二次回归正交组合设计及其统计分析

二次回归正交组合设计及其统计分析
一、组合设计
（一）组合设计的概念
组合设计：在自变量（因素，也称因子）空间中选择几种类型的点，组合成的试验计划。

（P.31）由于组合设计可选择多种类型的点，而且有些类型的点的数目（试验处理数）又可适当调节，因此组合设计在调节试验处理数N（从而在调节剩余自由度）方面，要比全面试验灵活得多。

（二）组合设计的组成
二次回归正交组合设计试验方案由三种类型的点组成，即：
式中：N为处理组合数；为二水平析因点，（p为因素个数）；为轴点，；为中心区（或原点）。

①二水平析因点（）：这些点的每一个坐标（自变量）都各自分别只取1或-1；这些试验点的数目记为。

当这些点组成二水平全面试验时，。

而若这些点是根据正交表配制的二水平部分实施（1/2或1/4等）的试验点时，。

调节了这个，就相应地调节了剩余自由度。

②轴点（）：这些点都在坐标轴上，且与坐标原点（中心点）的距离都为。

也就是说，这些点只有一个坐标（自变量）取或，而其余坐标都取零。

这些点在坐标图上通常用星号标出，故又称星号点。

其中称为轴臂或星号臂，是待定参数，可根据下述正交性或旋转性要求而确定。

这些点的数目显然为2P，记为。

③原点（）：又称中心点，即各自变量都取零水平的点，该试验点可作1次，也可重复多次，其次数记为。

调节，显然也能相应地调节剩余自由度。

（三）试验点（处理）的分布情况
1、P=2（二因素）的分布情况
（1）处理组合数：若=1，处理组合数为9，即
（2）处理组合表2.2.1。

（P.32）
（3）处理组合分布图2.2.1。

（P.31）
二因素（X1、X2）二次回归组合设计的结构矩阵如表2.2.2。

（P.32）
2、P=3（三因素）的分布情况
（1）处理组合数：若=1，处理组合数为15，即
（2）处理组合表：P=3（X1、X2、X3）二次回归正交组合设计，由15个试验点组成。

如表2.2.3所示。

（P.33）
（3）处理组合分布图2.2.2。

（P.32）
三因素（X1、X2、X3）二次回归组合设计的结构矩阵如表2.2.4。

（P.33）
（四）组合设计的优点
1、试验处理数少。

2、保持一定剩余自由度，以便进行显著性检验。

（五）组合设计正交性的实现
1、组合设计的正交性：部分保持正交，部分失去正交。

保持正交部分：
失去正交部分：平方项
2、正交的实现
（1）选取适当的轴臂：可用下式计算：
为了设计方便，将由上式计算出不同P及的值列于表2.2.5。

（P.34-35）
（2）对平方项进行中心化变换：为了获得正交性，将平方项进行中心化变换，中心化变换值以表示：
这样变换后的项之间正交和之间正交：
例：
①P=2，=1，查值表2.2.5，得=1，，则中心化变换为：
的中心化变换为：
的中心化变换为：
于是得中心化变换后的二元二次回归正交组合设计的结构矩阵列于表2.2.6。

（P.35）
②P=3，=1，查值表2.2.5，得=1.215，，则中心化变换为：
类似地可得出三元二次回归正交组合设计的结构矩阵列于表2.2.7。

（P.35-36）
三、二次回归正交组合设计示例
[例2.2] 某玉米氮肥、磷肥、钾肥配比试验，试进行二次回归正交组合设计，并对试验结果进行统计分析。

（P.38）
（一）设计试验处理方案
1、拟定每个因素的上下水平
以该因素零水平施肥量为最佳施肥量为依据来确定上下水平。

上水平：高于最佳施肥量，比零水平高1/3~1/2左右。

下水平：低于零水平，可采用较少的施肥量或不施肥。

本例氮、磷、钾肥上下水平列于表2.2.9。

（P.38）
2、计算零水平：
3、计算变化间距
把上水平和零水平之差以参数除之称为因素的变化间距，以表示。

定义式为：
式中：值是为了使试验计划获得正交性的一个待定参数。

其值可从表2.2.5。

（P.34）查出。

本例：P=3，=1，则=1.215，则计算为：
4、对每个因素各水平取值进行编码变换
所谓编码就是对因素水平的取值作如下的线性变换：
这样，就建立了各因素与取值的一一对应关系，得到如表2.2.8的因素水平编码表（P.36）：
本例每个因素为5个水平，即+ ，+1，0，-1，- ，氮肥各水平编码值相应施肥量计算为：N：
P2O5：
K2O：
将算出的氮、磷、钾各水平编码值相应的施肥量列于表2.2.10。

（P.39）
5、拟定试验处理方案
根据本例（三元二次回归正交组合设计）的要求，选用表2.2.7（P.35），将自变量各编
码值相应肥料施用量填入表2.2.7的X1、X2、X3编码值中，即设计成试验处理组合方案列于表2.2.11。

（P.39）
（二）试验结果的统计分析
试验结果列于表2.2.12。

（P.39-40）
1、建立三元二次多项式回归方程
如果研究P个因素，采用二次回归正交组合设计具有N个处理，其试验结果以表示，则二次回归的数学模型为：
为了消除平方项与常数项间的相关性，对平方项进行中心化变换，则数学模型变为：
用样本估计时：
当P=3时，三元二次回归方程为：
要建立二次回归方程，必须计算出回归统计数。

由于二次回归的正交组合设计的结构矩阵具有正交性，因而它的信息矩阵A为：
于是二次回归方程的回归统计数，则
本例：
（1）列表计算回归统计数：根据试验结果列表计算各回归统计数于表2.2.12。

（P.39-40）
计算表的计算方法为：
①计算：
②计算：
③计算：
④计算：
(2)建立三元二次多项式回归方程：
表中由下式计算：
于是玉米氮、磷、钾肥试验三元二次多项式回归方和为：（P.40）
2、回归关系的显著性检验（F检验）
（1）第一次F检验
①计算平方和
②计算自由度
③列出F检验表2.1.13。

（P.40）
④推断：经F检验显示，总回归达0.25显著，说明氮肥、磷肥、钾肥与玉米产量之间存在基本显著的回归关系。

其中一次项X1达显著，X2达0.25显著，互作项X1X3、X2X3以及平方项X3²均不显著（F值均小于1）。

由于试验计划具有正交性，消除了回归系数之间的相关性，故可以直接把它们从回归方程中除去，将平方和及自由度并入剩余项，而互作项X1X2和平方项X1²、X2²的F值大于1，接近0.25显著，故可保留在回归方程中，进行第二次方差分析。

（2）第二次F检验
①计算平方和
②计算自由度
③列出F检验表2.1.14。

（P.41）
④推断：第二次F检验显示，总回归达显著，说明X1（氮）、X2（磷）与玉米产量之间存在显著的回归关系。

其中一次项X1达极显著，X2达显著，互作项X1X2以及平方项X1²、X2²达0.25显著。

说明该试验结果宜用二元二次多项式表达。

3、配置二元二次多项式回归方程
（1）计算
（2）建立二元二次多项式回归方程
三、多项式回归方程的应用
（一）计算最佳施肥量及产量预报
1、计算最佳施肥量
（1）求y对Xi的一阶偏导数：对二元二次多项式回归方程
求y对Xi的一阶偏导数。

①求y对的一阶偏导数：
②求y对的一阶偏导数：
（2）求常数项：最佳施肥方案是边际产值等于边际成本时的施肥量，它受边际产值、产品价格、肥料价格的制约。

因此，有以下关系式：
式（2.2.13）中，和是氮、磷的边际产值，为氮（N）和磷（P2O5）的价格，均为 3.00元/kg，为产品玉米的价格，为0.80元/kg，于是可建立如下方程组：
（3）建立联立方程组：经整理得如下联立方程组：
解此方程组得：，将这些水平编码值换算成施肥量：
相当于尿素，相当于过磷酸钙。

在这一施肥量下可获得玉米产量。

2、确定最高产量施肥方案
同样对所建立的回归方程求y对Xi的一阶偏导数，当最高产量时，于是可建立如下方程组：
解此方程组得：，将这些水平编码值换算成施肥量：
相当于尿素，相当于过磷酸钙。

在这一施肥量下可获得玉米产量。