人教版八年级上册数学 专题练习专题练习：因式分解
专题练习：因式分解
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(衡阳中考)下列因式分解中正确的个数为( C)
①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；
②x2＋4x＋4＝(x＋2)2；
③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)．
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．(广东中考)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D)
A．x(x2－9) B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2D．x(x＋3)(x－3)
3．(台湾中考)下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式( A)
A．2x－2 B．2x＋2
C．4x＋1 D．4x＋2
解析：8x2－10x＋2＝2(4x2－5x＋1)＝2(x－1)(4x－1)，有因式2(x－1)，即2x－2 4．若实数x，y，z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是( D) A．x＋y＋z＝0 B．x＋y－2z＝0
C．y＋z－2x＝0 D．z＋x－2y＝0
解析：左边＝[(x－y)＋(y－z)]2－4(x－y)(y－z)＝(x－y)2－2(x－y)(y－z)＋(y－z)2＝[(x－y)－(y－z)]2，故(x－y)－(y－z)＝0，x－2y＋z＝0
5．(宜宾中考)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( B)
A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7
C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．(泸州中考)分解因式：3a2＋6a＋3＝__3(a＋1)2__．
7．(潍坊中考)分解因式：2x(x－3)－8＝__2(x－4)(x＋1)__．
8．(呼和浩特中考)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分解，最后结果为__－y(3x－y)2__．9．(宜宾中考)已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，则y的值为__2__．
三、解答题(共46分)
10．(15分)分解因式：
(1)3x2－3；
3(x＋1)(x－1)
(2)x2－4x－12；
x2－4x－12＝x2－4x＋4－16＝(x－2)2－16＝(x－2＋4)(x－2－4)＝(x＋2)(x－6)
(3)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.
8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)
11．(10分)若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断△ABC的形状．解：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴a－c＋2ab－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(1＋2b)(a －c)＝0.∵1＋2b≠0，∴a－c＝0，a＝c，∴△ABC是等腰三角形
12．(10分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是__或a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋b )(a ＋2b )__．
13．(11分)设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12
m ＋3.求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值．
解：原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2＝
[(12m ＋1)＋(12m ＋2)－(12m ＋3)]2＝(12m )2＝14
m 2。
人教版八年级上册数学整式乘法和因式分解计算题
人教版八年级上册数学整式乘法和因式分解1．因式分解：(1)2a b ab - (2)228x -2．因式分解(1)a 2（x +y ）﹣b 2（x +y ） (2)x 4﹣8x 2+16．3．计算：(1)（x 2y ）3•（﹣2xy 3）2；(2)（xny 3n ）2+（x 2y 6）n ；(3)（x 2y 3）4+（﹣x ）8•（y 6）2；(4)a •a 2•a 3+（﹣2a 3）2﹣（﹣a ）6．4．计算： (1)()()232a a -+；(2)()()23210432563a b ab a b a ⋅--÷．5．分解因式： (1)2693x xy x -+；(2)2xy x-；6．因式分解：(1)x3y﹣xy3；(2)（x＋2）（x＋4）＋x2﹣47．分解因式：(1)2（m﹣n）2﹣m（n﹣m）；(2)（x2﹣4xy+4y2）+（﹣4x+8y）+4．8．因式分解：(1)4ab b+(2)232x x-+(3)221 4a b b-+-(4)2464a-9．计算：(1)()()2323322a a a a a ⋅⋅+-(2)()()3223a a b ⋅- 10．因式分解： (1)322369x y x y xy -+(2)()()236x x y x y x -+-11．计算：(1)分解因式：34x x - (2)计算：214?4x y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．把下列各式分解因式： (1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）2 13．因式分解： (1)32246x x x -+-； (2)222(4)16a a +-． 14．分解因式： (1)x 3y －2x 2y 2+xy 3(2) a 2（x －1）2+4a （1－x ） (3)（x 2+y 2）2－4x 2y 2 15．用乘法公式计算：(1)()()()2232349x x x -+-(2)()()33x y x y +--+ 16．分解因式(1)()()mn m n m n m --- (2)229()16()m n m n +-- 17．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）； (2)（x 2 +1）2﹣4x 2． 18．计算：(1)（﹣2m 2n 3）2＋（3m 3n 4）•（12-mn 2）3；(2)（x ＋2y ）2﹣（x ＋y ）（3x ﹣y ）﹣5y 2 19．因式分解： (1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++ 20．因式分解： (1)2ax a -+ (2)214x x ++21．先化简，再求值：()()2222x y x x y y ⎡⎤---÷⎣⎦，其中1x =，2y =． 22．化简求值：[（x ﹣2y ）2﹣2（x +y ）（3x ﹣y ）﹣6y 2]÷2x ，其中12,.2x y =-=23．先化简，再求值：2(2)(2)(2)2(2)(4)x y x y x y x x y x ⎡⎤-+-+--÷-⎣⎦，其中12x =-，1y =．24．先化简再求值：()()()22224x y x y x y x y y +-+--++（）其中：112x y ==，． 25．先化简，再求值：[（x ﹣y ）2+（x +y ）（x ﹣y ）]÷2x ，其中x ＝2021，y ＝﹣2020． 26．先化简，再求值：[（xy ＋2）（xy ﹣2）﹣2（xy ＋1）2＋6]÷（xy ），其中x ＝10，y ＝﹣125． 27．先化简，再求值：2(2)2()()(23)x y y x x y y y x ---+--，其中1,33x y ==-28．（1）已知225a b +=，()29a b +=，求44a b +的值； （2）若x 满足()()9715x x --=-，求()()2297x x -+-的值．29．（1）已知4a 2﹣a ﹣4＝0，求代数式（2a ﹣3）（2a ＋3）＋（a ﹣1）2＋（1＋a ）（2﹣a ）的值；（2）已知a ，b 满足a 2＋b 2﹣10a ﹣4b ＋29＝0，且a ，b 为等腰三角形△ABC 的边长．求△ABC 的周长．30．化简并求值：当12x =-时，求代数式()()()2353535x x x +--+的值．31．先化简，再求值：[（﹣a ＋b ）（﹣a ﹣b ）＋（2a ﹣b ）2﹣a （a ＋3b ）]÷2a ，其中a ＝3，b ＝2 32．计算：1| (2)322332()(2)x x x x x +--33．先化简．再求值：2(1)(4)3x x x -+--，其中14x =-．34．先化简，后求值：()()()21232322x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤+---÷ ⎪⎣⎦⎝⎭，其中1x =，12y = 35．先化简，再求值：()()()()2233102x y x y x y y x +-+--⎤⎦÷-⎡⎣．其中x ＝－2022，12y =-．36．先化简，再求值：2(2)(1)(1)a a a +----，其中 a = -1．37．先化简，再求值：2()3()(2)(2)x y x x y x y x y +-+++-，其中1x =，1y =-． 38．先化简，再求值：()()()2232321x x x -+-+ ,其中12x =-. 39．因式分解：24(7)9(7)a x x +-+．40．先化简，再求值：()()()()()22233333x y x y y x x y x y ⎡⎤+----+-÷⎣⎦，其中x ，y 满足()2210x y ++-=． 41．因式分解 (1)am an ap -+ (2)214x - (3)21664x x -+(4)22(32)(23)x m n y n m -+- 42．计算题 (1)()22333a a a ⋅+-(2)2()()()x y y x y x --+-(3)()3246102a a a a -+÷(4)2(1)|2-+ 43．因式分解． (1)()69m m ++； (2)222(1)4a a +-． 44．利用乘法公式计算：(1)2197(2)（x ﹣2y +4）（x +2y ﹣4）45．已知两个实数a ，b 满足10a b +=，24ab =，且a b <；分别求值； (1)22a b +； (2)-a b ； (3)23a b +．46．先化简，再求值:2(2)(3)(2)x x x +-+-其中，13x =-47．计算：234228(2)342x x x x x ⋅--+÷．48．先化简，再求值：[（2x +y ）（2x ﹣y ）﹣3（2x 2﹣xy ）+y 2]÷（﹣12x ），其中x ＝﹣12，y ＝23．49．按要求完成下列各小题 (1)因式分解： ①269x x - ①2288a b ab b -+；(2)先化简，再求值：()()()3222242x y x y x x y x +---÷，其中2x =-，12y -=．50．因式分解：228x y y -．51．先化简，再求值：[(x －y )2＋x (2y －x )＋2y 2]÷y ，其中x ＝12，y ＝1． 52．先化简，再求值：()()()()222213x x x x x -+-+++，其中12x =-． 53．分解因式 (1)236x xy -； (2)269ax ax a ++； (3)223m m --．54．先化简，再求值：()()()211(21)221x x x x x +-+---，其中2x =． 55．因式分解：()()224a x y b y x -+-56．分解因式： (1)2255x y -； (2)3269m m m ++57．若220220x x +-=，求2(23)(23)(54)(1)x x x x x +--+--的值．58．先化简，再求值：2(2)6()()(2)x y x x y x y x y --+++-，其中x ，y 满足21(2)0x y -++=．59．因式分解： (1)3244m m m -+ (2)()2242a a b -- 60．因式分解： (1)235x y y - (2)()()x x y y y x -+- 61．计算： (1)218()4xy xy ⋅-(2)2(2)4()x y x x y ---62．先化简，再求值：()()22333244y x xy y x xy ⎡⎤⎡⎤----+-⎣⎦⎣⎦，其中2x =，1y =63．计算：(1)()()()21212a a a a +--+ (2)()()()224x y x y x y ---+ 64．因式分解： (1)4x 2-8x +4； (2)(x +y )2-4y (x +y ) 65．先化简，再求值：(1)2(2)()()2x y x y x y y ⎡⎤-+--÷⎣⎦，其中2x =，4y =； (2)()2426()3()()a a a b a b a -÷--+-，其中2223a b +=． 66．（1）已知3x y +=，1xy =，求22x y +的值．（2）已知2210x x --=，求322544x x x +-+的值． （3）已知22810410x y x y +-++=，求()2021x y +的值．67．计算：(1)()272643x x x x x ⋅+⋅-(2)()()()()2511313a a a a +-+-+(3)()()22141x x x --- (4)()()2323x y x y --+- 68．分解因式： (1)2m mn m -+ (2)3212a a a -- (3)()()22413x x +-- (4)421881y y -+69．先化简，再求值：()()()()2253a b a b a a b a b +-+---，其中a =-3，32b =． 70．已知(a +b )2＝17，(a ﹣b )2＝13，求： (1)a 2+b 2的值； (2)ab 的值． 71．计算： (1)322x x x x ⋅+⋅(2)()()()222x y x y x y +-+- 72．因式分解： (1)()()22a m b m -+- (2)322a a a -+73．先化简，再求值：（x +3y ）2+（x +2y ）（x -2y ）-2x 2，其中x =-2，y =-1． 74．将下列各式分解因式： (1)2x （m －n ）－（n －m ） (2)4m 2﹣n 2(3)3m 2n －12mn ＋12n (4)2a 3b ﹣18ab 375．先化简，再求值：2(23)(2)(2)(2)x y x y x y y ⎡⎤+-+-÷-⎣⎦，其中13x =，12y =-． 76．已知()27x y +=，()25x y -=． (1)求22x y +值； (2)求xy 的值． 77．先化简，再求值：(1)()()()332x x x x +---，其中4x =．(2)()()()222a b a b a b a +-++-，其中3a =，13b =-．78．计算：(1)()()()22x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦(2)()()()2312x x x +--- 79．因式分解： (1)24100x -； (2)22242m mn n -+； (3)()22214a a +-．80．计算：(1)()3322m m m m ⋅+-÷；(2)2(23)(2)(2)x x x +-+-； (3)(23)(23)a b c a b c +--+．81．先化简，再求值：()()()3222484a b a b ab a b ab +-+-÷，其中a ＝3，b ＝-1．82．计算：()2482a a a a -⋅-÷． 83．因式分解： (1)29a - (2)22363x xy y ++84．先化简，再求值323()(2)(2)(2)a b ab a b a b a ÷-----+--，其中2a =，1b =-． 85．化简求值：221(2)(2)242xy xy x y xy ⎛⎫⎡⎤+--+÷- ⎪⎣⎦⎝⎭，其中x =10，y =-125． 86．先化简，再求值：()()2462a b a a b -+-，其中a ＝2，b ＝－1． 87．先化简，再求值：()()()()231124x x x x x +++--+，其中6x =．88．先化简，再求值：()()()22222a b a b a b b ⎡⎤--+-÷⎣⎦，其中1,1a b =-=．89．先化简，再求值：()()()336x x x x +---，其中=x 90．计算：423a a a a ⋅+⋅91．先化简，再求值：()()()()21233x x x x x +--+-+，其中x ＝－1． 92．把下列多项式因式分解：(1)()()326x y y --- (2)22344xy x y y --93．已知：2()34x y +=，2()14x y -=，分别求22x y +和xy 的值．94．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S 1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S 2．(1)用含a 、b 的代数式分别表示S 1、S 2； (2)若a +b ＝10，ab ＝23，求S 1+S 2的值；(3)当S 1+S 2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S 3．95．如图，边长为a 的正方形中有一个边长为b （b ＜a ）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，请直接用含a ，b 的式子表示1S = ，2S = ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 ； (2)直接应用，利用这个公式计算： ①（﹣12x －y ）（y －12x ）； ①102×98(3)拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）+196．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．(1)用含a ，b 的代数式分别表示12S S 、；(2)若=1640a b ab +=，，求12S S +的值；(3)当1276S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ．97．数学教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：()22223214(1)4x x x x x +-=++-=+-；例如求代数式2246x x +-的最小值；()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：265m m -+________；(2)当a ，b 为何值时，多项式2241033a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值；(3)已知8a b -=，24200ab c c +-+=，求a b c ++的值．98．将222()2a b a ab b +=++变形，得222()2a b a b ab +=+-，()()22212⎡⎤=+-+⎣⎦ab a b a b ，请根据以上变形解答下列问题： (1)已知225a b +=，2()9a b +=，则ab =________，a -b =_______．(2)若x 满足()()7515x x --=-，求22(7)(5)x x -+-的值．(3)如图，在长方形ABFD 中，DA ①AB ，FB ①AB ，AD =AC ，BE =BC ．连接CD ，CE ，若AC ·BC =10，直接写出图中阴影部分的面积．99．（1）先化简，再求值：()()()222222x y x y x y y x ⎡⎤-+--+÷⎣⎦；且x ，y 满足2(2)|3|0x y -+-=．（2）如图，某市有一块长为(2)a b +米，宽为()a b +米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．试用含a ，b 的代数式表示绿化的面积是多少平方米？100．阅读理解，材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解．如x 2﹣4y 2﹣2x +4y ，但我们细心察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项提取公因式，前后两部分分别分解图式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了：x 2﹣4y 2﹣2x +4y＝（x +2y ）（x ﹣2y ）﹣2（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x +2y ﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．材料2：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x 3﹣（n 2+1）x +n＝x 3﹣n 2x ﹣x +n＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x +n ）（x ﹣n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）解决问题：(1)分解因式：①a2﹣4a﹣b2+4；①x3﹣5x+2．(2)①ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断①ABC的形状．参考答案：1．(1)(1)ab a -(2)2(2)(2)x x +-2．(1)（a +b ）（a ﹣b ）（x +y ）(2)（x +2）2（x ﹣2）2 3．(1)4x 8y 9(2)2x 2ny 6n(3)2x 8y 12(4)4a 64．(1)226a a +-(2)7422a b -5．(1)()3231x x y -+(2)()()11x y y +-6．(1)xy （x +y ）（x ﹣y ）(2)2（x +2）（x +1）7．(1)()()32.m n m n --(2)()222.x y -+8．(1)(41)b a +(2)(1)(2)x x -- (3)11()()22a b a b -++-(4)()()444a a +-9．(1)-6a 6(2)- 24a 5b10．(1)2(3)xy x y -(2)()(3)2x x y x --11．(1)(2)(2)x x x -+；(2)3-x y12．(1)()()11a a a +-(2)()()2222x y x y -+-13．(1)22(23)x x x --+(2)22(2)(2)a a +-14．(1)xy （x －y ）2(2)a （x －1）（ax －a －4）(3)（x +y ）2（x －y ）2 15．(1)42167281x x -+(2)2269x y y -+-16．(1)()()1m m n n -+(2)()()77m n n m --17．(1)(2a -b )(x -y )(2)(x +1)2(x -1)218．(1)46610348m n m n -(2)222x xy -+19．(1)()()244x x +-(2)()22xy x y +20．(1)(1)(1)a x x -+- (2)21()2x21．2y -x ，322．542xy --，323．12x y +（）；1424．()22x y -，1225．x -y ，126．4xy -+，24527．23x xy -，4328．（1）17；（2）34 29．（1）4a 2-a -6；-2；（2）12 30．3050x +，3531．2a 72-b ，﹣132．(1)3(2)62x -33．22x -，52-34．820x y -；-235．-2x y ，2021－36．45a +；137．223x xy y ---，-3 38．410x --,-839．()()()72323x a a ++- 40．43x y -，-1141．(1)()a m n p -+(2)()()121+2x x -(3)()28x -(4)()()(32)x y x y m n -+- 42．(1)569a a +(2)222-x xy(3)2235a a -+(4)443．(1)2(3)m +；(2)22(1)(1)a a +-44．(1)38809(2)2241616x y y -++ 45．(1)52；(2)2-；(3)2646．310x +，947．69x -48．46x y -，6-49．(1)①()323x x -；①()222b a - (2)224xy y -；-350．()()222y x x -+ 51．352．45x +，353．(1)()32x x y -(2)()23a x +(3)()()31m m -+54．x 2－2x ，055．()()()22x y a b a b -+- 56．(1)()()5x y x y +-(2)()23m m +57．-405458．-9xy ；1859．(1)m (m -2)2(2)(3a -2b )(a +2b )60．(1)3()()y x y x y +-(2)2()x y -61．(1)232x y -(2)2y62．24x xy y --；-2 63．(1)4(2)254y xy -64．(1)24(1)x -(2)()(3)x y x y +-65．(1)32-x y，5-；(2)()2213-+a b ，1-． 66．（1）7；（2）7；（3）-1 67．(1)8x -(2)2734a a -+-(3)1(4)22694x x y68．(1)()1m m n -+(2)()()43a a a -+(3)()()315x x -+(4)()()2233y y +-69．2222a b --，452-70．(1)15(2)171．(1)2x 4；(2)2xy +5y 272．(1)（m -2）（a +b ）；(2)a （a -1）273．6xy +5y 2，17．74．(1)（m -n ）（2x +1）；(2)（2m +n ）（2m -n ）；(3)3n （m -2）2；(4)2ab （a +3b ）（a -3b ） 75．65x y --；1276．(1)6 (2)1277．(1)92,1x -+-(2)2,2ab -78．(1)x y -(2)97x +79．(1)4(5)(5)x x +-(2)22()m n -(3)22(1)(1)a a +-80．(1)0(2)231213x x ++(3)222496a b bc c -+- 81．22a ab -，2182．083．(1)（a +3）（a -3）；(2)3（x +y ）2．84．2284a b -+，-28 85．2xy ，-45．86．222b a -，7-． 87．28x -+，4-88．2b a -；389．69x -；390．52a91．-x 2+4x +10，5．92．(1)(3)(2)y x --(2)2(2)y x y --93．24，594．(1)S 1＝a 2﹣b 2；S 2＝2b 2﹣ab(2)31 (3)29295．(1)a 2－b 2；（a +b ）（a －b ）；a 2－b 2=（a +b ）（a －b ） (2)①14x 2－y 2；①9996 (3)2048312+ 96．(1)22212;2S a b S b ab =-=-；(2)12136S S +=；(3)338S =．97．(1)（m -1）（m ﹣5）(2)当a ＝2，b ＝﹣5时，多项式a 2+b 2﹣4a +10b +33有最小值为4．(3)298．(1)2，1或-1(2)34(3)1099．（1）32x y +，6；（2）()223a ab b ++平方米 100．(1)①()()22a b a b +---；①()()2221x x x -+-； (2)①ABC 是等腰三角形。
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解专题练习(word版
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解专题练习（word 版一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．61和63B ．63和65C ．65和67D ．64和67【答案】B【解析】【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故选：B ．【点睛】此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案2．已知a 与b 互为相反数且都不为零，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) A ．a 2n －1与－b 2n －1 B ．a 2n －1与b 2n －1 C ．a 2n 与b 2n D ．a n 与b n【答案】B【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零，可得a 、b 的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A 、C 相等，选项B 互为相反数，选项D 可能相等，也可能互为相反数，故选B.3．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，k 6∴-=±，解得：k 6=±，故选：C ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．下列运算正确的是A ．532b b b ÷=B ．527()b b =C ．248·b b b =D ．2·22a a b a ab -=+（） 【答案】A【解析】选项A ， 532b b b ÷=，正确；选项B ， ()25b =10b ，错误；选项C ， 24·b b =6b ，错误；选项D ， 2·22a a b a ab -=-，错误.故选A.5．已知x -y =3，12x z -=，则()()22554y z y z -+-+的值等于（ ） A ．0B ．52C ．52-D ．25 【答案】A【解析】【分析】此题应先把已知条件化简，然后求出y-z 的值，代入所求代数式求值即可．【详解】由x-y=3，12x z -=得：()()x z x y y z ---=- 15322=-=-； 把52-代入原式，可得255252525255=0224424⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A ．【点睛】此题考查的是学生对代数式变形方法的理解，这一方法在求代数式值时是常用办法．6．规定一种运算：a*b=ab+a+b ，则a*（﹣b ）+a*b 的计算结果为（ ）A ．0B ．2aC ．2bD ．2ab【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵a*b=ab+a+b∴a*（﹣b ）+a*b=a （﹣b ）+a -b+ab+a+b=﹣ab+a -b+ab+a+b=2a故选B．考点：整式的混合运算．7．如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为()A．60 B．30 C．15 D．16【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b）=10，ab=6，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=6×5=30．故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．8．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A．a2+2ab+b2=（a+b）2B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2C．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2【答案】C【解析】【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．【详解】∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．故选C．9．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2x【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【详解】A、2a2-2a+1=2a（a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x-y）=x2-y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2=（x-y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．10．已知a＝96，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【答案】C【解析】【分析】27=315，易得答案.根据幂的乘方可得：a＝69=312，c＝5【详解】27=315，因为a＝69=312，b＝143，c＝5所以，c>b>a故选C【点睛】本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．若a-b=1，则222a b b --的值为____________．【答案】1【解析】【分析】先局部因式分解，然后再将a-b=1代入，最后在进行计算即可.【详解】解：222a b b --=（a+b ）（a-b ）-2b=a+b-2b=a-b=1【点睛】本题考查了因式分解的应用，弄清题意、并根据灵活进行局部因式分解是解答本题的关键.12．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】 【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.13．多项式x 2+2mx+64是完全平方式，则m = ________ ．【答案】±8【解析】根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，中间是加减首尾积的2倍，因此可知2mx=2×（±8）x ，所以m=±8. 故答案为：±8.点睛：此题主要考查了完全平方式，解题时，要明确完全平方式的特点：首平方，尾平方，中间是加减首尾积的2倍，关键是确定两个数的平方.14．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．15．把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．【答案】x +5y ＝0 x ﹣y ＝0【解析】【分析】通过十字相乘法,把方程左边因式分解,即可求解.【详解】∵x 2+4xy ﹣5y 2＝0，∴(x +5y )(x ﹣y )＝0，∴x +5y ＝0或x ﹣y ＝0，故答案为：x +5y ＝0和 x ﹣y ＝0．【点睛】该题重点考查了因式分解中的十字相乘法,能顺利的把方程左边因式分解是解题的关键所在.十字相乘法相关的知识点是:必须是二次三项式,并且符合拆解的原则,即可利用十字相乘分解因式.16．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.17．计算：532862a a a -÷=（）___________．【答案】343a a -【解析】根据整式的除法—多项式除以单项式，可知：532862a a a -÷=（）8a 5÷2a 2-6a 3÷2a 2=343a a -.故答案为：343a a -.18．若(x+p)与(x+5)的乘积中不含x 的一次项，则p ＝_____．【答案】-5【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a +b ）（m +n ）＝am +an +bm +bn 计算，再根据乘积中不含x 的一次项，得出它的系数为0，即可求出p 的值．【详解】解：（x +p ）（x +5）＝x 2+5x +px +5p ＝x 2+（5+p ）x +5p ，∵乘积中不含x 的一次项，∴5+p ＝0，解得p ＝﹣5，故答案为：﹣5．19．计算：))201820192的结果是_____.2【解析】【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.【详解】))201820192=()()()201820185-25252+⨯+⨯ =()()()20185-25252⎡⎤⎣⎦⨯⨯++ =(5-4)2018×()52+ =5+2，故答案为5+2.【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.20．因式分解：=______． 【答案】2（x +3）（x ﹣3）．【解析】试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即=2（x 2-9）=2（x+3）（x-3）.考点：因式分解.。
人教版八年级数学上册 14.3.2 用公式法进行因式分解 同步练习(含答案)
用公式法进行因式分解一、填空题(本大题共20小题，共60.0分)1.分解因式：xy2+8xy+16x= ______ ．2.因式分解：4m2-36= ______ ．3.因式分解：2a3-8ab2= ______ ．4.将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是______ ．5.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______ ．6.因式分解：2x2-32x4= ______ ．7.因式分解：a2b-4ab+4b= ______ ．8.分解因式：mx2-4m= ______ ．9.分解因式a2b-a的结果为______ ．10.分解因式：2ax2-8a= ______ ．11.分解因式：2m2-8= ______ ．12.分解因式：ma2+2mab+mb2= ______ ．13.分解因式：a2b-b3= ______ ．14.分解因式：x（x-1）-y（y-1）= ______ ．15.分解因式：ax3y-1axy= ______ ．416.因式分解：3y2-12= ______ ．17.因式分解：m2n-6mn+9n= ______ ．18.因式分解：a2b-ab+1b= ______ ．419.分解因式-a3+2a2b-ab2= ______ ．20.分解因式：a2b+4ab+4b= ______ ．二、计算题(本大题共30小题，共180.0分)21.分解因式（1）a2（a-b）+4b2（b-a）（2）m4-1（3）-3a+12a2-12a3．22.把下列多项式分解因式：（1）6x2y-9xy；（2）4a2-1；（3）n2（n-6）+9n．23.把下列各式因式分解（1）ap-aq+am（2）a2-4（3）a2-2a+1（4）ax2+2axy+ay2．24.分解因式：x+xy+xy2（1）14（2）（m+n）3-4（m+n）25.因式分解：（1）x（x-2）-3（2-x）（2）x2-10x+25．26.把下列各式进行因式分解：（1）a3-6a2+5a；（2）（x2+x）2-（x+1）2；（3）4x2-16xy+16y2．27.因式分解：（1）x2-y2（2）-4a2b+4ab2-b3．28.分解因式（1）x3-16x（2）8a2-8a+2．（2）b4-4ab3+4ab2．30.分解因式：（1）2x2-4x（2）a2（x-y）-9b2（x-y）（3）4ab2-4a2b-b3（4）（y2-1）2+6（1-y2）+9．31.分解因式：（1）3a2+6ab+3b2（2）9（m+n）2-（m-n）2．32.因式分解：（1）a（x-y）-b（y-x）（2）3ax2-12ay2（3）（x+y）2+4（x+y+1）33.分解因式：（1）a（x-y）-b（y-x）；（2）16x2-64；（3）（x2+y2）2-4x2y2．34.分解因式（1）4x3y-xy3（2）-x2+4xy-4y2．35.分解下列因式：（1）9a2-1（2）p3-16p2+64p．36.因式分解：（1）x2-10xy+25y2（2）3a2-12ab+12b2（3）（x2+y2）2-4x2y2（4）9x4-81y4．37.将下列各式分解因式（1）16a2b2-1（2）12ab-6（a2+b2）38.把下列各式因式分解（1）4a2-16（2）（x2+4）2-16x2．39.把下列多项式因式分解：（1）x3y-2x2y+xy；（2）9a2（x-y）+4b2（y-x）．40.分解因式（1）x3-xy2（2）（x+2）（x+4）+1．41.因式分解：-3a3b+6a2b2-3ab3．42.把下列各式分解因式：①4m（x-y）-n（x-y）；②2t2-50；③（x2+y2）2-4x2y2．43.因式分解（1）x2-5x-6（2）2ma2-8mb2（3）a3-6a2b+9ab2．44.分解因式：2x2-12x+18．45.分解因式：（1）x3+2x2+x（2）x3y3-xy．46.因式分解：（1）ax2-2ax+a（2）24（a-b）2-8（b-a）47.因式分解：（1）4x2-16y2（2）x2-10x+25．48.分解因式（1）m（a-3）+2（3-a）（2）x2-6x+9．49.因式分解：6xy2-9x2y-y2．50.分解因式（1）x2（a+b）-a-b（2）a3b-2a2b2+ab3（3）y4-3y3-4y2（4）-（a2+2）2+6（a2+2）-9．用公式法进行因式分解答案和解析【答案】1.x（y+4）22.4（m+3）（m-3）5.a （2x +3y ）（2x -3y ）6.2x 2（1+4x ）（1-4x ）7.b （a -2）28.m （x +2）（x -2）9.a （ab -1）10.2a （x +2）（x -2）11.2（m +2）（m -2）12.m （a +b ）213.b （a +b ）（a -b ）14.（x -y ）（x +y -1）15.axy （x +12）（x -12）16.3（y +2）（y -2）17.n （m -3）218.b （a -12）219.-a （a -b ）220.b （a +2）221.解：（1）原式=a 2（a -b ）-4b 2（a -b ）=（a -b ）（a 2-4b 2）=（a -b ）（a +2b ）（a -2b ）；（2）原式=（m 2+1）（m 2-1）=（m 2+1）（m +1）（m -1）；（3）原式=-3a （4a 2-4a +1）=-3a （2a -1）2．22.解：（1）原式=3xy （2x -3）；（2）原式=（2a +1）（2a -1）；（3）原式=n （n 2-6n +9）=n （n -3）2．23.解：（1）原式=a （p -q +m ）；（2）原式=（a +2）（a -2）；（3）原式=（a -1）2；（4）原式=a （x 2+2xy +y 2）=a （x +y ）2．24.解：（1）原式=14x （1+4y +4y 2）=14x （1+2y ）2；（2）原式=（m +n ）[（m +n ）2-4]=（m +n ）（m +n +2）（m +n -2）．25.解：（1）原式=x （x -2）+3（x -2）=（x -2）（x +3）；（2）原式=（x -5）2．26.解：（1）原式=a （a 2-6a +5）=a （a -1）（a -5）；（2）原式=（x 2+x +x +1）（x 2+x -x -1）=（x +1）2（x +1）（x -1）；（3）原式=4（x 2-4xy +4y 2）=4（x -2y ）2．27.解：（1）原式=（x +y ）（x -y ）；（2）原式=-b （4a 2-4ab +b 2）=-b （2a -b ）2．28.解：（1）原式=x （x 2-16）=x （x +4）（x -4）；（2）原式=2（4a 2-4a +1）=2（2a -1）2．29.解：（1）原式=3（m 4-16）=3（m 2+4）（m +2）（m -2）；30.解：（1）原式=2x（x-2）；（2）原式=（x-y）（a2-9b2）=（x-y）（a+3b）（a-3b）；（3）原式=-b（b2-4ab+4a2）=-b（2a-b）2；（4）原式=（y2-1）2-6（y2-1）+9=（y2-4）2=（y+2）2（y-2）2．31.解：（1）原式=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2；（2）原式=[3（m+n）+m-n][3（m+n）-（m-n）]=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）．32.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=3a（x2-4y2）=3a（x+2y）（x-2y）；（3）原式=（x+y）2+4（x+y）+4=（x+y+2）2．33.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=16（x2-4）=16（x+2）（x-2）；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．34.解：（1）原式=4xy（x2-y2）=4xy（x+y）（x-y）；（2）原式=-（x2-4xy+4y2）=-（x-2y）2．35.解：（1）原式=（3a+1）（3a-1）；（2）原式=p（p2-16p+64）=p（p-8）2．36.解：（1）原式=（x-5y）2；（2）原式=3（a2-4ab+4b2）=3（a-2b）2；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2；（4）原式=9（a2+3y2）（x2-3y2）．37.解：（1）原式=（4ab+1）（4ab-1）；（2）原式=-6（a2-2ab+b2）=-6（a-b）2．38.解：（1）原式=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）；（2）原式=（x2+4+4x）（x2+4-4x）=（x-2）2（x+2）2．39.解：（1）原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2；（2）原式=9a2（x-y）-4b2（x-y）=（x-y）（3a+2b）（3a-2b）．40.解：（1）原式=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）；（2）原式=（x+3）2．41.解：原式=-3ab（a2-2ab+b2）=-3ab（a-b）2．42.解：①4m（x-y）-n（x-y）=（x-y）（4m-n）；②2t2-50=2（t2-25）=2（t+5）（t-5）；③（x2+y2）2-4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．43.解：（1）原式=（x-6）（x+1）；（2）原式=2m（a2-4b2）=2m（a+2b）（a-2b）；（3）原式=a（a2-6ab+9b2）=a（a-3b）2．44.解：原式=2（x2-6x+9）=2（x-3）2．45.解：（1）原式=x（x2+2x+1）=x（x+1）2；（2）原式=xy（x2y2-1）=xy（xy+1）（xy-1）．（2）原式=24（a-b）2+8（a-b）=8（a-b）[3（a-b）+1]=8（a-b）（3a-3b+1）．47.解：（1）原式=（2x+4y）（2x-4y）；（2）原式=（x-5）2．48.解：（1）原式=m（a-3）-2（a-3）=（a-3）（m-2）；（2）原式=（x-3）2．49.解：原式=-y（9x2-6xy+y）．50.解：（1）原式=x2（a+b）-（a+b）=（a+b）（x2-1）=（a+b）（x+1）（x-1）；（2）原式=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2；（3）原式=y2（y2-3y-4）=y2（y-4）（y+1）；（4）原式=-[（a2+2）-3]2=-（a-1）2（a+1）2．。
人教版八年级数学上册14.3因式分解 (培优) 专练(含答案解析)
人教版八年级数学上册：14.3因式分解（培优）专练习题一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．103．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．05．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．66．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，647．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．39．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．9712．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．10【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．97【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．故答案为：3．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1∴abc＝，∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝．故答案为：．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 75 ．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ 2020 ．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝＝＝．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，∴m2﹣n2＝56，∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：或，∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．。
人教版八年级数学上册因式分解专项练习(含知识点)
八年级数学因式分解专项练习一、填空题：1、=-222y y x ； 2、=+-3632a a3、2x ²－4xy －2x = (x －2y －1)4、4a ³b ²－10a ²b ³ = 2a ²b ² ( )5、(1－a)mn ＋a －1=( )(mn －1)6、m(m －n)²－(n －m)²=( )( )7、x ²－( )＋16y ² =( ) ²8、a ²－4(a －b)²=( )·( )9、16(x －y)²－9(x ＋y)² =( )·( ) 10、(a ＋b)³－(a ＋b)=(a ＋b)·( )·( ) 11、x ²＋3x ＋2=( )( )12、已知x ²＋px ＋12=(x －2)(x －6)，则p= 13、若。
＝，，则b a b b a ==+-+-0122214、若()22416-=+-x mx x ，那么m=15、如果。
，则=+=+-==+2222,7,0y x xy y x xy y x16、已知31=+a a ，则221a a +的值是 17、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b=18、若n mx x ++2是一个完全平方式，则n m 、的关系是 19、分解因式：2212a b ab -+-=20、如果()()22122163a b a b +++-=，那么a b +的值为二、选择题：21、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为............（ ）A 、bx ax b a x -=-)(B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C 、)1)(1(12-+=-x x xD 、c b a x c bx ax ++=++)(22、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是.................................................（ ）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b23、下列各式是完全平方式的是...........................（ ） A 、412+-x xB 、21x +C 、1++xy xD 、122-+x x24、把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于...............（ ） A 、))(2(2m m a +- B 、))(2(2m m a --C 、m(a-2)(m-1)D 、m(a-2)(m+1)25、2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是.........（ ） A 、2)5(b a - B 、2)5(b a + C 、)23)(23(b a b a +- D 、2)25(b a -26、下列多项式中，含有因式)1(+y 的多项式是.............（ ）A 、2232x xy y --B 、22)1()1(--+y yC 、)1()1(22--+y yD 、1)1(2)1(2++++y y 27、分解因式14-x 得....................................（ ） A 、)1)(1(22-+x x B 、22)1()1(-+x x C 、)1)(1)(1(2++-x x x D 、3)1)(1(+-x x28、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为.................................................（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b29、c b a 、、是△ABC 的三边，且bc ac ab c b a ++=++222，那么△ABC 的形状是.............................................（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等边三角形30、()()22x a x ax a -++的计算结果是....................( )(A)、3232x ax a +-(B)、33x a -(C)、3232x a x a +-(D)、222322x ax a a ++-31、用提提公因式法分解因式5a(x －y)－10b ·(x －y)，提出的公因式应当为...........................................（ ） A 、5a －10b B 、5a ＋10b C 、5(x －y) D 、y －x32、把－8m ³＋12m ²＋4m 分解因式，结果是..................（ ） A 、－4m(2m ²－3m) B 、－4m(2m ²＋3m －1) C 、－4m(2m ²－3m －1) D 、－2m(4m ²－6m ＋2) 33、把16－x4分解因式，其结果是..........................（ ） A 、(2－x)4 B 、(4＋x ²)( 4－x ²) C 、(4＋x ²)(2＋x)(2－x) D 、(2＋x)³(2－x)34、把a4－2a ²b ²＋b4分解因式，结果是......................（ ） A 、a ² (a ²－2b ²)＋b4 B 、(a ²－b ²)² C 、(a －b)4 D 、(a ＋b)²(a －b)²35、把多项式2x ²－2x ＋21分解因式，其结果是..............（ ）A 、(2x －21)²B 、2(x －21)²C 、(x －21)²D 、21(x －1) ²36、若9a ²＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是.........（ ） A 、±4 B 、±2 C 、3 D 、4或237、－（2x －y ）(2x ＋y)是下列哪个多项式分解因式的结果...（ ） A 、4x ²－y ² B 、4x ²＋y ² C 、－4x ²－y ² D 、－4x ²＋y ²38、多项式x2＋3x －54分解因式为........................（ ） A 、(x ＋6)(x －9) B 、(x －6)(x ＋9)C 、(x ＋6)(x ＋9)D 、 (x －6)(x －9)39、若a 、b 、c 为一个三角形的三边，则代数式（a －c ）²－b ²的值为.................................................（ ） A 、一定为正数 B 、一定为负数 C 、可能为正数，也可能为负数 D 、可能为零40、下列分解因式正确的是..............................( )(A)32(1)x x x x -=-． (B)26(3)(2)m m m m +-=+-. (C)2(4)(4)16a a a +-=-. (D)22()()x y x y x y +=+-. 41、如图：矩形花园ABCD 中，a AB =，b AD =， 花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行 四边形道路RSTK 。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14-3因式分解》解答题专题提升训练(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14.3因式分解》解答题专题提升训练（附答案）1．分解因式：（1）5x2﹣5y2；（2）m3+6m2+9m．2．因式分解：（1）2a2b﹣a3﹣ab2；（2）9（a﹣b）2﹣（a+b）2．3．分解因式：（1）a2（b﹣2）+（2﹣b）；（2）2x2+2x+．4．把下列各式因式分解：（1）﹣6x2+4xy；（2）3a2+12a+12；（3）2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）；（4）4a4﹣16a2．5．因式分解（1）a3﹣2a2b+ab2（2）4（m+n）2﹣（m﹣n）2（3）x2﹣2x﹣15（4）1﹣a2﹣4b2+4ab6．已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．7．（1）因式分解：2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）；（2）利用因式分解简化计算：2002﹣400×199+1992．8．观察下面的因式分解过程：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）利用这种方法解决下列问题：（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．9．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+4）（x2﹣3x+6）+1进行因式分解的过程．解：设x2﹣3x＝m原式＝（m+4）（m+6）+1（第一步）＝m2+10m+25（第二步）＝（m+5）2（第三步）＝（x2﹣3x+5）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式；B．平方差公式；C．完全平方公式（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+6）+9进行因式分解．（3）因式分解：（x2﹣4x+6）（x2﹣4x+2）+4＝（在横线处直接写出因式分解的结果）．10．△ABC三边a、b、c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．11．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x ﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．（3）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．12．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝a，则原式＝（a+2）（a+6）+4（第一步）＝a2+8a+16（第二步）＝（a+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？.（填“彻底”或“不彻底”）若彻底，直接跳到第（3）问；若不彻底，请先直接写出因式分解的最后结果：．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．13．甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了a，分解结果为（x+4）（x﹣8），乙看错了b，分解结果为（x﹣2）（x+6）．求多项式x2+ax+b分解因式的正确结果．14．阅读下面材料完成分解因式．x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq＝x2+px+qx+pq＝（x2+px）+（qx+pq）＝x（x+p）+q（x+p）＝（x+P）（x+q）这样，我们得到x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式例把x2+3x+2分解因式分析：x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．解：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法将下列多项式分解因式，（1）x2+10x+24；．（2）3a2﹣3ab﹣36b2．15．因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x ＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值；（2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值．（3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解．16．把下列各多项式因式分解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；（6）16x4﹣72x2y2+81y4．17．先阅读，再分解因式x3﹣1＝x3﹣x2+x2﹣1＝x2（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+1）参考上述做法，将下列多项式因式分解（1）a3+1（2）a4+4．18．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝；（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝．19．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试将一个多项式分组后，再运用提取公因式或运用乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行分解：ax﹣ay﹣bx+by＝（）﹣（）＝（）（）；x2﹣y2+x﹣y＝（）+（）＝（）（）（2）分解下列因式：①ab﹣ac+b﹣c；②﹣4b2+9a2﹣6ac+c2．20．现有足够多的甲、乙、丙三种卡片，如图1所示．（1）选用其中若干张卡片拼成一个长方形（图2）．①请用两种不同的方法表示长方形（图2）的面积（用含有a，b的代数式表示）．②若b＝a，且长方形（图2）的面积是35，求一张乙卡片的面积．（2）若从中取若干张卡片拼成一个面积为4a2+4ab+b2的正方形，求出拼成的正方形的边长．参考答案1．解：（1）原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝m（m2+6m+9）＝m（m+3）2．2．解：（1）2a2b﹣a3﹣ab2＝﹣a（a2﹣2ab+b2）＝﹣a（a﹣b）2；（2）9（a﹣b）2﹣（a+b）2＝[3（a﹣b）+（a+b）][3（a﹣b）﹣（a+b）]＝（3a﹣3b+a+b）（3a﹣3b﹣a﹣b）＝（4a﹣2b）（2a﹣4b）＝4（2a﹣b）（a﹣2b）．3．解：（1）a2（b﹣2）+（2﹣b）＝（b﹣2）（a2﹣1）＝（b﹣2）（a+1）（a﹣1）；（2）2x2+2x+＝（4x2+4x+1）＝（2x+1）2．4．解：（1）﹣6x2+4xy＝﹣2x（3x﹣2y）；（2）3a2+12a+12＝3（a2+4a+4）＝3（a+2）2；（3）2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）＝2x（a﹣2）+y（a﹣2）＝（a﹣2）（2x+y）；（4）4a4﹣16a2＝4a2（a2﹣4）＝4a2（a+2）（a﹣2）．5．解：（1）原式＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2；（2）原式＝[2（m+n）+（m﹣n）][2（m+n）﹣（m﹣n）]＝（2m+2n+m﹣n）（2m+2n﹣m+n）＝（3m+n）（m+3n）；（3）原式＝（x+3）（x﹣5）；（4）原式＝1﹣（a2﹣4ab+4b2）＝1﹣（a﹣2b）2＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．6．解：a3b+2a2b2+ab3＝a3b+a2b2+a2b2+ab3＝a2b（a+b）+ab2（a+b）＝（a2b+ab2）（a+b）＝ab（a+b）（a+b）∵a+b＝，ab＝﹣，∴原式＝﹣××＝﹣；∴代数式a3b+2a2b2+ab3的值是﹣．7．解：（1）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）＝2（a﹣b）（a2﹣4）＝2（a﹣b）（a+2）（a﹣2）；（2）2002﹣400×199+1992＝2002﹣2×200×199+1992＝（200﹣199）2＝1．8．解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）＝（a+3b）（2﹣3m）；或2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）＝（2﹣3m）（a+3b）；（2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC是等腰三角形．9．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．故答案为：C；（2）设x2+2x＝y，原式＝y（y+6）+9＝y2+6y+9＝（y+3）2＝（x2+2x+3）2；（3）设x2﹣4x+2＝z，原式＝z（z+4）+4＝z2+4z+4＝（z+2）2＝（x2﹣4x+2+2）2＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．10．解：∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．11．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）x2﹣y2﹣2y+2x＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y）＝（x﹣y）（x+y+2）∵x+y＝7，x﹣y＝5，∴原式＝（x﹣y）（x+y+2）＝5×（7+2）＝45；（3）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC是等腰三角形．12．解：（1）从第二步到第三步是两个数和的完全平方式，故选：C．（2）分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，而（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，故答案为：不彻底，（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝a，则原式＝a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．13．解：∵甲看错了a，分解结果为（x+2）（x+4），但b是正确的，（x+4）（x﹣8）＝x2﹣4x﹣32，∴b＝﹣32，∵（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，乙看错了b，但a是正确的，∴a＝4，∴x2+ax+b＝x2+4x﹣32＝（x+8）（x﹣4）．14．解：（1）x2+10x+24＝（x+4）（x+6）；（2）3a2﹣3ab﹣36b2＝3（a2﹣ab﹣12b2）＝3（a﹣4b）（a+3b）．15．解：（1）∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式∴x＝3时，x2+kx+12＝0∴9+3k+12＝0∴3k＝﹣21∴k＝﹣7∴k的值为﹣7．（2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0∴解得∴m、n的值分别为﹣7和0．（3）∵m＝﹣7，n＝0，∴x3+mx2+12x+n可化为：x3﹣7x2+12x ∴x3﹣7x2+12x＝x（x2﹣7x+12）＝x（x﹣3）（x﹣4）16．解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）＝﹣3xy2（x﹣y）2；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+2y）；（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3＝18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3＝6（a﹣b）2[3b﹣2（a﹣b）]＝6（a﹣b）2（3b﹣2a+2b）＝6（a﹣b）2（5b﹣2a）；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；＝（x2+16y2）2﹣（8xy）2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2；（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16＝（m2﹣5+4）2＝（m2﹣1）2＝[（m+1）（m﹣1）]2＝（m+1）2（m﹣1）2；（6）16x4﹣72x2y2+81y4＝（4x2﹣9y2）2＝[（2x+3y）（2x﹣3y）]2＝（2x+3y）2（2x﹣3y）2．17．解：（1）原式＝a3+a2﹣a2﹣1＝a2（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）＝（a+1）（a2﹣a+1）；（2）原式＝a4+4a2+4﹣4a2＝（a2+2）2﹣（2a）2＝（a2+2+2a）（a2+2﹣2a）．18．解：（1）设x﹣y＝a，原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；将x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；（2）设a﹣1＝m，原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；（3）设y2﹣4y＝a，原式＝a（a+8）+16＝a2+8a+16＝（a+4）2，将y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．故答案分别为：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．19．解：（1）ax﹣ay﹣bx+by＝（ax﹣ay）﹣（bx﹣by）＝（a﹣b）（x﹣y）；x2﹣y2+x﹣y＝（x﹣y）（x+y）+x﹣y＝（x+y+1）（x﹣y）故答案为：ax﹣ay；bx﹣by；（a﹣b）；（x﹣y）；x2﹣y2；x﹣y；（x+y+1）；（x﹣y）．（2）①ab﹣ac+b﹣c＝a（b﹣c）+（b﹣c）＝（a+1）（b﹣c）；②﹣4b2+9a2﹣6ac+c2＝9a2﹣6ac+c2﹣4b2＝（3a﹣c）2﹣（2b）2＝（3a﹣c+2b）（3a﹣c﹣2b）20．解：（1）①大长方形的长是（2a+b），宽是（a+b），面积为（2a+b）（a+b）；大长方形面积等于图中6个图形的面积和为2a2+3ab+b2；②根据题意得，（2a+b）（a+b）＝35，∵b＝a，∴a（a+a）＝35，∴a＝2或﹣2（舍弃）∴b＝3，∴ab＝6，∴一张乙卡片的面积为6；（2）∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴拼成的正方形的边长为2a+b．。
【八年级上册】因式分解专项训练(30道)(含答案)
因式分解专项训练（30道）1．（拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．2．（拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．3．（浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．4．（绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）因式分解专项训练（30道）【答案版】1．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【解题思路】（1）逆用平方差公式进行因式分解．（2）先逆用平方差公式，再提公因式．（3）先逆用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答过程】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．2．（2021秋•拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解题思路】（1）原式提取公因式3x，分解即可；（2）原式提取公因式m，再利用平方差公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式分解即可；（4）原式变形后，提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解即可．【解答过程】解：（1）6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）；（2）16m3﹣mn2＝m（16m2﹣n2）＝m（4m+n）（4m﹣n）；（3）25m2﹣10mn+n2＝（5m﹣n）2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．3．（2021秋•浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．【解题思路】（1）原式提取公因式3pq即可；（2）原式提取公因式a，再利用平方差公式分解即可；（3）原式提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解即可；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）3pq3+15p3q＝3pq（q2+5p2）；（2）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（y2+4x2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2；（4）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．4．（2021秋•绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．【解题思路】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式即可；（3）先计算多项式乘多项式，整理后，再利用完全平方公式即可；（4）先提公因式，再利用完全平方公式即可；【解答过程】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）＝3（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝b（a2+2ab+b2）＝b（a+b）2；（3）原式＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；（4）原式＝2（a2+2ab+b2）＝2（a+b）2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．【解题思路】（1）直接提取公因式；（2）先加上负括号，再利用十字相乘法；（3）先提取公因式2mn，再利用完全平方公式；（4）利用平方差公式因式分解．【解答过程】解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）[2﹣（x﹣y）]＝（x﹣y）（2﹣x+y）；（2）﹣x2+8x﹣15＝﹣（x2﹣8x+15）＝﹣（x﹣5）（x﹣3）；（3）8m3n+40m2n2+50mn3＝2mn（4m2+20mn+25n2）＝2mn（2m+5n）2；（4）a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．【解题思路】（1）直接提取公因式6ab，进而分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（3）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（4）直接提取公因式（m﹣2），再利用平方差公式分解因式即可．【解答过程】解：（1）12ab2﹣6ab＝6ab（2b﹣1）；（2）a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2；（3）x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x﹣1）（x+1）；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．【解题思路】（1）首先提公因式2，再利用完全平方公式进行分解即可；（2）首先提公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；（3）首先提公因式﹣b，再利用完全平方公式进行分解即可；（4）首先提公因式m（a﹣2），再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2；（2）原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；（3）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）＝﹣b（b﹣2a）2；（4）原式＝m（a﹣2）（m2﹣1）＝m（a﹣2）（m﹣1）（m+1）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．【解题思路】（1）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据十字相乘法分解因式即可；（3）先分组，根据完全平方公式进行计算，再根据平方差公式分解因式，最后根据“十字相乘法”分解因式即可；（4）把x2+3x当作一个整体展开，再根据“十字相乘法”分解因式即可．【解答过程】解：（1）（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16＝x2（x﹣3）2﹣42＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣4）＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．【解题思路】（1）原式提取﹣2ab，利用提公因式法因式分解即可；（2）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可；（4）利用完全平方公式变形，再利用提公因式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝﹣2ab（4b﹣3a+1）；（2）原式（2a）2﹣（a2+1）2＝（2a+a2+1）（2a﹣a2﹣1）＝﹣（a+1）2（a﹣1）2；（3）原式＝（x2+1）（x2﹣9）＝（x2+1）（x+3）（x﹣3）；（4）原式＝（x2﹣2）2+2x（x2﹣2）+x2＝（x2+x﹣2）2＝（x+2）2（x﹣1）2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．【解题思路】（1）提公因式后再利用平方差公式即可；（2）提公因式后再利用完全平方公式即可；（3）利用完全平方公式后再利用平方差公式；（4）根据多项式乘法计算，再利用平方差公式．【解答过程】解：（1）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（2）原式＝2x（y2﹣6xy+9x2）＝2x（y﹣3x）2；（3）原式＝（a2﹣4）2＝（a﹣2）2（a+2）2；（4）原式＝x2﹣3x﹣4+3x＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．【解题思路】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式x，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝（a2+1）（a2﹣1）＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；（2）原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．【解题思路】（1）首先提取公因式（m﹣n），然后利用平方差公式继续进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式把原式进行因式分解即可．【解答过程】解：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（2）3x2﹣18xy+27y2＝3（x2﹣6xy+9y2）＝3（x﹣3y）2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）用提取公因式法分解因式；（2）用平方差公式、完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）]＝2x（a﹣b），（2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．【解题思路】（1）先选择平方差公式分解因式，再运用完全平方公式进行因式分解；（2）先运用提取公因式法分解因式，再运用完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（2x）2﹣（x2+1）2＝（2x+x2+1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）2（x﹣1）2；（2）原式＝3[（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9]＝3[（x﹣1）﹣3]2＝3（x﹣4）2．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．【解题思路】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝9a2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣1）＝（x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；（2）原式＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）直接提公因式﹣5bc即可；（2）先利用平方差公式，将原式化为（x2+1+2x）（x2+1﹣2x），再利用完全平方公式得出答案．【解答过程】解：（1）原式＝﹣5bc（2a2﹣3c+4ab）；（2）原式＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．【解题思路】（1）先分组，再分解．（2）先将b2（a﹣2）+b（2﹣a）变形为b2（a﹣2）﹣b（a﹣2），再运用提公因式法．【解答过程】解：（1）x2+2xy+y2﹣c2＝（x+y）2﹣c2＝（x+y+c）（x+y﹣c）．（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）＝b2（a﹣2）﹣b（a﹣2）＝b（a﹣2）（b﹣1）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．【解题思路】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解．（2）先将1﹣2x+2y+（x﹣y）2变形为＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2，再用公式法进行因式分解．【解答过程】解：（1）3x3﹣12x＝3x（x2﹣4）＝3x（x+2）（x﹣2）．（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2＝1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝[1﹣（x﹣y）]2＝（1﹣x+y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．【解题思路】（1）可先将（y﹣x）变形为﹣（x﹣y），再根据因式分解的步骤进行分解即可；（2）将（x2﹣5）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，最后再利用平方差公式因式分解即可．【解答过程】解：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）＝4x2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（4x2﹣1）＝（x﹣y）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16＝（x2﹣5+4）2＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【解题思路】先将3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y分组整理，然后利用公式即可解答．【解答过程】解：原式＝（3x2﹣xy﹣2y2）﹣（x﹣y）＝（3x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（3x+2y﹣1）．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．【解题思路】（1）将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）利用平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：（1）原式＝（5x2﹣15x）﹣（2xy﹣6y）＝5x（x﹣3）﹣2y（x﹣3）＝（x﹣3）（5x﹣2y）；（2）原式＝（1+ab﹣a﹣b）（1+ab+a+b）＝[（1﹣a）﹣b（1﹣a）][（1+a）+b（1+a）]＝（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．【解题思路】首先提公因式4，再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2＝4[（x+y）2﹣4（x﹣y）2]＝4（x+y+2x﹣2y）（x+y﹣2x+2y）＝4（3x﹣y）（3y﹣x）．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【解题思路】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答过程】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】先利用分组分解法进行恰当的分组，再利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．【解题思路】分为两组：（x3+3x2y）和（﹣4x﹣12y），然后运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：x3+3x2y﹣4x﹣12y＝（x3+3x2y）﹣（4x+12y）＝x2（x+3y）﹣4（x+3y）＝（x+3y）（x2﹣4）＝（x+3y）（x+2）（x﹣2）．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】利用加法的结合律和交换律，把整式的第一项和第三项，第四项和第二项分组，提取公因式后再利用公式．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．【解题思路】原式利用十字相乘法分解后，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．【解题思路】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．【解答过程】解：设x2+x＝y，则原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y﹣2）（y+5）＝（x2+x﹣2）（x2+x+5）＝（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1＝u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．【解题思路】先利用分组分解法分解，再分别利用公式法和提取公因式法分解即可得出答案．【解答过程】解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6＝（64a6﹣b6）﹣（48a4b2﹣12a2b4）＝（8a3+b3）（8a3﹣b3）﹣12a2b2（4a2﹣b2）＝（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）（2a﹣b）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2（2a+b）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2﹣2ab+b2）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣4a2b2﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣16a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2﹣b2）2＝（2a+b）3（2a﹣b）3．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）【解题思路】分别利用拆添项及配方法和提取公因式法进行分解即可．【解答过程】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；方法二：x3﹣4x2+6x﹣4＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4＝x（x﹣2）2+2x﹣4＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．。
部编数学八年级上册专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练(解析版)(人教版)含答案
专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC 的周长为__．【答案】12【分析】将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．【详解】解：∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120（a+1）（b+1）（c+1）＝120∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．故可分为以下6种情况：（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c ＝12．（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．综上可知，△ABC 的周长为12．故答案为12．【点睛】本题主要考查因式分解的应用及三角形三边关系，掌握三角形三边关系并分情况讨论是解题的关键．2．多项式2222627a ab b b -+-+的最小值为________．【答案】18．【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．【详解】解：2222627a ab b b -+-+，=222)((269)18a ab b b b -+-+++，=22()(3)18a b b -+-+，∵22()(3)00a b b --³³，，∴22()(3)18a b b -+-+的最小值为18；故答案为：18．【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．3．若实数a ，b 满足1a b -=，则代数式2225a b b --+的值为_______________．【答案】6．【分析】将所求代数式中的22a b -因式分解，再把1a b -=代入，化简即可．【详解】解：2225()()25a b b a b a b b --+=+--+，把1a b -=代入得()25255a b b a b b a b +-+=+-+=-+，再把1a b -=代入得5156a b -+=+=；故答案为：6．【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．4．如果一个两位数a 的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记()a ω，例如：a =13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以()134ω=．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：()23ω=____________．（2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k +1)，且()8b ω=，则“跟斗数”b =____________．（3）若m ，n 都是“跟斗数”，且m +n =100，则()()m n ωω+=____________．【答案】526 19 【分析】（1）根据题意直接将数值代入即可．（2）根据题意写出“跟斗数”是含有k 的式子，再利用()8b ω=，列方程求解即可．（3）根据m +n =100，解设未知数用还有x ，y 的式子表示m 、n 为m =10x ＋y ， n =10(9-x )＋(10-y )，根据题意列式子化简即可．【详解】解：（1）()233223511ω+==（2）∵一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k ＋1)，且()8b ω=，∴[][]102(1)102(1)811k k k k +++⨯++=解得k =2，∴2(k ＋1)=6，∴b =26．（3）∵m ，n 都是“跟斗数”，且m ＋n =100，设m =10x ＋y ，则n =10(9-x )＋(10-y )，∴[][]10(9)(10)+10(10)(9)(10)(10)()()1111x y y x x y y x m n ωω-+--+-++++=+10109010101001091111x y y x x y y x +++-+-+-+-=+111120*********x y x y +--=+1919x y x y =++--=【点睛】本题考查新定义的数，按照题意正确代入是关键，本题是中考的常见题型5．如图是 A 型卡片（边长a 的正方形）、B 型卡片（长为 a 、宽为 b 的长方形）、C 型卡片（边长为 b 的正方形）．现有 4张 A 卡片，11张 B 卡片，7张 C 卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是__________．（只填序号）①可拼成边长为2+a b 的正方形；②可拼成边长为23a b +的正方形；③可拼成长、宽分别为24a b +、2a b +的长方形；④用所有卡片可拼成一个大长方形．【答案】①③④【分析】①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数即为各型号卡片的个数．④所有卡片面积和为4a 2+11ab +7b 2，将此多项式因式分解即可．【详解】①（a +2b ）2=a 2+4ab +4b 2，要用A 型卡片1张，B 型卡片4张，C 型卡片4张，所以可拼成边长为a +2b 的正方形．②（2a +3b ）2=224129a ab b ++，要用A 型卡片4张，B 型卡片12张，C 型卡片9张，因为B 型卡片只有11张，C 型卡片只有7张，所以不能拼成边长为2a +3b 的正方形．③（2a +4b ）（2a +b ）=222242844104a ab ab b a ab b +++=++，可得A 型卡片4张，B 型卡片10张，C 型卡片4张，所以可拼成长、宽分别为242a b a b ++、的长方形．④所有卡片面积和为4a 2+11ab +7b 2=（4a +7b ）（a +b ）．所以所有卡片可拼长长为（4a +7b ），宽为（a +b ）的长方形．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结合和熟记公式是解题的关键．二、解答题6．代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如：现有正方形卡片A 类、B 类和长方形C 类卡片若干张，如果要拼成一个长为2()a b +，宽为(2)a b +的大长方形，可以先计算22(2)(2)522a b a b a ab b ++=++，所以需要A 、B 、C 类卡片2张、2张、5张，如图2所示（1）如果要拼成一个长为(3)a b +，宽为()a b +的大长方形，那么需要A 、B 、C 类卡片各多少张？并画出示意图．（2）由图3可得等式：____________；（3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，222a b c ++的值；（4）小明利用2张A 类卡片、3张B 类卡片和5张长方形C 类卡片去拼成一个更大的长方形，那么该长方形的较长的一边长为________（用含a 、b 的代数式表示）【答案】（1）A 、B 、C 三类卡片各需要1张、3张、4张，图见解析；（2）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（3）45；（4）23a b+【分析】（1）首先计算出22(3)()43a b a b a ab b ++=++，再根据计算结果对应的卡片类型得出结论；（2）根据图形面积的就算方式2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++即可得出结论；（3）根据题意找到2222()2()a b c a b c ab ac bc ++=++-++，再通过带值即可求出；（4）利用因式分解的计算过程可得，22235(23)()a b ab a b a b ++=++，即可得出结论．【详解】解：（1）如下图：A 、B 、C 三类卡片各需要1张、3张、4张；（2）2222()222a b c a b c ab ac bc++=+++++（3）2222()2()12123845a b c a b c ab ac bc ++=++-++=-⨯=Q （4）22235(23)()a b ab a b a b ++=++Q ，\较长的边为：23a b +．【点睛】本题考查了代数中的等式问题，解题的关键是掌握因式分解、具备数形结合的思想．7．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P ，到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ，b ．定义：若数K ＝a 2＋b 2－ab ，则称数K 为“尼尔数”．例如：若P 所表示的数为3，则a ＝2，b ＝4，那么K ＝22＋42－2×4＝12；若P 所表示的数为12，则a ＝11，b ＝13，那么K ＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．【答案】（1）6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；（2）这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．【分析】（1）根据“尼尔数”的定义，设P 表示的数为x （x 是能被3整除的自然数），则23K x =+，分别令236x +=，2339x +=，解方程，判断x 的解是不是能被3整除的自然数即可；证明所有“尼尔数”一定被9除余3时，可设P 表示的数为3m ，则K 可化为9m 2＋3，由m 为整数得9m 2＋3被9除余3；（2）设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2，则K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，m 12－m 22＝21，再根据m 1，m 2都是整数，可解出m 1，m 2，从而得到K 1，K 2．【详解】(1)设P 表示的数为x （x 是能被3整除的自然数），则1a x =-，1b x =+，()()()()22211113K x x x x x =-++--+=+，令236x +=，得x =2339x +=，得6x =，∴6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)，K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴1212121272131m m m m m m m m +=+=ììíí-=-=îî或，∴1122m 5m 11m 2m 10==ììíí==îî或，∴1122k 228k 1092k 39k 309==ììíí==îî或. ∴这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．【点睛】本题考查了因式分解的应用、方程的整数解问题、学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键．8．若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数”m 的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数'm ，记()221111m m F m ¢+=为“双子数”m 的“双11数”．例，2424m =，'4242m =，则()22424242422424121111F ⨯+⨯==（1）计算3636的“双11数”()3636F =__________．（2）已知两个“双子数”p 、q ，其中p abab =，q cdcd =（其中19a b £<£，19c ££，19d ££，c d ¹且a 、b 、c 、d 都为整数），若p 的“双11数”()F p 能被17整除，且p 、q 的“双11数”满足()()()24320F p F q a b d c +-+++=，令(),101p q G p q -=，求(),G p q 的值．【答案】（1）18；（2）G （p ，q ）的值为51或17．【分析】（1）直接根据“双子数”m 的“双11数”的计算方法即可得出结论；（2）先根据“双11数”F （p ）能被17整除，进而判断出p 为8989，求出F （q ）=2（c +d ），再根据F (p )+2F (q )-(4a +3b +2d +c )=0，得出d =2532c -，进而求出c ，d ，即可得出结论．【详解】解：（1）由题意知，3636的“双11数”()()236366363236362636336361811111111F +⨯+⨯===，故答案为：18；（2）∵“双子数”p ，p abab =，∴F （p ）=2（a +b ），∵“双11数”F （p ）能被17整除，∴a +b 是17的倍数，∵1≤a ＜b ≤9，∴3≤a +b ＜18，∴a +b =17，∴a =8，b =9，∴“双子数”p 为8989，F （p ）=34，∵“双子数”q ，q cdcd =，∴F （q ）=2（c +d ），∵F （p ）+2F （q ）-（4a +3b +2d +c ）=0，∴34+2×2（c +d ）-（4×8+3×9+2d +c ）=0，∴3c +2d =25，∴2532c d -=，∵1≤c ≤9，1≤d ≤9，c ≠d ，c 、d 都为整数，∴c 为奇数，1≤c ＜9，当c =1时，d =11，不符合题意，舍去，当c =3时，d =8，∴“双子数”q 为3838，∴898938385151(,)51101101101p q G p q --====，当c =5时，d =5，不符合题意，舍去，当c =7时，d =2，∴“双子数”q 为7272，∴898972721717(,)17101101101p q G p q --====，∴G （p ，q ）的值为51或17．【点睛】本题是新定义题目，主要考查了完全平方数，整除问题，理解和运用新定义是解本题的关键．9．对于一个四位数n ，将这个四位数n 千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数n ¢，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F （n ）＝101n n ¢+，如n ＝5678，对调数字后得n ¢＝7856，所以F （n ）＝56787856101+＝134．（1）直接写出F （2021）＝ ；（2）求证：对于任意一个四位数n ，F （n ）均为整数；（3）若s ＝3800＋10a ＋b ，t ＝1000b ＋100a ＋13（1≤a ≤5，5≤b ≤9，a 、b 均为整数），当3F （t ）－F （s ）的值能被8整除时，求满足条件的s 的所有值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）3816或3847或3829【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）设n ＝1000a ＋100b ＋10c ＋d ，则n ¢＝1000c ＋100d ＋10a ＋b ，（a 、b 、c 、d 为整数且a ≠0），然后根据题意列式计算即可证明；（3）先求得F （s ）＝10a ＋b ＋38，F （t ）＝10b ＋a ＋13，进而可求得3F （t ）－F （s ）＝29b －7a ＋1，再根据3F （t ）－F （s ）的值能被8整除，可得5b ＋a ＋1的值能被8整除，再根据1≤a ≤5，5≤b ≤9可得27≤5b ＋a ＋1≤51，进而可得5b ＋a ＋1＝32，40，48，由此可求得16a b =ìí=î或47a b =ìí=î或29a b =ìí=î，最终即可求得满足条件的s 的所有值．【详解】解：（1）F （2021）＝20212120101+＝41，故答案为：41；（2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则n¢＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整数且a≠0）所以F（n）＝(100010010)(100010010)101a b c d c d a b+++++++＝10101011010101101a b c d+++＝10a＋b＋10c＋d，∵a、b、c、d为整数且a≠0，∴10a＋b＋10c＋d为整数，∴对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；（3）∵s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），∴F（s）＝(380010)(100010038)101a b a b+++++＝10101013838101a b++＝10a＋b＋38，F（t）＝(100010013)(130010)101b a b a+++++＝10101011313101b a++＝10b＋a＋13，∴3F（t）－F（s）＝3（10b＋a＋13）－（10a＋b＋38）＝29b－7a＋1，∵3F（t）－F（s）的值能被8整除，∴29b－7a＋1的值能被8整除，∴24b－8a＋5b＋a＋1的值能被8整除，∴5b＋a＋1的值能被8整除，∵1≤a≤5，5≤b≤9，∴27≤5b＋a＋1≤51，∵5b＋a＋1的值能被8整除，∴5b＋a＋1＝32，40，48，∴16ab=ìí=î或47ab=ìí=î或29ab=ìí=î，∴s＝3816或3847或3829．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及有理数的整除，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果是解决本题的关键．10．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．（1）若用1张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，3张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；（2）请通过拼图的方式画出一个面积为22252a ab b ++的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？【答案】(1)22()(2)23a b a b a b ab ++=++；（2）画图见解析，(2)(2)a b a b ++；（3）266．【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可；(2)根据算式可知用2张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果；(3)根据题意列出方程，求出22a b +即可．【详解】解：(1)用面积和差计算得：2223a b ab ++；用长方形面积公式计算得：()(2)a b a b ++；可得等式为：22()(2)23a b a b a b ab ++=++；(2) 根据算式可知用2张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：根据面积公式可得，22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++；(3) （2）中拼成的长方形周长为66，则2(22)66a b a b +++=，解得，11a b +=，∴22()11a b +=，即222121a b ab ++=，图1中小长方形的面积为24，则24ab =，则2273a b +=，22252273524266a ab b ++=⨯+⨯=；拼成的长方形面积是266．【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键．11．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除；材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数100010010m abcd a b c d ==+++，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”．将这个“双倍数”m 的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”m dcba ¢=，记()111m m F m ¢+=．例如2461m =，()46212+¹⨯+，所以2461不是“双倍数”：2685m =，()68225+=⨯+，所以2685是“双倍数”， 5862m ¢=，()26855862268577111F +==（1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由；（2）若s ，t 均为“双倍数”，s 的千位数字是5，个位数字大于2，t 的百位数字是7，且s 能被9整除，()()4F s F t +是完全平方数，求t 的最大值．【答案】（1）2997是“双倍数”，6483不是“双倍数”；理由见解析；（2）t 的最大值7791．【分析】（1）利用题干中“双倍数”定义计算即可求解；（2）设s 的个位数字是d ，十位数字是c ，则百位数字是10+2d -c （d ＞2），可得s =5000+100（10+2d -c ）+10c +d 且5+10+2d -c +d +c =15+3d 能被9整除，依此可得d =4或d =7，利用“双倍数”的定义和F （m ）的公式，分类讨论计算出F （s ）和F （t ），依据已知和数位上数字的特征计算后，比较大小，取最大值即可．【详解】解：（1）∵()99227+=⨯+，∴2997是“双倍数”，∵()48236+¹⨯+，∴6483不是“双倍数”；（2）设s 的个位数字是d ，十位数字是c ，则百位数字是10+2d -c （d ＞2），∴s =5000+100（10+2d -c ）+10c +d 且5+10+2d -c +d +c =15+3d 能被9整除，∵d ＞2，∴d =4或d =7，①d =4时，有10+2d =2×（5+4）=18，∴此时十位数，百位数均为9，∴s =5994，s ′=4995，F （s ）=（s +s ′）÷111=99，设t =1000a +700+10b +72b +-a ，则t ′=1000（72+2b -a ）+100b +70+a ，∴F （t ）=（t +t ′）÷111=112b +772，则4F （s ）+F （t ）=4×99+112b +772=112b +8692，∵112b +8692，是完全平方数，且b 是整数，∴b =9，∴t 的十位数字是9，则7+9=16，∴千位和个位上的数字之和是8，∴t 的最大值是7791；②d =7时，有10+2d =2×（5+7）=24，∵百位和十位上的数字之和最大为18，∴不符合题意．综上所述，t 的最大值是7791．【点睛】本题主要考查了完全平方数，因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题意并能熟练应用题干中的定义和公式是解题的关键．12．对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”m 的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”m ¢，记()99m m F m ¢-=，()121m m T m ¢+=．例如：792m =，297m ¢=．792297()599F m -==，792297()9121T m +==．（1）计算()693F =__________；()561T =__________．（2）对“夹心数”m ，令()()2294s T m F m =-，当36s =时，求m 的值．（3）若“夹心数”m 满足()2F m 与()2T m 均为完全平方数，求m 的值．【答案】（1）3，6；（2）m =121；（3）m =121，583，484．【分析】（1）根据题中的定义和例题提供的算法，即可算出结果；（2）设()1001011011m a a b b a b =+++=+，代入 ()()2294s T m F m =-，并进行化简后，根据 s =36的已知条件，求出a 、b 的值，即可求出m 的值；（3）结合（2）的相关结论，求出a 、b 的值，即可求出符合条件的m 的值．【详解】解：（1）()()6933965611656933561699121F T -+====，．故答案为：3；6．（2）设()1001011011m a a b b a b =+++=+，则()1001011110m b a b a a b =+++=+¢．∴()()()11011111109999999999a b a b m m a b F m a b +-+--====-¢，()()()1101111110121121121121a b a b a b T m a b ++++===+．()()()()()()()()()()22229494323255s T m F m a b a b a b a b a b a b a b a b éùéù\=-=+--=+--++-=++ëûëû．∵s =36，∴()()5536a b a b ++=．∵19,19,29,a b a b £££££+£且 a 、 b 、a +b 都是正整数，∴5656a b a b +³+³，．∴5656a b a b +=ìí+=î，解得， 11a b =ìí=î．∴1101111011121m a b =+=+=．（3）由（2）得，()()()()2222F m a b T m a b =-=+，，∵a 、b 、a +b 都是1到9的正整数，∴()()204218a b a b -³£+£，．∵()2a b +是完全平方数，∴()24916a b +=，，．又∵()2a b +是偶数，∴()29a b +=不合题意，舍去．∴28a b +=，．当a +b =2时，a =b =1，此时，()20a b -=，符合题意；当a +b =8时，若a =7，b =1，此时，()212a b -=，不合题意，舍去；若a =6，b =2，此时，()28a b -=，不合题意，舍去；若a =5，b =3，此时，()24a b -=，符合题意；若a =4，b =4，此时，()20a b -=，符合题意．∵11011m a b =+，∴符合条件的121583484m =，，．【点睛】本题考查了新定义运算、因式分解、方程组、不等式等知识点和分类讨论的数学思想，围绕新定义的运算法则进行计算是解题的基础，分类讨论时做到不重复不遗漏是关键．13．对任意一个三位数m ，如果m 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“特异数”，将m 的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数m 的和与111的商记为()F m ．例如，123是“特异数”，不断将123的百位数字调到个位可得231，312，()1232313126661236111111F ++===．（1）求()456F ，()321F ；（2）已知10032s x =+，256t y =+（19x y £££，x ，y 为整数），若s 、t 均为“特异数”，且()()F s F t +可被6整除，求()()s F F t ×的最大值．【答案】（1）F （456）=15，F （321）=6；（2）F (s )•F (t )的最大值为384．【分析】（1）根据F （m ）的定义式，分别将m =456和m =321代入F （n ）中，即可求出结论．（2）由s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，解出x ，y 的值，再根据“特异数”的定义结合F （m ）的定义式，即可求出F （s ），F （t ）的值，求出最大值即可．【详解】解：（1）F （456）=(456+564+645)÷111=15，F （321）=(321+213+132)÷111=6；（2）∵s 、t 均为“特异数”， 10032s x =+，256t y =+，∴F (s )=(100x +32+320+x +203+x ) ÷111=5+x (19x ££)，∵256t y =+，∴4y ¹，当13y ££时，F (t )=()()256502106100625y y y éù+++++++ëû÷111=13+y ，当59y ££时，F (t )=()()25660210610100610265y y y éù++++-++-+=ëû÷111=4+y (6y ¹)，∴F (s )+ F (t )=()()181913919596x y x y x y x y y ì++££££ïí++££££¹ïî，，，，由于()()F s F t +可被6整除，y x ³，①当1913x y ££££，时，6x y +=或12x y +=，∴当且当3x y ==时成立，则F (s )•F (t )=(5+x )• (13+y )=816128⨯=；②当195x y ££=，、7、8、9时，3x y +=或9或15，∴当9x y +=时，4x =，5y =或2x =，5y =或1x =，8y =，此时F (s )•F (t )=81或77或72；当15x y +=时，7x =，8y =或6x =，9y =，此时F (s )•F (t )=384或143；综上，F (s )•F (t )的最大值为384，此时7x =，8y =．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F （m ）的定义式，求出F （456），F （321）的值，（2）根据s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，得出x ，y 的二元一次方程组．14．阅读理解：在教材中，我们有学习到2222()a ab b a b -+=-，又因为任何实数的平方都是非负数，所以2()0a b -³，即222a b ab +³．例如，比较整式24x +和4x 的大小关系，因为2244(2)0x x x +-=-³，所以244x x +³请类比以上的解题过程，解决下列问题：（初步尝试）比较大小：21x +______2x ；9-_____26x x-（知识应用）比较整式225210x xy y ++和2(2)x y -的大小关系，并请说明理由．（拓展提升）比较整式2222a ab b -+和12a -的大小关系，并请说明理由．【答案】[初步尝试]≥，≤；[知识应用]225210x xy y ++≥2(2)x y -；[拓展提升]221222a ab b a ³-+-【分析】[初步尝试]两式相减，仿照题干中的方法比较即可；[知识应用]两式相减，将结果因式分解，再比较即可；[拓展提升]两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可．【详解】解：[初步尝试]()221210x x x +-=-³，∴21x +≥2x ；()()222696930x x x x x ---=-+=-³，∴9-≤26x x -；[知识应用]2225(20)12x xy y x y +-+-=2222542104x y xyx xy y -+++-=2269xyx y ++=()23x y +≥0∴225210x xy y ++≥2(2)x y -；[拓展提升]221222a ab b a æö-+-çè-÷ø=221222a ab b a --++=22211122222a a a ab b +-+-+=()()22211144222a a a ab b -+-++=()()22111222a a b +--当a =1，b =12时，原式=0，∴()()22111222a a b +--≥0，∴221222a ab b a ³-+-．【点睛】此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解本题的关键．15．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如：分解因式()22223214(1)(3)(-1)4(12)(12)x x x x x x x x x +-=++-=+-==++++-求代数式2246x x +-的最小值，()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-．当1x =-时，22467x x +-有最小值，最小值是8-，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：245x x --=__________．（2）当x 为何值时，多项式2243x x --+有最大值？并求出这个最大值．（3）若221721202333a ab b b -+-+=，求出a ，b 的值．【答案】（1）（x +1）（x -5）；（2）x =-1，最大值为5；（3）a =2，b =1【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x 为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a 、b 的值．【详解】解：（1）x 2-4x -5=（x -2）2-9=（x -2+3）（x -2-3）=（x +1）（x -5），故答案为：（x +1）（x -5）；（2）∵-2x 2-4x +3=-2（x +1）2+5，∴当x =-1时，多项式-2x -4x +3有最大值，这个最大值是5；（3）∵221721202333a ab b b -+-+=，∴2222172122202333a ab b b b b -+-+-+=，∴()()222114421023a ab b b b -++-+=，∴()()221121023a b b -+-=，∴a -2b =0，b -1=0，∴a =2，b =1．【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．16．下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++因式分解的过程．解：设24x x y -=，则原式()()264y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）()24y =+（第三步）()2244x x =-+（第四步）解答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．【答案】（1）C ；（2）因式分解不彻底，()42x -；（3）()41x -【分析】（1）先根据多项式乘以多项式计算，再用完全平方公式因式分解计算即可（2）利用完全平方公式因式分解即可（3）模仿给出的步骤，进行因式分解即可【详解】（1）∵()228164y y y ++=+，∴运用了两数和的完全平方公式．故选C ．（2）∵()()()222424422x x x x éù-+=-=-ëû，∴因式分解不彻底．（3）设22x x y -=，则原式()()()()22222221211211y y y y y x x x éù=++=++=+=-+=-ëû()41x =-．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、多项式乘以多项式、换元法是解题的关键17．定义：若一个整数能表示成a 2＋b 2（a ，b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；再如：因为a 2＋2ab ＋2b 2＝（a ＋b ）2＋b 2，所以a 2＋2ab ＋2b 2也是“完美数”．（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；（3）已知M ＝x 2＋4x ＋k （x 是整数，k 是常数），要使M 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；（4）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k =5，理由见解答过程；（4）见解析【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；（2）利用53=22+72即可判断；（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断．【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，故答案为：2或5或8（写一个即可）；（2）53=22+72，故53是“完美数”，故答案为：是；（3）k=5（答案不唯一），理由：∵M=x2+4x+k∴M=x2+4x+4+k-4M=（x+2）2+k-4则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5．（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则有mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad-bc）2故mn是一个“完美数”．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．18．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，∵122+12＝145∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数．（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 ；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 ；（2）若586a b是一个“空谷”数，570a b是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值．（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数．【答案】（1）390；4405或5404；（2）136或-136；（3）1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【分析】（1）根据“空谷”数，“幽兰”数的特点进行分析并解答即可；（2）据题意可得：a2+b2=586，2ab=570，从而可求得a+b与a-b的值，进而可求a2-b2的值；（3）由题意可得：a2+b2=2ab，整理可得a=b，再由这个数是四位数，分析可得出结果．【详解】解：（1）∵这个三位数是“空谷”数，且十位数字为9，∴a2+b2=9，∴有3ab=ìí=î，3ab=ìí=î（不符合题意），∴这个三位数是390；∵这个四位数是“幽兰”数，且中间数为40，∴2ab=40，则ab=20，∴有45ab=ìí=î，54ab=ìí=î，210ab=ìí=î（不符合题意），102ab=ìí=î（不符合题意），∴这个四位数是：4405或5404；故答案为：390；4405或5404；（2）∵586a b是一个“空谷”数，570a b是一个“幽兰”数，∴a2+b2=586，2ab=570，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=586+570=1156，则a+b=34，(a-b)2=a2+b2-2ab=586-570=16，则a-b=±4，∴a2-b2=(a+b)(a-b)=34×4=136或a2-b2=(a+b)(a-b)=34×(-4)=-136；（3）由题意得：222m a b m abì=+í=î，则有a 2+b 2=2ab ，整理得：(a -b )2=0，则有a =b ；∵这个整数是一个四位数，∴1≤a ≤9，1≤b ≤9，中间数是两位数，则有：a =b =1时，这个四位数是1021；a =b =2时，这个四位数是2082；a =b =3时，这个四位数是3183；a =b =4时，这个四位数是4324；a =b =5时，这个四位数是5505；a =b =6时，这个四位数是6726；a =b =7时，这个四位数是7987．综上，这个四位数是1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，灵活运用因式分解进行解答．19．材料一：一个正整数x 能写成22x a b =-（a ，b 均为正整数，且a b ¹），则称x 为“雪松数”，a ，b 为x 的一个平方差分解，在x 的所有平方差分解中，若22a b +最大，则称a ，b 为x 的最佳平方差分解，此时()22F x a b =+．例如：222475=-，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，22223297,3262=-=-，因为22229762+>+，所以9和7为32的最佳平方差分解，()223297F =+．材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试说明10不是雪松数；（3）若一个数t 既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t 的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t ．【答案】（1）22112113=-，224073=-；（2）见解析；（3）2772，5445【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；（2）根据题意即可得到结论；（3）设(t abba a =，b 均为正整数，且09)a b <¹…，另一个“南麓数”为(t mnnm m ¢=，n 均为正整数，且09)n m <<…，根据“南麓数”的特征即可得到结论．【详解】解：（1）由题意可得：22112113=-，224073=-；（2）若10是“雪松数”，则可设2210(a b a -=，b 均为正整数，且)a b ¹，则()()10a b a b +-=，又1025101=⨯=⨯Q ，a Q ，b 均为正整数，a b a b \+>-，\52a b a b +=ìí-=î，或101a b a b +=ìí-=î，解得：7232a b ì=ïïíï=ïî或11292a b ì=ïïíï=ïî，与a ，b 均为正整数矛盾，故10不是雪松数；（3）设(t abba a =，b 均为正整数，且09)a b <¹…，另一个“南麓数”为(t mnnm m ¢=，n 均为正整数，且09)n m <<…，则2222(10)(10)99()99()()t m n n m m n m n m n =+-+=-=+-，99()()1000100101001110m n m n a b b a a b \+-=+++=+，整理得()()109a b m n m n a b ++-=++，a Q ，b ，m ，n 均为正整数，9a b \+=，经探究2786a b m n =ìï=ïí=ïï=î，5483a b m n =ìï=ïí=ïï=î，符合题意，t \的值分别为：2772，5445．【点睛】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．20．若一个四位正整数abcd 满足：a c b d +=+，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵3764+=+，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，2533+¹+Q ，∴2353不是“交替数”．（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．【答案】（1）1001，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是4224或4257．【分析】（1）根据新定义，即可得出结论；（2）根据新定义，即可得出结论；（3）根据题意知()()1216243a b a b +-=⨯=⨯=⨯，求得a 和b 的值，再根据题意c d +是6的倍数，结合a c b d +=+，取舍即可求得所有满足条件的“交替数”．【详解】（1）根据题意：一个四位正整数abcd 满足：a c b d +=+，我们就称该数是“交替数”，最小的正整数是1，最大的正整数是9，∵1001+=+，9999+=+，∴最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999，故答案为：1111，9999；（2）是，理由如下：∵2736+=+，∴2376是“交替数”；（3）设这个“交替数”为abcd ，k 为正整数，依题意得：2212a b -=，6c d k +=，且a c b d +=+，由2212a b -=，知()()1216243a b a b +-=⨯=⨯=⨯，且19a ££，19b ££，即121a b a b +=ìí-=î或62a b a b +=ìí-=î或43a b a b +=ìí-=î，解得：132112a b ì=ïïíï=ïî(舍去)，或42a b =ìí=î或7212a b ì=ïïíï=ïî(舍去)，∵19c ££，19d ££，2618c d k £+=£，∴k 取1或2或3，当k 取1时，即6c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴62c d c d +=ìí-=-î，解得：24c d =ìí=î，∴“交替数”是4224；当k 取2时，即12c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴122c d c d +=ìí-=-î，解得：57c d =ìí=î，∴“交替数”是4257；当k 取3时，即18c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴182c d c d +=ìí-=-î，解得：810c d =ìí=î(不合题意，舍去)；综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应用，理解新定义是解本题的关键．21．很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”的思考方法．例如：先阅读下列多项式的因式分解：()()()()()2244222224444222222x x x x x x x x x x +=++-+-+=-++=按照这种方法分别把多项式分解因式：（1）464x +；。
初二上册因式分解100题及答案
初二上册因式分解100题及答案一、提取公因式(1)4322+82a x a x(2)244-153xy z xy(3)3432-a y a x y832(4)(3)(52)(3)(64)+-+-+-a b a b(5)42243--xy x yz y z18945(6)423xy z x z+129(7)24322-a c ab c520(8)23222-5x y z x y(9)(4)(65)(4)(25)(4)(21)-++--+--+x x x x x x (10)(85)(43)(5)(85)---++-a b b a(11)(61)(32)(93)(61)++-++m n n m(12)(83)(23)(83)(51)(83)(81)x x x x x x+--++-+++ (13)(53)(53)(53)(65)-++--x y x y(14)3224+b c b c2016(15)3323-x yz x y z312(16)(72)(2)(72)(5)--+-+a b a b(17)4442-45a ab c(18)(25)(61)(25)(2)+-++++a b a b(19)(31)(75)(31)(83)-----x x x x (20)(31)(91)(85)(31)m n n m------二、公式法(21)22-x y256169(22)22625484-x y(23)2x-7291(24)2-+x x400760361(25)22-a b361100(26)22++x xy y84123216(27)22m mn n-+4001160841 (28)2x x++165649(29)22-+144264121m mn n (30)2729x-三、分组分解法(31)72542418mn m n+++ (32)61248-+-mn m n(33)22a c ab bc ca+-+-1676322 (34)22----54757654a b ab bc ca(35)22+--+x z xy yz zx264213(36)22a c ab bc ca++++16202548 (37)54455445+++xy x y(38)22--++52110632a c ab bc ca(39)630525xy x y--+(40)1050525-+-mx my nx ny (41)22-+--a b ab bc ca365113054 (42)2485418+++ab a b(43)2-+-255735a ab bc ca(44)15401848-+-mn m n (45)12203050--+ab a b(46)99010+--ax ay bx by (47)840420xy x y+++(48)728455-+-ab a b(49)327436----xy x y(50)56724254--+ab a b四、拆添项(51)22a b a b-++-4949709824 (52)22---+94541272a b a b(53)2225813010827m n m n --+-(54)4264814x x -+(55)4224368349x x y y ++(56)22449129840m n m n -+--(57)2236142445x y x y -+++(58)4224641625a a b b ++(59)22644322845m n m n --+-(60)2236361084865m n m n -+-+五、十字相乘法(61)2222018439611a b c ab bc ac+--+-(62)22245246743059x y z xy yz xz++--+(63)222979294x xy y x y -+-++(64)222024256525x xy y x y -----(65)226112391321x xy y x y --++-(66)2221823651842x y z xy yz xz--++-(67)2267203193x xy y x y ---+-(68)22248218221560a b c ab bc ac++--+(69)222183625724x y z xy yz xz-++--(70)22454142x xy y x y --+--(71)224073303542x xy y x y-++-(72)22240208572636x y z xy yz xz++-+-(73)2214311526174m mn n m n ++++-(74)22230282591516a b c ab bc ac++-+-(75)22242124461317x y z xy yz xz+-+++(76)22145728251525m mn n m n +++--(77)22182931421x xy y x y++++(78)222821624522x y z xy yz xz--+++(79)22251015159m mn n m n--++(80)228213836x xy x y +-+-六、双十字相乘法(81)2222018439611a b c ab bc ac+--+-(82)22245246743059x y z xy yz xz++--+(83)222979294x xy y x y -+-++(84)222024256525x xy y x y -----(85)226112391321x xy y x y --++-(86)2221823651842x y z xy yz xz--++-(87)22---+-x xy y x y67203193(88)222a b c ab bc ac++--+48218221560 (89)222x y z xy yz xz-++--183625724 (90)22--+--454142x xy y x y七、因式定理(91)32--+a a a3292(92)32x x x++-81873(93)32x x x+-+5101112(94)32+-+323232x x x(95)3225215x x x -+-(96)3266710m m m +-+(97)32519228x x x -+-(98)325334315y y y -+-(99)327240x x x ++-(100)3321x x --初二上册因式分解100题答案一、提取公因式(1)2222(41)a x a x+(2)2423(5)xy z y-(3)3328(4)a y y x-(4)(3)(116)a b-+-(5)322339(25)y xy x z y z--(6)423(43)xz y xz+(7)22225(4)a c c ab-(8)222(51)x y yz-(9)(4)(61)x x-+(10)(85)(32)a b---(11)(61)(61)m n-++ (12)(83)(113)x x+-(13)(53)(112)x y--(14)2224(54)b c b c+(15)323(14)x yz yz-(16)(72)(23)a b-+ (17)442(45)a b c-(18)(25)(53)a b-+-(19)(31)(2)x x--+(20)(31)(174)m n---二、公式法(21)(1613)(1613)x y x y+-(22)(2522)(2522)x y x y+-(23)(271)(271)x x+-(24)2(2019)x-(25)(1910)(1910)a b a b+-(26)2(294)x y+(27)2(2029)m n-(28)2(47)x+(29)2(1211)m n-(30)(27)(27)x x+-三、分组分解法(31)6(31)(43)m n++ (32)2(32)(2)m n+-(33)(2)(837)a c ab c---(34)(9)(676)a b a b c+--(35)(26)(2)x y z x z-++(36)(84)(25)a b c a c+++ (37)9(1)(65)x y++(38)(53)(27)a c ab c--+(39)(65)(5)x y--(40)5(2)(5)m n x y+-(41)(95)(46)a b a b c+--(42)2(49)(31)a b++(43)(57)(5)a c a b--(44)(56)(38)m n+-(45)2(25)(35)a b--(46)(10)(9)a b x y-+(47)4(21)(5)x y++(48)(85)(91)a b+-(49)(34)(9)x y-++(50)2(43)(79)a b--四、拆添项(51)(772)(7712)a b a b+--+(52)(326)(3212)a b a b+---(53)(599)(593)m n m n+--+ (54)22(872)(872)x x x x+---(55)2222(67)(67)x xy y x xy y++-+ (56)(2710)(274)m n m n++--(57)(65)(69)x y x y++-+(58)2222(885)(885)a ab b a ab b++-+(59)(829)(825)m n m n+--+ (60)(6613)(665)m n m n++-+五、十字相乘法(61)(43)(564)a b c a b c-+--(62)(566)(94)x y z x y z-+-+ (63)(4)(271)x y x y----(64)(575)(465)x y x y++--(65)(63)(27)x y x y+--+ (66)(26)(926)x y z x y z+--+ (67)(343)(251)x y x y+--+(68)(623)(86)a b c a b c-+-+ (69)(232)(93)x y z x y z+---(70)(56)(7)x y x y--++ (71)(56)(857)x y x y--+ (72)(542)(854)x y z x y z----(73)(234)(751)m n m n+++-(74)(672)(54)a b c a b c----(75)(64)(734)x y z x y z+-++ (76)(745)(275)m n m n+-++ (77)(97)(23)x y x y+++ (78)(236)(47)x y z x y z-++-(79)(553)(53)m n m n-++ (80)(436)(71)x y x+-+六、双十字相乘法(81)(43)(564)a b c a b c-+--(82)(566)(94)x y z x y z-+-+ (83)(4)(271)x y x y----(84)(575)(465)x y x y++--(85)(63)(27)x y x y+--+ (86)(26)(926)x y z x y z+--+ (87)(343)(251)x y x y+--+(88)(623)(86)a b c a b c-+-+ (89)(232)(93)x y z x y z+---(90)(56)(7)x y x y--++七、因式定理(91)2(2)(341)a a a-+-(92)(1)(23)(41)x x x++-(93)2(3)(554)x x x+-+ (94)(2)(34)(4)x x x--+ (95)2(3)(25)x x x-++ (96)2(2)(665)m m m+-+ (97)(1)(2)(54)x x x---(98)(1)(53)(5)y y y---(99)(2)(4)(5)x x x-++ (100)2(1)(331)x x x-++。
人教版八年级数学上册整式的乘法及因式分解专题训练.doc
整式的乘法及因式分解专题训练一、同底数幂的乘法。
1、同底数幂相乘，不变，；2、计算工式：a m× a n =a() (m,n都是)；3、计算：2 · x3 6（ 3）、（－ 2）×（－5×（－ 2）5（ 1）、x （ 2）、 a· a 2）（ 4）、 m x-2· m 2-x（5）、- x5·x3·x10（6）、10x×1000 （ 7）、－ 3×（－ 3）2（ 8）、 3× 105× 2× 106（ 9）、－ 8×（－ 26）二、幂的乘方。
1 、幂的乘方，不变，相乘；2 、计算公式：（ a m）n（））；=a （ m、 n 都是3、计算：3 ）6 4）2 m）10 4）5（ 1）、（ 10 （ 2）、（ a （ 3）、（ a （ 4）、－（ x4 ）4 2 35 4）2 2）2（ 5）、（ a （ 6）、（ a ）· a （ 7）、（ x （ 8）、－（－ x三、积的乘方。
1 、积的乘方，等于把积的每一个因式分别，再把所得的幂。
2 、计算公式：（ ab）n（）（）=a b （ n 为正整数）；3、计算：（ 1）、（ 2a）2（2）、（－5b）3（3）、（x2y）3（4）、（－3m2） 3（ 5）、－（ x2y 3z5）2（ 6）、（－ 1/2xy ）3（ 7）、（ 2ab2）3（ 8）（－ pq）3四、整式的乘法。
（一）、单项式×单项式。
1、运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。
2 2 2 2 1+2 1+23 32、举例： 2xy · 3x y z = （ 2× 3）（ x · x ）（ y · y ） z＝6x y z=6x y z（请同学们按上面举例的格式进行计算）2 3 4 5（ 2）、3x 2 2 2）（ 1）、－8m n · 3m n ; ·（－ 6xy ） ; （ 3）、（－5a b）（－ 4a2 2（ 5）、 4y ·（－2xy 2 2 3（ 4）、3x · 6x ）（ 6）、（－3x ）· 5x2 3 2 2（ 8）、（ 2x ）（－6xy 2（ 7）、（－2a bc ）（－ 3ab ））（二）、单项式×多项式。