平差数学模型与最小
第一章(近代平差理论简介)
1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T QV min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V AX L
R ( A) t
D 0 Q
2
det(Q) 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机 的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了 带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY' ' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号 Y；未 知参数与观测值没有建立函数模型。
随机模型的验后估计的方法有: ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PVi 与对应的 i 的关系式，通过平差 求得的 ViT PVi ,求 i2 i2 i , ②MINQUE估计法（Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的 极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法： 假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
ˆ BV AX f ˆ W CX E 0
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V BX l ) V AX f 当A=0,C=0时,条件平差： BV f ( AV W 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V AX f
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
现代测量平差原理及其模型误差分析
现代测量平差原理及其模型误差分析一、现代测量平差原理（一）最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化测量残差的平方和来求取最优结果的方法。
其基本原理是，对于一个测量系统的观测数据，通过建立数学模型来描述测量关系，并在该模型中引入未知参数，然后通过最小化预测值与观测值之差的平方和来求取最优的未知参数估计值。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，其具有合理性、稳定性和统计优良性的特点。
在实际测量中，最小二乘法可以用于网络平差、方位角平差、高程平差等各种测量平差。
（二）加权最小二乘法加权最小二乘法是在最小二乘法的基础上引入权重因子，用于修正观测数据的精度不均匀性。
在实际测量中，不同的观测数据具有不同的可信度和精度水平，因此需要对其进行加权处理。
通过引入权重因子，可以对精度较高的数据赋予较大的权重，从而有效地提高整体平差结果的精度。
在测量平差中，模型误差是指由于建立的数学模型无法完全精确地描述实际测量系统而产生的误差。
为了提高平差的准确性，需要对模型误差进行分析和控制。
（一）理论误差与观测误差在测量平差中，模型误差可以分为理论误差和观测误差两部分。
理论误差是指由于数学模型的简化、近似或假设所引入的误差，通常在建立模型时可以通过数学推导和模型检验来评估。
观测误差是指由于测量仪器、观测操作和环境等因素所引起的误差，具有随机性和系统性两种特征，通常通过实际观测和数据处理来估计。
（二）误差分析与控制误差控制是指通过优化观测设计、改进仪器设备、改进观测方法和提高数据处理等手段，减小观测误差和理论误差，并降低其对最终平差结果的影响。
常用的误差控制方法包括增加观测次数、提高观测仪器的精度和敏感度、加强仪器校准和检查、改进观测方法和数据处理算法等。
光束法平差-基本原理
为光束法。光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的 非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算。该计算也是在提供一个近似解的 基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的。
VX X 权为PVY Y
VZ Z
……（式 3-16）
列出各类点的误差方程式后，按照最小二乘法原理建立法方程式，即按 PVV 为最小建立
的法方程式为（式 3-17）：
AT PA AT PB X AT PL
BT
P
A
BT
PB
*
t
BT
PL
0
……（式 3-17）
也可简写成：
N11 N12 X L1
Fx
f
sin
x f
(x sin
y cos )
a16
Fx
y
a24
Fy
x sin
[
y f
(x cos
y sin )
f
sin ] cos
a25
Fy
f
cos
y f
( x sin
y cos)
③误差方程式的建立： 据此可得到误差方程式为（式 3-11）：
a26
Fy
x
VX
a d a d a d 11 Xs
其中有：
lx FX FX 0 x
f
a b c 1( X Xs) 1(Y YS ) 1(Z ZS ) a b c 3( X Xs) 3(Y YS ) 3(Z ZS )
ly Fy Fy0
y
f
a b c 2( X Xs) 2(Y YS ) 2(Z ZS ) a b c 3( X Xs) 3(Y YS ) 3(Z ZS )
误差理论与测量平差四章
引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0
1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0
hh%%12
1
2
x
2 m in
1
nE(
1
2
)
2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L
测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型 例 引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34
hh%%56
0
0
0 1
X%
0
0
0
H
A
《测量平差》学习辅导
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。
测量平差复习资料
PLL
Q1 LL
P Q LL LL E
a、当L相互独立时；
b、当L不相互独立时
注：权、权阵、协因数阵的概念 权阵P与权Pｉ是两个不同的概念： 1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权Pｉ； 2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权Pｉ
side10
例1：
L
( L1 ,
L2
)T
,
QLL
side22
基础方程和它的解
数学模型
A W 0 W F (L)
D
02Q
2 0
P
1
V T PV 最小
A V W 0
rn n1 r1
V QAT K
A V W 0
rn n1 r1
K ( AQAT )1W Naa1W
法方程式
side23
side25
五、附加参数的条件平差
基础方程：
A V B x W 0
cn n1 cu u1 c1
V T PV 最小
法方程式： AQAT K B xW 0 BT K 0
side26
算例6
在下图所示测角网中，A、B、C 为待定点，同精度观测了 L1、L2、 L3和 L4共四个角度观测值。设平差后BAC 为参数 Xˆ ，指出采用何 种平差模型，并写出函数模型和法方程。
以上项：
side19
算例4：
下图所示三角网中，A,B 为已知点，FG 为已知边，观测角 Li （i 1,2, ,20），观测边 S j （ j 1, 2），则 ①在对该网平差时，共有几种条件？每种条件各有几个？ ②用文字符号列出全部条件方程，将其中的一个极条件和一个 边长条件线性化。
平差计算的基本原理和方法
平差计算的基本原理和方法平差计算是一种广泛应用于测量和工程领域的数学方法，用于解决数据观测值中的误差和偏差问题。
平差计算的基本原理是通过最小二乘法，以最小化观测值与计算值之间的残差平方和来确定最优解。
本文将介绍平差计算的基本原理和常用方法。
一、平差的概念和意义平差是指将不准确或不完整的观测数据进行修正和处理，使其达到最优解或近似最优解的过程。
在测量和工程领域中，由于各种误差和偏差的存在，观测数据往往具有一定的不确定性，因此需要进行平差计算来提高数据的精度和可靠性。
平差计算的结果可以用来进行工程设计、地图测绘、导航定位等各种应用。
二、平差计算的基本原理平差计算的基本原理是基于最小二乘法。
最小二乘法的核心思想是将观测值与计算值之间的残差平方和最小化，通过调整未知量的值来逼近最优解。
残差是指观测值与计算值之间的差异，而平差计算的目标就是使这些差异最小化。
平差计算的基本模型可以表示为以下方程组：A * x = L其中，A为系数矩阵，x为未知量向量，L为观测值向量。
通过解这个方程组，可以求得最优的未知量估计值x。
最小二乘法的优点是可以利用观测数据中的权重信息，将准确性较高的观测数据给予更大的权重，进一步提高计算结果的准确性。
此外，最小二乘法还具有数学上的良好性质，可以通过数学推导和求解得到闭式解，而不需要采用迭代方法。
三、平差计算的常用方法1. 三角形平差法三角形平差法是一种常用的平差计算方法，适用于测量角度和距离的观测数据。
该方法基于三角形的相似性原理，通过解析几何和三角函数等方法，将观测数据转化为方程组，并利用最小二乘法求解未知量。
2. 存储器平差法存储器平差法是一种适用于大规模观测数据的平差计算方法。
该方法通过将观测值按照一定规律存储在存储器中，然后通过循环迭代的方式逐步修正观测值和未知量的估计值，直到最终收敛。
3. 参数平差法参数平差法是一种广泛应用于工程测量领域的平差计算方法。
该方法将未知量表示为参数的形式，并利用最小二乘法求解最优的参数估计值。
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（2-1-6）
式中 Vi 称为观测值 Lˆi 的改正数，它们必须在计算之
前被计算出来。但这种改正数有无数多组（如：对三
L1 L2 L3 180 0
(2-15)
即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于 几何模型。
为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值”
（又叫平差值、最或是值、最或然值）Lˆ 来代替观测
值 L，由于任何一个观测值估值都可以看作是一个改 正了的观测值，是由观测值加上改正数而得到，即
Lˆi Li Vi
必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个 数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为 t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必 要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则 就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模 型有关，与实际观测量无关。
必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。 对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=2,t=3 和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素 的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地 确定模型。必要观测个数t只与几何模型有关，与实际 观测量无关。
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任 何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测 元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上 述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如 L1、L2、S1 之间，其中 S1 不可能表达成 L1、L2 的函数，除非再 增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为 函数独立量，简称独立量。
例如在上述⑴中，t=2，如选为必要观测量，假设 现在又观测了，则它们的真值之间就存在一个确定 的关系：
L~1 L~2 L~3 180 0 (2-1-2)
再如上述⑵中，如果观测了角度L1、L2 、L3 和 边长 S1、S2 ，即n=5,t=3,则r=2,它们的真值之间 也存在如下关系式：
L~1 L~2 L~3 180 0
所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角 时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角， 这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中， 实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两点都 是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方 向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边 或一边一角等。
从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够 唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为 必要观测元素。
在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何 量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所 有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测 n个，当观测值个数小于必要观测个数，即n<t,显然 无法确定模型的解；
如果观测值个数恰好等于必要观测个数，即n=t, 则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗 差和错误都将无法发现。为了能及时发现测量中的 粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性，通常 使观测值个数大于必要观测个数，即使n>t，设：
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
⑵要确定该三角形的大小 和形状，就必须知道三个 不同的元素，即任意的一 边两角、任意的两边一角 或者是三边。
如：L1、L2、S1 或 S1、S2、L3或
S1、S
2、S
等，它
3
们中间都至少包含一条边长，否则只能确定其形状，
而不能确定其大小，该情况包含两类元素（角度和
边长）。
⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐 标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素中的 6个不同的元素，当然，这6个元素可以构成更多的组 合，但不论哪一种组合，都至少要包含一个点的坐标 和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可 缺少的元素，通常称其为外部配置元素，它们的改变 只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不 影响该三角形的内部形状和大小。
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点 的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点 的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求 定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个 几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只 需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过 它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量 与已知量之间的关系式称为函数模型。
随着几何模型的不同，它所需要知道的元素的个 数与类型也有所不同，要唯一地确定几何模型，就 必须弄清楚至少需要观测哪些元素以及哪些类型的 元素。例如：
⑴如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的 形状，只需要知道其中任意两个内角的大小就
可它以们了 都， 是如 同一L1类、型L2的或元L素1 、。L3或 L2 、L3等。
(2-1-3)
sinS~1L~1 sinS~2L~2 0
(2-1-4)
由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就
必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少
个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种
函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
综上所述，由于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了多余观测，必然产生条件方
程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之 间必然不能满足理论上的条件方程，即：
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建 立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立 平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我 们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含 有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方 位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都 被称为几何量。