第八章 圆3课时
（江苏专用）高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程课件
【解】 设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3， 于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4， 即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②， 得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直 线和圆、圆和圆的位置关系，进而求 得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆 的方程，其一般步骤是：a.根据题意 选择方程的形式——标准形式或一般 形式(本例题中涉及圆心及切线，故设 标准形式较简单)；b.利用条件列出关 于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解 出a，b，r或D，E，F，代入所设的标 准方程或一般方程．
第八章 平面解析几何
第3课时 圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2
数学一轮复习讲义第8章§8-3圆的方程2023年新高考
§8.3 圆的方程考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆圆心C (a ，b )标准(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)半径为r 圆心C (－D 2，－E2)方程一般x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)半径r ＝12D 2＋E 2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系：(1)|MC |>r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外；(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)|MC |<r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内．常用结论1．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)圆x 2＋y 2＝a 2的半径为a .( × )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ )教材改编题1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A．(2,3)，3 B．(－2,3)，3C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，13答案 D解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13. 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．答案 (－2，2)解析 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m<2.题型一 圆的方程例1 (1)(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案 C解析 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立Error!解得Error!又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1. (2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析 方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得Error!解得Error!故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，联立Error!得交点坐标O(－1，－2)，又点O到点A的距离d＝10，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.教师备选1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( ) A.(x－32)2＋y2＝254 B.(x＋34)2＋y2＝2516C.(x－34)2＋y2＝2516D.(x－34)2＋y2＝254答案 C解析 方法一 (待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得Error!解得Error!所以圆E的一般方程为x2＋y2－32x－1＝0，即(x－34)2＋y2＝2516.方法二 (几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－12＝2(x－1)上．由题意知圆E的圆心在x轴上，所以圆E的圆心坐标为(34，0).则圆E的半径为|EB|＝(2－34)2＋(0－0)2＝54，所以圆E的标准方程为(x－34)2＋y2＝2516.2．在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8 D ．x 2＋(y －1)2＝16答案 B解析 由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1,2)，设圆心为B (0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝(－1－0)2＋(2－1)2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练1 (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4答案 A解析 根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)(2022·长春模拟)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1答案 B解析 设圆心坐标为(a ，b )(a >0，b >0)，由圆与直线4x －3y ＝0相切，可得圆心到直线的距离d ＝|4a －3b |5＝r ＝1，化简得|4a －3b |＝5，①又圆与x 轴相切，可得|b |＝r ＝1，解得b ＝1或b ＝－1(舍去)，把b ＝1代入①得4a －3＝5或4a －3＝－5，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝yx ＋1，k BC ＝yx －3，所以yx ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．教师备选已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知点P 坐标为(2x －2,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2 (1)当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M 的轨迹方程是( )A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1答案 C解析 设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，所以Error!所以Error!又因为P在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.(2)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0答案 D解析 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0.题型三 与圆有关的最值问题命题点1 利用几何性质求最值例3 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)求y －3x ＋2的最大值和最小值；(3)求y －x 的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22.又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝22.(2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.∵直线MQ 与圆C 有交点，∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值，∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1.命题点2 利用函数求最值例4 (2022·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)．则PA → ·PB →的最大值为________．答案 12解析 由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA → ·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA → ·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA → ·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.延伸探究 若将本题改为“设点P (x ，y )是圆(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0,2)，B (0，－2)”，则|PA → ＋PB →|的最大值为________．答案 10解析 由题意，知PA →＝(－x ，2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以PA → ＋PB →＝(－2x ，－2y )，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4，故y 2＝－(x －3)2＋4，所以|PA → ＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4，易知1≤x ≤5，所以当x ＝5时，|PA → ＋PB →|的值最大，最大值为26×5－5＝10.教师备选1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7 B ．6 C ．5 D ．4答案 B解析 ∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴|OC |－r ≤m ＝|OP |≤|OC |＋r ，又C (3,4)，r ＝1，∴4≤|OP |≤6，即4≤m ≤6.2．若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，A (－1,0)，B (1,0)为两个定点，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2 B ．22 C ．42 D ．4答案 B解析 由已知得线段AB 为圆的直径．所以|PA |2＋|PB |2＝4，由基本不等式得(|PA |＋|PB |2)2≤|PA |2＋|PB |22＝2，所以|PA |＋|PB |≤22，当且仅当|PA |＝|PB |＝2时，等号成立．思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝y －bx －a，t ＝ax ＋by ，(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3 (1)已知A (－2,0)，B (2,0)，点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －7)2＝1上的动点，则|AP |2＋|BP |2的最小值为( )A ．9 B ．14 C ．16 D ．26答案 D解析 设O 为坐标原点，P (x ，y )，则|AP |2＋|BP |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|PO |2＋8.圆C 的圆心为C (3，7)，半径为r ＝1，OC ＝4，所以|PO |2的最小值为(OC －r )2＝(4－1)2＝9，所以|AP |2＋|BP |2的最小值为26.(2)已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则2x ＋3y ＋3x ＋3的最大值为( )A ．2 B.174 C.295 D.13134答案 B解析 由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0得(x －2)2＋(y －1)2＝9.2x ＋3y ＋3x ＋3＝2＋3×y －1x ＋3＝2＋3k PA ，其中A (－3,1)为定点，点P (x ，y )为圆上一点．设过定点A 的直线l ：y －1＝k (x ＋3)与圆相切，则|5k |1＋k 2＝3，解得k ＝±34，所以－34≤k PA ≤34，所以2x ＋3y ＋3x ＋3的最大值为2＋3×34＝174.课时精练1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A ．(4，－6)，16 B ．(2，－3)，4C ．(－2,3)，4 D ．(2，－3)，16答案 C解析 将圆的一般方程化为标准方程得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1答案 A解析 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，所以圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝|3a＋4|32＋42＝3a＋45＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x ＝0，故选D.4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案 A解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则Error!解得Error!因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )A．圆M的圆心坐标为(1,3)B．圆M的半径为5C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2,3)在圆M内答案 ABD解析 设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则Error!解得Error!所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为5，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M 不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．6．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π答案 ABD解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．7．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，6)在圆C内，则m 的取值范围为________．答案 (0,4)解析 设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2<10，解得0<m<4.8．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．答案 25解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝5的圆．设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故Error!解得Error!故A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝25.9．已知圆心为C的圆经过点A(－1,1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上．(1)求圆心为C的圆的标准方程；(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵圆经过点A (－1，1)和B (－2，－2)，且圆心在直线l ：x ＋y －1＝0上，∴Error!解得a ＝3，b ＝－2，r ＝5，∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)∵圆心C 到直线x －y ＋5＝0的距离为d ＝|3＋2＋5|2＝52>5，∴直线与圆C 相离，∴|PQ |的最小值为d －r ＝52－5.10．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当|QM |最小时，|CQ |最小，此时CQ ⊥l 1，|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.11．点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x答案 B解析 ∵|PA |＝1，∴点P 和圆心的距离恒为2，又圆心坐标为(1,0)，设P (x ，y )，∴由两点间的距离公式，得(x －1)2＋y 2＝2.12．等边△ABC 的面积为93，且△ABC 的内心为M ，若平面内的点N 满足|MN |＝1，则NA →·NB →的最小值为( )A ．－5－23B ．－5－43C ．－6－23D ．－6－43答案 A解析 设等边△ABC 的边长为a ，则面积S ＝34a 2＝93，解得a ＝6.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M 为△ABC 的内心，则M 在OC 上，且OM ＝13OC ，则A (－3,0)，B (3,0)，C (0,33)，M (0，3)，由|MN |＝1，则点N 在以M 为圆心，1为半径的圆上．设N (x ，y )，则x 2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2－23y ＋2＝0，且3－1≤y ≤1＋3，又NA →＝(－3－x ，－y )，NB →＝(3－x ，－y )，所以NA →·NB →＝(x ＋3)(x －3)＋y 2＝x 2＋y 2－9＝23y －11≥23×(3－1)－11＝－5－23.13．(多选)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42答案 ACD解析 因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在直线y ＝－x 上，A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C 上，故C 正确；它们的圆心距为(5－1)2＋(－5＋1)2＝42，D 正确．14．已知长为2a (a ＞0)的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝a 2解析 如图，不论直线怎么移动，线段AB 的中点P (x ，y )与原点O 的连线始终为Rt △OAB 斜边上的中线，即|OP |＝a ，即x 2＋y 2＝a 2.故所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.15．已知直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0，则圆C 的半径r ＝________；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则实数m 的取值范围是______．答案 2 [－16，4] 解析 圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2，圆心为C (2,0)，半径为r ＝2，若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，过P 作圆的两条切线PM ，PN (M ，N 为切点)，则由题意得，∠MPN ≥90°，而当CP ⊥l 时，∠MPN 最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C 到直线l 的距离为d ＝|CP |＝|6＋m |5.所以r d ＝2|6＋m |5≥22，解得－16≤m ≤4.16．在平面直角坐标系Oxy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解 由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1，0)，B (x 2，0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC → ·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M (－14，0)即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为(x ＋14)2＋y 2＝1716.(2)证明 设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0.整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令Error!可得Error!或Error!故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和(25，45).。
第八章第3课时知能演练轻松闯关
第八章第3课时知能演练轻松闯关1．(2011·高考安徽卷)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B.化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.2．已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________． 解析：由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0. 答案：x －y －2＝03．设圆A 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，求圆A 的方程．解：由题意可设圆心A (a ，a )，如图， 则22＋a 2＝2a 2， 解得a ＝±2， r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.一、选择题1．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“F ＝E ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－D2，0)，而D 可以大于0，故选A.2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D.圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－ba>0，直线不经过第四象限，故选D.3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8π D ．9π解析：选B.设P (x ，y )，由题意知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π，故选B.4．(2012·济南质检)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴均相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1解析：选B.设圆心为(a ，b )(a >0，b >0)，依题意有|4a －3b |42＋32＝b ＝1，∴a ＝2，b ＝1，∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.5．已知两点A (0，－3)、B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8 D.212解析：选B.如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋－42＝165，∴△ABP 的面积的最小值为12⎝⎛⎭⎫165－1＝112.二、填空题6．(2012·开封调研)若PQ 是圆O ：x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1,2)，则直线PQ 的方程是________．解析：由圆的几何性质知k PQ k OM ＝－1.∵k OM ＝2，∴k PQ ＝－12，故直线PQ 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝07．圆心为(2,3)，一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程是________． 解析：设这条直径的两个端点分别为A (a,0)，B (0，b )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋02，3＝0＋b2，解得a ＝4，b ＝6.∴A (4,0)，B (0,6)．∴该圆半径为1242＋62＝13.圆方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. 答案：(x －2)2＋(y －3)2＝138．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①关于直线x ＋y ＝0对称；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)．解析：圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确． 答案：①③ 三、解答题9．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C 的方程． 解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎫x －132，即5x ＋7y－50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心为(3,5)，所以半径为9－32＋6－52＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 10．一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程． 解：设圆心为(a ，b )，圆与x 轴分别交于(x 1,0)，(x 2,0)，与y 轴分别交于(0，y 1)，(0，y 2)，根据题意知x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2，∵a ＝x 1＋x 22，b ＝y 1＋y 22，∴a ＋b ＝1.又∵点(a ，b )在线段AB 的中垂线上， ∴5a －b －5＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，5a －b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.∴圆心为(1,0)，半径为4－12＋2－02＝13.∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8， ∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O . ∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8ba＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0.∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －42＋y 2＝16，x ＋22＋y －22＝8.解之得x ＝45x ＝0(舍去)．所以存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。
高教版中职数学(基础模块)下册8.4《圆》ppt课件1
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
2
2
故所求圆的方程为
(x 5)2 ( y 1)2 5．
8．4 圆
例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：
⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ；
(2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径；
巩
(3) 应该点P(−2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
固
知
⑶ 由于圆心在直线 x y 0上，故设圆心为C(x0, x0 )，
识
于是有
CP CQ ，
典
(x0 2)2 (x0 4)2 (x0 0)2 (x0 2)2，
型
解得
x0 2
例
因此，圆心为(－2，2)．半径为
题
r (2 0)2 (2 2)2 2，
⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ；
(2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径；
巩
(3) 应该点P(－2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
固
分析 根据已知条
知
件求出圆心的坐标和 解 ⑴ 由于点（−2，5）与点（半3径，，− 从）而间确的定距字离母就是半径，
第8章第3讲 圆的方程
第3讲 圆的方程[考纲解读]1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)2．掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2021年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.1.圆的定义及方程 定义 平面内与□01定点的距离等于□02定长的点的集合(轨迹)标准方程□03(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心：□04(a ，b )，半径：□05r 一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)圆心：□06⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径：□0712D 2＋E 2－4F 平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： 设d 为点M (x 0，y 0)与圆心(a ，b )的距离(1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在□01圆外； (2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在□02圆上； (3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在□03圆内．1．概念辨析(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径r＝12＋12＝2，所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)答案 B解析若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－22或m>2 2.(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，则实数m的取值范围是________．答案(－1,1)解析因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－1<m<1.(4)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案x2＋(y－2)2＝1解析由题意，可设所求圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为此圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.题型一 求圆的方程1．经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程为________．答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝25解析 解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：(直接法)由题意，知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.因为弦的垂直平分线过圆心，所以由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5，所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.2．一圆经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6，求此圆的方程．解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见举例说明1解法二．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．见举例说明1解法一．②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．见举例说明2.1．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎨⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.2．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 解法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋02＋2D ＋0E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0， 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.解法二：记O (0,0)，A (1,1)，B (2,0)，线段OB 的垂直平分线方程为x ＝1，线段OA 的垂直平分线方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y －1＝0.解方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得圆心坐标为(1,0)．所以半径r ＝1，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.题型二 与圆有关的最值问题角度1 建立函数关系求最值1．(2019·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB→的最大值为________．答案 12解析 ∵P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P (x ，y )在圆上，∴P A →·PB→＝x 2－4＋y 2＝6y －8－4＝6y －12，∵2≤y ≤4，∴P A →·PB →≤12.角度2 借助几何性质求最值2．(2019·湖南师大附中模拟)已知点A (－2,0)，B (0,1)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为________．答案 1或－5解析 由题意，知圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，则圆心为(a,0)，半径r ＝1，又A (－2,0)，B (0,2)可得直线AB 的方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.所以圆心到直线AB 的距离d ＝|a ＋2|2，则圆上的点到直线AB 的最短距离为d －r ＝|a ＋2|2－1，又|AB |＝4＋4＝22，所以△ABC 面积的最小值为12|AB |·(d －r )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|2－1＝3－2，解得a ＝1或－5.求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)建立函数关系式求最值．如举例说明1.根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式；然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．(2)借助几何性质求最值．如举例说明2.1．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22 D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1，故选A.2．(2019·兰州模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b的最小值为()A．10 B．8C．5 D．4答案 B解析由已知，得圆心C(－4，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，又因为a>0，b>0，所以12a ＋2b＝⎝⎛⎭⎪⎫12a＋2b(4a＋b)＝b2a＋8ab＋4≥2b2a·8ab＋4＝8，当且仅当b2a＝8ab时，等号成立，此时b＝4a，结合4a＋b＝1，知a＝18，b＝12.所以当a＝18，b＝12时，12a＋2b取得最小值8.题型三与圆有关的轨迹问题1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．解解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．2．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝ ⎛⎭⎪⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．掌握“三方法”2．明确“五步骤”(2019·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.组 基础关1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝5 D ．(x －1)2＋y 2＝5答案 B解析 因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.故选B.3．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43 B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A.5．(2019·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 答案 C解析 由圆C 的圆心坐标C (6,8)，得OC 的中点坐标为E (3，4)，半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.6．(2020·黄冈市高三元月调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．0答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不符合题意，∴k ＝－1.故选A.7．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A.8．(2019·太原二模)若圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0的半径为1，则F ＝________. 答案 1解析 由圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－F ，由半径r ＝2－F ＝1，解得F ＝1.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．10．已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，则|3x ＋4y －26|的最小值为________．答案 15解析 解法一：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3a ＋4b －26|32＋42－r ，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，所以|3x ＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.解法二：令x ＋2＝cos θ，y －3＝sin θ，则x ＝cos θ－2，y ＝sin θ＋3，|3x ＋4y －26|＝|3cos θ－6＋4sin θ＋12－26|＝|5sin(θ＋φ)－20|，其中tan φ＝34，所以其最小值为|5－20|＝15.组 能力关1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆答案 D解析 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1,1)为圆心，1为半径的上半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径的下半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆．选D.2．(2019·南昌二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )A.10－1 B ．22－1 C ．2 2 D.10答案 A解析 设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点为A ′(a ，b )，则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2， 故⎩⎨⎧b a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，则从点A 到军营的最短总路程，即为点A ′到军营的距离，则“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1.3．(2019·贵阳模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54解析 设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A →⊥PC →.又因为P A →＝(2－x,3－y )，PC →＝(1－x,1－y )．所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0.所以点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54.4．(2020·柳州摸底)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解 (1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由f (x )＝x 2－x －6得，其图象与两坐标轴的交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，将交点坐标代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.5．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A (－1,0)，点B (1,0)．点P 是圆O 上异于A ，B 的动点．(1)证明：k AP ·k BP 是定值；(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ →＝－PM →，求点M 的轨迹方程C ；(3)证明：k AM ·k BM 是定值．解 (1)证明：由已知，直线AP ，BP 的斜率存在，AB 是圆O 的直径，所以AP ⊥BP ，所以k AP ·k BP ＝－1是定值．(2)设P (m ，n )，M (x ，y )，则Q (m,0)， 则PQ→＝(0，－n )，PM →＝(x －m ，y －n )， 因为2PQ→＝－PM →， 所以2(0，－n )＝－(x －m ，y －n )， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－x ＋m ，－2n ＝－y ＋n ，即⎩⎨⎧m ＝x ，n ＝13y ，①因为点P 在圆O 上，所以m 2＋n 2＝1， ② 将①代入②，得x 2＋y 29＝1，又点P 异于A ，B ，所以x ≠±1，即点M 的轨迹方程C 为x 2＋y 29＝1(x ≠±1)．(3)证明：由已知，直线AM ，BM 的斜率存在， k AM ＝y x ＋1，k BM ＝yx －1，由(2)知，x2－1＝－y29，所以k AM·k BM＝yx＋1·yx－1＝y2x2－1＝－9，即k AM·k BM是定值．。
2024届新高考一轮复习人教A版 第八章 第3节 圆的方程 课件(31张)
A.1
B.2
C.-4
D.8
解析:由 x2+y2+x+4y-m=0 得(x+)2+(y+2)2=m+4+,所以 m+4+=,
所以 m=-4.
3.(选择性必修第一册P85T1改编)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的
圆的标准方程为( D )
A.(x-1)2+y2=17
第3节
圆的方程
[课程标准要求]
1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次
方程表示圆的条件.
1.圆的定义与方程
定义
标准方程
平面上到 定点 的距离等于 定长 的点的集合叫做圆
2
2
圆心为 (a,b)
2
(x-a) +(y-b) =r (r>0)
.
.
.
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
1.(选择性必修第一册P85T2改编)已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列
= ,
+ - = ,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选 C.
法二(几何法)
由
= ,
+ - =
圆心一定在 AB 的中垂线上,A#43;(y-1)2=4.故选 C.
北师大版数学九下圆
教案：北师大版数学九年级下册《圆》课时安排：4课时教学目标：1. 知识与技能：理解圆的定义、性质及圆的方程。
学会使用圆规作圆，并能解决实际问题。
掌握点与圆、直线与圆的位置关系。
2. 过程与方法：通过观察、实践，培养空间想象能力和逻辑推理能力。
通过小组讨论，培养合作能力和问题解决能力。
3. 情感态度价值观：培养对数学美的欣赏，激发学习数学的兴趣。
增强在实际生活中应用数学的意识和能力。
教学内容：第一课时：圆的定义与性质1. 引入：利用多媒体展示生活中的圆形物品（如车轮、硬币等），引导学生观察并思考这些物品的共同特点。
2. 新课导入：讨论圆的定义，让学生尝试用自己的语言描述圆。
介绍圆的术语（圆心、半径、直径）。
3. 动手实践：每位学生使用圆规作一个圆，并标出圆心、半径和直径。
分组讨论：圆的性质（如半径相等、直径是半径的两倍等）。
布置相关练习题，巩固新知。
第二课时：圆的方程1. 复习引入：复习圆的定义和性质。
提问：如何在平面直角坐标系中表示一个圆？2. 新课内容：介绍圆的标准方程和一般方程。
通过实例，展示如何从实际问题中抽象出圆的方程。
3. 动手实践：学生分组，每组选择一个实际问题，建立圆的方程。
展示并讨论各组的成果。
布置练习题，加深理解。
第三课时：点与圆的位置关系1. 复习引入：复习圆的方程。
提问：点与圆有哪些可能的位置关系？2. 新课内容：介绍点在圆内、圆上、圆外的判定方法。
通过几何证明和代数方法，展示如何确定点的位置。
3. 动手实践：学生在坐标系中随机选取点，判断其与给定圆的位置关系。
分组讨论，分享不同的判断方法。
布置相关练习题。
第四课时：直线与圆的位置关系1. 复习引入：复习点与圆的位置关系。
提问：直线与圆可能有哪些位置关系？2. 新课内容：介绍直线与圆相离、相切、相交的定义。
通过几何证明和代数方法，展示如何确定直线与圆的位置关系。
3. 动手实践：学生在坐标系中绘制直线和圆，判断它们的位置关系。
新人教版2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第3节圆与方程课件理新人教A版
(2)∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，
∴设圆心为(a，2－a)，
∵圆M与直线x－y＝0Байду номын сангаасx－y＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，
即|2a－2|＝|2a＋2|，解得
2
2
a＝0，
∴圆心坐标为(0，2)，圆
M
的半径为|2a－2|＝ 2
2，
∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.
解析 (1)法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F
则F1＋＝10＋，D＋E＋F＝0，解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 4＋2D＋F＝0，
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 法二 设 O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则 kOA＝1，kAB＝－1，所以 即 OA⊥AB，所以△OAB 是以角 A 为直角的直角三角形，则线段 B
4.(2019·日照调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实
() A.(－1，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 因为点(1，1)在圆的内部，
B.(0，1) D.a＝±1
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 答案 A
5.(2019·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，
径，则圆心为 C(1，0)，半径 r＝12|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2 2x＝0.
(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a，－a). 又∵所求圆与直线x－y＝0相切， ∴半径 r＝2|a2|＝ 2|a|.
又所求圆在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，圆心(a，－a)到
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第八章 圆课时37．圆的有关概念与性质【课前热身】1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，则ACB ∠的度数为（）A ．30B ．45C ．60D ．902.如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（） A ．156B ．78C ．39D ．123.如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB 是（ ）A ．正方形B.长方形C ．菱形D ．以上答案都不对4.如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于点C ，若8cm AB =，3cm OC =，则⊙O 的半径为cm ． 5.如图，半圆的直径AB ＝___．【考点链接】1.圆上各点到圆心的距离都等于.2.圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心.3.垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分.4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别.5.同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.6.直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是.【典例精析】例1如图：AC ⌒ =CB ⌒ ，D E ，分别是半径OA 和OB 的中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？A CB O 第4题 第5题 0 1 2-1 -21 A B CBOE DA第2题第3题 第1题例2已知：如图，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长．【中考演练】1.下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ⑤同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤D ．②④⑤ 2.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10 m ，高度CD 为_____m ． 3.如图，⊙O 中OA BC ⊥，25CDA ∠=，则AOB ∠的度数为．4.如图，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ，且BC⌒ =DE ⌒ ． （1）求证：AC = AE ；（2）利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线，两线交于点F （保留作图痕迹，不写作法），求证：EF 平分∠CEN ． O AD B CEFP BACD第2题第3题ＣＥＡＯＤＢ﹡5.如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 的AB ⌒ 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．（1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：2AD BD CD +=．课时38．与圆有关的位置关系【课前热身】1.⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（）A ．内切、相交B ．外离、相交C ．外切、外离D ．外离、内切3.两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )A ．外切B ．相交C ．相离D ．内切4.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=， 8PA =，那么弦AB 的长是（）ABC DEMNPBAOA ．4B ．8C ．43D ．835.已知⊙O 的半径是3，圆心O 到直线AB 的距离是3，则直线AB 与⊙O 的位置 关系是 .【考点链接】1.点与圆的位置关系共有三种：①，②，③；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为：①d r ，②dr ，③dr .2. 直线与圆的位置关系共有三种：①，②，③.对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为： ①d r ，②d r ，③dr .3. 圆与圆的位置关系共有五种：①，②，③，④，⑤；两圆的圆心距d 和两圆的半径R 、r （R≥r ）之间的数量关系分别为：①dR －r ，②dR －r ，③ R －rdR ＋r ，④dR ＋r ，⑤dR ＋r.4. 圆的切线过切点的半径；经过的一端，并且这条 的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等.6.三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角形 的交点.7.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的.【典例精析】例1如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A C ，，点D 在⊙O 上，连接AD BD ，，30A B ∠=∠=．BD 是⊙O 的切线吗？请说明理由．例2如图所示，⊙O 的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC .（1）若∠CP A =30°，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M . 你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求∠CMP 的大小.MPO CBA例3如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC BD =，连结AC ，过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：AB AC =；（2）求证：DE 为⊙O 的切线；（3）若⊙O 的半径为5，60BAC ∠=，求DE 的长．【中考演练】1.如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin ∠APO等于（ ）A ．54B ．53 C ．34D ．432.如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相外切，⊙O 1的半径11r =，⊙O 2的半径22r =，⊙O 3的半径33r =，则123O O O △是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形3.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径R ＝2，sin B ＝43，则弦AC 的长为． 4.已知，⊙1O 的半径为5，⊙2O 的半径为9，且⊙1O 与⊙2O 相切，则这两圆的圆心距为___________．5.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若⊙O ，3DE =，求AE ．﹡6.如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）．P O A· O 2O 3O 1（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？课时39．与圆有关的计算【课前热身】1.如图，在⊙O 中，60AOB ∠=，3cm AB =，则劣弧AB⌒ 的长 为cm ．2.翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形AOB 的面积是36米2，AB⌒ 的 长度为9米，那么半径OA ＝米．3.如图，已知扇形的半径为3cm ，圆心角为120°，则扇形的面积为__________2cm .(结果保留π）4.已知扇形的半径为2cm ，面积是243cm π，则扇形的弧长是cm ， 扇形的圆心角为°．5.如图，正六边形内接于圆O ，圆O 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为．【考点链接】1.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n °的圆心角所对 的弧长为，弧长公式为.2.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n °的圆心角所在的扇形面积为S=2R π⨯ = = .3.圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为的半径，l 为的高）4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为的半径，l 为的长）A BNM 第1题 A BO 第3题 O第5题 第2题【典例精析】例1如图，CD 切⊙O 于点D ，连结OC ，交⊙O 于点B ，过点B 作弦AB ⊥OD ，点E 为垂足，已知⊙O 的半径为10，si n ∠COD=54．(1)求弦AB 的长；（2）CD 的长； （3）劣弧AB 的长.（结果保留三个有效数字，sin53.130.8≈，π≈3.142）例2如图，AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，OF AC ⊥于点F ．（1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当30D ∠=，1BC =时，求圆中阴影部分的面积．例3如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA 、OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知6cm OA OB ==，63cm AB =.求（1）⊙O 的半径；（2）图中阴影部分的面积．【中考演练】1.Rt ABC △中，90C ∠=，8AC =，6BC =，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）CBAO F DEOACBDA ．254πB ．258πC ．2516πD ．2532π 2.如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为r 米，圆心角均为90，则铺上的草地共有平方米．3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且13AB =，5BC =．（1）求sin BAC ∠的值；（2）如果OD AC ⊥，垂足为D ，求AD 的长；（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．﹡﹡4.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留π）； （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由． （3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．B。