一阶微分方程

一阶微分方程第二节 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为F (x ,y ,y ′)＝0或y ′=f (x ,y )，其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．一、 可分离变量的方程 形如xyd d =f (x )g (y ) (10-2-1)或M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数．方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得将21y -作为分母时丢失了两个特解．故所求方程的通解为：arcsin y ＝x +C （C 为任意常数）， 另外还有两个特解y ＝±1．例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝pxx P d d ． 依题意，得pxx P d d ＝-3P 3，于是xx d ＝-3P 2d P ，积分得ln x =-P 3+C 1，即x =Ｃ3P -e (C =1C -e )．由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为x =3P -e ．例3 根据经验知道，某产品的净利润y 与广告支出x 之间有如下关系：xy d d ＝k (N -y ），其中k ，N 都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为y 0，0＜y 0＜N ，求净利润函数y =y (x )，解 分离变量yN y -d =k d x ，两边同时积分得-ln ｜N -y ｜=kx +C 1 (C 1为任意常数)， 因N -y ＞0，所以ln ｜N -y ｜=ln(N -y )，上式经整理得y =N -C e -kx (C =1C -e ＞0）．将x =0，y =y 0代入上式得C =N -y 0，于是所求的利润函数为y =N -(N -y 0)e -kx ．由题设可知xy d d ＞0，这表明y (x )是x 的单调递增函数；另一方面又有)(lim x y x ∞→=N ，即随着广告支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y =N ．因此，参数N 的经济意义是净利润的最大值．二、 齐次微分方程 1． 齐次微分方程 形如xy d d =⎪⎭⎫ ⎝⎛xy f （10-2-3） 的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程．对于方程(10-2-3)，通常可通过变量替换u =x y将方程化为可分离变量的方程来解．具体过程如下：令 u =x y(或y =ux )，其中u 是新的未知函数．对y =ux 两端关于x 求导，得xyd d =u +x xud d ． 代入(10-2-3)得u +x xu d d =f (u )． 分离变量并积分得⎰-uu f u )(d =⎰x x d ，即Φ(u )=ln|x |+C (C 为任意常数)，其中Φ(u )是⎰-u u f u )(d 的一个原函数，再将u =xy代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解Φ(x y)＝ln|x|+C ．上面的推导要求f (u )-u ≠0，如果f (u )-u =0，也就是⎪⎭⎫ ⎝⎛x y f ＝xy．这时，方程(10-2-3)为 x yd d ＝x y ．这已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y =Cx ．例4 求微分方程xy xy d d =x 2+y 2满足条件y |x =e＝2e 的解．解 原方程可化为x y d d = y x +xy，这是一个齐次方程．作代换u =x y，即y =ux ，则xyd d ＝u +x xud d ． 代入前一方程得u +x x u d d =u 1+u 即 x x u d d =u1， 分离变量并积分得u 2=2ln ｜x ｜+2C (C 为任意常数)，将u 替换为x y，便得原方程的通解：y 2=2x 2ln ｜x ｜+2Cx 2，再将初始条件代入通解得4e 2=2e 2·ln e +2C e 2，求得 C =1， 于是，所求的特解为y 2=2x 2(ln ｜x ｜+1）．例 5 设甲、乙两种商品的价格分别为P 1,P 2，且价格P 1相对于P 2的弹性为21d d P P P P 12=1212PP P P +-，求价格P 1与P 2的函数关系．解 将所给方程整理为21d d P P =21212111P P P P P P +-．这是齐次方程．令u =21P P ，即P 1＝uP 2，则21d d PP＝u +P 22d d Pu ，代入上式得 u +P 22d d P u ＝uu+-11·u ． 整理得⎪⎭⎫ ⎝⎛--211u u d u ＝222d P P．两边积分得u1-ln ｜u ｜＝2ln ｜P 2｜＋C 1 （C 1为任意常数）． 将u 替换为21P P ，便得方程的通解(注意到u ＞0,P 22＞０)12P P e＝CP 1P 2（C ＝1C e ， C 为正数)．2． 可化为齐次方程的微分方程形如xy d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222111C y b x a C y b x a f （10-2-4）的微分方程，当C 1＝C 2＝０时，就是一个齐次方程．当C 1,C 2中至少有一个不为零时，尽管本身不是齐次方程，但经过适当的变量替换后，可化为齐次方程．下面分两种情况讨论：(1) 若a 1b 2-a 2b 1≠0,这时方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y b x a C y b x a有惟一解x =α，y =β．作变量替换⎩⎨⎧-=-=,,βαy v x u则222111C y b x a C y b x a ++++＝222111)()()()(C v b u a C v b u a ++++++++βαβα＝vb u a v b u a 22111++． 于是方程(10-2-4)化为u v d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++v b u a v b u a f 22111．这是关于变量u 和v 的齐次方程．求出其通解后再换回原来的变量x 和y ，即得原方程的通解．(2) 若a 1b 2-a 2b 1=0，这时令21a a ＝21b b＝λ，即有a 1=λa 2,b 1=λb 2． 方程(10-2-4)可写为xyd d ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222122)(C y b x a C y b x a f λ．作变量替换t =a 2x +b 2y ,此时x t d d ＝a 2+b 2xyd d ，方程(10-2-4)化为xtd d ＝a 2+b 212()t C f t C λ++．这是关于变量t 和x 的可分离变量的方程．例6 求方程xyd d ＝51+++-x y x y 的解． 解 解方程组⎩⎨⎧=++=+-05,01x y x y得x =-2,y =-3．作变换x =u -2，y =v -3，原方程化为uv d d =uv u v +-． 这是一个齐次方程，按齐次方程的解法可求得它ln(u 2+v 2)+2arctan u v=C ．再将u =x +2，v =y +3代入上式，便得原方程的通解为．ln ［(x +2)2+(y +3)2］+2arctan 23++x y =C ． 三、 一阶线性微分方程 形如y ′＋P (x )y =Q (x ) （10-2-5）的方程叫做一阶线性微分方程．其中P (x )，Q (x )为x 的已知连续函数，Q (x )称为自由项．如果Q (x )≡0，方程(10-2-5)即为y ′+P (x )y =0． （10-2-6）该方程称为一阶齐次线性微分方程．而当Q (x ) ≠0时，方程(10-2-5)称为一阶非齐次线性微分方程．也称(10-2-6)为(10-2-5)所对应的齐次方程．注意这里所说的齐次方程与上段讨论的齐次方程是不同的．下面来讨论一阶非齐次线性方程(10-2-5)先考虑非齐次线性方程(10-2-5)所对应的齐次方程(10-2-6)的通解．显然y=0是它的一个解，当y≠0时分离变量得y d=-P(x)d x．y两边积分得ln｜y｜=⎰-xx(+C1，P d)即y=C⎰-x x P de)(（C=±1C e）．y=0也是方程(10-2-6)的解，这时在上式中取C=0即可．于是得到方程(10-2-6)的通解为y=C⎰-x x P de)((C为任意常数)．(10-2-7)再利用“常数变易法”求非齐次线性方程(10-2-5)的通解．由于方程(10-2-5)与(10-2-6)的左端相同，右端不同，方程(10-2-5)的左端比方程(10-2-6)的左端多了一项Q(x)，因此，我们猜想方程(10-2-5)的通解也具有(10-2-7)的形式，而其中的C不可能还是常数，而是x的某个函数C(x)．于是，可设方程(10-2-5)的解为y=C(x)·⎰-x x P de)(，（10-2-8）其中C(x)是待定函数．将(10-2-8)代入方程(10-2-5)，得[C (x ) ⎰-xx P d e )(]'+P (x )C (x )⎰-xx P d e )(=Q (x )．化简，得C '(x )＝Q (x )⎰xx P d e )(．上式两端同时积分，得C (x )=⎰)(x Q⎰xx P d e )(d x ＋C （C 为任意常数）．将上式代入(10-2-8)式，得非齐次线性方程(10-2-5)的通解 y =⎰-xx P d e)([⎰)(x Q⎰xx P d e )(d x ＋C ] (C 为任意常数)． （10-2-9）这种将任意常数变成待定函数求解的方法，称为常数变易法．将通解(10-2-9)改写为y =C ⎰-xx P d e)(+⎰-xx P d e)(⎰⎰xx Q xx P d )e(d )(．不难看出： 通解由两部分构成，其中第一项是方程(10-2-5)所对应的齐次线性方程(10-2-6)的通解，第二项是方程(10-2-5)本身的一个特解［对应于通解(10-2-9)中C =0的特解］．这并不偶然，这是线性方程解的结构的一个重要性质．例7 求方程xy ′+y =e x (x ＞0)的通解． 解 所给方程可化为y ′+xy=xx e ． （10-2-10）先求得方程(10-2-10)对应的齐次线性方程的通解为y =xC ， 再利用常数变易法，设方程(10-2-10)的解为y =x x C )(，代入方程(10-2-10)得22)()()(xx C x x C x C x +-'＝xxe ，化简，得C '(x )=e x ，积分得C (x )=e x +C ，故得方程(10-2-10)的通解为y =x1 (e x+C )（C 为任意常数）． 这也就是所求方程的通解．以上是按“常数变易法”的思路求解，本题也可直接利用通解公式(10-2-9)求解．但是，必须先将方程化为形如方程(10-2-5)的标准形式．这里，P (x )=x1，Q (x )＝xx e ，代入公式(10-2-9)，得方程的通解为y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰-C x x x x x x xd e e ed d 11＝x1(e x+C )． 例8 求方程y ′＝3y x y +满足初始条件y (0)=1的特解．解 先求出所给方程的通解．这个方程乍一看不像一阶线性方程，但把它改写成yxd d -y1x =y 2， 则是以y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性微分方程．利用通解公式(10-2-9)得 x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰-⎰C y y y yy yd eed 2d 11＝[]⎰+-Cy y yyd ee 2ln ln ＝[]⎰+C y y y d =Cy +21y 3， 将初始条件y (0)=1代入上述通解中，得C ＝21-，故所求 方程的特解为x =21-y +21y 3． 例9 已知连续函数f (x )满足条件f (x )＝t f x t d ⎰303)(＋e 2x，求f (x )． 解 因原方程右端函数可导，所以f (x )可导．对方程两端同时求导，得f ′(x )=3f (x )+2e 2x ．由一阶线性方程的通解公式，得 f (x )＝()⎰+⎰-⎰Cx xx xd e ee d d 3232＝e 3x (-2e -x +C )=－２e 2x +C e 3x ．例10 设y =f (x )是第一象限内连接点A (0，1)，B (1，0)的一段连续曲线，M (x ,y )为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点．若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为63x ＋31，求f (x )的表达式．图10-2解 参看图10-2，由题设得2x［1+f (x )］+⎰1)(xtt f d ＝63x ＋31， 求导，得21［1+f (x )］+21xf ′(x )-f (x )=22x ，即f ′(x )-x1f (x )=xx 12- (x ≠0)．利用一阶线性微分方程的通解公式，得f (x )＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎰⎰-⎰C x x x x x x xd e e d d 1211＝e＝x221d x x C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝x 2+1+Cx ．当x =0时，f (0)=1．说明上述解在x =0时有意义．将条件f (1)=0代入到通解中，得C =-2，于是有f (x )=x 2-2x +1．形如xyd d +P (x )y =Q (x )y a （α≠0，1）（10-2-11）的方程称为伯努利(Bernoulli)方程．它不是线性方程，但是经过适当的变量替换，可将它化成线性方程求解．事实上，只要将方程(10-2-11)两端除以y α，得y-αxy d d +P (x )y 1-α＝Q (x )，即xy d d -1αα-11＋P (x )y 1-α＝Q (x )．若令y 1-α＝z ， 则上面这个方程为xz d d α-11+P (x )z ＝Q (x )． （10-2-12）这是一个线性方程．求出这个方程的通解后，用y 1-α替换z ，便得到伯努利方程的通解．例11 求方程y ′+y x x21- =21xy 的通解．解 这是α＝21的伯努利方程．方程两边同时除以21y ，得21211y xxx y y -+d d ＝x ．令z ＝y1-α＝21211yy=-，则上面的方程化为xzd d +z x x )1(22-＝2x． 这是一阶线性微分方程，其通解为z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎰⎰-⎰-C x x x x x x x xd e ed d 221211212＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---C x x 43242)1(311＝)1(311242x x C---．将21y 替换z ，得原方程的通解为y =2242)1(311⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x x C （C 为任意常数)．习题10-21． 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解：(1) y ′＝xy-+11； (2) xy d x +21x -d y =0;(3) (xy 2+x )d x +(y -x 2y )d y =0; (4) sin x cos 2y d x +cos 2x d y =0;(5)1,0110==+-+=x y y xyx y x d d ；(6) yy ′+x e y =0, y (1)=0; (7) y ′=e 2x -y ， 00==x y ．2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T 0的物体放在保持常温为α的室内，求温度T 与时间t 的关系：3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解： (1) xy ′-y -22y x +＝0；(2) y ′=x y +sin x y ；(3) 3xy 2d y ＝(2y 3-x 3)d x ; (4) x 2y ′+xy =y 2， y (1)=1； (5) xy ′=y (ln y -ln x ), y (1)=1; (6) (y -x +2)d x =(x +y +4)d y ; (7) (x +y )d x +(3x +3y -4)d y =0．4． 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解： (1) y ′-y =sin x ;(2) y ′-xn y =x n e x； (3) (x -2y )d y +d x =0; (4) (1+x sin y )y ′-cos y =0；(5) y ′-1+x y =(x +1)e x , y (0)=1; (6) y ′+2221212x x y x x +=+，y (0)=23; (7) y ′-y x 1=-x2ln x , y (1)=1; (8) y ′+2xy =(x sin x )·2x -e ，y (0)=1;(9) y ′＝234xy y x +；(10) y ′＝xy y x +331．5． 设函数f (x )在［1,＋∞］上连续，若由曲线y =f (x )，直线x =1,x =t (t ＞1)与x 轴所围成的 平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为V (t )＝3π［t 2f (t )-f (1)］． 试求y =f (x )所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y (2)=92的特解．6． 设某生物群体的出生率为常数a ，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比(比例系数为b ＞0)．如果t =0时生物个体总数为x 0，求时刻t 时的生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待)．7． 已知f (x )＝x t f xd ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛303＋3x -3， 求f (x )．8． 已知某商品的成本C ＝C (x )随产量x 的增加而增加，其增长率为C ′(x )＝xC x +++11， 且产量为零时，固定成本C (0)＝C 0＞0．求商品的生产成本函数C (x )．9． 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x 的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S 也在增加，即S 为x 的函数S =S (x )，其变化率为a xb S x b x S 21+-=d d ，其中a ,b 均为正常数．若当x =x 0时S ＝S 0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的使用费S最高?。