第十九讲一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案
第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案
一 、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．微分方程2()y x y dx x dy +=是 （B ）
A ．一阶线性方程
B ．一阶齐次方程
C ．可分离变量方程
D ．二阶微分方程
解:变形 2
22dy xy y
y y dx x x x +⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
∴原方程是一阶齐次方程,选B
2．下列微分方程中，是可分离变量的方程是
（C ） A ．'x y
y e x += B ．'sin y y x -=
C ．22'1y y x y x =+++
D ．'2x y xy y e +=
解:()()2
211dy y x x dx =+++
()()211x y =++∴221y y x y x '=+++
是可分离变量方程,选C
3．2
cos dy y
dx x =的通解是 （B ）
A ．1
sec tan y y c x ⋅=+
B ．1
tan y c x =-+ C ．1
ln cos y c x =-+
D ．1
1
cos c y x =+
解：221
cos dy dx y x =⎰⎰
1
tan y c x ∴=-+ 选B
4．2'2x y xy e -+=满足(0)0y =的特解是（A ）
A ．2x y xe -=
B ．2x y xe =
C ．2x y e -=
D ．2x y e =
解：2
22xdx xdx x y e e e dx c --⎡⎤
⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰
222x x x e e e dx c --⎡⎤=+⎣⎦
⎰ 22x x ce xe --=+
由 ()00y =得0c =,
故2x y xe -= 选A
5．2'3550x x y +-=满足01x y
==的特解
是 （ B ） A ．321152
y x x =
+ B ．3211152
y x x =++ C ．3115
y x =+ D ．2112x + 解：321552y x x c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
由()01y =,知1c =
故特解为2
31152
x y x =++ 选B 6．可降阶微分方程'''
xy y =的通解是 （D ） A ．2
y x c =+ B ．2
2
x y c =+ C ．12y c x c =+ D ．212y c x c =+ 解：(1)方程不显含y :令'y p =,
''dp y dx =,dp x p dx
=. 1dp dx p x =⎰⎰33,ln ln ,,p c x p c x ==
2
212122
x y c c c x c =⋅+=+ 选D 二、 填空题
7．2
'
2y y y x x =-的通解是
解：令y u x =.21du dx x
u u u =--⎰⎰ 1ln ,ln x cx cx u y ==，ln x y cx
= 8．ln ln y xdx x ydy =满足11x y ==的特解
是
解：(1)ln ln y x dy dx y x =⎰⎰
22ln ln y x c =+
(2)由 ()11,000y c c ==+→=
特解22ln ln y x =
9．'26y xy x =+满足(0)2y =-的特解是
解：(1)226xdx xdx y e xe dx c +-⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦
()22
23x x e e d x c -⎡⎤=--+⎣⎦⎰ 23x ce =- (2)
()021y c =-∴= 特解 23x y e =-
10．求0x y e dy e dx +=的通解为
解： y x dy dx e e -=⎰⎰
()()y x e d y e d x ---=--⎰⎰
y x e e c --=-+,通解
11y x c e e
+= 11．'3xy y +=的通解y =
解： 13,y y x x '+= 113dx dx x x y e e c x -
⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰
13xdx c x x ⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦
⎰
()133c x c x x
=
+=+(可用可分离变量做) 12．'''x y e -=的通解y = 解：1''x y e c -=-+
12'x y e c x c -=++
()2
1232
x x y c c x c e -=⋅+++- 三、计算题
13． 求曲线()sin y x c =+所满足的微分方程.
解： 通过求导,设法消去任意常数c ,
()sin y x c =+'cos()y x c ∴=+
()()22sin cos 1x c x c +++=
()22'1y y ∴+=
这是所求的微分方程
14．求221dy x y xy dx
=-+-的通解. 解：(1)判别方程的类型:
()()211dy x y x dx
=-+- ()()211x y =-+
可分离变量方程
(2) ()()2
21111dy dy x dx x dx y y =-=-++⎰⎰ ()
21arctan 2x y c -=+-.即:
()21tan 2x y c ⎛⎫- ⎪=- ⎪⎝
⎭
15．求0xydx +=满足
()12y -=的特解.
解：
(1)1dy y =可分离变量方程
(2) 1dy y =⎰⎰(
)2111d x dy y -=⎰
()122111ln 11212
y x c =⋅-+-+
1ln y c =+ (3) 1y ce -=又()12y -=
2c ∴=.
特解2y =16．求1tan dy y y dx x x
-=的通解. 解：(1)tan dy y y dx x x
=+.一阶齐次方程 (2)令(),tan y u f u u u x
==+ 1tan du dx u u u x =+-⎰⎰
()ln sin ln u cx =
sin ,sin y u cx cx x
== 或 ()arcsin y x cx =为通解.
17．求()()2211x x dy x ydx dx +++=
满足12x y π
=|=的特解.
解：(1)变形:
()
2111dy y dx x x x +=+.一阶线性方程
(2)()11211dx dx x x y e e dx c x x -
⎡⎤⎰⎰⎢⎥=++⎢⎥⎣⎦⎰ 2111dx c x x ⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦
⎰ ()1arctan x c x =
+ (3)()12y π=,arctan1,24c c π
π
=+= ∴特解:1arctan 4y x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
18．求()
220x y dy ydx --=的通解. 解：(1)变形:2dx x y dy y
-=-.一阶线性方程. (2)22dy dy y y x e ye dy c -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰ 221y y dy c y ⎡⎤=-+⎢⎥-⎣⎦
⎰ ()2ln y y c =-+
故22ln x cy y y =-为所求的通解.
19．求()21''2'x y xy +=的通解.
解(1)降阶法:方程不显含y .
令',''dp y p y dx == (2)()212dp
x xp dx
+=.一阶可分离变量方程 dp p =⎰∫221x dx x
+ ()2ln ln 1p x =+()211,1c p c x =+
(3)()211dy c x dx
=+
3123x y c x c ⎛⎫∴=++ ⎪⎝
⎭ 20．求()2
''2''yy y y ⎡⎤=-⎣⎦
满足 001,'2x x y y ==|=|=的特解.
解：(1)降阶法,方程不显含x . 令',''dp y p y p dy
== ()21dp py p p dy
=- (2)当0p =时,
初始条件()02p = ∴0p =舍去
当0p ≠时,21dp dy p y
=-⎰⎰ ()21ln 1ln p y c -=⋅
22111,1p c y p c y -==+
()()00,0 1.1p y c ==∴=
21dy y dx
=+ 22,arctan 1dy dx y x c y ==++⎰⎰
()2014y c π=∴=
特解 tan()4y x π=+
四、证明题
21．设曲线上任一点(),M x y 处切线与OM 直线垂直,且曲线过点(,证明曲线是以原点为圆心,半径为2的圆.
证：(1)列出微分方程,设曲线()y f x =,画出示意图.
∵直线OM:y kx =的斜率为y k x =,曲线()y f x =切线斜率为dy dx . ∴依题意:1,3x dy x y dx y
==-|= (2)解微分方程:ydy xdx =-
22x y c +=,由13x y =|=
13c +=
故有曲线:222
2x y += 证毕
五、综合题
22．有连接()0,1A ,()1,0B 两点的一条凸曲线,它位于AB 弦的上方,(),P x y 为该曲线上的任一点,已知该曲线弧与AP 之间的面积(如图阴影部分)为3x ,求该曲线方程.
解：(1)列出方程,设阴影部分面积为S
S=曲边梯形OADPC 面积－梯形OAPC 面积
()()301
2x f x f t dt x x +=-⋅=⎰
()()116f x f x x x x
→-=-- 一阶线性方程
(2)()1116dx dx x x f x e x e dx c x -⎡⎤⎛⎫⎰⎰=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
21616x x c cx x x ⎡⎤=-++=+-⎢⎥⎣⎦
通解 (3) ()()10,0161f c ==-++
5c ∴=
故所求的曲线方程为
()2651f x x x =-++
23．设()x ϕ可导,且满足
()()0cos 2sin 1x
x x t tdt x ϕ+ϕ=+⎰ 求()x ϕ.
解：(1)把积分方程化为微分方程. ()()()()'cos sin 2sin x x x x x x ϕ+ϕ-+ϕ=1 ()()'tan sec x x x x ϕ+ϕ=且()01ϕ=
(2)解微分方程
()sin sin cos cos sec x x dx dx x x x e xe dx c -
⎡⎤⎰⎰ϕ=+⎢⎥⎣⎦⎰
()ln sin ln cos sec x x e xe dx c -⎡⎤=+⎣⎦⎰ 2cos sec x xdx c ⎡⎤=+⎣⎦
⎰ ()cos tan x x c =+
(3)由()01ϕ=得1c =
故有特解()cos sin x x x ϕ=+
24．设(
),u f r r ==,且 2222
0u u x y ∂∂+=∂∂,求()f r 的具体表达式 解(1)把偏微分方程化为常微分方程
()u x f r x r
∂'=∂()u y f r y r ∂'∴=∂ ()()222x r x u x x r f r f r r r x
r -⋅∂'''=⋅+∂
()222
23x r x f r r r -''=+
由轮换对称性知:2222
223u y r y y r r
∂-=+∂ ()2222
222u u x y f r x y r
∂∂+''+=+∂∂()22223r x r y f r r -+-' ()()1f r f r r
'''=+
即有 ()()10f r f r r '''+= 这是可降阶的二阶微分方程.
(2)令()f r p '=,()dp f r dr
''= 10dp p dr r
+=,1dp dr p r =-⎰⎰ 11ln ln ,c c p p r r
==()1,df r c dr r = ()12ln f r c r c =+
第十九讲一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案
第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案 一 、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．微分方程2()y x y dx x dy +=是 （B ） A ．一阶线性方程 B ．一阶齐次方程 C ．可分离变量方程 D ．二阶微分方程 解:变形 2 22dy xy y y y dx x x x +⎛⎫ ==+ ⎪⎝⎭ ∴原方程是一阶齐次方程,选B 2．下列微分方程中，是可分离变量的方程是 （C ） A ．'x y y e x += B ．'sin y y x -= C ．22'1y y x y x =+++ D ．'2x y xy y e += 解:()()2 211dy y x x dx =+++ ()()211x y =++∴221y y x y x '=+++ 是可分离变量方程,选C 3．2 cos dy y dx x =的通解是 （B ） A ．1 sec tan y y c x ⋅=+ B ．1 tan y c x =-+ C ．1 ln cos y c x =-+ D ．1 1 cos c y x =+ 解：221 cos dy dx y x =⎰⎰ 1 tan y c x ∴=-+ 选B 4．2'2x y xy e -+=满足(0)0y =的特解是（A ） A ．2x y xe -= B ．2x y xe = C ．2x y e -= D ．2x y e = 解：2 22xdx xdx x y e e e dx c --⎡⎤ ⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰
222x x x e e e dx c --⎡⎤=+⎣⎦ ⎰ 22x x ce xe --=+ 由 ()00y =得0c =, 故2x y xe -= 选A 5．2'3550x x y +-=满足01x y ==的特解 是 （ B ） A ．321152 y x x = + B ．3211152 y x x =++ C ．3115 y x =+ D ．2112x + 解：321552y x x c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由()01y =,知1c = 故特解为2 31152 x y x =++ 选B 6．可降阶微分方程''' xy y =的通解是 （D ） A ．2 y x c =+ B ．2 2 x y c =+ C ．12y c x c =+ D ．212y c x c =+ 解：(1)方程不显含y :令'y p =, ''dp y dx =,dp x p dx =. 1dp dx p x =⎰⎰33,ln ln ,,p c x p c x == 2 212122 x y c c c x c =⋅+=+ 选D 二、 填空题 7．2 ' 2y y y x x =-的通解是
微分方程练习题基础篇答案
常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 dydyxdx?xy1.?Cey?2分离变量，C为任意常数，ydxdyx 2x ??x?12Cey?0?1?xdy?2.xydx，，分离变量 C任意常数 2dx y2x?1dy1x dx??Ce?y0ln y3.xy??y分离变量， y ln yxydyxdx2222?y?y)(xdy?4.()?Cxy0?x)dx?y(1?)(1?x，分离变量22xy1?1?dydudy1u du25.?(2x?y?5)?2?5?2x?yu?arctan?x?C则令，，dx? 1dxdxdx22?u22y1?dy2 y?dyx1u1?duydyx??6.dxdu???xu?u，，令，代入得，原方程变为 y dx2y?dxxx1?u dxxdx?1 xyyy2arctan?ln x??C?u C?u2arctan?u?ln x回代得通解 ，xxx2yydy dxdu y???220?1?????u0y?y?x?7.xy? 方程变形为，令，代入得??x xxdxx2??1?u yyy arctan?ln x??C?u C?arctan u?ln x回代得通解，xxxdudxdyydyyyy Cx?1?1?Cx?y ln?x8.ln u?y?xe e?u，，令，，，方程变形为 x1)?u(ln uxxxdxxdx dy??xdx22xdx?2x??x?4?2xy9.4xedx?C)?e(?Ce?2y，一阶线性公式法 dx11dyy??dxdx?223?x?210.??Cx)?x2xedx?y?e(C xx,一阶线性公式法 dxx214x2x43?22??yy yx?C)?(?x4211.(xxy?1)y??一阶线性公式法，方程变形为 2221x?x?11?x3dx311dy232y???x Cyy?y?0?12.(y?6x)?2y，方程变形为一阶线性公式法dyy22dx1dy1dzdy21??2?3x?x??yz?y,?xy?313.yxy?
微分方程习题课
微分方程习题课 1、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。 2、掌握一解微分方程的求法。 3、会用降阶法解三种方程。 4、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。会求自由项为多项式，指数函数，正弦、余弦以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 5、会用微分方程解决一些简单的应用题。 一 解下列方程 1、求2()0yy x y y x ''+--=的通解。 2、求(1)12y dy x e dx -++=的通解。 3、求22(2)0x xy y y y '--+=的通解。 4、求ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足1x e y =|=的解。 5、求 0x xy y e '+-=满足条件1x y e =|=的特解。 6、求 2220y y y ''''---=满足000,0x x y y =='|=|=的解。 7、求 20y y y α'''-+=的通解。 8、求223x y y y xe '''--=满足(0)0,(0)1y y '==的特解。 二 求函数()f x （()f x 以其它形式给出，使之出现微分方程，解微分方程） 9、设连续函数()f x 满足4223()34()2 x xf x x x f t dt =-++?,求()f x 。 10、设0()()()sin x f x x t f t dt x =--+?，其中()f x 为连续函数。求()f x 。
11、设()f x 可微，对任意,,x y 有()()()y x f x y e f x e f y +=+，且(0)2f '=，求()f x 。 一、 根据方程的解确定方程 12、 12cos3sin3y c x c x =+所满足的微分方程是（ ）。 13、12x x y c e c xe =+所满足的微分方程是（ ）。 14、设二阶常系数线性微分方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++。试确定常数,,αβγ，并求该方程的通解。 四、应用题 15、求微分方程430y y y '''-+=的积分曲线，使其在点(0,2)与直线20x y -+=相切。 16、某介质中一单位质量的质点受一力作用沿直线运动。该力的大小与点M 到中心O 的距离成正比（比例系数为4），方向与OM 相同。介质阻力与运 动速度成正比（比例系数为3）。求该质点的运动规律。设运动开始时质点静止且距中心1米。 (上册测试题) 练习：1、设0()sin ()()x f x x x t f t dt =--?，其中()f x 为连续函数，求()f x 。 2、方程''2 13y x =-的通解是（ ） 1）121ln 3c x c + 2）121ln 3c x c x + 3) 13122ln x c x c ++ 4) 121ln ln 23 c x xc + 3、微分方程''10x y y e -=+的一个特解应具有形式（式中,a b 为常数）（ ） 1）x ae b + 2）x axe b + 3）x ae bx + 4）x axe bx +
微积分微分方程练习题及答案
一、 选择题: 1、 一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y +=' 的通解是( ). (A)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (B)???=-dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(； (C)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (D)? =-dx x P ce y )(. 2、方程y y x y x ++='22是( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 . 3、2)1(,022==+y x dx y dy 的特解是( ). (A)222=+y x ； (B)933=+y x ； (C)133=+y x ； (D)13 333=+y x . 4、方程 x y sin ='''的通解是( ). (A) 322121cos C x C x C x y +++=； (B)32212 1sin C x C x C x y +++=； (C)1cos C x y +=； (D)x y 2sin 2=. 5、方程0='+ '''y y 的通解是( ). (A)1cos sin C x x y +-=； (B)321cos sin C x C x C y +-=； (C)1cos sin C x x y ++=； (D)1sin C x y -=.
6、若1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解,则 2211y C y C y +=(其中21,C C 为任意常数)( ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解； (C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解. 7、求方程0)(2='-'y y y 的通解时,可令( ). (A)P y P y '=''='则,； (B) dy dP P y P y =''='则,； (C)dx dP P y P y =''='则,； (D)dy dP P y P y '=''='则,. 8、已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x y =,于是方程的通解为( ). (A)221x C x C y +=； (B)x C x C y 121+=； (C)x e C x C y 21+=； (D)x e C x C y -+=21. 9、已知方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的一个特1y 解为, 则另一个与它线性无关的特解为( ). (A) ??=- dx e y y y dx x P )(21 121； (B) ??=dx e y y y dx x P )(21 121 ； (C) ??=-dx e y y y dx x P )(1 121； (D) ??=dx e y y y dx x P )(1 121. 10、方程x e y y y x 2cos 23=+'-''的一个特解形式是 ( ). (A) x e A y x 2cos 1=； (B) x xe B x xe A y x x 2sin 2cos 11+=； (C) x e B x e A y x x 2sin 2cos 11+=； (D) x e x B x e x A y x x 2sin 2cos 2121+=.
一阶微分方程求解例题
一阶微分方程求解例题 今天分享一篇一阶微分方程求解的例题，也是在高中，初中阶段的微分方程中求解一阶微分方程的常用方法。因为一阶导数方程一般在函数中解，所以一阶导数方程很难被求解，尤其是初年级和高中阶段。接下来就用一阶不等式来解答这类几何问题。先看两道例题：例1,假设 X=4 b+2 k+1 k+1 m,此时一阶导数方程为()例2,若在函数(x, y)中定义为 x, y的一维微分方程是 m=5 x+1 k j表示的x轴对称解。 一、设微分方程为 a= b+ b+2 c+2 c,且 a和 b都是常数，那么 c是一个常数，那么此时方程应该为 a= b (c>0)+ b (c≤0)+ b (c≤1),其中 c是常数。 因为常数 c越大，方程的解就越难求解。但一般的问题中，往往要考虑到求导问题，一般需要先把常数 c降低。这里就需要把 c值降低到0或1。此时如果 a是常数，那么方程就是 a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c是常数；如果 a是常数，那么方程就是 a= a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c为常数。所以如果将这些常数取一个来求解一阶微分方程（多根方程）就不难了。再分析一下：假设方程中有两个常数分别为 y和 b (t>0),则这两个常数必然是一个最大值问题。那么这个最大值问题解决了吗？ 二、求出 b的值后我们再利用几何中两种图形形式的简单变式就可以求出 b= b+2k-1 k的一阶不等式了，即 n是唯一解。 由于 a, b在函数中的值是未知的，所以可以通过变换 a, b的值来求出 a= b+2k-1 k。注意这道题中并没有解方法，因为 b只有一种基本的解法，即 m。于是我们只需要继续利用(x, y)中的简单变形即可取得正确的结果了。我们把 b= c+ b 2 k+ b 1 k转化为 b= b+2k-1 k就可以了。但要注意不能转化成 u= a/b或者 a= a/b/2了。所以我们需要注意在求出 b的值后再进行变换。而变换的主要方法就是将 u等于0转变为 x (0)的形式来求解。如果能将 u= b+2 k这个一阶不等式转化成一个 u-1-2 k或 u-2-2-1 k这个不等式或形式就更好了 三、如果 f (x)等于2 n时，方程不成立只有这一个结论，那么我们要用等式代替它们。 其实这个等式只是为了让更多的人能够理解方程的含义，从而使更多学习微分方程的人能够更加明白函数定义方法及应用，从而提高学习微分方程的效率以及应用知识解决问题的能力。本题的解题过程如下：先用公式进行计算，确定出求解方程的 x, y和 y轴的交点，用求出 a, b 和 c的值即得到 c为 y轴上的任意点的值域即 a、 b、 c、 d四个点之和；再用代入方程得到x的解，即 m=5 x+1 k j。注意：此处取了 n≥1,所以 m≠1,所以这道题不能用方程解析解的方式解出来。这里首先要说明一点：微分方程可在函数中解。而微分方程中可能存在解（或导）方程组（或导数方程组),若没有相应的函数，在数学解题中应该先将这个函数存在解（或导）方程组考虑在内。最后还要注意一点：这道题在初高中阶段是有难度的，建议大家在解题过程中不要直接用微分方程解析解来解题。 四、当 f (x)大于0时，我们要用函数(x)表示方程的解了。 因为 F表示的是一个常数，所以只要 F大于0,这个方程就可以解了。注意题中 f的值不一定代表是 f的解了，而是可以被 f消去。因为消去的部分如果是 f (x)值大，那么消去的部分就大有不同，需要进行适当分析。首先用函数(x)来表示就是要让 x值是负数，其次如果 k (x)大于0, k的值是-1也就是 k值大于0。要把 z取反了呢？当然也是为了求解析式中的 f (x)。然后将 y取反了么？如果不取反，则方程就没有解了。所以求解析式中的 y取反是不可能的一件事了。 五、利用函数(x)在x轴对称点处的对应关系来求解一阶导数方程就可以了。 若 f (x)在 x轴对称点处为零，则称该方程为一阶导数方程；若 f (x)在 y轴对称点处为正，则称该方程为一阶导数方程。以上是一阶微分方程求解的基本步骤，通过对例题的分析可知。利用该方法求解一阶导数方程是很简单的事情，但要注意本题中方程(x)的取值范围比较窄。因
李裕能_第九章一阶电路和二阶电路习题及解答
第九章一阶电路和二阶电路 本章意图本章主要介绍动态电路的时域分析法。主要内容有动态电路及其方程，动态电路的换路定则及初始条件的计算，一阶电路的时间常数，一阶电路的零输入响应，一阶电路的零状态响应，一阶电路的全响应，一阶电路的阶跃响应，一阶电路的冲激响应，二阶电路的零输入响应，二阶电路的零状态响应及阶跃响应，二阶电路的冲激响应和卷积积分。 第一节内容提要 一、动态电路 电路有两种工作状态——稳态和动态。描述直流稳态电路的方程是代数方程；用相量法分析交流电路时，描述交流稳态电路的方程也是代数方程。描述动态电路的方程则是微分方程。描述一阶电路的方程是一阶微分方程，描述二阶电路的方程是二阶微分方程。 二、动态电路的初始条件 1 . 换路 当电路中的开关被断开或闭合，使电路的接线方式或元件参数发生变化，我们称此过程为换路。 2 . 换路定则 在一般情况下，在换路前后瞬间，电容电流i C为有限值，故有 u C(0+) = u C(0 - ) 在一般情况下，在换路前后瞬间，电感电压u L为有限值，故有 i L(0+) = i L(0 - ) 3 . 如何计算电路的初始条件 对于一个动态电路，其独立的初始条件是u C( 0+ )和i L( 0+ )，其余的是非独立初始条件。 如果要计算电路的初始条件，可以由换路前的电路计算出u C( 0 - )和i L( 0 - )，然后令其相等即可求得u C( 0+ )和i L( 0+ )。最后由换路后的等效电路就可以求出所需要的非独立初始条件。 三、一阶电路的响应 1 . 一阶电路的时间常数 在换路之后电路中，令独立电源为零，将电路化简成为一个等效电阻与储能元件的并连电路。对于RC、RL电路的时间常数分别为：τ= RC、τ=L / R。 2 . 一阶电路的零输入响应 在换路之后电路中无独立电源，由换路之前储能元件储存的能量在电路中产生响应，称为零输入响应。 3 . 一阶电路的零状态响应 在换路之前储能元件没有储存能量，由换路之后电路中独立电源的能量在电路中产生响应，称为零状态响应。 4 . 一阶电路的全响应 在换路之前储能元件储存有能量，换路之后电路中有独立电源，电路由初始状态和电源共同产生响应，称为全响应。 5 . 一阶电路的全响应的两种表示 在线性电路中，全响应可以由叠加定理分别计算出来 一阶电路的全响应= 稳态分量+ 暂态分量 一阶电路的全响应= 零状态响应+ 零输入响应 6 . 求解一阶电路的全响应的三要素法 用f (∞) 表示待求响应的稳态值，用f (0+) 表示待求响应的初始值，用τ表示电路的时间常数，以上三个量称为求解一阶电路的全响应的三要素。则待求响应f ( t )的表示式为
丁同仁常微分方程第一版习题参考解答
丁同仁常微分方程第一版习题参考解答 1.1微分方程及其解的定义习题参考解答 1.2微分方程及其解的几何解释习题参考解答 2.1恰当方程习题参考解答 2.2变量分离的方程习题参考解答 2.3一阶线性方程习题参考解答 2.4初等变换法习题参考解答 2.5积分因子法习题参考解答 2.6应用举例习题参考解答 3.1Picard 存在和唯一性定理习题参考解答 3.2Peano 存在性定理习题参考解答 3.3解的延拓习题参考解答 3.4比较定理及其应用习题参考解答 4.1一阶隐式微分方程习题参考解答 4.2奇解习题参考解答 4.3包络习题参考解答 5.1几个例子习题参考解答 5.2n维线性空间的微分方程习题参考解答 5.3解对初值和参数的连续依赖性习题参考解答 5.4解对初值和参数的连续可微性习题参考解答 6.1一般理论习题参考解答 6.2常系数线性微分方程组习题参考解答 6.3高阶线性微分方程习题参考解答 6.4算子法和 Laplace 变换法简介习题参考解答 7.1Cauchy 定理习题参考解答 7.2幂级数解法习题参考解答 7.3Legendre 多项式习题参考解答 7.4广义幂级数解法习题参考解答 7.5Bessel 函数习题参考解答 8.2解的稳定性习题参考解答 8.3平面上的动力系统, 奇点与极限环习题参考解答 9.1Sturm 比较定理习题参考解答 9.2Sturm--Liouville 边值问题的特征值习题参考解答9.3特征函数系的正交性习题参考解答 9.4一个非齐次边值问题的例子习题参考解答
9.5周期边值问题习题参考解答 10.2首次积分的性质习题参考解答 10.4大范围的首次积分习题参考解答 11.1一阶齐次线性偏微分方程习题参考解答11.2一阶拟线性偏微分方程习题参考解答11.3几何解释习题参考解答
微分方程练习题
第７章微分方程练习题 习题７.1 1．选择题 （1）（）是微分方程 （（A））． (（B）) ． (（C）) ． (（D）)． （2）( )不是微分方程 （（A））． (（B）) ． (（C）) ．(（D）) ． （3）微分方程的阶数为（） (（A）) ． (（B）) ． (（C）) ． (（D）) ．2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）．（） (2) . ( ) (3) . ( ) (4) . ( ) 习题 1．解微分方程 (1) ．(2) ． (3) ．(4)． (5) ．
2．解微分方程 (1) ．(2) ． (3) ． 3．解微分方程 (1) ．(2) ． 1．选择题 （1）（）是微分方程（（A））． (（B）) ． (（C）) ． (（D）)． （2）( )不是微分方程（（A））．(（B）) ．(（C）) ．(（D）) ．
（3）微分方程的阶数为（） (（A）) ． (（B）) ． (（C）) ． (（D）) ．2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）．（） (2) . ( ) (3) . ( ) (4) . ( ) 习题 1．解微分方程 (1) ．(2) ． (3) ．(4)． (5) ． 2．解微分方程 (1) ．(2) ．
(3) ． 3．解微分方程 (1) ．(2) ． (3) ． (4) ．(5) ． 习题 1．解下列微分方程 (1) ．(2) ．
(3) ．(4) ． (5) ．(6) ． 2．解下列微分方程 （1）． (2) ．(3) ．(4) ．
微分方程练习题
微分方程练习题 一、填空题 1、一阶微分方程 1d d 2+=x x y 的通解为_______。2、微分方程0d d =+x y y x 的通解为__________。 3、微分方程04=+''y y 的特征根是_______。 4、微分方程07='-''y y 的特征方程是____________。 5、微分方程02=+'-''y y y 的通解为_______。 6、微分方程023=+'-''y y y 的通解为___________。 7、微分方程02=-'-''y y y 的满足1)0(,2)0(='=y y 的特解是______________。 8、微分方程1242+-=-''x e y y x 的特解形式可设为=)(*x y __________。 9、微分方程1442++=+'-''x x e e x y y 的特解形式可设为=)(*x y _____________。 10、微分方程x e y y y x cos 32-=+'-''的特解形式可设为=)(*x y ____________。 二、求微分方程的通解 1、 22d d 2+-=y y x y ； 2、43 22d d x y x x y +=； 3、26d d xy x y x y -=； 4、123d d 2d d 2 2+=--x y x y x y 。 三、求微分方程的特解 1、1)0(,02)1(2 2==+'+y xy y x ； 2、0)0(,1)0(,324='==-'-''y y e y y y x 。
四、设)(t x 表示某国家在时刻t 的人口数，)(t x 满足初值问题：))(1()(d )(d N t x t x r t t x -=，0)0(x x = 其中r 称为生命系数，N 为该国能承载的最大人口数， N x <<00。 1、求初值问题的解； 2、试问当该国人口数为多少时，人口的增长速度最大？ 3、根据往年的资料，1979年我国人口的增长速度最大，当时的人口数9.7亿。试问根据上述人口模型，我国能承载的最大人口数N 为多少亿？ 微分方程练习答案：C x x ++3311、一、。 C xy =、2。i r 23±=、。 0742=-r r 、。 x e x C C Y )(521+=、。 x x e C e C Y 2216+=、。 x x e e Y -+=27、。C Bx Axe x ++28、。C Be e Ax x x ++229、。 )sin cos (10x B x A e x +-、。 x y y d 1 1)-(d 12=+、二、， 1)tan(++=C x y 2、设2)(x x u y = 423 2)(x x x u ='?， C x x u +=392)(，所以 259 2Cx x y +=。 3、设z y =-1，x x z x +-=6d dz ， 设6)(x x C z = ， C x x C +=781)(， x x C y 8116+=∴。 4、0322=--r r ，对应齐次方程通解x x e C e C Y 321+=- 设非齐次特解 B Ax y +=* 91,3 2=-=?B A ， 所以非齐通解 9 132321+-+=-x e C e C y x x 三、1、x x x y y d 1 2d 22+=，C x y ++=-)1ln(12，另0=y 也是解 。
微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章 微分方程习题 一.填空题：（33） 1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程 0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 2 2=++s x s x s 的阶数是 . 1-4-43、 x y y y y sin 5''10'''4)() 4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y 2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0 d d =+y x y 的通解是 . 1-7-46、方程 y e y x ='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 . 1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程 为 1-13-52、微分方程x e y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程 x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程 x y x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题
是 . 1-17-56、方程 0d )2(d )(2 2=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为 21221,(C C e C e C y x x +=为任意常数)的微分方程为 . 1-19-58、方程y x e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 . 1-19-59、方程0dy 1dx 2 =-+x xy 化为可分离变量方程是 1-20-60、方程xy y 2'=的通解是 1-21-61、 方程 x y xy x y x y d d d d 2 2=+化为齐次方程是 1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω . 1-23-63、若kt Ce Q =满足Q dt dQ 03.0-=, 则=k . 1-24-64、y y 2'=的解是 1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和 x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为 1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是 1-27-67、 a x ae y =满足的微分方程是 1-28-68、一阶线性微分方程) ()(d dy x Q y x P x =+的通解是 . 1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方 程为 . 1-30-70、方程2 5x y =是微分方程y xy 2'=的 解. 1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不 等实根，则其通解为 . 1-33-73、将微分方程 0)2()(2 2=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为
数学课程微分方程求解练习题及答案
数学课程微分方程求解练习题及答案微分方程是数学中非常重要的一门课程，它在许多科学领域中有着广泛的应用。为了更好地掌握微分方程的解题技巧，下面将给出一些微分方程求解的练习题及其答案。 练习一：一阶线性微分方程 1. 求解微分方程：dy/dx + y = 2x 解答： 首先将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = 2x - y 然后可以使用分离变量的方法进行求解，将变量分离得到：dy/(2x - y) = dx 对等式两边同时积分，得到：∫(1/(2x - y))dy = ∫dx 通过对右边的积分，得到：ln|2x - y| = x + C1 (其中C1是常数) 将等式两边取e的指数，得到：2x - y = Ce^x 其中C = e^C1是一个任意常数，所以方程的通解为：y = 2x - Ce^x （其中C为常数） 2. 求解微分方程：dy/dx + 2y = e^x 解答： 将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = e^x - 2y
然后使用分离变量的方法进行求解，得到：dy/(e^x - 2y) = dx 对等式两边同时积分，得到：∫(1/(e^x - 2y))dy = ∫dx 通过对右边的积分，得到：(1/2)ln|e^x - 2y| = x + C2 （其中C2是常数） 再次将等式两边取e的指数，得到：e^x - 2y = Ce^2x 其中C = e^C2是一个任意常数，所以方程的通解为：y = (1/2)e^x - (C/2)e^2x （其中C为常数） 练习二：二阶微分方程 1. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0 解答： 首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + 4r + 4 = 0 解特征方程，得到特征根为：r = -2 由于特征根为重根，所以方程的通解形式为：y = (C1 + C2x)e^(-2x) （其中C1和C2为常数） 2. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + dy/dx - 2y = 0 解答： 首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + r - 2 = 0 解特征方程，得到特征根为：r1 = 1，r2 = -2
微分方程的概念与基本解法练习题
微分方程的概念与基本解法练习题对于数学领域而言，微分方程是一类非常重要的数学工具，它用于 描述物理、工程学和其他科学领域中的各种变化和变化率。在本文中，将介绍微分方程的概念，并提供一些基本解法的练习题。 一、微分方程的概念 微分方程可以被定义为包含未知函数及其导数的方程。具体而言， 给定一个未知函数y(x)，微分方程将通过y(x)及其导数的函数关系来描述一个过程或现象。 微分方程可以分为几种类型，其中最常见的是常微分方程和偏微分 方程。常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。 二、基本解法练习题 下面将提供一些微分方程的基本解法练习题。请根据题目给出的微 分方程，找到其解析解，并进行验证。 1. 题目一：一阶线性微分方程 求解以下一阶线性微分方程： (dy/dx) + y/x = x 2. 题目二：二阶线性齐次微分方程 求解以下二阶线性齐次微分方程： d^2y/dx^2 - 4y = 0
3. 题目三：二阶线性非齐次微分方程求解以下二阶线性非齐次微分方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = e^(-x) 4. 题目四：一阶变量可分离微分方程求解以下一阶变量可分离微分方程：(dy/dx) = y/x 5. 题目五：一阶齐次微分方程 求解以下一阶齐次微分方程： (dy/dx) = (2x + y) / (x - y) 6. 题目六：一阶恰当微分方程 求解以下一阶恰当微分方程： x^3y dx - (x^4 + 5xy^2) dy = 0 三、解答与验证 1. 题目一解答： 将微分方程改写为标准形式： (dy/dx) = -y/x + x 乘以x并重排，得到： x(dy/dx) + y = x^2
一阶常微分方程习题
一阶常微分方程习题（一） 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c y=e+e=cex 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e. 2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 2 1+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有：
-1 12++u u du=x 1dx ln(u+1)x=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e 2 e-3e=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y =cy. 10. dx dy =e
微分方程习题及答案
微分方程习题之蔡仲巾千创作 §1基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2） ⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族, 求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导, 然后消去常数, 方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程. （1）曲线在()y x ,处切线的斜率即是该点横坐标的平方. （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,, PQ 为y 轴平分. （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q ,PQ 长度为2, 且曲线过点（2, 0）. §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1） 2 211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-；
（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12==+'=x y y y y x 3.求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4.求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 2 2=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程, 并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线, 使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和 x 轴所围城三角形面积即是常数2a .
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程 2dy x dx =： （1） 求出它的通解； 解：由原式变形得： 2dy xdx =. 两边同时积分得 2y x C =+. （2） 求通过点（2，3）的特解； 解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得： 1C =- 即通过点（2,3）的特解为： 21y x =-. （3） 求出与直线23y x =+相切的解； 解：依题意联立方程组： 223y x C y x ⎧=+⎨ =+⎩ 故有：2230x x C --+=。由相切的条件可知： 0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+= 解得4C = 故2 4y x =+为所求。 （4） 求出满足条件3 3ydx =⎰的解。 解：将 2 y x C =+代入3 30 dy =⎰，可得 2C =- 故2 2y x =-为所求。 2、求下列方程的解。 １） 3x y dy dx -= 2） 233331 dy x y dx x y -+=--
解：依题意联立方程组： 2330 3310 x y x y -+=⎧⎨ -+=⎩ 解得：2x =，73y = 。则令2X x =-，73 Y y =-。 故原式可变成： 2333dY x y dX x y -= -. 令Y u X = ，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dx du u u x -=-+. 两边同时积分，可得 1 22 (263)||u u C X --+= . 将7 32 y u x - = -，2X x =-代入上式可得： 1 2 227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛ ⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪ ⎝⎭ . 即上式为所求。 3、求解下列方程: 1) 24dy xy x dx +=. 解：由原式变形得： 22dy xdx y =-. 两边同时积分得：1 2 ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。 2) ( )x dy x y e dx -=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dy x y dx -=. 进一步变形得： 1 dy dx y =.
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案 国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国 开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。做考题时，利用本文档中的查找工具，把考题中的关键字输到查找工具的查找内容框内，就可迅速查找到该题答案。本文库还有其他网核及教学考一体化答案，敬请查看。课程总成绩=形成性考 核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有 五章，其中第三章的名称是（）．选择一项： A.一阶线性微分方程组 B.定性和稳定性理论简介 C.初等积分法 D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项： A.第一章至第四章的单项选择题 B.第二章基本定理的形成性考核书 面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法 的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项： A.课程公告 B.自主学习 C.课程信息 D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是
（）．选择一项： A.一阶隐式微分方程 B.分离变量法 C.全微分方程与积分因子 D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共 有（）讲．选择一项： A.18 B.20 C.19 D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中 第二个栏目名称是：（）．选择一项： A.考核说明 B.复习指导 C.模拟测试 D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。 一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。 在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。 至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案 常微分方程 §4.1 基本概念和一阶微分方程 （甲）内容要点一、基本概念 1、常微分方程和阶 2、解、通解和特解 3、初始条件 4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 dy p(x)Q(y)dx (Q(y) 0) 2、齐次方程： dy dx y f x 三、一阶线性方程及其推广 1、 dydy P(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx ( 0,1) 四、全微分方程及其推广（数学一） 1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足 Q P
2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x 2 2 Q p (RQ) (RP) 但存在R(x,y)，使x y x y dydy xy的通解。dxdx 解：y (x xy) 22 dy 0dx y dyy2 x d__y x2 y 1 x 2 yduu2 令u,则u x udx x(1 u)du 0 xdxu 11 udx du u x C1 ln|xu| u C1
例2 C1 u ce, y ce dyy 的通解d__ y4 u yx 求微分方程 d__ y4dx1 解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶 dyydyy 11 dy 14 dy 133yy dy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e ye y 3 例3 设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解 x
x 解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为 dy (e x 1)y 1 dx x xdy (e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx 再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4 设 12 12 故所求解y e e x x e x 12 满 足 以 下