二阶导数在解高考函数题中的应用
导数中的二阶导问题
二阶导1.设函数f (x )＝1x ＋2ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)如果对所有的x ≥1，都有f (x )≤ax ，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x 2， 所以当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >12时，f ′(x )>0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， (2)当x ≥1时，f (x )≤ax ⇔a ≥2ln x x ＋1x 2， 令h (x )＝2ln x x ＋1x 2(x ≥1)， 则h ′(x )＝2－2ln x x 2－2x 3＝2(x －x ln x －1)x 3， 令m (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则m ′(x )＝－ln x ，当x ≥1时，m ′(x )≤0，所以m (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以m (x )≤m (1)＝0，因此h ′(x )≤0，于是h (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以当x ＝1时，h (x )有最大值h (1)＝1，故a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．2.已知函数f (x )＝x －ln x －a ，g (x )＝x ＋1x－(ln x )a ＋1，a ∈R. (1)若f (x )≥0在定义域内恒成立，求a 的取值范围；(2)当a 取(1)中的最大值时，求函数g (x )的最小值．解：(1)由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝1－a ，∴1－a ≥0，a ≤1，故a 的取值范围是(－∞，1]．(2)当a ＝1时，g (x )＝x ＋1x －(ln x )2，g (x )的定义域是(0，＋∞)．g ′(x )＝1－1x 2－2ln x ·1x ＝x 2－2x ln x －1x 2， 令h (x )＝x 2－2x ln x －1，h ′(x )＝2(x －ln x －1)，由(1)知，h ′(x )的最小值是h ′(1)＝0，∴h ′(x )≥0，h (x )在(0，＋∞)上单调递增，又h (1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，h (x )<0，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2.3.【2016年高考北京理数】（本小题13分）设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.【解析】的单调区间。
经典高数题举例
经典高数题举例1、函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的导数和二阶导数：解题思路：对f(x) 分别求导即可。
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 （一阶导数）f''(x) = 6x + 4 （二阶导数）2、函数f(x) = e^x * sin(x) 的导数：解题思路：使用乘积法则和链式法则进行求导。
f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3、函数f(x) = ∫[1, x] (t^2 + 2t) dt 的原函数：解题思路：对被积函数进行积分，然后求出不定积分的原函数。
f(x) = ∫[1, x] (t^2 + 2t) dt = [(1/3)t^3 + t^2]，其中x 是上限。
4、方程组的解：2x + 3y = 104x - 5y = -7解题思路：可以使用消元法或代入法来求解方程组。
解得x = 3，y = 2。
5、函数f(x) = ln(x) 在区间[1, e] 上的定积分：解题思路：计算定积分的值。
∫[1, e] ln(x) dx = [x ln(x) - x]，在区间[1, e] 上。
6、曲线y = x^2 + 3x + 2 在点(1, 4) 处的切线方程：解题思路：求出曲线在给定点处的斜率，然后利用点斜式得到切线方程。
曲线的斜率为f'(x) = 2x + 3，在点(1, 4) 处的斜率为5。
切线方程为y - 4 = 5(x - 1)，即y = 5x - 1。
7、函数f(x) = 3x^2 - 4x + 5 的极值点和极值：解题思路：计算函数的导数，并解方程找到导数为零的点。
f'(x) = 6x - 4，令f'(x) = 0，解得x = 2/3。
极值点为(2/3, f(2/3))。
极小值为f(2/3) = 19/3。
8、函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x) 的周期和振幅：解题思路：观察函数的性质，根据三角函数的性质得到周期和振幅。
从高考模拟试题中窥探二阶导数
从高考模拟试题中窥探二阶导数作者：唐鹰骆妃景来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第07期摘要：二阶导数尽管是高等数学微积分的内容，但二阶导数可以理解为“对函数的导数再求导”，作为体现数学应用思想的方法，并没有超出高中课程的要求. 二阶导数在用来解决函数、导数综合性题目时往往会达到事半功倍的效果，本文探讨二阶导数在函数凹凸性、极值、不等式恒成立问题中的作用.关键词：二阶导数；函数凹凸性；极值；不等式；恒成立近几年高考试题或者模拟试题中出现越来越多具有高等数学微积分背景的考题. 虽然高中试题的解法主要是基于高中所学的内容，但是作为中学数学教师，必须要对高等数学微积分中所蕴涵的数学思想方法有较好的认识和把握，要有用微积分观点去认识初等数学的意识，这样才有助于我们对高考命题有全面、深刻的理解和把握. 本文试从几个例子来看二阶导数在函数凹凸性、极值以及不等式恒成立问题中的运用.2. 函数凹凸性的直观性设函数f（x）在区间I上单调递增，我们可以这样理解，随着自变量x的稳定增加，当函数f（x）的增量增加越来越快时，函数图形是凹的；当函数f（x）的增量越来越慢时，函数图形是凸的；当函数f（x）的增量保持不变时，函数图形是直线. 如果f（x）在区间I上单调递减，同样可以类似分析.显然解法2比解法1简洁许多，解法1对考生的计算能力要求非常高，一旦化简不到位，本题就解不出来，而化简是现在高中生的一大弱项，这与初中弱化了因式分解等知识有关，倘若学生能掌握函数凹凸性与二阶导数的关系，那么这道题就会信手拈来！[⇩] 二阶导数与函数极值在高中阶段，判断函数在x0处是否取得极值并判断是极大值还是极小值时，经常是利用函数的导数在x0的两侧的符号来判断，通常需要列表，但列表相对麻烦，而且容易计算错误，特别是对于基础相对较差的文科生，常常会出现列表不完整、计算错误、格式书写不规范等问题. 实际上，我们可以用二阶导数的符号比较快速简便地判断x0是函数的极大值点还是极小值点.[⇩] 二阶导数与不等式恒成立问题不等式恒成立问题是高考试题中常考的内容之一，主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力，不等式恒成立问题的转化过程中出现的难点主要是分离常数和最值的求解，因为如果题目中涉及ex或者lnx时，很难分离常数，就算能够分离，求最值也会遇到困难，这时可以考虑用二阶导数来解决不等式恒成立问题.分析：本题在解决第2问时也可以利用第1问中的结论得到不等式ex≥x+1，但是如果不能根据第1问中的结论得出ex≥x+1这个抽象不等式的话，第2问就无从谈起，束手无策，那么现在我们抛开第1问中的结论，直接从第2问出发，第2问可以转化为当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围，此时分离常数后得a≤，即转化为求g（x）=的最小值，难度相当大，那么下面采用二阶导数的知识解决此问题.强，是高考中的重点和难点，要求学生具备很强的逻辑思维能力，导致很多学生“望题却步”，但往往一般采用二阶导数甚至三阶导数进行研究，有时解法会很简洁，出现“柳暗花明”的局面，使解题事半功倍.总之，二阶导数尽管是高等数学微积分的内容，但二阶导数可以理解为“对函数的导数再求导”. 作为体现数学应用思想的方法，并没有超出高中课程的要求. 二阶导数在用来解决函数、导数结合的综合性题目时往往会达到解题事半功倍的效果，所以二阶导数也是高中生可以且应该掌握的知识.。
高考数学技巧如何利用微分解决最优化问题
高考数学技巧如何利用微分解决最优化问题高考数学中，最优化问题是一个重要的考点。
解决最优化问题的一种常用方法是利用微分，通过微分求极值点，进而求得最优解。
本文将介绍如何运用微分技巧解决最优化问题。
1. 寻找极值点在解决最优化问题时，首先需要找到目标函数的极值点。
对于一元函数，我们可以通过求导来找到函数的极值点。
假设有一个函数f(x)，我们先求函数的一阶导数f'(x)。
将f'(x)=0的解所对应的x值称为临界点，再比较临界点和区间端点的函数值，从中找出使f(x)取得极值的点。
2. 检验极值在找到极值点后，需要进行极值的检验。
检验的目的是确认找到的极值点确实是函数的极值点。
我们可以利用二阶导数来进行检验。
首先求解函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数的表达式中。
如果f''(x)>0，则说明该点为极小值点；如果f''(x)<0，则说明该点为极大值点。
如果二阶导数等于0，则说明该点处可能存在拐点。
3. 求解最优解经过前两个步骤，我们已经确定了函数的极值点。
利用找到的极值点，我们可以求解最优解。
最优解取决于最大值或最小值，我们只需要将极值点代入目标函数中，即可得到最优解。
同时，需要注意在一个区间中可能存在多个极值点，需要对每个极值点进行比较，才能找到最优解。
4. 题目拓展：约束条件下的最优化问题除了无约束的最优化问题外，高考数学还常考寻找约束条件下的最优解。
对于这类问题，我们可以通过拉格朗日乘数法来解决。
假设有一个函数f(x,y,z)，同时存在约束条件g(x,y,z)=0。
首先，我们将约束条件g(x,y,z)代入函数f(x,y,z)得到一个新的函数h(x,y,z)。
然后，通过求解新函数h(x,y,z)的极值点，便能得到约束条件下的最优解。
综上所述，微分技巧是解决最优化问题的一种重要方法。
通过寻找极值点、检验极值、求解最优解等步骤，可以有效地解决高考数学中的最优化问题。
第10讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 (精讲+精练)(学生版)
第10讲拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：利用二阶导数求函数的极值高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性高频考点三：利用二阶导数求参数的范围高频考点四：利用二阶导数证明不等式第四部分：高考真题感悟第五部分：第10讲拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题（精练）1、函数极值的第二判定定理：若()f x 在0x x =附近有连续的导函数()f x ''，且0()0f x '=，0()0f x ''≠ （1）若0()0,f x ''<则()f x 在点0x 处取极大值； （2）若0()0,f x ''>则()f x 在点0x 处取极小值2、二次求导使用背景（1）求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负；（2）对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出. （3）一阶导函数中往往含有x e 或ln x3、解题步骤：设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数()()312cos 12f x x x a x =-++，对于任意的1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12x x <都有()()21120x f x x f x ->成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞-B ．(),3-∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-2．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设150a =，()ln 1sin0.02b =+，5121n 50c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<3．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________. 4．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））设函数()f x 在区间I 上有定义，若对I 上的任意两个数1x ，2x 和任意的()0,1λ∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称()f x 为I 上的凹函数，若等号不成立，即“<”号成立，则称()f x 在I 上为严格的凹函数，对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在(),a b 上的函数()f x ，其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若(),x a b ∀∈，()0f x ''>，那么函数()f x 是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导），试根据以上信息解决如下问题：若函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.高频考点一：利用二阶导数求函数的极值1．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()e 1xf x x =+，()()1lng x x x =+，则（ ）A ．函数()f x 在R 上无极值点B ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点C ．若对任意0x >，不等式()()2ln f ax f x >恒成立，则实数a 的最大值为2eD ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1tx x +的最大值为1e2．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()1ln x f x x+=. (1)若函数()f x 在区间2,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)如果当1≥x 时，不等式()1mf x x ≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 3．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数321()e () 1.2xf xg x ax x x ==+++，(1)若0a =，证明：当0x >时，)()f x g x >，当0x <时，()()f x g x <； (2)记函数()()()h x f x g x =-，若0x =是()h x 的极小值点，求实数a 的值．4．（2022·新疆·模拟预测（理））设函数()1e ln 1xa f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数()3ln a a x f x x x x=--，且()0f x ≤. (1)求实数a 的值；(2)求证：()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()120e e f x ---<<-；(3)设()()2a F x xf x a x =+-，()21sin 2G x x x b x =++.对[)0,x π∀∈，()()1F x G x +≤恒成立，求实数b 的取值范围.（参考结论：0x →，()21ln 122sin x x x x---+→-）6．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()e cos x f x x x =-- (1)讨论函数()f x 在（π-，2π）上极值点的个数； (2)当[]0,x π∈时，()()23sin ln 1f x x m x ≥-+'.其中()'f x 为()f x 的导函数，求实数m 的取值范围.7．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()()()212xaf x x x x a =-+-∈R e ． (1)若1x =-为()f x 的取值范围；(2)若()f x 有唯一的极值11e--，证明：1x ∀≥-，()1sin f x x +≥．高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性1．（多选）（2022·辽宁丹东·一模）设()0,1,0,1,a a b b f x >≠>'≠为函数()x xf x a b =+的导函数，已知()f x 为偶函数，则（ ） A ．()1f 的最小值为2 B ．()f x '为奇函数C ．()f x '在R 内为增函数D ．()f x 在()0,∞+内为增函数2．（2022·江苏·金陵中学高二期末）函数()cos e x f x x ＝．(1)求()f x 在(),ππ-上的单调区间；(2)当0x ≥时，不等式()()22e e 2'-≤x xf x ax 恒成立，求实数a 的取值范围．3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数()()2e 1=-+xf x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21ea ≥时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥．4．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若121322x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由.5．（2022·北京朝阳·一模）已知()e x f x x a =-，a R ∈.(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴重合，求a 的值； (2)若函数()f x 在区间()1,+∞上存在极值，求a 的取值范围；(3)设()()2g x f x =-，在（2）的条件下，试判断函数()g x 在区间()1,+∞上的单调性，并说明理由.6．（2022·全国·模拟预测（文））已知()()24e 34,x f x x cx x R c R =---∈∈.(1)当3c =时，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)设()32e 6xf x x x x ≤+-在[)0,+∞上恒成立，求实数c 的取值范围.高频考点三：利用二阶导数求参数的范围1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()3sin 3m f x x x x =-+，若对任意的[)()00x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数m 的取值范围．2．（2022·江苏·已知函数 ()ln f x ax x x =+ 的图象在点 e x = ( e 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 3． (1)求实数 a 的值;(2)若 k Z ∈， 且存在 1x > 使 ()()1k x f x -> 成立， 求 k 的最小值．3．（2022·天津市宁河区芦台第一中学高二阶段练习）已知函数2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-. (1)求函数()f x 的极值；(2)令112212()()(),(,()),(,())()h x g x f x A x h x B x h x x x =-≠是函数()h x 图像上任意两点，且满足1212()()1h x h x x x ->-，求实数a 的取值范围；(3)若(0,1]x ∃∈，使()()a g x f x x-≥成立，求实数a 的最大值.4．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--. (1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值.高频考点四：利用二阶导数证明不等式1．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数2()cos sin e f x x x x -=--，[]0,x π∈． (1)求()f x 的最大值；(2)证明：2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+-；(3)若320()2e f x ax -++≥恒成立，求实数a 的取值范围.2．（2022·山东·聊城民慧实验高级中学高二阶段练习）已知函数()2e 2x xf x a a x =---(1)若x ≥0时，()f x ≥0，求实数a 的取值范围． (2)当02x π<<时，求证：()4e cos 14xx x x ->-．3．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（文））已知函数()()2l 11n (2)1f x a x x ax a =+--+∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0a =时，求证：21()(e 1).2≤--x f x x x4．（2022·江西上饶·一模（理））已知函数()()ln 1f x x x a =+-，()e cos 1xg x x =+-，其中e 2.718=…为自然对数的底数.(1)当1a =时，若过点(),m m 与函数()f x 相切的直线有两条，求m 的取值范围；(2)若()0,x ∞∈+，01a ≤≤，证明：()()f x g x <.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ln x f x ae x a -=-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为312y x =-，求a 的值； (2)若a e ≥，证明：()2f x ≥.1．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.2．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1． （1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．一、填空题1．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数()222ln f x ax x x =--，a R ∈有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_______.2．（2022·全国·模拟预测）已知函数()1ln g x x x k x=+-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为___________. 3．（2022·福建厦门·高三阶段练习）若函数()ln f x x =和()()2R g x x ax a =+∈的图象有且仅有一个公共点P ，则g (x )在P 处的切线方程是_________.4．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知关于x 的方程233()ln 3ln x t x t t +=有三个实数根，则t 的取值范围是______5．（2022·湖北·安陆第一高中高二期中）已知函数()ln f x x x =+．()f x '为函数()f x 的导函数，若()()ln 11kf x x '>++对任意0x >恒成立，则整数k 的最大值为________． 二、解答题6．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线yg x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．7．（2022·安徽省桐城中学高三阶段练习（理））已知函数2()e x f x -=，函数ln ()(,)a x bg x a b x+=∈R 在e x =处取得最大值.(1)求a 的取值范围；(2)当02a <≤时，求证：()()f x g x >.8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数2()e 1x f x ax x =---． (1)当1a =-时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，321()22f x x ax ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．9．（2022·四川达州·二模（理））已知：()e x f x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围10．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数()()e 2axf x x =-.(1)若1a =，()f x 的一个零点为()000x x ≠，求曲线()y f x =在0x x =处的切线方程； (2)若当0x >时，不等式()132ln f x a x x x x ⎡⎤⎛⎫+≥+⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.。
28.二阶导数意义与函数性质.doc
中国高考数学母题］(第338号)二阶导数意义与函数性质随着高等数学知识在初等数学中的下放，在高考中，出现了越来越多具有高等数学背景的试题，其中，以二阶导数的三种意义为背景的高考试题就是典型的例证.［母题结构］：(1)(极值判断)设f(x)在X。
处二阶可导，且f (Xo)=O, r(Xo) MO,①若r(Xo)<O,则x°是f (x)的极大值点;②若r(xo)>o,则&是f(x)的极小值点;(H)(凹凸定理)若f(x)在(d,b)内二阶可导，①f(x)在(d,b)内的图像是凹曲线。
当xW(d,b)时，r (x) ^0恒成立;② f (x)在(a, b)内的图像是凸曲线。
当xe (a, b)时，广(x) <0恒成立；(in)(拐点定理)曲线凸部和凹部的分界点叫做拐点,f(x)的拐点xo, 一定是使r(xo)-o的点，①若尸(x0)=o,旦r怎)丈0,则X。
是曲线的拐点;②(Xo)=o,且广(Xo)=o,则点X。
不是曲线的拐点.［母题解•析］:(I )①由r(Xo) <0 => f(X)在X=Xo的左右附近单调递减，又f (Xo)=O=>X在X二X。
的左侧时,f(X)>O, X在x=x°的右侧时，广(X)<0 => Xo是f(x)的极大值点;②同理可证；(11)(111)略.1 .极值判断子题类型I ：(2012年安徼高考试题)设函数f(x)二f+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x,,}.(I )求数列{xj ; (n)1S{xn)的前n项和为&,求sinSn.[解析]:(1 )由f (x) = ： +sinx => f (x) = ； +cosx n f (x)=-sinx,令f (x)=0n cosx=-； n x=2n n ±—;又因f (2n2 2 2 3z专)二一#<0顼(2用-号)二g>0nx=2"-亨是f(x)的极小值点= 号SWN)；(1【)由"2n「学fl)厂手，注意到:n(n+l)为偶数nsiEin［n(n+l) 半］f n半;①当n*(k^N )时，sinS…=-—;②当n=3kT (k〉N.)时,sinS n=—;③当n=3k-2(k「N+)时,sinS n=O. 2 -2［点评］:利用二阶导数的符号判断函数极值点的类型，即极值点是极大值点，还是极小值点？可以避免列表的麻烦，十分快捷方便.［同类试题］:1. (2008年湖北高考试题)已知函数f(x)=xW-m2x+l(m为常数，且m>0)有极大值9.(I )求m的值；(II)若斜率为-5的直线是曲线y=f(x)的切线，求此直线方程.2. 凹凸定理子题类型II : (1994年全国高考理科试题)己知函数f(x)=tanx, xG (0,三)，若x… x2S (0, ♦),且证明：2 2i［f(x.)+f(x2)］>f(^±^-).2 2［解析］：先证明如下命题:若f(x)在区间(0,号)上连续可导，旦广(X)在区间(0, 5)上单调递增，则当x.,x2e(0,日)，且4M tagx*x・2时，;[f(x)+f (xj]>f (土担)；不妨设0<x.<X2,则由f (x)在区间(0, 9)上单调递增 n f (x)>/ (土三);令g(x) = i［f (x) +f (xj ］-f (壬互)，则g，(x)=广(X)一尸(冷)］>° = g(X)在区间(0, xJ 上单调递增 n g (x) >g S) =0 L £££当 xe (0,乙)时,由 f (x)=tanx=> f (x) =———=>2 cos 2.r ng(x)>0n i [f(x,)+f(x 2)]>f(^-);,〃(x)二竺S>0n r (x)在区间(0,生)上单调递增n L[f(xJ + cosr 2 2f(X2)］>f (峥).一［点评］:①若f (x)在区间D 上是凸函数，则对任意的x b X2,…,x…ED,都有f (P1X1+P2X2+•••+p n x rt ) Npif (xD+p 疔(X2)+・・・+ Pnf (Xn)(其中 P ，>0, Pl+P2+---+Pn=1)；②若 f (x)在区间 D 上是凹函数，则对任意的 Xi, X2,…，Xn^D,都有 f (p 1X l+p 2X 2+—+p n Xn) Plf (Xl) +p 2f (X 2) + —+p n f (Xn)(其中 Pi>0, P1+P2+ —+Pn=1 ),当旦仅当 X1 = X 2= —= Xn 时，等号成立.［同类试题］:2. (2005 年全国 I 高考试题)(1 )设函数 f (x)=xlog2x+(l-x) log-2(1-x) (0<x<l),求 f(x)的最小值；(II)设正数 Pl, P2, P3,…，P2"满足 Pl+P2+P3+・・・+P2, =1，证明:p I 1 OgaP l +P21 Og ?P2+P31()g2P<+- * * +p 2» lOgzP?" Nf.3. 拐点定理子题类型III : (2012年福建高考试题)己知函数f (x)二e'+ax'-ex, a ER.(I) 若曲线y=f(x)在点(l,f(D)处的切线平行于x 轴,求函数f(x)的单调区间;(1【)试确定a 的取值范围，使得曲线y=f(x)±.存在雎一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.［解析］：(I )由 f (x) =e'+ax 2-ex => f (x)二e'+2ax-e;由广(l)=0=> a=0=> f (x) =e r -e => f (x)的单调递增区间为(l,+8), 单调递减区间为(-8,1)；(II) 由广(x) =e'+2ax-e => f" (x)=e x +2a 存在零点n a<0,证明如下:①当aHO 时，广(x) =e x +2ax-e 单调递增，设曲线在任 意一点P(xo,f(xo))处的切线为y 二kx+b,则f(x)Nkx+b,当且仅当x=X 。
二阶导数在解高考函数题中的应用
浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。
这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。
解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。
若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围；（2） 证明：0)()1(≥-x f x .原解答如下:解（1）函数的定义域为（0，+∞），xx x f 1ln )('+= ， 11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ，max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ .令,11)('ln )(-=-=xx g x x x g 则 递减，时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><< 从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ，故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则① 10<<x 时，0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ；② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥xx x x x x x x x f x 时，. 综上可知，不等式成立.对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。
(完整word版)例谈二阶导数在高考题中的应用_4
例谈二阶导数在高考题中的应用福州高级中学 高岚龙随着高等数学的知识在初等数学中的下放，在全国各地历年的高考题中，出现了越来越多具有高等数学背景的考题。
尽管高考题的解法主要是基于高中所学的内容，但是，微积分中所蕴涵的数学思想和经典的数学处理方法，有助于我们对高考命题的认识和把握。
作为一名中学数学老师，应该强化用微积分的观点去认识高中数学的意识，才能对高考命题有深刻、全面的理解。
本文以几个例子说明二阶导数在高考题中的应用。
一．二阶导数与凸性定义1. 设()f x 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点1x 与2x ，恒有 1212()()()22x x f x f x f ++<，那么称()f x 在 I 上的图形是凹的； 如果恒有 1212()()()22x x f x f x f ++>，那么称()f x 在 I 上的图形是凸的； 定理1 设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么：（1）若在(,)a b 内()f x '单调增加，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若在(,)a b 内()f x '单调减少，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的；定理 2设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，那么：（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。
例1（2008年全国一，2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ）分析：我们知道，把汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，则其一阶导数是速度，而二阶导数则是加速度。
例谈二阶导数在高中数学中的应用
例谈二阶导数在高中数学中的应用作者：王耀民来源：《新校园·中旬刊》2014年第07期摘要：导数是高中数学与高等数学的一个衔接点，也是高中学生进入高校进一步学习数学的起点。
导数的应用已经是高考试卷中的必选内容，而在课本中从未提及的二阶导数的使用正在悄悄上演，什么是有二阶导数相关背景的问题？如何破解？本文拟对此加以分析。
关键词：高中数学；二阶导数；例题分析导数在高中教材中所占篇幅并不大，但在高考中占分比却达到了10%左右。
主要涉及两方面的问题：1.导数的运算：以导数为工具求曲线的切线斜率或切线方程，以微积分基本定理为工具计算曲边梯形面积，是高考的重点；2.导数的应用：主要是利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及与导数有关的恒成立问题，与不等式、方程、数列等结合的综合问题等。
近年来，无论是采用全国卷的地区还是自主命题地区，导数几乎都在压轴题位置，足见其重要性。
导数的一般应用即一阶导数的应用在教学环节自然少不了，二阶导数的使用也渐渐登上舞台，本文以几个实例谈谈二阶导数在高中数学中的应用。
一、利用二阶导数解决三次函数的对称中心相关问题例1：【2012·自贡三模改编】对于三次函数f（x）=ax3+ bx2+cx+d（a≠0），定义y=f'（x）是y=f（x）的导函数，f''（x）是y=f'（x）的导函数，若方程f"（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”。
有的同学发现”任何三次函数都有“拐点”；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是“拐点”。
请你根据这一发现判断下列命题：（1）任意三次函数都关于点（-■，f（-■））对称；（2）存在三次函数，f"（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心；（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；（4）若函数g（x）=x3-3x2，则g（■）+g（■）+g（■）+…+g（■）=-8054.其中正确命题的序号为。
一阶、二阶导数在含参数的函数问题中的应用
一阶、二阶导数在含参数的函数问题中的应用
作者：马群长
来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第03期
【摘要】针对2018年高考数学试卷中出现的极值问题，利用数学分析中极值的相关定理，一阶、二阶导数这两种数学思想进行求解，最终可得到一致的答案。
【关键词】高考数学；极值问题；导数
纵观近几年的高考真题，极值问题是必考的一个知识点。
如已知某一点是函数的极大（极小）值点，求参数的取值或者参数的取值范围等。
通常情况下，学生会通过利用函数来求解极值点，再由极值点求参数值。
对于高中生来说这是一个难点问题。
为了帮助学生解决这一难点，本文将从函数的一阶导数和二阶导数出发，浅谈函数极值问题的求解。
【参考文献】
[1]欧阳广中.数学分析[M].北京：高等教育出版，2007.
[2]课程教材研究中心.高中数学人教A版选修2-3[D].北京：人民教育出版社，2009.
[3]楊玲.关于基础数学中极值问题的几点思考[J].保山学院学报，2013，32（02）：69-72.。
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浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用
河南省郸城县第三高中 胡友全 （邮编：477150）
在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。
这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。
解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。
若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题） 已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .
（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围； （2） 证明：0)()1(≥-x f x . 原解答如下:
解（1）函数的定义域为（0，+∞），x
x x f 1ln )('+
= ，
11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ， max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ . 令,11)('ln )(-=
-=x x g x x x g 则
递减，
时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><<
从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ， 故所求a 的范围是[-1,+∞﹚. 证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则
① 10<<x 时，0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ； ② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥x
x x x x x x x x f x 时，.
综上可知，不等式成立.
对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形
能力要求较高。
我们可以运用二阶导数的方法加以证明：
证法二:令0)F ,0F ),()1()(min ≥≥-=x x x f x x F （只需证）（要证明. 因)(')1()(F'x f x x f x -+=）（
)1)(ln 1(1ln )1(x x x x x x +-++-+=
2)1(ln 2++
-=x
x x x ，
显然当1=x 时，0)('=x F ， 当10<<x 时，0)(',0ln ,21<<>+
x F x x
x ，
)(x F 在（0,1﹚递减；
当1>x 时，0ln ,21>>+
x x
x ，
)('x F 的符号仍不能判定，求二阶导数得 011ln 2)]'('[2
>+
+=x
x x F ，
从而)('x F 在1>x 时递增，
0)1(')('=>F x F ，)(x F 在[ 1,+∞﹚递增，
所以当1=x 时，0)1()(min ==F x F ， 故0)(≥x F 成立，原不等式成立.
例题2（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题）
设函数()1x
f x e
-=-．
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1
x f x x ≥+；
（Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x f x ax ≤
+，求a 的取值范围．
（原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.
（Ⅱ）解法二：由题设1
)(,0+≤
≥ax x x f x ，
若0<a ，则当不恒成立时，1
)(,011+≤
<+-
>ax x x f ax a
x ；
若0)1)(1(1
(,01,0≤--+⇔+≤>+≥-x e ax ax x x f ax a x
）则.
令0)0(,)1)(1()(=--+=-g x e ax x g x 则，
0)(',1)1()('=-+-+=-x g a a ax e
x g x
， )12()]'('[ax a e
x g x
--=-,
∵0≥x ,
”），
时取“仅当从而时，当==
=≤≤-≤
≤∴2
1,0(0)]'('[,
0122
10a x x g a a
∴0)0(')('),0[)('=≤+∞g x g x g 内递减，在， ∴,0)0()(),0[)(=≤+∞g x g x g 内递减，在 即原不等式成立. 当,120]'('[,0122
1a
a x x g a a -=
=>->
得）令时，
从而当,0)]'('[120>-<
<x g a
a x 时，
此时0)0(')(')1
2,
0()('=>-g x g a a x g 内递增，在，
∴不恒成立内递增，在1
)(,0)0()()12,0()(+≤=>-ax x
x f g x g a a x g .
综上可知，2
10≤
≤a .
由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。
建议高三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。
针对训练：
1、（2010年新课标全国卷第（21）题）： 设函数2
()1x
f x e x ax =---。
（1）若0a =，求()f x 的单调区间；
（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2、（2008年湖南高考题改编）： 已知函数x
x
x x f +-+=1)1(ln )(2
2
，求函数)(x f 的单调区间。
参考答案： 1、解：（1）略.
（2）a e x f ax e x f x x 2)]'('[,21)('-=--=. ①当,1,122
1≥≥≤≤
x
e
x a a 得由时，
从而递增，在),0[)(',0)]'('[+∞≥x f x f
∴0)0(')('=≥f x f ，0)0()(),0[)(=≥+∞f x f x f 递增，在 ②时，当时，当a x a a 2ln 0,122
1<≤>>
,0)]'('[,2<<x f a e x
∴内递减，在区间)2ln ,0()('a x f ∴,0)0(')('=<f x f
∴0)0()()2ln ,0()(=<f x f a x f 内递减，在区间,不合题意.
综上可知2
1≤
a a 的范围是
2、解：()x f 的定义域是),1(+∞-.
（1）2
2
)
1(21
)1ln(2)('x x x x x x f ++-++=
2
2
)
1(2)1l n ()1(2x x
x x x +--++=
.
设x x x x x g 2)1ln()1(2)(2
--++= 则x x x g 2)1ln(2)('-+=.
x
x x g +-=
12)]'('[.
当）上是增函数；在（时，
,01)(',0)]'('[01-><<-x g x g x
当0>x 时，.0)(',0)]'('[）上为减函数，在（∞+<x g x g
所以),0(0)(',0)0('0)('≠<==x x g g x x g 所以处有最大值，而在
函数在)(x g ),1(+∞-上是减函数.
当;)(,0)(',0)0()(01递增时，x f x f g x g x >=><<- 当递减时，)(,0)(',0)0()(0x f x f g x g x <=<>.
所以，函数)(x f 的单调递增区间是)0,1(-，递减区间是),0(+∞.。