[整理]一阶常微分方程习题(一).
常微分方程练习题
常微分方程练习题§1 一阶常微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）)(22y y y x y '+='-；（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；（4）xy x y y x tan =-'； （5）2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='y x y y ； （6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；（10）22x xe xy y -=+'；（11）x x e x y y x 122-=-'；（12）02)6(2=+'-y y x y ；（13）xy y y y y -+='ln 2； （14）0)(24=-+dy x y xydx ；（15）x y x x y y =-+'1412； （16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；（18）21222sin 22sin 1x e y x y y x ++='+； （19）02)1(322=+'-xy y y x ；（20）y y x y x ++='22)(。
2．求下列微分方程的特解：（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；（2）x y x y y tan +='，61π==x y ； （3）022=---'x y y y x ，11==x y ；（4）0)()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ； （5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。
常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dy P x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ?=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx=+l l ，将上述两式代入方程中，得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dxc x P x Q x ??+?=+l l l即 ()()()P x dxdc x Q x dx-?=l积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c-?=+?%l进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -?=+?%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()na t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,nηηη是已知常数。
求下列一阶常微分方程的通解
并证明当 h → 0 时，它收敛于原初值问题的准确解 y = e− x 。
3 13. 考虑由增量函数 h 1 1 ϕ( x, y, h) = f ( x, y) + g x + h, y + h f ( x, y) 2 3 3 ∂ ∂ 决定的单步方法，其中 g( x, y) = f ( x, y) + f ( x, y) f ( x, y)，研究方法的阶与收敛性。 ∂x ∂y
的局部截断误差。
5 7. 若用 Euler 法求解初值问题 y = e−t − 3y sin t, y(0) = 1, 0 ≤ t ≤ π/3，为保证绝对稳定 性，步长有何限制？ 8. 试分别推导二阶和三阶 RK 方法的绝对稳定区间。 9. 试证明四阶 RK 方法的绝对稳定性条件是 1 1 1 1 + hλ + (hλ)2 + (hλ)3 + (hλ)4 ≤ 1, 2 6 24 并在复平面上绘出绝对稳定域的边界。 习 题 9.5 1. 用二步 Adams 显式法解初值问题 y = − x2 y, y(0) = 1, 0 ≤ x ≤ 0.5，取 h = 0.1，y1 用改 进 Euler 公式。 2. 分别用数值积分法和待定系数法导出四阶 Adams 隐式公式及其局部截断误差主项。 3. 将多步法 h yn+2 + 9yn+1 − 10yn = (13 fn+1 + 9 fn ) 2 y = 0, y(0) = c,
9. 用改进 Euler 法和梯形法解初值问题 y = x2 + x − y, y(0) = 0. 取步长 h = 0.1，计算到 x = 0.5，并与准确解 y = −e− x + x2 − x + 1 相比较。 10. 用梯形法解初值问题 y = ax + b, y(0) = 0, 设步长为 h，求数值解的精确表达式，并证明数值解是准确的。 11. 用梯形法求初值问题 y = ey , 0 ≤ t < 1, y(0) = 0, 在 t = 1/2 的近似解。与精确解 y(1/2) = ln 2 进行比较。注意：步长至少取多小，所 得结果才可靠。 12. 用梯形方法求解初值问题 y + y = 0, y(0) = 1, 证明其近似解为 yn = 2−h n , 2+h
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
(完整版)常微分方程试题库.(最新整理)
常微分方程一、填空题1．微分方程的阶数是____________0(22=+-+x y dxdy dx dy n 答：12．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(y x M ),(y x N R ),(y x 方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(=+dy y x N dx y x M y _________________________答：)()1(y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如的方程(xy g dx dy =4．如果 ___________________________________________ ,则存在),(y x f ),(y x f dx dy =唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中)(x y ϕ=h x x ≤-0)(00x y ϕ=_______________________ .=h 答：在上连续且关于满足利普希兹条件 R y ),min(mb a h =5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(1y x ),(2y x R ∈R )0(>N N ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(y x f R y 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22y x dxdy +=R 22,22≤≤-≤≤-y x )0,0(存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((n i t x i =n )(t w )(t w 一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w 8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((n i t x i =)(t x 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：xx c x ni i i +=∑=19．若为毕卡逼近序列的极限，则有 __________________)(x ϕ{})(x n ϕ≤-)()(x x n ϕϕ答：1)!1(++n n h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经过变换 )(x y ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如的方程 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=y z y +=11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．1d d +=y x y 答：，（或不含x 轴的上半平面）}0),{(2>∈=y R y x D 13．方程的所有常数解是 ．y x x y sin d d 2=答：,2,1,0,±±==k k y π14．函数组在区间I 上线性无关的 条件是它们的)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件)(),(21x y x y 是． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程的基本解组是．02=+'-''y y y 答：xx x e ,e17．若在上连续，则方程的任一非零解 )(x y ϕ=),(∞+-∞y x xy )(d d ϕ=与轴相交．x 答：不能18．在方程中，如果，在上连续，那么它的0)()(=+'+''y x q y x p y )(x p )(x q ),(∞+-∞任一非零解在平面上 与轴相切．xoy x 答：不能19．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共)(),(21x y x y ϕϕ==同零点．答：没有20．方程的常数解是 ．21d d y x y -=答：1±=y 21．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是)(,),(),(21x x x n Y Y Y I 它们的朗斯基行列式，．0)(=x W I x ∈答：必要22．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．22d d y x x y +=答： 平面xoy 23．方程所有常数解是 ．0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 答：1,1±=±=x y 24．方程的基本解组是．04=+''y y 答：xx 2cos ,2sin 25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．n（A ） （B ）-1 （C ）+1 （D ）+2n n n n 2．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在),(y x f y y x f ∂∂),(xoy ),(d d y x f x y =区间（ D ）．（A ）必为 （B ）必为),(∞+-∞),0(∞+ （C ）必为（D ）将因解而定)0,(-∞3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．y x xy +=-31d d （A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有（ B ）个解．21d d y x y -=)1,2(π （A ）一（B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程（ B ）奇解．2d d +-=y x xy （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．n （A ）维 （B ）维 （C ）维 （D ）维n 1+n 1-n 2+n 8．方程过点（ A ）．323d d y x y = （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解 （D ）只有两个解0=y 9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件．),(y x f y '),(y x f y （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程的奇解是（ D ）．y x y =d d （A ） （B ） （C ） （D ）x y =1=y 1-=y 0=y 12．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ） （B ）)()(21x x ϕϕ-)()(21x x ϕϕ+（C ） （D ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-)()(21x x C ϕϕ+13．连续是方程初值解唯一的（ D ）条件．),(y x f y '),(d d y x f xy =（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程（ C ）奇解．1d d +=y x y （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程过点(0, 0)有（ A ）．323d d y x y = (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3y x y dx dy +=解： ，则 所以 23y y x y y x dy dx +=+=)(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y cy y x +=23另外 也是方程的解 0=y 2．求方程经过的第三次近似解2y x dxdy +=)0,0(解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ3．讨论方程 ，的解的存在区间 2y dx dy =1)1(=y 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1所以 方程的通解为 cx y +-=1故 过的解为 1)1(=y 21--=x y 通过点 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，)1,1(∞-所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程的奇解01(22=-+y dxdy 解: 利用判别曲线得p 消去得 即 ⎩⎨⎧==-+020122p y p p 12=y 1±=y 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解)sin(c x y +=1±=y 5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.y M ∂∂2--y xN ∂∂2--y y M ∂∂x N ∂∂ 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u )(sin y y x x u ϕ++= 所以)('2y xy yu ϕ+-=∂∂-y y ln )(=ϕ故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6． xx x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= ,令 , 则方程可化为, x y sin =x z y sin +=2z dx dz -=cx z +=1即 , 故 c x x y +=-1sin c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy 解: 两边同除以得2y 037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 , 另外 也是方程的解c y xy x =--7320=y 8．21d d x xy x y +=解 当时，分离变量得0≠y x x x y y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为 21x C y +=9. xy xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为+ x C y 3e -=x 2e 5110. 5d d xy y xy +=解 方程两端同乘以，得5-yx y x y y +=--45d d 令 ，则，代入上式，得z y =-4xz x y y d d d d 45=-- x z x z =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为，所以原方程是全微分方程． x N x y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y xC y y x xy y x =-⎰⎰020d d 2 即C y y x =-323112．y y x y ln d d =解：当，时，分离变量取不定积分，得0≠y 1≠y通积分为C x y y y +=⎰⎰d ln d x C y e ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-=14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令，则，代入原方程，得xu y =x u x u x y d d d d +=21d d u xu x -= 分离变量，取不定积分，得（） C x x u uln d 1d 2+=-⎰⎰0≠C 通积分为： Cx xy ln arcsin=15． xy x y x y tan d d +=解 令，则，代入原方程，得u x y =xu x u x y d d d d += ， u u x u x u tan d d +=+u x u x tan d d = 当时，分离变量，再积分，得0tan ≠u C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ Cx u ln ln sin ln +=即通积分为：Cx x y =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为+Cx y =x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y 解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d (e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+18．0)(2='+''y y y 解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y 解 令，则原方程的参数形式为p y ='⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 ，有y xy '=d dp p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y 解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-=21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于，所以原方程是全微分方程． x N xy y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y x103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即C y y x x =++42242四、计算题1．求方程的通解．x y y e 21=-''解 对应的齐次方程的特征方程为：12=-λ特征根为：1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21 因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为1=αx Ax x y e )(1=代入原方程，有 ， 可解出 ． x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+41=A 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A 即 0232=+-λλ特征根为 ，11=λ22=λ 对应的解为11=λt b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中是对应的特征向量的分量，满足11,b a 11=λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得．1,111-==b a 同样可算出对应的特征向量分量为 ．22=λ3,212-==b a 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程的通解．x y y 5sin 5='-''解：方程的特征根为，01=λ52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为不是特征根。
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中一门重要的分支，研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
在物理、经济学、生物学等领域中，常微分方程广泛应用于描述系统的动态行为。
本文将为您提供一些常微分方程的练习题，帮助您加深对常微分方程的理解。
练习一：一阶常微分方程1. 求解初值问题：dy/dx = x^2 - y^2, y(0) = 1。
解：观察到方程右侧与左侧的差异较大，我们可以尝试寻找一个特殊的函数，使得方程变得简单。
假设y = x + u(x)，则dy/dx = 1 + u'，代入原方程得到：1 + u' = x^2 - (x + u)^2u' = x^2 - x^2 - 2ux - u^2 - 1u' = -2ux - u^2 - 1这是一个关于u和x的常微分方程。
我们可以尝试通过求解这个方程来得到y的解。
2. 求解初值问题：dy/dx = (x^2 - 1)/(y + 1), y(0) = 0。
解：将方程进行变形，得到(y+1)dy = (x^2 - 1)dx，两边同时积分：∫(y+1)dy = ∫(x^2 - 1)dx1/2(y^2 + 2y) = 1/3(x^3 - x) + C其中C为常数。
代入初值条件y(0) = 0，解得C = 0，进一步化简得到：y^2 + 2y = 2/3(x^3 - x)这就是给定初值问题的解。
练习二：二阶常微分方程1. 求解方程：y'' + 2y' + y = e^(-x)，已知初值条件y(0) = 1，y'(0) = 0。
解：我们可以使用特征方程法求解这个二阶常微分方程。
首先求解齐次方程：r^2 + 2r + 1 = 0解齐次方程得到r = -1，因此齐次方程的通解为y_h = C1e^(-x) +C2xe^(-x)。
接下来求非齐次方程的一个特解。
常微分方程1
常 微 分 方 程试卷（一至十） 试 卷（一）一、填空题（3′×10＝30′）1、以y 1＝e 2x ，y 2=e x sinx ，y 3=e x cosx 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。
2、微分方程4x 3y 3dx+3x 4y 2dy=0的通积分是 。
3、柯西问题x dxdy=，y （0）=1的解是 。
4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。
5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。
6、微分方程F(x ，y ，p)=0若有奇解y=ϕ (x)，则y=ϕ (x) 满足的P-判别式是 。
7、线性微分方程组Y x A dxdY)(=的解组Y 1（x ），Y 2（x ）…，Y n （x ）在某区间上线性无头的充分必要条件是。
8、设A ，则矩阵指数函数e xA ＝ 。
9、方程0=+'+''y y y 的通解是 。
10、由方程033=+'+''+'''y y a y a y 的通解是 。
二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程31-++-=y x y x dx dy 的通解： 23、621y x y xdx dy =+ 4、x e x y y y 2)53(23+=+'-''三、求单参数曲线族xy=c 的正交轨线族（10′）12′）=dxdYY五、设二阶方程0442=-'+''y y x y x 有特解y 1(x)=x ，求此方程的通解（8′）六、有一容积为10000m 3的车间。
车间的空气含有0.12%的CO 2，今用一台风量为1000m 3/min 的鼓风机通入新鲜空气，新鲜空气中含有0.04%的CO 2，向鼓风机开动10min 后，车间内CO 2的百分比降到多少？（12′）试卷（二）一、填空题（31、微分方程组的阶数是 。
2、以y 1＝e x ,y 2=xe x ,y 3=e 2x xin2x 为特解的最低阶实常系数齐次线性微分方程是 。
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一阶常微分方程习题（一）
1．dx
dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y
dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1
特解为y= e
2x .
2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1
1+x dx 两边积分: -y
1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e
特解：y=|
)1(|ln 1+x c 3．dx dy =y
x xy y 32
1++ 解：原方程为：dx
dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3
1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0
解：原方程为： y y -1dy=-x
x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为：
dx dy =-y
x y x +- 令
x
y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu
即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg
2x y . 6. x dx
dy -y+22y x -=0 解：原方程为：
dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x
y =u dx dy =u+ x dx du 2
11
u - du=sgnx x 1dx arcsin x
y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：
tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x
c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y
e x
y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y
e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0
解：原方程为：dx dy =x y ln x
y
令
x
y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x
dx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
x y =cy. 10. dx
dy =e y x - 解：原方程为：
dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dx
dy =(x+y)2 解：令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx
du -1=u 2 2
11u +du=dx arctgu=x+c
arctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2
)(1y x + 解：令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx du -1=21u
u-arctgu=x+c
y-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1
212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx
xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y 2-y)-dx 2
+x=c
xy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =2
5--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx
xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0
dxy-d(21y 2+2y)-d(2
1x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:
dx
dy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dx
dy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4
1 41dx du -4
1=u 2+3 dx
du =4 u 2+13 u=2
3tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程
y x dx
dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）
2） y(1+x 2y 2)dx=xdy 3） y x dx dy =2222x -2 y x 2y
+
证明： 令xy=u,则x
dx dy +y=dx
du 则
dx dy =x 1dx du -2x
u ，有： u x dx du =f(u)+1
)1)((1+u f u du=x
1dx
所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则dx dy =x 1dx du -2
x u (1) 原方程可化为：dx dy =x
y [1+（xy ）2] (2)
将1代入2式有：
x 1dx du -2x u =x
u (1+u 2) u=22+u +cx 17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y
则与x 轴，y 轴交点分别为：
x= x 0 -
'0y y y= y 0 - x 0 y’
则 x=2 x 0 = x 0 - '
0y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =4π 。
解：由题意得：y ’=
x y y 1dy=x 1 dx ln|y|=ln|xc| y=cx.
α =4
π 则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx
则：y=kx 2
+c 即为所求。