数值由下表给出：1.0 1.1 1.2()0.2500000.2267570.206612i i x f x .解 三点求导公式为200120210212201221()[3()4()()](),231()[()()](),261()[()4()3()]();23h f x f x f x f x f h h f x f x f x f h h f x f x f x f x f h ξξξ⎧''''=-+-+⎪⎪⎪'''=-+-⎨⎪⎪''''=-++⎪⎩取上表中0121.0, 1.1, 1.2x x x ===，再分别将有关数值代入上式，即可得导数的近似值。
因为551.0 1.21.0 1.24!4!()max ()max 0.75(1)2i x x f f x x ξ≤≤≤≤''''''≤=-==+，所以可得误差估计及导数值如下表：() 1.0 1.1 1.20.247920.216940.18596()0.250000.215960.187830.002500.001250.002500.002080.000980.00187f x xf x '---'---用三点公式求出的的近似值准确值理论误差限实际误差限例2 从地面发射一枚火箭，在最初80秒内，记录其加速度如下表。
试求火箭在第80秒时的速度。
2()01020304050607080(/)30.0031.6333.4435.4737.7540.3343.2946.6950.67t a 秒米秒分析：速度对时间t 的导数等于加速度，因此已知加速度求速度，只需把速度看作是加速度的原函数即可。
若设速度为()v t ，则0()(0)()tv t v a t dt =+⎰，于是80(80)(0)()v v a t dt =+⎰.这样就把问题转化为求积分的问题。
解 应用复化Simpson 求积公式计算。
此题中积分区间的长度是80，有9个节点，故4,80420n h ===.由于火箭从地面向上发射，因此(0)0v =. 于是火箭在第80秒时的速度为 8080(80)(0)()()v v a t dt a t dt =+=⎰⎰120[30.004(31.6335.4740.3346.69)2(33.4437.7543.29)50.67]63087.03333(/).≈⨯⨯+⨯++++⨯+++=米秒例3 计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有5位有效数字。
分析：这是一个求周长的问题，因此要用到线积分中的弧长公式。
在估计误差时，由于弧长公式中含有根式，其高阶导数较复杂，故可用事后误差估计的方法来做；另外还必须把误差与有效数字结合起来使用。
解 由于在直角坐标系下求弧长表达式较复杂，因此采用极坐标来求解。
令2cos ,sin x y θθ==，则椭圆弧长为444l d d d θθθ=⨯=⨯=⨯，因为222I d ππθπ<=<⨯=，所以I 有一位整数。
故若要求结果有5位有效数字，则必须使截断误差4110-≤⨯. 列表计算如下： 故可取8 2.4221I T ≈=可使I 有5位有效数字，从而49.6884l I =⨯≈.例4 用反证法证明：不存在,(0,1,2,,)k k A x k n =L ，使得求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰的代数精度超过21n +次。
分析：只要能找到一个22n +次的多项式，使求积公式两边不相等即可。
而具有21n +次代数精度的求积公式的节点是[,]a b 上带权()x ρ的正交多项式的零点(0,1,2,,)k x k n =L ,可考察22n +次的多项式221()()nn i i x x x ω+==-∏.解 构造多项式221()()()nn i i K x x x x ω+===-∏，并令()()f x K x =，代入上述求积公式，则左端有()()()()0bbaax f x dx x K x dx ρρ=>⎰⎰；右端有0()()0nnk k k k k k A f x A K x ====∑∑； 即左端≠右端。
这说明：不存在具有22n +次代数精度的求积公式。
故Gauss 型求积公式是具有最高次代数精度的求积公式。
例5 设5000()[2,2],0,,(),0,1,2k k k f x C x h x h h x x kh f f x k ∈-+>=+==±±，求证：(1) 4021121()(88)()12f x f f f f O h h --'=-+-+； (2) 2010121()(2)()f x f f f O h h-''=-++.证 本题用Taylor 公式来证。
(1) 因为 230000011(2)()2()(2)()(2)()2!3!f x h f x h f x h f x h f x ''''''±=±⨯+⨯⨯±⨯⨯ 4(4)501(2)()()4!h f x O h +⨯⨯+， 230000011()()()()()2!3!f x h f x h f x h f x h f x ''''''±=±⨯+⨯⨯±⨯⨯4(4)501()()4!h f x O h +⨯⨯+， 所以500000(2)()8()(2)12()()f x h f x h f x h f x h h f x O h '---++-+=⨯+， 即 4021121()(88)()12f x f f f f O h h--'=-+-+. (2) 利用(1)中0()f x h ±的展开式，得2010121()(2)()f x f f f O h h-''=-++.例6 确定常数,,,A B C D （均用分数精确表示），使求积公式()()If I f ≈%，其中 23()()()d ,()[()()][()()]ba I f x a f x x I f h Af a Bfb h Cf a Df b ''=-=+++⎰%具有尽可能高的代数精确度，并指出代数精确度是多少？其中h b a =-.解 设该求积公式对23()1,,(),()f x x a x a x a =---精确成立，得2231()[11][00]2b a x a h A B h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯， 3231()[0][11]3b a x a h A B h h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯， 42231()[0][02]4b a x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯， 523321()[0][03]5b a x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯， 化简得1,21,312,413,5A B B C D B D B D ⎧+=⎪⎪⎪++=⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪+=⎩解得3711,,,.20203020A B C D ====-例7寻找合适的数值求积公式，计算出积分31x ⎰的准确值。