2-6二阶导数的应用
二阶求导公式
二阶求导公式二阶求导公式是微积分中的重要概念，用于求解函数的二阶导数。
在这篇文章中，我们将探讨二阶求导公式的含义和应用，并通过一些具体例子来说明其作用。
让我们回顾一下一阶导数的概念。
一阶导数描述了函数在给定点的斜率或变化率。
而二阶导数则提供了一些更深入的信息，它描述了函数的曲率以及一阶导数的变化率。
简而言之，二阶导数可以帮助我们更全面地理解函数的行为。
为了更好地理解二阶求导公式，让我们以一个简单的例子开始。
假设我们有一个函数f(x)，我们想要求解它在特定点x=a的二阶导数。
根据二阶求导公式，我们可以得到如下结果：f''(a) = lim(h->0) [f'(a+h) - f'(a)] / h这个公式的含义是：当我们取非常小的h值时，函数f在x=a处的二阶导数等于一阶导数在x=a处的变化率与h的比值的极限。
换句话说，我们可以通过计算一阶导数的变化率来获得二阶导数。
现在让我们看一个具体的例子来说明二阶导数的应用。
假设我们有一个物体在某一时刻的位置函数s(t)，我们想要求解它在特定时刻t=t0的加速度。
根据二阶求导公式，我们可以得到如下结果：a(t0) = s''(t0)这个公式的含义是：物体在特定时刻的加速度等于它在该时刻位置函数的二阶导数。
换句话说，通过求解位置函数的二阶导数，我们可以得到物体在特定时刻的加速度。
通过这个例子，我们可以看到二阶求导公式在物理学中的应用。
它可以帮助我们了解物体的加速度，并进一步推导出其他与运动相关的物理量，如速度和位移。
除了物理学之外，二阶求导公式还在其他领域有着广泛的应用。
在经济学中，二阶导数可以用于分析市场的曲率和弹性。
在工程学中，二阶导数可以用于分析信号的频率和谐波。
在生物学中，二阶导数可以用于分析生物体的生长速率和变化趋势。
总结起来，二阶求导公式是微积分中的重要概念，用于求解函数的二阶导数。
它可以帮助我们更全面地理解函数的行为，并在各个领域中有着广泛的应用。
二阶导数的应用
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7
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0
当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为 曲 线上的拐点。
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点
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23
[定理4.7]
设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b) 内f"(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的， 如果在(a,b)内f"(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b)
内是凸的。
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4
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
x
解：∵y＝ 1 ∴f'(x)＝－ 1 ，f"(x)＝ 1 ，
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么
我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
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10
[定理4.8]
设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导 数，那么
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" 2 ( ! 0 )x 2 f(n n ) ! ( 0 )x n R n (x )
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
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5
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性
二阶及高阶导数的概念及计算
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点
解：∵f"(x)＝12x2
∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0
因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的，
点(0,－1)不是拐点。 a
8
4.7 函数图象的描绘
利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。
一般步骤为：
2
2
( ,2π)内为凸的。
a
6
2. 曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0
的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤]
⑴ 求二阶导数f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根；
⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0))
是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点
(x0,f(x0))不是曲线的拐点。
a
7
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0
当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为 曲 线上的拐点。
二、二阶导数的应用
4.5 函数极值的判定 [定理4.6]
如 果 函 数 f(x) 在 x0 附 近 有 连 续 的 二 阶 导 数 f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么 ⑴若f"(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值 ⑵若f"(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值
二阶导数凹凸技巧
二阶导数凹凸技巧在微积分中，二阶导数凹凸技巧是解决函数凹凸性质的重要工具。
通过分析函数的二阶导数可以判断函数在某个区间上的凹凸性质，从而对函数的变化趋势有更深入的认识。
本文将介绍二阶导数凹凸技巧的基本原理和应用。
一、二阶导数的概念函数的二阶导数是指对函数的一阶导数再次求导得到的导数。
数学上，我们通常使用f''(x)或者d²y/dx²来表示函数f(x)的二阶导数。
二阶导数描述了函数在某一点上的曲率，可以通过曲率的变化来判断函数的凹凸性质。
二、凹凸性的判断1. 凹函数和凸函数的定义在数学中，如果函数在某个区间上的曲线位于其切线的下方，则该函数在该区间上是凹函数；如果函数在某个区间上的曲线位于其切线的上方，则该函数在该区间上是凸函数。
2. 利用二阶导数判断凹凸性对于凹凸函数，我们可以通过二阶导数的正负性来判断。
具体来说，如果函数的二阶导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上是凹函数；如果函数的二阶导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上是凸函数。
三、二阶导数凹凸技巧的应用1. 极值点的判断对于函数的极值点，我们可以通过分析二阶导数的正负性来判断。
如果函数在某个点的二阶导数大于0，则该点是函数的极小值点；如果函数在某个点的二阶导数小于0，则该点是函数的极大值点。
2. 凹凸区间的判断通过分析函数的二阶导数的正负性，我们可以确定函数的凹凸区间。
具体来说，如果函数的二阶导数在某个区间上恒大于0，则该区间是函数的凹区间；如果函数的二阶导数在某个区间上恒小于0，则该区间是函数的凸区间。
3. 拐点的判断对于函数的拐点，我们可以通过分析二阶导数的变化来判断。
如果函数的二阶导数在某个点发生了正负号的改变，即从正变为负或从负变为正，则该点是函数的拐点。
四、案例分析为了更好地理解二阶导数凹凸技巧的应用，我们来看一个简单的案例。
考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，我们需要判断该函数的凹凸性质。
二阶导数基本公式
二阶导数基本公式二阶导数是微积分中的重要概念，它描述了函数曲线的曲率变化情况。
在求解二阶导数的过程中，有一些基本公式可以帮助我们简化计算。
本文将介绍这些基本公式，并通过实例来说明它们的应用。
一、二阶导数的定义在微积分中，函数f(x)的二阶导数可以通过对其一阶导数f'(x)再次求导得到，即f''(x)。
二阶导数描述了函数曲线的曲率变化情况，可以帮助我们判断函数的凹凸性、拐点等重要特征。
二、求解二阶导数的基本公式1. 常数函数的二阶导数为0对于常数函数f(x)=C，其中C为常数，其一阶导数为f'(x)=0，再次求导得到二阶导数f''(x)=0。
这是因为常数函数的斜率恒为0，再次求导时斜率不会发生变化。
2. 幂函数的二阶导数公式对于幂函数f(x)=x^n，其中n为实数，其一阶导数为f'(x)=n*x^(n-1)，再次求导得到二阶导数f''(x)=n*(n-1)*x^(n-2)。
幂函数的二阶导数可以通过对一次幂函数的一阶导数进行求导得到。
3. 指数函数的二阶导数公式对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0，其一阶导数为f'(x)=a^x*ln(a)，再次求导得到二阶导数f''(x)=a^x*ln^2(a)。
指数函数的二阶导数同样可以通过对一次指数函数的一阶导数进行求导得到。
4. 对数函数的二阶导数公式对于对数函数f(x)=ln(x)，其一阶导数为f'(x)=1/x，再次求导得到二阶导数f''(x)=-1/x^2。
对数函数的二阶导数可以通过对一次对数函数的一阶导数进行求导得到。
5. 三角函数的二阶导数公式对于正弦函数f(x)=sin(x)，其一阶导数为f'(x)=cos(x)，再次求导得到二阶导数f''(x)=-sin(x)。
类似地，余弦函数的二阶导数为负的正弦函数，正切函数的二阶导数为负的正切函数。
高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率
上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解： 设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解.
二阶导数怎么用拉格朗日中值定理
二阶导数怎么用拉格朗日中值定理二阶导数怎么用拉格朗日中值定理一、引言二阶导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了函数曲线的凹凸性。
而拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它联系了函数的导数和函数值。
本文将通过深入理解二阶导数以及它如何与拉格朗日中值定理相结合，帮助读者更好地理解这些概念和方法。
二、二阶导数的定义和性质1. 什么是二阶导数？二阶导数是函数在某一点的导数的导数，可以理解为对函数曲线进行两次微分得到的结果。
在一元函数的情况下，二阶导数可以通过对原函数的一阶导数再次求导得到。
若函数f(x)的一阶导数存在，则f(x)的二阶导数可表示为f''(x)或d^2y/dx^2。
2. 二阶导数的凹凸性二阶导数可以描述函数曲线的凹凸性。
如果在一个区间内，函数的二阶导数大于零，则函数曲线在该区间内凸; 如果二阶导数小于零，则函数曲线在该区间内凹。
如果二阶导数恒大于零或者恒小于零，则函数曲线称为严格凸或严格凹。
三、拉格朗日中值定理1. 什么是拉格朗日中值定理？拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它建立了函数导数与函数值之间的联系。
定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)上可导，则存在一个c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
这个定理的物理几何意义是：在曲线上至少存在一点，该点的切线与曲线上两点间的连线平行。
2. 二阶导数与拉格朗日中值定理的关系由拉格朗日中值定理可知，函数在开区间(a,b)上可导，则在该区间内一定存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
如果再对该等式两边同时求导，由于导数的连续性，我们可以得到f''(c)=0。
这说明了二阶导数在满足特定条件下的应用，即当函数在两点间的变化率恒为常数时，存在某一点的二阶导数为零。
四、二阶导数在实际问题中的应用1. 函数的拐点二阶导数可以告诉我们函数曲线上的拐点。
二阶导计算公式
二阶导计算公式二阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数曲线的曲率变化。
在本文中，我将介绍二阶导数的计算公式及其应用。
一、二阶导数的定义在微积分中，函数f(x)的二阶导数表示为f''(x)，它是函数f(x)的一阶导数f'(x)的导数。
换句话说，二阶导数是函数的斜率的变化率。
二、二阶导数的计算公式1. 使用极限定义法计算二阶导数：根据极限定义法，函数f(x)的二阶导数可以通过以下公式计算：f''(x) = lim [f'(x + h) - f'(x)] / h，其中h趋近于0。
2. 使用链式法则计算二阶导数：对于复合函数，我们可以使用链式法则来计算二阶导数。
假设y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是函数，那么二阶导数可以通过以下公式计算：y''(x) = f''(g(x)) * [g'(x)]^2 + f'(g(x)) * g''(x)三、二阶导数的应用1. 函数的凹凸性分析：二阶导数可以帮助我们分析函数的凹凸性。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处是凹的；如果f''(x) < 0，那么函数在x处是凸的。
2. 极值点的判断：通过二阶导数可以判断函数的极值点。
如果f''(x) > 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最小值；如果f''(x) < 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最大值。
3. 曲线的拐点分析：二阶导数可以帮助我们分析函数曲线的拐点。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凹向凸；如果f''(x) < 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凸向凹。
4. 泰勒展开：在数值计算中，二阶导数也可以用于泰勒展开的计算中。
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点教学目标与要求通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解拐点的定义和意义。
教学重点与难点教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。
教学难点：理解拐点的定义和意义。
教学方法与建议证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用"拉格朗日中值定理”证明外，还可用"泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。
在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。
教学过程设计1•问题提出与定义函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还不能准确描绘出函数的图形。
比如，如果在区间［弘切上丿⑴,一］巩町®则我们知道『°）在区间切上单调增，但作图（参见图1）的时fj候，我们不能判断它增加的方式（是弧ROB,还是弧卫盗），即不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性0工态、作图等是很有必要的！在图1中，对于上凸的曲线弧/DE,取其上任意两点，不妨取作割线，我们总会发现不论两点的位置，害V线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式二丄［』（可）+/（%）］来描述。
同理，对于上凹的曲线弧匸：壬‘，总可用不等式I 2来描述。
由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：凹凸性定义设1 -在区间I上连续，如果对I上任意两点…-，■:，恒有则称 「r i 上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有则称在I 上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。
如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于 左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。
二阶导数的物理意义及其在优化问题中的应用
二阶导数的物理意义及其在优化问题中的应用一、二阶导数的物理意义二阶导数是指函数的二阶导数，即对函数进行两次求导得到的结果。
在物理学中，二阶导数具有重要的物理意义，可以衡量物理量的变化率和加速度。
以下将介绍二阶导数的物理意义及其在力学和波动学中的应用。
1. 物体的加速度在力学中，物体的加速度是指物体单位时间内速度的变化率。
当我们对物体的位移-时间关系进行二次求导，得到的二阶导数即为物体的加速度。
加速度是描述物体在运动过程中加速或减速的物理量，它决定了物体的动力学特征。
2. 力的变化率根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
因此，力的变化率可以用二阶导数来表示。
如果我们对质量不变的物体施加一个恒定的力，它会产生一个恒定加速度。
然而，在实际情况下，往往存在力的变化，这时候二阶导数可以帮助我们衡量力的变化率。
3. 粒子的振动在波动学中，粒子的振动是研究对象之一。
对于一个简谐振动的粒子来说，它的位移关于时间的二阶导数就是质点的加速度。
二阶导数的正负号告诉我们振动的方向，而绝对值则反映振动的强度。
二、二阶导数在优化问题中的应用二阶导数在优化问题中扮演着重要的角色，特别是在求解极值和优化问题时。
以下将介绍二阶导数在优化问题中的应用。
1. 极值点的判断对于一个函数，极值点是函数的取值在某一区间内达到最大或最小值的点。
二阶导数可以帮助我们判断一个函数的极值点。
如果二阶导数为正，说明函数在该点处为凸函数，为极小值点；如果二阶导数为负，说明函数在该点处为凹函数，为极大值点。
2. 优化算法优化算法是一类广泛应用于工程和科学领域中的问题求解方法。
其中，二阶导数的应用尤为重要。
一种常见的优化算法是牛顿法（Newton's method），它利用了函数的二阶导数信息来迭代地逼近函数的最小值（或最大值）。
牛顿法在很多优化问题中都表现出良好的性能。
3. 正定矩阵在优化问题中，正定矩阵是二阶导数的一个重要应用。
正定矩阵是指所有特征值均为正数的矩阵。
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(−∞,3)
3
0
( 3, +∞ )
+
+
f ( x)
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第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
[例 7 ] 在一个有限的环境中，人口 P 的增长通常 遵从于如图所示的 S 曲线，它描述了人口增长率 是怎样随时间变化的，解释 t0 与 L 的实际意义.
PLຫໍສະໝຸດ ot0t四川职业技术学院数学教研室
若 lim+ | f ( x ) |= +∞ 或 lim− | f ( x ) |= +∞ ,
则x = x0 称为曲线 y = f ( x ) 的垂直渐近线 .
x → x0 x → x0
水平渐近线和垂直渐近线统称为渐近线 渐近线. 水平渐近线和垂直渐近线统称为渐近线
1 , 例如 y = ( x + 2)( x − 3) 1 lim y = lim = ∞, x → −2 x → −2 ( x + 2)( x − 3)
−
o
π
2
x
x →−∞
lim y = lim arctan x = −
x →−∞
π
2
, xlim y = xlim arctan x = →+∞ →+∞
π
2
有水平渐近线两条: y =
π
2
或y = −
π
2
.
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第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
2.垂直渐近线 2.垂直渐近线
f ′′(0) = 0
的拐点. 但( 0,0)并不是曲线 f ( x ) 的拐点
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第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
练习题
填空题： 填空题：
) 1.曲线 的凸区间是 (0,1 1. 曲线 y = x − 2x − x −1的凸区间是____________.
4 3
在t0 处 , 人口增长率达到最大 , 即在 t0时 ， 人口增长得最快 .
量值L代表当时间无限增大时 ，
P
L
人口量所能达到的极限 值， 称L为该环境下的载容量 . o
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t
第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
小结 曲线的弯曲方向——凹凸性 凹凸性; 曲线的弯曲方向 凹凸性 凹凸性的判定. 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点 拐点; 改变弯曲方向的点 拐点 拐点的求法. 拐点的求法
注意到, 注意到 点( 0,0)是曲线由凸变凹的分界 点. 四川职业技术学院数学教研室
∪
第二章
一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
[例2] 求曲线 y = 3x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解
2 y′′ = 36 x ( x − ). y′ = 12 x − 12 x , 3 2 令y′′ = 0, 得 x1 = 0, x2 = . 3 2 2 (0, ) x (−∞ ,0) −∞ 0 3 3 f ′′( x ) − 0 0 +
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第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
y = f (x)
B
2. 曲线凹凸的判定
y
y = f (x)
A
B
y
A
o
a
b
x
o
a
b
x
曲线是凹的
曲线是凸的
f ′(x) 递 增
y′′ > 0
f ′(x) 递 减
y′′ < 0
上述结论反过来是否成立呢? 上述结论反过来是否成立呢 四川职业技术学院数学教研室
第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
即当 t < t0 时, P′′(t ) > 0 ,表明人口增长率的变化率 P′(t ) 递增,
解 曲线从左到右遂渐上升, 表明人口 P 是始终增长的. 当 t < t0 时,曲线是凹的, 当 t > t0 时,曲线是凸的, t0 处产生拐点,
当 t > t0 时, P′′(t) < 0 ,表明人口增长率的变化率 P′(t) 递减.
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第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
思考题
内二阶可导， 设 f ( x ) 在( a , b ) 内二阶可导，且 f ′′( x 0 ) = 0 ， 其中 x 0 ∈ (a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 ))是否一定为 的拐点？举例说明. 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明
第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
2
1 [例3] 求曲线 y = x + 的凹凸区间和拐点 . x 1 解 D = ( −∞,0) U (0,+∞ ) , y ′ = 2 x − 2 , x 2 2 2( x + 1)( x − x + 1) , y ′′ = 2 + 3 = 3 x x 令y ′′ = 0, 解得x = −1,
a = 1 a+ b+ c =2 = 0 解得 b = − 3 6a + 2b c = 4 3a + 2b + c = 1 易证 ，a = 1, b = − 3, c = 4 满足上述条件 .
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y |x=1 = 2 , y′′ |x=1 = 0 , y′ |x=1 = 1 ,得方程组
第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
[例6] 讨论曲线 y = ( x − 3) 4 + 5 的凹凸性和拐点 . 解 函数的定义域是D = ( −∞,+∞).
y ′ = 4( x − 3) , y ′′ = 12( x − 3) ,
3 2
令y ′′ = 0, 解得x = 3,
x
f ′′( x )
(2)求二阶导数 f " ( x ) ；
(3)求使 f " ( x) = 0 或 f " ( x) 不存在的点;
(4)列表讨论，判定 f (x) 的凹凸性及拐点.
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第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
,
[例 5] 试确定 a , b , c 的值,使曲线 y = ax3 + bx2 + cx 有拐点 (1,2) ,且在该点处的切线斜率是 1. y = ax3 + bx2 + cx 的定义域是 (−∞,+∞) ， 解 ′ = 3ax2 + 2bx + c , y′′ = 6ax + 2b ,由条件 , y
第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
【授课时数 授课时数】 授课时数 总时数：4 学时. 学习目标】 【学习目标】 1、会判断曲线的凹凸性； 2、会求曲线的拐点； 3、会用导数作函数的图象 。 难点】 【重、难点】 重点：用导数判断曲线的凹凸性和拐点，由曲线 的切线的单调性引出 。 难点：利用二阶导数判断曲线的的凹凸性，函数 图形的正确描绘，由实例讲解方法。 四川职业技术学院数学教研室
若 lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b( b 为常数 )
x → +∞ x → −∞
则 y = b 就是 y = f ( x ) 的一条水平渐近线 .
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课题十 二阶导数的应用
y = arctan x , 有
π
2
例如
y
y = arctan x
一、曲线的凹凸与拐点 1. 曲线的凹凸与拐点的定义
定义 设曲线在开区间 ( a , b ) 内每一点都有切线． (1)如果曲线都在切线的上方，则称曲线在区间 ( a , b ) 内是凹的，区间 ( a , b ) 为凹区间． (2)如果曲线都在切线的下方，则称曲线在区间 ( a , b ) 内是凸的，区间 ( a , b ) 为凸区间． (3)曲线上凹与凸（或凸与凹）的分界点，称为曲线 的拐点．
x
f ′′( x )
(−∞,0)
0
不存在
拐点
( 0, +∞ )
+
_
f ( x)
(0,0)
由此可知，二阶导数不存在时，也可能产生拐点 二阶导数不存在时，也可能产生拐点. 二阶导数不存在时 四川职业技术学院数学教研室
第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
求曲线的凹凸区间和拐点的步骤如下：
(1)确定函数的定义域；
x
f ′′( x )
f ( x)
( −∞,−1)
− 1 ( − 1 , 0 ) (0,+∞)
0
拐点
+
−
+
(0,1)
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第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
练一练：求曲线 y = x 3的凹凸区间和拐点 . 练一练：
解
D = ( −∞,+∞ ) , y ′ = 3x 2 ,
y ′′ = 6x,
令y ′′ = 0, 解得x = 0,
x
f ′′( x )
f ( x)
(−∞,0)
0
0
拐点
( 0, +∞ )
−
+
(0,0)
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课题十 二阶导数的应用
− 2 3 − 5 3
[例4] 求曲线 y = 3 x 的拐点 .
1 4 解 D = ( −∞,+∞ ), y′ = x , y′′ = − x , 3 9 x = 0是不可导点 , y ′ , y ′′均不存在 .