第十九讲一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案
微分方程习题及答案
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ；(2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xyy +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
高等数学微分方程试题及答案.docx
第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（ 1）方程形式：dyP x Q y Q y0通解dyP x dx C dx Q y（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0通解M 1xdx N 2ydy C M 2 x 0, N 1 y 0M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式dyf y（ 1）齐次方程xdx令yu ，则dyu xduf ufdu dx c ln | x | c x dx dx u u x二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程dyP x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx2．一阶线性非齐次方程精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性dx非齐次方程求解。
dy1可化为dxP y x Q y y x以为自变量，．方程：P y x dydx Q y为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。
三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n ynff x dx C1 x n 1xn次令 y p ，则 y p ，原方程y f x, yf x, p ——一阶方程，设其解为pg x, C1p，即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。
令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dpdx dy dx dy y f把 y， y 的表达式代入原方程，得dp1f y, p—一阶方程，y, y dy pdy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C1, 即dyg y, C1，则原方程的通解为dx令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C3．伯努利方程dyQ x y0,1P x ydxdyx C2。
数学课程微分方程求解练习题及答案
数学课程微分方程求解练习题及答案微分方程是数学中非常重要的一门课程，它在许多科学领域中有着广泛的应用。
为了更好地掌握微分方程的解题技巧，下面将给出一些微分方程求解的练习题及其答案。
练习一：一阶线性微分方程1. 求解微分方程：dy/dx + y = 2x解答：首先将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = 2x - y然后可以使用分离变量的方法进行求解，将变量分离得到：dy/(2x - y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(2x - y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：ln|2x - y| = x + C1 (其中C1是常数)将等式两边取e的指数，得到：2x - y = Ce^x其中C = e^C1是一个任意常数，所以方程的通解为：y = 2x - Ce^x （其中C为常数）2. 求解微分方程：dy/dx + 2y = e^x解答：将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = e^x - 2y然后使用分离变量的方法进行求解，得到：dy/(e^x - 2y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(e^x - 2y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：(1/2)ln|e^x - 2y| = x + C2 （其中C2是常数）再次将等式两边取e的指数，得到：e^x - 2y = Ce^2x其中C = e^C2是一个任意常数，所以方程的通解为：y = (1/2)e^x - (C/2)e^2x （其中C为常数）练习二：二阶微分方程1. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + 4r + 4 = 0解特征方程，得到特征根为：r = -2由于特征根为重根，所以方程的通解形式为：y = (C1 + C2x)e^(-2x) （其中C1和C2为常数）2. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + dy/dx - 2y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + r - 2 = 0解特征方程，得到特征根为：r1 = 1，r2 = -2所以方程的通解形式为：y = C1e^x + C2e^(-2x) （其中C1和C2为常数）这里给出了一些微分方程求解的练习题及其答案，通过练习这些题目，相信可以增强对微分方程的理解和掌握。
微分方程知识题及答案解析
微分方程习题§1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ； （3）23xy xy dxdy=-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x yx .2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x ye y ；（2）21 ,12==+'=x yy y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln+='xyy y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x yxydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解 （1）2x xyy =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ； （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ； （4）)(ln 2x y yy -='；（5）1sin 4-=-x e dxdyy 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ；(2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程. 4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ.5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系. 6．求下列贝努利方程的通解 (1) 62y x xyy =+' （2）x y x y y tan cos 4+=' （3）0ln 2=-+y x x dydxy（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
微分方程 级数练习及答案
一阶微分方程练习1、求方程x xe y y x =+'的通解2、求72(1)2(1)x y y x '+-=+的通解3、解方程3d 3d y x y xx-=4、求微分方程tan sec y y x x '-=满足初始条件()00y =的特解．5、求微分方程2d d d y x y y x y e y -=的通解二阶微分方程练习 1、求269279y y y x '''-+=-的特解。
2、求6128y y x '''-=-的特解。
3、求62y x ''=-的特解。
4、求62y x ''=-的特解。
5、求34cos 2sin y y x x '''+=+的特解。
6、写出下列微分方程的特解形式 （1）256e x y y y x '''-+=（2）27122e x y y y x -'''-+=（3）e x y y ''-=（4）2e x y y y x -'''++=答案：一阶微分1.解：将方程变形为xexy y =+'其中xx P 1)(=，x e x Q =)(，用公式法11ln ln ()()dx dxxxx xx x y e e edx C e e edx C --⎰⎰=+=+⎰⎰=11()()x xxxe dx C xe e C xx+=-+⎰2.解：方程化为标准式：25)1(12+=+-'x x y y ，用常数变异法，先求对应齐次方程的通解。
d 20d 1y y xx -=+，d 2d 1y x yx =+d 2d 1y xyx =+⎰⎰ Cx y ln )1ln(2ln++=，2)1(+=x C y 把C 换成()C x ，即令2()(1)y C x x =⋅+，则有//2()(1)2()(1)yC x x C x x =+++，代入标准式，得1/2()(1)C x x =+， 两端积分，得322()(1)3C x x C =++。
微分方程课后习题答案
微分方程课后习题答案微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在学习微分方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高技能的重要途径。
本文将为大家提供一些微分方程课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握微分方程的知识。
1. 一阶线性微分方程题目：求解微分方程 dy/dx + y = 2x解答：这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
首先，将方程改写为 dy/dx = 2x - y设 y = u(x) * v(x)，其中 u(x) 是未知函数，v(x) 是待定函数。
将 y = u(x) * v(x) 带入方程，得到 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) = 2x - u(x) * v(x)整理得 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x根据乘积法则，有 (u(x) * v(x))' = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * v(x) = x^2 + C，其中 C 是常数。
然后，我们需要求解 u(x) 和 v(x)。
由于 v(x) 是待定函数，我们可以选择 v(x) = e^(-x)，这样 v'(x) = -e^(-x)。
将 v(x) = e^(-x) 带入 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x，得到 u'(x) * e^(-x) = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * e^(-x) = x^2 + C将 u(x) * e^(-x) = x^2 + C 代入 y = u(x) * v(x)，得到 y = (x^2 + C) * e^x所以，原微分方程的通解为 y = (x^2 + C) * e^x，其中 C 是常数。
2. 二阶线性常系数齐次微分方程题目：求解微分方程 d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = 0解答：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。
考研数学-一阶微分方程,可降阶方程
cos t
2
求微分方程
(1
x2 )2
d2y dx2
y
满足初始条件 y(0) 0 , y(0) 1的特解 .
解：dy ucos t u sin t, dx
d2y dx2
(u
u) cos3
t
代入原方程 , 有u 0 , u(t) C1t C2
当x 0时,有t 0
代入初始条件 , u |t0 0 , u |t0 1.
]
定解问题
1 y(0)
( y)2 v2 v1
b, y(0)
yy ( y)2 b
a
备例2
若F ( x)是f ( x)的一个原函数,G( x)是 1 的 f (x)
一个原函数,且F ( x)G( x) 1, f (0) 1,求f ( x).
解：F( x)G( x) 1等号两边对 x 求导 ,
2 xy
所求曲线族满足方程y
2 xy x2 y2
,
此为齐次型方程，可解得y C( x2 y2 )
例4
若函数 y y(x) 在任意一点x 处 ,当自变量有
增量
Δx
时
, 函 数的 增量 为Δy
yΔx 1 x2
o(Δx)
.
已知 y(0) π , 则 y(1) ____ .
分析：
Δy Δx
1
y x2
解：令 y p(x) , 则 y dp , dx
( dp )2 p2 1 dx
dp 1 p2 dx
1 dp dx, 1 p2
1 dp dx, 1 p2
arcsin p x C1, arccos p x C1
p sin( x C1), p cos(x C1) y p sin( x C1) y cos(x C1) C2
微分方程相关习题和答案
微分方程相关习题和答案微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与其导数之间的关系。
微分方程广泛应用于物理、工程、经济等领域，是解决实际问题的有力工具。
在学习微分方程的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解习题可以加深对微分方程理论的理解和掌握。
下面我将给大家介绍几个微分方程相关的习题和答案。
1. 题目：求解一阶线性微分方程y' + 2xy = 3x。
解答：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。
首先，将方程改写成标准形式y' + p(x)y = q(x)，其中p(x) = 2x，q(x) = 3x。
然后，求出齐次线性微分方程y' + 2xy = 0的通解y_h(x)。
通过分离变量法可得y_h(x) =Ce^{-x^2}，其中C为常数。
接下来，我们猜测特解y_p(x)为形如y_p(x) = Ax + B的一次多项式。
将y_p(x)代入原方程，整理得到2Ax + 2(Ax + B)x = 3x，比较系数可得A = 3/2，B = -1/4。
因此，特解为y_p(x) = (3/2)x - 1/4。
最后，将通解和特解相加，得到原方程的通解为y(x) = Ce^{-x^2} + (3/2)x - 1/4，其中C为常数。
2. 题目：求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解答：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以使用特征方程法求解。
首先，写出特征方程r^2 - 4r + 4 = 0，并求出其特征根r_1 = r_2 = 2。
由于特征根相等，所以通解形式为y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}，其中C_1和C_2为常数。
如果题目给出了初始条件，可以利用初始条件求解出具体的解。
例如，若已知y(0) = 1和y'(0) = 2，代入通解中的x = 0和x = 0的导数，得到C_1 = 1和C_2 = 1。
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第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案一 、单项选择题（每小题4分，共24分）1．微分方程2()y x y dx x dy +=是 （B ）A ．一阶线性方程B ．一阶齐次方程C ．可分离变量方程D ．二阶微分方程解:变形 222dy xy yy y dx x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴原方程是一阶齐次方程,选B2．下列微分方程中，是可分离变量的方程是（C ） A ．'x yy e x += B ．'sin y y x -=C ．22'1y y x y x =+++D ．'2x y xy y e +=解:()()2211dy y x x dx =+++()()211x y =++∴221y y x y x '=+++是可分离变量方程,选C3．2cos dy ydx x =的通解是 （B ）A ．1sec tan y y c x ⋅=+B ．1tan y c x =-+ C ．1ln cos y c x =-+D ．11cos c y x =+解：221cos dy dx y x =⎰⎰1tan y c x ∴=-+ 选B4．2'2x y xy e -+=满足(0)0y =的特解是（A ）A ．2x y xe -=B ．2x y xe =C ．2x y e -=D ．2x y e =解：222xdx xdx x y e e e dx c --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰222x x x e e e dx c --⎡⎤=+⎣⎦⎰ 22x x ce xe --=+由 ()00y =得0c =,故2x y xe -= 选A5．2'3550x x y +-=满足01x y==的特解是 （ B ） A ．321152y x x =+ B ．3211152y x x =++ C ．3115y x =+ D ．2112x + 解：321552y x x c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由()01y =,知1c =故特解为231152x y x =++ 选B 6．可降阶微分方程'''xy y =的通解是 （D ） A ．2y x c =+ B ．22x y c =+ C ．12y c x c =+ D ．212y c x c =+ 解：(1)方程不显含y :令'y p =,''dp y dx =,dp x p dx=. 1dp dx p x =⎰⎰33,ln ln ,,p c x p c x ==2212122x y c c c x c =⋅+=+ 选D 二、 填空题7．2'2y y y x x =-的通解是解：令y u x =.21du dx xu u u =--⎰⎰ 1ln ,ln x cx cx u y ==，ln x y cx= 8．ln ln y xdx x ydy =满足11x y ==的特解是解：(1)ln ln y x dy dx y x =⎰⎰22ln ln y x c =+(2)由 ()11,000y c c ==+→=特解22ln ln y x =9．'26y xy x =+满足(0)2y =-的特解是解：(1)226xdx xdx y e xe dx c +-⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦()2223x x e e d x c -⎡⎤=--+⎣⎦⎰ 23x ce =- (2)()021y c =-∴= 特解 23x y e =-10．求0x y e dy e dx +=的通解为解： y x dy dx e e -=⎰⎰()()y x e d y e d x ---=--⎰⎰y x e e c --=-+,通解11y x c e e+= 11．'3xy y +=的通解y =解： 13,y y x x '+= 113dx dx x x y e e c x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰13xdx c x x ⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰()133c x c x x=+=+(可用可分离变量做) 12．'''x y e -=的通解y = 解：1''x y e c -=-+12'x y e c x c -=++()21232x x y c c x c e -=⋅+++- 三、计算题13． 求曲线()sin y x c =+所满足的微分方程.解： 通过求导,设法消去任意常数c ,()sin y x c =+'cos()y x c ∴=+()()22sin cos 1x c x c +++=()22'1y y ∴+=这是所求的微分方程14．求221dy x y xy dx=-+-的通解. 解：(1)判别方程的类型:()()211dy x y x dx=-+- ()()211x y =-+可分离变量方程(2) ()()221111dy dy x dx x dx y y =-=-++⎰⎰ ()21arctan 2x y c -=+-.即:()21tan 2x y c ⎛⎫- ⎪=- ⎪⎝⎭15．求0xydx +=满足()12y -=的特解.解：(1)1dy y =可分离变量方程(2) 1dy y =⎰⎰()2111d x dy y -=⎰()122111ln 11212y x c =⋅-+-+1ln y c =+ (3) 1y ce -=又()12y -=2c ∴=.特解2y =16．求1tan dy y y dx x x-=的通解. 解：(1)tan dy y y dx x x=+.一阶齐次方程 (2)令(),tan y u f u u u x==+ 1tan du dx u u u x =+-⎰⎰()ln sin ln u cx =sin ,sin y u cx cx x== 或 ()arcsin y x cx =为通解.17．求()()2211x x dy x ydx dx +++=满足12x y π=|=的特解.解：(1)变形:()2111dy y dx x x x +=+.一阶线性方程(2)()11211dx dx x x y e e dx c x x -⎡⎤⎰⎰⎢⎥=++⎢⎥⎣⎦⎰ 2111dx c x x ⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦⎰ ()1arctan x c x =+ (3)()12y π=,arctan1,24c c ππ=+= ∴特解:1arctan 4y x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭18．求()220x y dy ydx --=的通解. 解：(1)变形:2dx x y dy y-=-.一阶线性方程. (2)22dy dy y y x e ye dy c -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 221y y dy c y ⎡⎤=-+⎢⎥-⎣⎦⎰ ()2ln y y c =-+故22ln x cy y y =-为所求的通解.19．求()21''2'x y xy +=的通解.解(1)降阶法:方程不显含y .令',''dp y p y dx == (2)()212dpx xp dx+=.一阶可分离变量方程 dp p =⎰∫221x dx x+ ()2ln ln 1p x =+()211,1c p c x =+(3)()211dy c x dx=+3123x y c x c ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭ 20．求()2''2''yy y y ⎡⎤=-⎣⎦满足 001,'2x x y y ==|=|=的特解.解：(1)降阶法,方程不显含x . 令',''dp y p y p dy== ()21dp py p p dy=- (2)当0p =时,初始条件()02p = ∴0p =舍去当0p ≠时,21dp dy p y=-⎰⎰ ()21ln 1ln p y c -=⋅22111,1p c y p c y -==+()()00,0 1.1p y c ==∴=21dy y dx=+ 22,arctan 1dy dx y x c y ==++⎰⎰()2014y c π=∴=特解 tan()4y x π=+四、证明题21．设曲线上任一点(),M x y 处切线与OM 直线垂直,且曲线过点(,证明曲线是以原点为圆心,半径为2的圆.证：(1)列出微分方程,设曲线()y f x =,画出示意图.∵直线OM:y kx =的斜率为y k x =,曲线()y f x =切线斜率为dy dx . ∴依题意:1,3x dy x y dx y==-|= (2)解微分方程:ydy xdx =-22x y c +=,由13x y =|=13c +=故有曲线:2222x y += 证毕五、综合题22．有连接()0,1A ,()1,0B 两点的一条凸曲线,它位于AB 弦的上方,(),P x y 为该曲线上的任一点,已知该曲线弧与AP 之间的面积(如图阴影部分)为3x ,求该曲线方程.解：(1)列出方程,设阴影部分面积为SS=曲边梯形OADPC 面积－梯形OAPC 面积()()3012x f x f t dt x x +=-⋅=⎰()()116f x f x x x x→-=-- 一阶线性方程(2)()1116dx dx x x f x e x e dx c x -⎡⎤⎛⎫⎰⎰=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦21616x x c cx x x ⎡⎤=-++=+-⎢⎥⎣⎦通解 (3) ()()10,0161f c ==-++5c ∴=故所求的曲线方程为()2651f x x x =-++23．设()x ϕ可导,且满足()()0cos 2sin 1xx x t tdt x ϕ+ϕ=+⎰ 求()x ϕ.解：(1)把积分方程化为微分方程. ()()()()'cos sin 2sin x x x x x x ϕ+ϕ-+ϕ=1 ()()'tan sec x x x x ϕ+ϕ=且()01ϕ=(2)解微分方程()sin sin cos cos sec x x dx dx x x x e xe dx c -⎡⎤⎰⎰ϕ=+⎢⎥⎣⎦⎰()ln sin ln cos sec x x e xe dx c -⎡⎤=+⎣⎦⎰ 2cos sec x xdx c ⎡⎤=+⎣⎦⎰ ()cos tan x x c =+(3)由()01ϕ=得1c =故有特解()cos sin x x x ϕ=+24．设(),u f r r ==,且 22220u u x y ∂∂+=∂∂,求()f r 的具体表达式 解(1)把偏微分方程化为常微分方程()u x f r x r∂'=∂()u y f r y r ∂'∴=∂ ()()222x r x u x x r f r f r r r xr -⋅∂'''=⋅+∂()22223x r x f r r r -''=+由轮换对称性知:2222223u y r y y r r∂-=+∂ ()2222222u u x y f r x y r∂∂+''+=+∂∂()22223r x r y f r r -+-' ()()1f r f r r'''=+即有 ()()10f r f r r '''+= 这是可降阶的二阶微分方程.(2)令()f r p '=,()dp f r dr''= 10dp p dr r+=,1dp dr p r =-⎰⎰ 11ln ln ,c c p p r r==()1,df r c dr r = ()12ln f r c r c =+。