《原子物理与量子力学》第8章 矩阵力学简介
量子力学的矩阵力学与波函数力学
量子力学的矩阵力学与波函数力学量子力学是物理学中一门重要的学科，它描述了微观世界中的粒子行为。
量子力学的两个主要表述方式是矩阵力学和波函数力学。
本文将深入探讨这两种力学的原理和应用。
矩阵力学是量子力学的早期表述方法，由狄拉克和海森堡等科学家提出。
它的核心思想是将物理量表示为矩阵，通过矩阵运算来描述量子系统的演化和性质。
在矩阵力学中，态矢量用列向量表示，而算符用矩阵表示。
狄拉克符号则是矩阵力学的重要工具，它使用了抽象的符号来简化计算和描述。
波函数力学是量子力学的另一种表述方式，由薛定谔提出。
它的核心思想是通过波函数来描述量子系统的状态和演化。
波函数是一个复数函数，它的平方表示了在某个位置找到粒子的概率。
波函数力学中，薛定谔方程是基本的定律，它描述了波函数随时间的演化。
矩阵力学和波函数力学在形式上有所不同，但它们是等价的，即可以通过数学上的变换相互转化。
这个等价性被称为矩阵力学和波函数力学的对偶性。
对偶性的存在使得我们可以选择合适的表述方式来研究不同的问题。
在实际应用中，矩阵力学和波函数力学各有优势。
矩阵力学在处理离散谱的问题上更加方便，例如原子能级的计算。
而波函数力学在处理连续谱的问题上更加方便，例如电子在晶格中的行为。
因此，根据具体问题的性质，选择合适的力学表述方式是非常重要的。
除了矩阵力学和波函数力学，量子力学还有其他的表述方式，例如路径积分表述和相互作用表述。
路径积分表述是费曼提出的一种表述方式，它通过对所有可能路径的积分来描述量子系统的演化。
相互作用表述是海森堡提出的一种表述方式，它将算符的演化方程作为基本定律，而不是波函数或矩阵的演化方程。
这些表述方式在不同的问题和计算方法中有着重要的应用。
总结起来，量子力学的矩阵力学和波函数力学是描述量子系统的两种基本方式。
它们在形式上有所不同，但在物理上是等价的。
根据具体问题的性质，选择合适的表述方式是非常重要的。
除了矩阵力学和波函数力学，量子力学还有其他的表述方式，例如路径积分表述和相互作用表述。
矩阵力学和波动力学
矩阵力学和波动力学矩阵力学和波动力学是量子力学的两大支柱理论，它们对于描述微观世界中的粒子行为起着至关重要的作用。
矩阵力学是由狄拉克和海森堡等人提出的，它将物理量表示为矩阵形式，通过矩阵的运算来描述微观粒子的运动和性质。
而波动力学则是由薛定谔提出的，它将粒子的运动描述为波函数在空间中的传播和演化，通过波函数的演化来预测粒子在不同位置的可能性分布。
矩阵力学的提出，使得量子力学摆脱了经典力学中困扰着科学家们多年的矛盾和难题，为人们理解微观世界提供了全新的视角。
通过将物理量表示为矩阵，矩阵力学可以很好地描述微观粒子的运动和性质，从而揭示了微观世界中的规律和现象。
矩阵力学的提出，不仅推动了量子力学的发展，也为后来的量子场论等理论奠定了基础。
与矩阵力学不同，波动力学则将微观粒子的运动描述为波函数的演化。
波函数是描述粒子运动状态的数学工具，它可以告诉我们粒子在空间中的位置和运动状态。
通过波函数的演化，我们可以预测出粒子在不同位置的可能性分布，从而揭示了微观世界中粒子的行为规律。
波动力学的提出，为我们理解微观世界中的量子效应提供了重要的工具，也为量子力学的发展开辟了新的研究方向。
矩阵力学和波动力学虽然是量子力学的两大支柱理论，但它们并不矛盾，而是互为补充。
矩阵力学强调了粒子的运动和性质是离散的，通过矩阵运算来描述粒子的状态和性质；而波动力学则强调了粒子的运动是连续的，通过波函数来描述粒子的运动状态。
两者结合起来，可以更全面地描述微观世界中粒子的运动和性质，为我们揭示了微观世界中奇妙而复杂的规律。
总的来说，矩阵力学和波动力学是量子力学中不可或缺的两大理论，它们为我们理解微观世界提供了重要的工具和观点。
矩阵力学将物理量表示为矩阵形式，描述了微观粒子的运动和性质；波动力学则将粒子的运动描述为波函数的演化，揭示了微观世界中粒子的行为规律。
两者结合起来，为我们打开了探索微观世界的新视野，也为量子力学的发展指明了前进的方向。
第八章矩阵力学简介
第八章 矩阵力学简介8.1 态的表象8.1.1直角坐标系的旋转变换取平面直角坐标系Ox1x2，坐标轴的基矢量为21,e e,其标为()2,1,),(21==j i e e iji δ(8-1)式中，⎪⎩⎪⎨⎧≠==j i ji ij ,0,1δ，而平面上的任意矢量A 可以写为2211e A e A A+= (8-2)式中 )(,)(2211A e A A e A⋅=⋅=分别是A 沿两个坐标轴的分量。
所以在Ox1x2坐标系中我们用),(21A A 表示A。
现在将Ox1x2沿垂直于平面的坐标轴顺时针转θ角，坐标系为21x x O '''，其基矢量为21,e e ''同样有()2,1,),(==''j i e e ijj i δ(8-3)平面上的任意矢量A可以写为2211e A e A A ''+''=(8-4) A沿两个坐标轴的分量为)(,)(2211A e A A e A⋅'='⋅'=' (8-5) 所以在21x x O '''坐标系中我们用),(21A A ''表示A。
因而 2211e A e A A+=2211e A e A ''+''= (8-6) 有)(,)(22221111e e A A e e A A⋅'='⋅'=' (8-7) 上式可以写为()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''212212211121,,,,A A e e e e e e e e A A (8-8) 由于11e e 与'22e e 与'的夹角均为θ，因此有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''2121cos sin sin cos A A A A θθθθ (8-9) 或记为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''2121A A R A A θ (8-10)式中()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=θθθθθcos sin sin cos R 是把矢量A 在两个坐标系中的表示⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡''2121A A A A 和联系起来的变换矩阵，该矩阵是一个幺正矩阵，相应的变换称为幺正变换。
量子力学的数学形式矩阵力学与波动力学
量子力学的数学形式矩阵力学与波动力学量子力学的数学形式：矩阵力学与波动力学量子力学是一门描述微观粒子行为的基础科学，其形式化的数学描述包括矩阵力学和波动力学。
本文将重点探讨这两种数学形式，并比较它们在量子力学研究中的应用。
一、矩阵力学矩阵力学是量子力学的数学描述之一，由狄拉克、海森堡等人共同发展而成。
在矩阵力学中，系统的状态用一个列向量表示，称为状态矢量。
这个列向量包含了描述系统性质的各种物理量的期望值，比如位置、动量等。
矩阵力学中，算符起着关键的作用。
算符是描述物理量的数学对象，用于描述粒子的运动和相互作用。
算符通常用矩阵表示，其本征值和本征态为量子力学中的基本概念。
矩阵力学的数学形式非常抽象，但是它提供了一种简洁、直观的描述量子系统的方法。
通过矩阵力学，我们可以推导出一系列重要的量子力学定理，例如不确定关系、能级跃迁等。
二、波动力学波动力学是量子力学的另一种数学形式，也是薛定谔在20世纪20年代提出的一种解释量子现象的方法。
波动力学将量子系统的状态用波函数表示，波函数是对系统的全部信息的描述。
在波动力学中，波函数满足薛定谔方程，该方程描述了波函数随时间的演化规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数，并通过波函数的模的平方得到粒子的概率分布。
波动力学提供了一种直观的解释量子力学现象的方法。
通过波函数，我们可以计算出粒子的能级、位置分布等物理量。
此外，波动力学还为我们提供了计算复杂量子系统的方法，例如多粒子系统的耦合等。
三、矩阵力学与波动力学的比较矩阵力学和波动力学作为量子力学的数学形式，各有其优点和适用范围。
矩阵力学在数学表达上更为简洁，通过矩阵的运算可以得到系统的性质。
它特别适用于描述微观粒子的对称性和它们之间的相互作用。
矩阵力学还为我们提供了丰富的数学工具，例如量子力学中的常用算符，如位置算符、动量算符等。
波动力学则提供了一种更直观的描述量子系统的方法。
通过波函数，我们可以得到粒子的概率分布，从而推测其在不同位置的可能性。
矩阵力学知识点
矩阵力学知识点矩阵力学是量子力学的一个重要分支，它通过矩阵和线性代数来描述物理系统的性质和演化规律。
在这篇文章中，我们将介绍一些矩阵力学的基本概念和关键知识点。
1. 矩阵和矢量在矩阵力学中，我们使用矩阵来表示物理量和物理系统。
一个矩阵可以看作是一个有序的数值集合，它们按照一定的规则排列在一个矩形的方阵中。
而矢量则是矩阵的一种特殊形式，它可以被表示为一个列矩阵或行矩阵。
2. 矩阵的运算矩阵力学中，有许多重要的矩阵运算，其中包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加（或相减）的规则。
数乘则是将矩阵中的每一个元素乘以一个常数。
矩阵乘法是矩阵力学中最重要的运算，它的结果是两个矩阵之间的线性组合。
3. 基态和本征值在矩阵力学中，基态是指物理系统的最低能量状态，通常用一个矢量表示。
本征值则是描述物理量的特征值，它是通过使用特征方程来计算得到的。
4. 变换矩阵变换矩阵在矩阵力学中扮演着重要的角色。
变换矩阵用于描述物理系统在不同坐标系下的变换规律，通过矩阵乘法来实现这种变换。
5. 算符和力学量算符是矩阵力学中另一个重要概念，它用于描述物理系统的力学量。
算符可以对矢量进行操作，从而得到该物理量的测量结果。
算符也可以用于描述系统的演化规律。
6. Heisenberg方程和Schrödinger方程Heisenberg方程和Schrödinger方程是矩阵力学中的两个基本方程。
Heisenberg方程描述了物理系统的演化，它通过施加算符对矢量进行变换，得到测量结果。
Schrödinger方程则是用于描述物理系统的波函数演化，它通过线性方程组来计算波函数的变化。
7. 不确定性原理不确定性原理是矩阵力学中一个非常重要的概念。
根据这一原理，无法同时确切知道一个粒子的位置和动量，而只能知道它们的概率分布。
总结：本文简要介绍了矩阵力学的一些核心概念和知识点。
矩阵力学通过矩阵和线性代数的方法描述了物理系统的性质和演化规律。
矩阵力学起源于波尔模型
矩阵力学起源于波尔模型
矩阵力学起源于波尔模型，是量子力学的重要分支之一。
波尔模型最初是为了解释氢原子光谱而提出的，它将电子看作在不同的轨道中运动，每个轨道都对应着一个特定的能量，而能量的转移是由电子跃迁引起的。
然而，随着实验数据的不断积累，波尔模型的局限性也逐渐显现出来，它无法解释复杂的多电子原子和分子的行为。
在这种情况下，矩阵力学应运而生。
矩阵力学的核心思想是将波函数表示为一组坐标下的函数，然后通过矩阵运算来解决量子力学中的各种问题。
与波尔模型不同的是，矩阵力学可以处理更为复杂的问题，例如原子中多个电子的相互作用以及分子的振动和旋转。
矩阵力学的奠基人之一是德国物理学家海森堡，他在1925年提出了矩阵力学的基本思想。
在此之后，许多物理学家对矩阵力学进行了深入的研究，包括狄拉克、薛定谔、冯·诺依曼等。
他们的工作使得矩阵力学逐渐成为量子力学主流的分支之一，并在原子物理、凝聚态物理、化学等领域得到了广泛应用。
总之，矩阵力学起源于波尔模型，是量子力学的重要分支之一。
它的出现极大地丰富了量子力学的理论框架，为解决复杂问题提供了新的思路和方法。
- 1 -。
量子力学中的矩阵理论
量子力学中的矩阵理论量子力学是研究微观物体行为的重要分支，而量子力学中的矩阵理论则是支撑这一学科发展的关键工具之一。
在量子力学中，微观粒子的性质和行为往往无法用经典物理学的概念来解释，而矩阵理论则为我们提供了一种有效的数学框架，帮助我们理解和描述这些微观粒子的奇妙世界。
量子力学中的矩阵表示方法最早由狄拉克（Dirac）提出，经过多年的发展和完善，已经成为解决量子力学问题的一种重要数学工具。
矩阵在量子力学中的应用可以追溯到海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学，而这些理论的成功也为矩阵理论在量子力学中的应用奠定了基础。
矩阵理论在量子力学中的应用之一是描述微观粒子的态矢量。
在经典物理学中，我们用向量来描述物体的物理状态，而在量子力学中，我们则使用态矢量。
态矢量是一个复数向量，表示粒子在某个状态下的量子机会。
而这些态矢量可以通过矩阵来表示。
例如，一个二维复数向量可以用一个二阶矩阵来表示，而三维的情况则需要使用更高维度的矩阵。
通过矩阵表示态矢量，我们可以方便地进行各种计算和推导。
这是因为矩阵在数学上有着丰富的属性和运算法则。
我们可以对矩阵进行求和、乘法、转置等操作，而这些操作在量子力学中具有重要的物理意义。
例如，我们可以通过计算两个矩阵的乘积，得到两个量子态叠加的结果。
这种用矩阵来表示量子态的方法，为我们研究量子系统的演化、相互作用等提供了便利。
除了描述态矢量，矩阵理论在量子力学中还有其他重要的应用。
其中之一是描述量子力学中的算符。
在量子力学中，算符是一种可以作用在量子态上的数学操作。
通过矩阵理论，我们可以将算符表示成矩阵的形式，从而可以方便地进行计算。
例如，我们可以通过对应的矩阵乘以态矢量，得到算符作用后的结果。
这种矩阵表示方法可以帮助我们理解和计算各种物理量的平均值、期望值等。
此外，矩阵理论还为我们提供了描述量子力学中的对易关系的工具。
在量子力学中，对易关系是描述两个物理量之间的量子态的关系。
通过矩阵理论，我们可以将对易关系表示成矩阵的形式，从而可以用矩阵的性质进行分析和计算。
量子力学中的矩阵力学与量子力学力学
量子力学中的矩阵力学与量子力学力学量子力学是现代物理学中的一门重要学科，它描述了微观世界中粒子的行为。
在量子力学中有许多不同的形式和表达方式，其中矩阵力学是一种重要的描述方法之一。
矩阵力学是由狄拉克和海森堡等人在20世纪20年代初提出的，它是量子力学的一种数学表达方式。
在矩阵力学中，物理量如位置、动量、能量等被表示为矩阵，而波函数则被表示为矩阵的本征矢量。
通过矩阵的运算和变换，可以得到粒子的性质和行为。
与波动力学相比，矩阵力学更加抽象和数学化。
它不再使用波函数的概念，而是将量子态表示为一个列矢量。
这种表示方式使得矩阵力学在计算和推导上更加方便和简洁。
矩阵力学的基本原理是海森堡不确定性原理，它指出在测量某一物理量时，不可避免地会对其他物理量造成扰动。
这一原理揭示了微观世界的不确定性和局限性。
矩阵力学的一个重要应用是描述量子力学中的观测和测量过程。
在矩阵力学中，观测过程被描述为一个算符的作用。
观测结果是算符作用后得到的本征值，而观测前的量子态则会塌缩为观测结果对应的本征矢量。
这种观测方式与经典物理中的测量过程有很大的不同，体现了量子力学的独特性。
除了观测和测量，矩阵力学还可以用来描述量子力学中的运动和演化。
在矩阵力学中，物理量的演化由一个时间演化算符描述。
这个算符会随着时间的推移改变量子态的表示，从而描述了量子系统的演化过程。
这种描述方式与经典力学中的轨道和运动方程有所不同，体现了量子力学中的非经典性质。
矩阵力学在量子力学的发展中起到了重要的作用。
它不仅为量子力学提供了一个统一的数学框架，还揭示了微观世界的奇异和复杂性。
矩阵力学的发展也推动了量子力学的进一步研究和应用，为我们理解和探索微观世界提供了重要的工具和思路。
尽管矩阵力学在量子力学中占据重要地位，但它并不是唯一的描述方式。
量子力学还有其他形式和表达方式，如波动力学、路径积分等。
这些不同的描述方式各有特点，适用于不同的物理问题和计算方法。
矩阵力学虽然抽象和数学化，但在某些情况下仍然可以提供更直观和简洁的描述。
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§8.3 量子力学公式的矩阵表示
在引入特定表象后，量子力学中的所有公式都可用 矩阵表述，从而构成矩阵力学在F表象中，力学量L的矩 阵元表示为
而量子态ψ则表示成列矢的形式，即
量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式
☻薛定谔方程的矩阵表示
薛定谔方程
在F表象中， 系数为时间t函数，薛定谔方程为
作以下内积
如表象空间的维数为N，则上式是关于L的N次方程，有 个N实根。若有n个重根，则力学量L的本征态是n重简并的。
用解得的根一一代入前面的代数所得方程组 可以得到 ak( j，) 并把它表成列矢的形式
这是与本征值 Lj 相应的本征态在F表象中的表示。
☻力学量的表象变换
按照F表象中的基矢展开
用 k 对上式作内积
同一矢量A在新坐标系中的表示为
矢量A在新坐标系中的投影分量为
矢量A在新旧坐标系中两种表示的关系为何？应当相等， 即
用新坐标系的基矢量分别对上式的后一等式作标积，有
上式可用矩阵形式表示
或记为
其中，
是把矢量A在两坐标系中不同表示的变换矩阵，这是一个幺 正矩阵。若转动角θ一旦给出，两个坐标系之间的旋转变换 关系就完全确定。
同一态矢量（波函数）在不同表象中的关系
该问题相当于同一矢量在直角坐标下经过转动变 换后的两种表示之间的关系。两种表象中的态矢量关 系为
表示成矩阵关系
§8.1 算符的矩阵表示
算符的表象表示
仍以线性空间的矢量作类比
令 用e1、e2对上式作点乘，得
写成矩阵形式，有
即
R(θ)矢量A逆时针转动θ角的变换矩阵，容易证明是它
量子力学中态矢量的表象
假定算符 Fˆ 具有分立的本征值谱，本征方程为
作以下积分
即
，是 与各基矢（ Fˆ 的本征态 m）的内
积。这里的波函数也叫态矢量，属于希尔伯特空间（复数空
间），可以是无穷维的。
把态矢量或其转置共轭写成如下矩阵形式
其归一化条件为
归一化条件写成矩阵形式为
I是单位矩阵。 态矢量在不同的表象中有不同的表示。
直角坐标系的旋转变换
平面直角坐标系Ox1x2中，两坐标轴的基矢可表示为e1、e2， 其标积为
平面上的任一矢量A可表示为
在两个坐标轴上的分量（或投影）为
（A1，A2）称为A在坐标系Ox1x2中的表示。 坐标系Ox1x2沿垂直于自身平面的
轴顺时针转动θ角，成为一个新的坐标 系 Ox1x2 ，单位基矢变为 e1、e2 。在新 坐标系中的两基矢的标积为
即 或
其中 同理可得 式中 由此可以得
即 式中 是从F表象到F'表象间基矢变换的幺正矩阵，即
本章小结
谢 谢!
幺正矩阵。
与此类比，设 经算符 Lˆ 作用后变为 ，即 以F表象（力学量F完全集的本征态 k ）为基矢， 和 分别
表示为
如何通过上式由ak求bk?
力学量算符对态的作用可以写成
矩阵L一旦确定，则所有基矢（因而任何矢量）在 Lˆ 作用下 的变化就完全确定了。
例1 求一维谐振子的坐标x、动量px以及哈密顿量H在 能量表象中的表示。
原子物理与量子力学
第8章 矩阵力学简介
§8.1 态的表象 矩阵简介(Review)
1. N×M矩阵
矩阵A的共轭矩阵
0 i 例如 A i 0
A
0 i
i* 0 0 i
0i A
表象：波函数和力学量算符的不同表示形式。 常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。
记哈密顿算符的矩阵元为 薛定谔方程变为 表示成矩阵形式
☻平均值公式的矩阵表示 力学量的平均值
即在自身表象中，矩阵元为 代入平均值公式
☻本征值方程的矩阵表示
算符 Lˆ 的本征方程为 在F表象中，任意波函数按其本征态展开 再代入本征方程，得
用ψj作内积，得
即 方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即 写成矩阵形式
坐标表象
以坐标算符的本征态为基矢构成的表象称为坐标表 象。以一维的x坐标为例，其坐标算符的本征方程为
相应本征函数为 δ(x x)。任意量子态均可以按该本
征函数展开
动量表象
以动量算符的本征态为基矢构成的表象称为动量表象。 以一维的动量算符 pˆ x为例，其本征态（坐标表象）为
任意量子态均可以按该本征函数展开