新编苏教版高中数学必修四全套学案
录
1课时 不等关系与不等式性质
2课时 一元二次不等式(1)
3课时 一元二次不等式(2)
4课时 二元一次不等式表示的平面区域
5课时 二元一次不等式组表示的平面区域
6课时 简单的线性规划问题(1)
7课时 简单的线性规划问题(2)
8课时 基本不等式的证明(1)
8课时 基本不等式的证明课时作业(1)
9课时 基本不等式的证明课时作业（2）
10课时 基本不等式的应用
1课时 不等关系与不等式性质学案
通过具体情境，感受在观察现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)
经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．
．了解不等式的性质，掌握作差法比较实数大小的方法。
．在日常生活、生产实际和科学研究中，经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远
相等与不等两种情况．
：b克糖水中有a克糖（ba0），若再添上m克糖（0m），
1）提炼一个不等式； （2）你能用数学知识解释这一现象吗？
．两个实数大小的比较：
．不等式的性质
1： ab （对称性）
2： a>b，bc （传递性）
3： a>b，cR
4： a>b，0c ；a>b，0c
5： a>b，cd （加法法则）
6： a>b>0，0cd （乘法法则）
7： a>b>0，*nN （乘方法则）
8： a>b>0，*nN （开方法则）
1.时代超市将进货单价为80元的商品按90元一个出售时能卖400个，经过调查，己知这
1元，其销售量就减少20个，要使时代超市销售此商品的收入大于4320元，
2.下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素的含量及成本：
维生素A（单位kg/） 维生素B（单位kg/） 成本（元kg/）
300 700 5
500 100 4
300 300 3
kg100的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A
40000单位的维生素B，设X，Y这两种食物各取xkg，ykg，那么x，y应满足怎样
3.⑴比较61x与42xx的大小（其中xR）；
0xy，试比较22xyxy与22xyxy的大小
4.对于实数,,abc，判断下列命题的真假。
a>b，c>b，则a>c； ②若ac>bc，则a>b； ③若a>b，c>d，则ac>bd；
a>b>0，则
a11； ⑤若dbca，则ad>bc； ⑥若a>b，则22acbc。
若ba，则a
a11
5.⑴已知
2，求2的范围。
2,411,125fxaxcff，求3f的取值范围
某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册，经过调查，若价格每提高20．元，
5000册，要使杂志社的销售收入大于422．万元，每本杂志的价格应定在怎
．（1）比较大小：2)25(_______1026；2)16(______2)23(；
1
2 165；
2）0a，01b，把a，ab，2ab按从小到大排列____________；
（3）若0ba，则
1______b1（填或）；
（4）比较大小：122yx______)1(2yx．
若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是
a－d > b－c ②a＋d > b＋c ③a－c > b－c ④ a－c < a－d
1.通过具体情境，建立不等式模型；
了解不等式的性质，掌握作差法比较实数大小的方法。
1课时 不等关系与不等式性质作业
___________ 姓名____________
．（1）比较大小：76,65ab，则a b
2）已知ba0，且1ba，则a与ab2的大小是________________________．
．设满足
2，则2的范围是
给出四个条件：①0ba；②0ab；③0ab；④ 0ab。能推得11
b
．
已知三个不等式：①ab>0，②
dac，③bc>ad． 以其中两个作为条件，余下一个作
________个正确的命题，请用序号写出它们． 即_______． （把所
下列命题中其中正确的命题序号是 。
22abab；②33abab；③22abab；④ 1aacbc
；
11ab
b；⑥22ababcc。
．某种植物适宜生长在温度为C18～C20的山区，已知山区海拔每升高m100，气温
C550．，现测得山脚下的平均气温为C22，该植物种在山区多高处为宜？（列出不
．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超
200人；每个工人年工作约计h2100，预计此产品明年销售量至少80000袋；每袋需
h4；每袋需用原料kg20；年底库存原料t600，明年可补充t1200．试根据这些数据
（列出不等关系）
（1）已知6012m，3015n，求nm与nm的范围．
2）一次函数()fxkxb，且1≤)1(f≤2,3≤)1(f≤4,求)2(f的范围。
2课时 一元二次不等式(1)学案
熟练掌握一元二次不等式及其解法。
通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
会运用一元二次不等式解有关问题。
会解一些简单的含参数的不等式．
（一）三个二次间的关系
b42 0 0 0
bxaxy2
0a）的图
根002acbxax 有两相异实根 )(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221 无实根
)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R
)0(02acbxax 21xxxx
1.（1）不等式27120xx的解集为 ；
2）不等式2230xx的解集为 ；
3）不等式2210xx的解集为 ；
4）不等式2220xx的解集为 ；
5）不等式21
x的解集为 。
函数)23lg(2xxy的定义域为 。
1.已知关于x的不等式20xbxc的解集是{|51}xx，求实数,bc之值．
式：已知不等式20axbxc的解集为{|23}xx求不等式20cxbxa的解
2解关于x的不等式2(1)0(0)xaxaa
解下列不等式
2(1)0xaxa；⑵2(1)10axax；⑶220xxa
已知一元二次方程02cbxax的解根是2，3，且0a，
02cbxax的解集是_______________________________．
不等式022bxax的解集为}
121|{xx，则ba= 。
解关于x的不等式：)0(02)2(2mxmmx．
1．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二
．掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；
．掌握将分式不等式转化为一元二次不等式求解．
解一元二次不等式的步骤：
1）二次项系数化为正数； （2）解对应的一元二次方程；
3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．
会解含参数的不等式。
2课时 一元二次不等式（1）作业
___________ 姓名____________
．若10t，则不等式0)1)((
xtx的解集是
．已知集合}04|{2xxA，}062|{2xxxB，
BCA
________________；BCAR____________________．
．不等式012bxax的解集为}43|{xx，则ba_________．
．若}1
5|{xxxA，}|{axxB，且BA，
a的集合是__________________________________．
．已知二次函数qpxxy2，当0y时，有
121x，
012pxqx．
．解关于x的不等式：0))(2(2aaxx．
．不等式0
xax的解集为{|22}xx，求不等式20xxa的解集；
3课时 一元二次不等式(2)学案
熟练掌握一元二次不等式的解法；
进一步理解一元二次不等式，一元二次方程和二次函数之间的关系；
学会处理含参数的一元二次不等式恒成立问题．
1）0624xx； （2）0352xx． （3）2106511xx
1、分别求实数m的取值范围，使方程032mmxx的两根满足下列条件：
1）两根都大于5； （2）一根大于0小于1，一根大于1小于2．
2、已知关于x的一元二次不等式0622kxkx．
1）若不等式的解集是3|{xx或}2x，求实数k的值。
2）若不等式的解集是R，求实数k的取值范围．
3）若1,1k，此不等式恒成立，求x的取值范围．
1.已知二次函数2(2)2(2)4ymxmx的值恒大于零，求m的取值范围．
．已知一元二次不等式2(2)2(2)40mxmx的解集为,求m的取值范围
若函数22yxkxk中自变量x的取值范围是一切实数，求k的取值范围．
3、已知}04)2(|{2xpxxA，}0|{xxM，若AM，
p的取值范围．
4．已知：22|320,|(1)0AxxxBxxaxa，
若AB，求a的取值范围；
若BA，求a的取值范围；
若ABI为一元集，求a的取值范围；
若ABBI，求a的取值范围；
3课时 一元二次不等式（2）作业
___________ 姓名____________
．不等式0224xx的解集为
．}2|||{axxA，}1
12|{xxxB，若BA， 则a的取值范围是
已知不等式01222kxx对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是 ．
．设1)1()(2mmxxmxf，
（1）若方程0)(xf有实根，则实数m的取值范围是___________；
2）若不等式0)(xf的解集为，则实数m的取值范围是____________；
（3）若不等式0)(xf的解集为R，则实数m的取值范围是___________．
若不等式2210mxxm对满足22m
的所有m都成立，求实数x的取值范围．
设22{|430},{|280}AxxxBxxxa，且ABI，求a的取值范
．已知汽车刹车到停车所滑行的距离)(mS与速度)/(hkmv的平方及汽车的总重量)(ta
hkm/50行驶时，从刹车到停车滑行了m20，如
m15，为了保证在前
急停车时不与前面车辆相撞，那么最大车速是多少？（假定卡车司机从发现前面
s1，答案精确到hkm/1）
4课时 二元一次不等式表示的平面区域学案
、了解二元一次不等式的几何意义，会作出二元一次不等式表示的平面区域．
、由二元一次不等式表示的平面区域能写出对应的不等式
、进一步体会数形结合的思想方法，开拓数学视野．
运用恰当地“定侧”方法，确定不等式所表示的平面区域或解决
、二元一次不等式是指 ____________________________________
、在平面直角坐标系中，集合1),(xyxA几何意义是什么？集合1),(xyxB的
、下面两个集合的意义你能画图解释吗？
在平面直角坐标系中, 点的集合{(x,y)|y=x+1}几何意义是什么？
在平面直角坐标系中, 点的集合{(x,y)|y
y=kx+b把平面分成两个区域：
y>kx+b表示直线 方的平面区域；②y＜kx+b表示直线 方的平面区域．
（选点法）：
1：画出下例不等式所表示的平面区域。
2)1(xy
02)2(yx；0543)3(yx ；(4)0y；(5)2x
已知点)0,0(A、)0,1(B、)4,7(C、)4,6(D，其中哪些点在不等式0543yx
0543yx的上方还是下方？
2：将下列图中的平面区域（阴影部分）用不等式出来（图（1）中的区域不包含y轴）
y x+y=0 y
o 2x+y=4
、画出下列不等式表示的平面区域
132)1(yx
324)2(yx 243)3(x 132)4(y
、下列命题正确的是
1）点(0,0)在平面区域x+y≥0内 （2）点(0,0)在平面区域x+y+1<0内
3）点(1,0)在平面区域y>2x内 （4）点(0,1)在平面区域x-y+1>0内
、不等式x+4y-9≥0表示直线 x+4y-9=0
②下方的平面区域
的平面区域(包括直线) ④下方的平面区域(包括直线)
、画平面区域的步骤：
1）先画不等式对应的方程所表示的直线（包括直线时，把直线画成实线，不包括直线时，
2）再通过选点法判定在直线的哪一侧．选点法中所选点常常为(0,0),(1,0)或(0,1)等，
、规律揭示：直线y=kx+b把平面分成两个区域：
y>kx+b表示直线上方的平面区域；②y＜kx+b表示直线下方的平面区域．
4课时 二元一次不等式表示的平面区域 作业
、不在3x + 2y < 6 表示的平面区域内的点是
①（0，0） ②（1，1） ③（0，2） ④（2，0）
、不等式063ayx（0a）表示的平面区域在直线063ayx 方
、画出下列不等式表示的平面区域
)1(yx
13)2(xy
将下列各图中的平面区域用二元一次不等式表示出来。
、点)2,1(P，03),(myxyxA，Rm。若AP，求m的范围
、点),2(t在直线0632yx的上方，求实数t的范围
、两个点Ａ(－3，－1)和Ｂ(4，－6)分布在直线－3x+2y+a=0的两侧，求实数a的取值范围。
5课时 二元一次不等式组表示的平面区域学案
、了解二元一次不等式组的几何意义，会作出二元一次不等式组表示的平面区域．
、由二元一次不等式组表示的平面区域能写出对应的不等式组
、进一步体会数形结合的思想方法，开拓数学视野．
、作出二元一次不等式组表示的平面区域
、由二元一次不等式组表示的平面区域能写出对应的不等式组
、什么叫做二元一次不等式组？
、二元一次不等式组
34104yxyx表示怎样的几何意义？
1：画出下例不等式组所表示的平面区域
1）
212yxxy （2）
3400yxyx
满足例1（2）中不等式组的整数解有哪些
练习：见教材77页第3题。
2：△ABC三个顶点坐标为)0,2(),0,2(),4,0(CBA，求△ABC内任一点),(yx所满足
77页第4题。
、画出下列二元一次不等式组表示的平面区域。
235100260
xyxyxy
2510236
10xyxyxy
将下列各图中的平面区域用二元一次不等式组表示出来。
在直角坐标系中，满足不等式 x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的
⑵ ⑶ ⑷
不等式组
3005yxyx表示的平面区域的面积为 。
（1）画出不等式（x+2y-1)(x-y+3)>0表示的区域；
2）求不等式|x| + |y| ≤2表示的平面区域的面积。
6课时 简单的线性规划问题(1)学案
． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
． 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题。
、判断下列求法是否正确
若实数 x, y 满足 ① 求2x+y 的取值范围.
②
解：由①、②同向相加可得：6≤2x≤10 ③
-4≤y-x≤-2
0≤y≤2 ④
+④得 6≤2x+y≤12
如果错误错在哪？
的前提下，求2x+y的最大和最小值
2x+y的最大、最小值x、y要满足什么条件？
1：在坐标系中代表哪部分平面区域？
2：在这个区域中，如何取到2x+y的最大最小值？
Z=2x+y，得到y=-2x+Z,斜率是 ，纵坐标上截距是 要求Z的最大（最小）
y=-2x+Z的 最大（最小）
:3：如何作出这条直线？
方法总结：在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括
概念剖析：
x、y
的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线
最大值或最小值的问题，统称为线性规划问
(x, y ) 叫可行解．
.42,64yxyx.42,64yxyx
规划问题的最优解．
1.：求 z = 2 x + y 的最大值，其中x、 y 满足约束条件1
yxxyy
x、y满足22
3xyxyy ，求2Zxy的取值范围
、 已知x 、 y 满足约束条件500
xyxyx求z = 2x + 4 y 的最小值
、 已知31ba且42ba，求ba32的取值范围
7课时 简单的线性规划问题(2)学案
、能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件。
、体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题。
、培养学生如何把实际问题转化为数学问题的能力。
、最优整数解的有关问题
复习回顾：在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括
线性规划在实际中的应用：
何合理安排和规划，能 以最少的人力、物力、资金等资源来完成
.
1：投资生产A产品时，每生产t100需要资金200万元，需场地2002m，可获利润300
B产品时，每生产t100需要资金300万元，需场地1002m，可获利润200
.现单位有资金1400万元，场地9002m，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
2：某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t。该公司有8辆载重为6t的A型
4辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员。每辆卡车每天往返次数为A型卡车4
B型卡车3次。每辆卡车每天往返的成本费A型卡车320元，B型卡车504元。试为
、北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应
因此该商厦要根据实际情况（如成本、工资）确定产品的月供应量，以使得总利润最大，
单位产品所需资金（百元） 月资金供应量（百元）
空调
20 30 300
10 5 110
8 6
样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？
、要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小
表所示：
8课时 基本不等式的证明(1)学案
理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．
探索并了解基本不等式的证明过程。
体会证明不等式的基本思想方法。
理解这个基本不等式的几何意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个
ba时取“”号．
设ba,是正数，则它们的算术平均数为________________,几何平均数为___________.
两个正数a、b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？
1：如何证明00
ababa,b（）？
（ ）
abab=
所以
abab，当且仅当 时，等号成立。
（
）要证
abab，
只要证
只要证
只要证
因为最后一个不等式成立，所以
abab成立，
时，取“=”
（ ）我们可将证法二的证法“倒过来”写，即
时，取“=”
2：0,0ab当时，这个不等式仍然成立吗？
我们把不等式 称为基本不等式。
你能给出基本不等式几何解释吗？
基本基本不等式：
基本不等式成立的条件
基本基本不等式几何意义：
基本不等式的变形：
一个重要不等式：如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“”）．
1. 设,ab为正数，证明下列不等式成立：（1）2ba
b； （2）12aa
ba，都为负数，则分别比较
aab与2；aa1与2的大小．
2.若ba，都是正实数，求证：
2babaab．
3.已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222
．算术平均数与几何平均数的概念；2．基本不等式及其应用条件；
．不等式证明的基本方法。
、设ba,是正实数，以下不等式①bbaa；②22234babba；
21
ab。其中恒成立的序号是 .
、证明不等式22
22baba.
、求证：)(2322babba，并指出能否取等号。
、①已知cba,,是正数，求证：cba
ccbba222
a、b、c是不全相等的正数，求证：3
cbabbacaacb
第8课时 基本不等式的证明课时
(1) 苏教版必修4
．若1ba，Pbalglg，Q)lg(lg
1ba，lgR2ba，则
A．QPR B．RQP C．RPQ D．QRP
．若0ab，则下列不等式一定成立的是
A．ababba
B．babaab2
C．baabba
D．ababba2
、下列不等式证明过程：①若Rba,，则;22?
aababba②若Ryx,，则
lglg2lglgyxyx?
Ryx,，则;44244?
xxxxx
0,,abRba，则2)()(2)]([?
aabbaababba
。
．（1）24)14)(4(
2Q
aP，，则P与Q的大小关系为_________．
（2）已知1a，则aP
log
1与21log2aQ的大小关系为_________．
．⑴设a，)0(，b，求证：ab
aab2．
)2(222baba.
．设Ryx，，求证：)2(2522yxyx．
．已知Rba，，求证：1
112222baba．
、已知a、b、c∈R,求证)(2222222cbaaccbba
．求证：（1）baba2log)(log
12221； （2）1)4141(log21baba．
第9课时 基本不等式的证明课时
2） 苏教版必修4
．（1）若0x时，x
y312的最小值为_____；此时x_____．
2）若0x时，x
y312的最大值为______；此时x_____．
3）函数)3(
1xxxy的最小值为______；此时x_____．
．（1）已知Ryx，且12yx，则
x11的最小值为___________．
2）已知0x，0y，且191
x，则yx的最小值为__________．
3）若,0,ba，且2ba，
则
a11的最小值是 。
．已知函数
costany，)20(，，求函数的最小值及取最小值时的值．
．求函数)0(4x
xy的值域．
设1x，求函数1
43xxy的最小值及x的值．
、求函数
2
xxy的最值。
．求函数y
82xx)1(x的最小值．
．设x，y为正实数，且2052yx，求yxulglg的最大值．
、设1
,0,022baca，求21ba?的最大值。
、已知101,01,
xyxy，求11
3loglogxy的最大值，并求相应的,xy值。
9课时 基本不等式证明（2）学案
进一步掌握基本不等式；
.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
.基本不等式在证明题和求最值方面的应用。
的条件及解题中的转化技巧。
重要不等式：________________________________
基本不等式：________________________________
yx,都是正数
xy是定值p，由基本不等式xyyx
，那么当且仅当yx时，和yx有
值 ；
yx是定值s，由基本不等式xyyx
可得2yxxy，那么当且仅当
x
xy有最 值 ．
1已知Ryx，；
1）9xy时，则yx2的最____值为______，此时x_____；y_____．
2）14yx，则xy的最____值为______，此时x_____；y_____．
2、求函数）（01x
xy的最小值：
变式1：函数)0(1x
xy存在最值吗？若有请求之；若改成xxy1结果又如何？
变式2：求函数),2(,
1xxxy的最小值
3：将,2x改为,4x，求此函数的最小值。
3（1）求(4)(04)yxxx的最大值，并求取时的x的值
2）求)20(42xxxy的最大值，并求取最大值时x的值
4（1）已知0x，0y，12yx，求
x11的最小值；
2）已知Ryx，，且191
x，求yx的最小值．
求函数
294
xy的最小值，并求函数取最小值时x的值。
求 lglog10
x)1(x的最值，并求取最值时的x的值。
已知02x，求函数()3(83)fxxx的最大值，并求相应的x值。
已知0,0,31,xyxy求11
y的最小值，并求相应的,xy值。
（一正二定三相等）
1）x，y一定是正数；
2）求积xy的最大值，应看和yx是否为定值；求和yx的最小值时，看积xy是否定
3）等号是否能够成立．
10课时 基本不等式的应用学案
、进一步掌握用基本不等式
abab,(a,b都是正数)求函数的最值问题；
、能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．
设a,b为正数,则ab,22
ab, 2
ab三者由小到大的顺序是 .
已知x,y是正数
如果xy是定值p，那么当
时，和yx有最 值
；
如果和yx是定值s，那么当
时，积xy有最 值 .
1长为4a的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的
150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造
价最低，最低总造
3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面
3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购
4①在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？
、某村计划建造一个室内面积为2800m的矩形温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内
1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，则蔬菜的种植面积是 2m。
、一商店经销某种货物，根据销售情况，进货量为5万件，分若干次等量进货（设每次
x件），每进一次货需运费50元，且在销售完成该货物时立即进货，现以年平均
x件
20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x
件。
、若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 。
、将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能使横截面的面积最大？
、某公司租地建仓库，每月土地占用费
y与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物
y与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用1y和2y
2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少千米处？
、一个由17辆汽车组成的车队，每辆车车长为5米。当车队以速度v（千米/小时）行驶
2
v米，现车队要通过一座长为140米的大桥，问车速v为
需要多少分钟？
、某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为2200m的三段污水处理池，由于受地形限制，其
16m，如果池的外壁的建造单价为400元2/m，池中两道隔墙的厚度不
148元2/m，池底的建造费单价为80元2/m，则水池
的造价最低？最低造价为多少？
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先理解题意,改变量.改变量时注意变量的范围是否受实际问题的限制.
建立相应函数关系式把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
在定义域内,求出函数的最大值或最小值.
正确写出答案.