导数在研究函数中的应用 2
导数在研究函数中的
求函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，通过求 导并令导数等于0，可以找到函数的极 值点。
详细描述
导数等于0的点可能是函数的极值点 ，但需要进一步判断该点两侧的导数 符号来确定是极大值还是极小值。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - x$，其导数 $f'(x) = 3x^2 - 1$，令$f'(x) = 0$得 $x = pmfrac{sqrt{3}}{3}$，进一步分 析导数符号可知，当$x < frac{sqrt{3}}{3}$或$x > frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) > 0$；当 $- frac{sqrt{3}}{3} < x < frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) < 0$。因 此，$x = -frac{sqrt{3}}{3}$为极大值 点，$x = frac{sqrt{3}}{3}$为极小值点。
求函数的拐点
总结词
导数可以用于求函数的拐点，即函数图像的凹凸性改变的 点。
详细描述
通过求二阶导数并分析其正负，可以找到函数的拐点。二 阶导数等于0的点可能是拐点的位置。
示例
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令$f''(x) = 0$得 $x = 0$。进一步分析二阶导数的符号可知，当$x < 0$时，$f''(x) < 0$；
边际需求与边际供给
导数还可以用于分析市场的供需关系，通过求导数得到边际需求或边际供给的变化情况，帮助我们理 解市场价格的变动趋势。
04
导数在高等数学中的进一步 应用
导数在研究函数中的应用PPT课件
是减函数，求a的取值范围.
例4（09年宁夏/海南卷）已知函数 3 2 x f ( x) ( x 3x ax b)e . （1）若a＝b＝－3，求f(x)的单调区间 （2）若f(x)在(－∞，α )，(2，β )内 单调递增，在(α ，2)，(β ，＋∞)单调 递减，证明：β －α ＞6. 【解题要点】 求导后要指出定义域→由导数大于0得递 增开区间，定义域内其余区间为递减区 间→单调递增条件转化为导数非负.
考点2 导数在函数极值问题中的应用 3 x 2 例5 求函数 f ( x) 的极值 . 2 ( x 1) 例6 已知函数 f ( x) ( x ax a)e 有极小值0，求实数a的值.
2 x
例7（09年湖南卷文）已知函数 3 2 f ( x) x bx cx 的导函数的图象关于 直线x＝2对称，且函数f(x)在x＝t处取 得极小值g(t)，求函数g(t)的定义域和 值域.
10.2
导数在研究函数中的应用
知识梳理
1 5730 p 2
t
1.导数与函数的单调性： f ′(x)≥0 Ûf(x)单调递增； f ′(x)≤0 Û f(x)单调递减， 其中f ′(x)不恒等于0.
2.函数极值的概念： 函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近 的所有的点，都有 （1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极小值； （2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极大值.
例8（09年全国卷）已知函数 2 x 1和x 2， f x x aIn 1 有两个极值点 x 且x 1＜x 2. （1）求实数a的取值范围；
1 2 In2 （2）证明 f x2 . 4
【解题要点】 由导函数的变号零点确定极值点→结合 图象确定极值类型.
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用学习目标：1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）重难点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。
函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。
在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。
高中数学选择性必修二 专题5 3 导数在研究函数中的应用(A卷基础篇)(含答案)
专题5. 3导数在研究函数中的应用（2）（A 卷基础篇）（新教材人教A 版,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）设()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，且在(,)a b 内可导，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的极值点一定是最值点B ．()f x 的最值点一定是极值点C ．()f x 在区间[,]a b 上可能没有极值点D ．()f x 在区间[,]a b 上可能没有最值点【答案】C【解析】根据函数的极值与最值的概念知，()f x 的极值点不一定是最值点，()f x 的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A ，B ，D 都不正确，若函数()f x 在区间[,]a b 上单调，则函数()f x 在区间[,]a b 上没有极值点，所以C 正确．故选：C.2．（2020·全国高二单元测试）如图是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f '（x ）的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在（﹣3，1）内f （x ）是增函数B ．在x ＝1时，f （x ）取得极大值C ．在（4，5）内f （x ）是增函数D ．在x ＝2时，f （x ）取得极小值【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，在（﹣3，32-）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，A 错误； 对于B ，在（32-，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，x ＝1不是f （x ）的极大值点，B 错误； 对于C ，在（4，5）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，C 正确； 对于D ，在（32-，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，在（2，4）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，则在x ＝2时f （x ）取得极大值，D 错误；故选：C ．3．（2020·横峰中学高三月考（文））已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（ ） A ．1B ．2C ．12D ．-2【答案】C【解析】 ()'1f x a x=-，依题意()'20f =，即110,22a a -==. 此时()()'112022x f x x x x -=-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意. 所以12a =. 故选：C4．（2020·霍邱县第二中学高二月考（文））已知函数()31f x ax bx =++的图象在点()1,1a b ++处的切线斜率为6，且函数()f x 在2x =处取得极值，则a b +=（ ）A ．263-B ．7C ．223D ．263【答案】C【解析】由题可知：()'23f x ax b =+，则36,120,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得23a =-，8b =. 经检验，当23a =-，8b =时，()f x 在2x =处取得极大值，所以223a b +=. 故选：C 5．（2020·北京高二期末）已知函数31()43f x x x =-，则()f x ）的极大值点为（ ） A ．4x =-B ．4x =C ．2x =-D ．2x = 【答案】C【解析】 由31()43f x x x =-， 得：()24f x x '=-.由()240f x x '=->，得：2x <-，或2x >. 由()240f x x '=-<，得：22x -<<. 所以函数()f x 的增区间为()(),2,2,-∞-+∞.函数()f x 的减区间为()2,2-.所以，2x =-是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点.故选：C.6．（2020·河南信阳市·高二期末（文））设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （ ） A ．有且仅有一个极小值B ．有且仅有一个极大值C ．有无数个极值D ．没有极值【答案】A【解析】 ()sin f x x x '=-，()1cos 0f x x ''=-≥，∴()f x '单调递增且()00f '=，∴当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故()f x 有唯一的极小值点.故选：A.7．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二月考（理））函数()33f x x ax a =--在()0,1内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．01a ≤<B ．01a <<C ．11a -<<D ．102a << 【答案】B【解析】 ∵函数f （x ）=x 3﹣3ax ﹣a 在（0，1）内有最小值，∴f′（x ）=3x 2﹣3a=3（x 2﹣a ），①若a ≤0，可得f′（x ）≥0，f （x ）在（0，1）上单调递增，f （x ）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a ＞0，f′（x ）=0解得x=当x f （x ）为增函数，0＜x f （x ）在 所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．综上所述，a 的取值范围为（0，1）故答案为B8．（2020·佳木斯市第二中学高二期末（文））若函数()321233f x x x =+-在区间(),3a a +内既存在最大值也存在最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．()3,2--B ．()3,1--C ．()2,1--D ．()2,0-【答案】A【解析】由()22(2)0f x x x x x '=+=+=得2x =-或0x =， 可以判断()f x 在0x =处取得极小值()203f =-，在2x =-处取得极大值()223f -=. 令()23f x =-，得3x =-或0x =，令()23f x =，得2x =-或1x =， 由题意知函数()f x 在开区间(),3a a +内的最大、最小值只能在2x =-和0x =处取得，结合函数()f x 的图象可得：03132a a <+≤⎧⎨-≤<-⎩，解得32a -<<-， 故a 的取值范围是()3,2--.故选：A 9．（2020·全国高三专题练习（文））函数()sin xf x ae x =-在0x =处有极值,则a 的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】C【解析】 由题意得：()cos x f x ae x '=-()f x 在0x =处有极值 ()0cos010f a a '∴=-=-=，解得：1a =经检验满足题意，本题正确选项：C10．（2020·湖北宜昌市·高二期末）若1x =是函数3221()(1)(33)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ）A ．-3B ．2C ．-2或3D ．–3或2【答案】D【解析】由题意，知：22()2(1)(33)f x x a x a a '=++-+-且()01f '=，∴260+-=a a ，解得：3a =-或2a =.当3a =-时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--，即在1x =的左侧(0)30f '=>，右侧(2)10f '=-<，所以1x =是极值点，而非拐点；当2a =时，2()67(1)(7)f x x x x x '=+-=-+，即在1x =的左侧(0)70f '=-<，右侧(2)90f '=>，所以1x =是极值点，而非拐点；故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·四川成都市·高三开学考试（文））已知函数()sin 2f x x x =-，则()f x 在[,]22ππ-上的最小值是_______________.【答案】1-π【解析】在[,]22ππ-上，有()cos 20f x x '=-<，知：()f x 单调递减， ∴min ()()sin 21222f x f ππππ==-⨯=-，故答案为：1-π.12．（2020·昆明呈贡新区中学（云南大学附属中学呈贡校区）高三月考（理））若x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，则a ＝________. 【答案】14 【解析】因为3()3f x ax x =-，所以2()33f x ax '=-，因为x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，所以(2)1230f a '=-=，故14a =， 经验证当14a =时，2x =是()f x 的一个极值点. 所以14a =. 故答案为：1413．（2019·浙江高三专题练习）若函数321()3f x x x =-在[1,1]-，则函数的最小值是 _______ ；最大值是_________. 【答案】43-0 【解析】由题得2()=2f x x x '-，令2()=2=0f x x x '-得x=2（舍去）或0， 因为42(1),(0)0,f(1)33f f -=-==-， 所以函数的最小值是43-，最大值为0. 故答案为4;0.3- 14．（2020·东台创新高级中学高二月考）已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______． 【答案】1e -【解析】因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1x e >；由()0f x '<得10x e<<； 所以函数()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()y f x =的极小值为1111ln f e e e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故答案为：1e-. 15．（2019·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学高二月考（文））函数()327f x x x =-的极值是：________和________.【答案】-54 54【解析】由函数()327f x x x =-有()()()2327=333f x x x x '=--+ 令()0f x '>解得3x >或3x <-.令()0f x '<解得33x -<<所以函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，在()3,3-上单调递减，在()3+∞，上单调递增. 所以当3x =-时，函数()f x 有极大值()()()33327354f -=--⨯-=， 当3x =时，函数()f x 有极小值()33327354f =-⨯=-. 故答案为：54-， 54.16．（2019·浙江绍兴市·高二期末）函数()2()1xf x x x e =--（其中2.718e =…是自然对数的底数）的极值点是________；极大值=________.【答案】1或－225e【解析】由已知得 ()()'22()1212( 2) (1)x x x f x x x x e x x e x x e =--+-=+-=+-，e 0x >，令'()0f x =，可得2x =-或1x =，当2x <-时'()0f x >，即函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增； 当21x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 在区间(1,0)-上单调递减；当1x >时，'()0f x >，即函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．故()f x 的极值点为2-或1，且极大值为25(2)f e -=． 故答案为(1). 1或－2 (2). 25e ． 17．（2020·全国高三专题练习）设()f x '是奇函数()f x 的导函数，()23f -=-，且对任意x ∈R 都有()2f x '<，则()2f =_________，使得()e 2e 1x x f <-成立的x 的取值范围是_________．【答案】3 ()ln 2,+∞【解析】∵()f x 是奇函数，∴()()223f f =--=，设()()2g x f x x =-，则()()22g f =-41=-，()()20g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，由()e 2e 1x x f <-得()e e 21x x f -<-，即()()2e x g g <，∴e 2x >，得ln 2x >，故答案为：3；()ln 2,+∞．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·全国高三（文））已知函数3()31f x x x =-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).【答案】（1）增区间为()(),1,1,-∞-+∞，减区间为()1,1-；（2）极大值为3，极小值为1-.【解析】（1）3()31f x x x =-+，/2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=-+，设'()0f x =可得1x =或1x =-.①当/()0f x >时，1x >或1x <-；②当/()0f x <时，11x -<<，所以()f x 的单调增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调减区间为：()1,1-.（2）由（1）可得，当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -=当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-.19.（2020·海南省直辖县级行政单位·临高二中高二月考）若()32133f x x x x =+-，R x ∈，求： （1）()f x 的单调增区间；（2）()f x 在[]0,2上的最小值和最大值.【答案】(1) 增区间为()()3,1-∞-+∞，，;(2) ()max 2,3f x = ()min 53f x =-. 【解析】（1）()/223f x x x =+-，由 ()0f x '>解得31x x -或，()f x 的增区间为()()3,1-∞-+∞，，；（2）()2230f x x x =+-='， 3x =-（舍）或1x =， ()15113-33f =+-=, ()00f =, ()32122223233f =⨯+-⨯=， ()max 2,3f x = ()min 53f x =- 20.（2020·北京通州区·高二期末）已知函数3()31f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在[1，2]上的最大值和最小值.【答案】（1）310x y +-= ；（2）最大值f (2)3=，最小值f (1)1=- .【解析】（1）由3()31f x x x =-+得，'2()33f x x =-，所以(0)1f =，'(0)3f =-， 所以曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程13(0)y x -=--即310x y +-=；（2）令'()0f x >可得1x >或1x <-，此时函数单调递增，令'()0f x <可得11x -<<，此时函数单调递减，故函数()f x 在[1，2]上单调递增，所以()f x 的最大值f （2）3=，最小值f （1）1=-.21．（2020·江苏宿迁市·宿豫中学高二月考）已知函数1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, （1）计算函数()f x 的导数()f x '的表达式; （2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）()cos xf x e x '=;（2）211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）因为1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, 所以11()(cos sin )(sin cos )cos 22x x x f x e x x e x x e x '=++-+=. 故函数()f x 的导数()cos x f x e x '=;（2）02x π≤≤, ()cos 0x f x e x '∴=≥,函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数, 所以m n 0i ()(0)11(cos0sin 0)22e f x f +===, 所以22max 11(cos sin ()()222)22f x e f e πππππ+===; 故函数()f x 的值域为211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 22．（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是()f x 的一个极值点．（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若当[1,?3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) ()y f x =的单调递增区间为(,?1)-∞，(2,?+)∞ (2) 01a <<【解析】（Ⅰ）2()22f x x bx '=-+. ∵2x =是的一个极值点，∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32b =. 令()0f x '>，则，解得1x <或2x >.∴函数()y f x =的单调递增区间为(,?1)-∞，(2,?+)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时()0f x '<，(2,3)x ∈时()0f x '>， ∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1,?3]x ∈时，要使22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+， 即22233a a +>+，解得 01a <<.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
导数在研究函数问题中的应用——浅析2012年福建省高考函数试题
定 义 ， 若 对 任 意ｚ ， ｚ ∈ ［ ｎ ， ６ ］ ， 有厂 （ 盟 专 垒 ） ≤ 丢 ［ 厂 （ ｚ ， ） ＋ 厂 （ ） ］ ， 则 称 ， （ ｚ ） 在 ， 上 具 有 性 质 Ｐ ． 设
， ， 一 ， 一３
２ ． 初 中数 学 学 习 中 关 于 方 程 式 的 开 放 性 试 题 的 备 考 策 略
在初 中数学学习过程 中， 对 于考查 函数知识 的 开放
性试 题 ， 通 常采 用 以函数 知识作 为背 景 ， 积 极探 索 函数 方程式 内各个 字母 系数之间 的关 系 ， 找 出满足某 些条 件 的点 的存在性． 例如， 已知二次 函数 —Ａｚ ＋Ｂ ｘ ＋Ｃ（ Ａ ≠Ｏ ） 的图像 （ 如图 ２ ） ， 根据 函数 图像 中抛物 线所显 示 的
厶 厶
二、 应 用 举 例
±
２
、
“
【 例１ １ （ ２ ０ １ ２ ， 福建 ， 理１ ０ ） 函数 ， （ ） 在［ ｎ ， ６ ］ 上有
、
２
推论 ： 若 ， （ ｚ ） 为凹函数 ， 则厂 （ ｚ ） 在定义域 内的任 意
一
点 Ｐ（ ｘ 。 ， ｆ （ ｘ 。 ） ） 处 的切线总在 函数 厂 （ ｚ ） 的下 面（ 切 点
策略
明显 的特点 ， 在初 中数 学教 学 中不仅 有助于 改变学生 生 搬硬套 的传统解题模式 ， 同时还能够 消除学 习过程 中学 生直接 模仿 例题 解题 的不 良习惯． 因此 ， 在 初 中数学 教
学过程 中， 必 须要求 学 生站 在不 同 的角度 去思考 问题 ， 积极找寻多样化 的解题方法 ， 为初 中学 生进行数 学学 习
－
高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件
或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
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导数在研究函数中的应用一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.● 了解函数在某点0x 取得极值的必要条件（导数在极值点两端异号）和充分条件（0()0f x '=）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.● 会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）.重点难点：● 重点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。
● 难点：函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题. 学习策略：● 理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系.● 数形结合，体会函数极值与最值的含义.● 紧紧抓住导函数为0的点，讨论函数的单调区间、极值和最值.二、学习与应用知识点一：函数的单调性（一）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为 函数；（2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为 函数；（3）若恒有0)(='x f ，则()f x 在这一区间上为 函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()f x ' 0；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()f x ' 0．注意：（1）因为导数的几何意义是曲线切线的 ，故当在某区间上()0f x '>，即切线斜率为正时，函数()f x 在这个区间上为增函数；当在某区间上()0f x '<，即切线斜率为负时，函数()f x 在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的 。
（2）若在某区间上有有限个点使'()0f x =，在其余点恒有'()0f x >，则()f x 仍为 函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，()0f x '>⇒()f x 在这个区间上为 函数；()0f x '<⇒()f x 在这个区间上为 函数，但反之不成立。
()f x 在某区间上为增函数⇒在该区间 ；()f x 在某区间上为减函数⇒在该区间 。
在区间(a ,b )内，'()0f x >（或0)(<'x f ）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的 条件！举例： .（3）只有在某区间内恒有 ，这个函数)(x f y =在这个区间上才为常数函数.（4）注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义一般地，设函数()f x 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的一个 值，记作 ；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数()f x 的一个 值，记作 .极大值与极小值统称 .取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是 .注意：（相关内容请参看网校资源ID ：#tbjx11#232287）（二）求函数极值的的基本步骤： 注意：（1）可导函数的极值点一定是导函数为 的点，但导数为0的点不一定是 点.即0()0f x '=是可导函数()f x 在点0x 取得极值的 条件.例如： .（2）可导函数()f x 在点0x 取得极值的充要条件是 。
知识点三：函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则()f x 在],[b a 上 有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数()f x 有最大值与最小值.注意：（1）函数的最值点必在函数的 取得。
（2）函数的极值可以有多个，但最值只有 个。
（二）求函数最值的的基本步骤：（三）最值理论的应用类型一：利用导数解决函数的单调性问题例1．设函数32()33f x x ax bx =-+的图象与直线1210x y +-=相切于点（1，－11）.（1）求a ，b 的值；（2）讨论函数的单调性.解：总结升华： 举一反三：【变式1】求函数32()29123f x x x x =-+-的单调递增区间.【变式2】当0x >时，求证：函数21()ln(1)2f x x x x =--+是单调递减函数.【变式3】在下列所给区间中，使函数cos sin y x x x =-是增函数的区间为（ ）.A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππ D ．(2,3)ππ☆例2．已知a ∈R ，求函数2()ax f x x e =的单调区间.解：总结升华： 举一反三：☆【变式1】设31()3f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间.☆【变式2】已知f (x )=x 2+1, g (x )=x 4+2x 2+2且F (x )=g (x )-λf (x ), 试问：是否存在实数λ，使F (x )在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.例3． （2010辽宁）（已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.解：总结升华：类型二：利用导数解决函数的极值问题例4．求函数32()395f x x x x =--+的极值.解：总结升华： 举一反三：【变式1】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式2】求函数3()261f x x x =-+的极值.例5．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值，求函数()f x 以及()f x 的极大值和极小值.解：总结升华： 举一反三：【变式1】已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，求a ,b 的值.☆【变式2】已知函数3()1f x ax bx =++，当且仅当1,1=-=x x 时，()f x 取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数b a ,的值；（2）求()f x 的极值.☆【变式3】已知函数2221()()1ax a f x x R x -+=∈+，其中a ∈R .（1）当a =1时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）当a ≠0时，求函数()f x 的单调区间与极值.类型三：利用导数解决函数的最值问题例6．求函数21()ln(1)4f x x x =+-在[0，2]上的最大值和最小值.解：总结升华： 举一反三：【变式1】求函数f (x )=3x -x 3在闭区间]3,3[-的最大值和最小值.【变式2】f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．4【变式3】设函数22()log (1)log (1)(01),f x x x x x x =+--<<求)(x f 的最小值;类型四：导数在研究函数中的应用例7．设函数f (x )=ax 3+bx +c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x -6y -7=0垂直，导函数'()f x 的最小值为-12.（1）求a ,b ,c 的值；（2）求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[-1,3]上的最大值和最小值. 解：举一反三：【变式1】已知2(,1)3a ∈，函数323()2f x x ax b =-+在[-1，1]上有最大值1，最小值26-，求常数a ,b 的值.☆【变式2】已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
☆例8．设函数f (x )＝(x ＋1)ln (x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．解：☆举一反三：【变式1】已知函数f (x )=ax 3+x 2+1，若f (x )在（0，1）上是增函数，求实数a 的取值范围.【变式2】已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x（1）若f (x )在x ∈[1，+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若x =3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最小值和最大值.2【变式3】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值3（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x∈〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
11。