北京四中2020—2021学年度初三上期中考试数学试卷含答案
yxO北京四中2020—2021学年度初三上期中考试数学试卷含答案（时刻：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)1．剪纸是国家级非物质文化遗产，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为（ ） A ．55B ．255C ．12D ．23．将抛物线24x y =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()3142++=x y B ．()3142+-=x yC ．()3142-+=x y D ．()3142--=x y4．如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°， 为了改善楼梯的安全性能，预备重新建筑楼梯， 使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯 AC 的长为（ ） A ．2m B ．2m C ．（2﹣2）m D ．（2﹣2）m5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =通过平移得到抛物线x x y 2212-=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( )A ．2 B. 4 C. 8 D. 166．如图，在网格中，小正方形的边长均为1， 点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ） A ．2B ．255C ．55D ．127．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90° 得到线段A′B′，则A （﹣2，5）的对应点 A′的坐标是（ ）A ．（2，5）B ．（5，2）C ．（2，﹣5）D ．（5，﹣2） 8．某抛物线的顶点为（2，﹣1），与x 轴相交于P 、Q 两点，若此抛物线通过（1，a ）、（3，b ）、（﹣1，c ）、（﹣3，d ）四点，则a 、 b 、c 、d 中最大值是（ ） A ．a B ．b C ．c D ．d9.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3 y﹣1353下列结论：（1）ac ＜0；（2）抛物线顶点坐标为（1，5）； （3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的个数为（ ） A ．4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个10.二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ） A ．8 B ．10- C ．42- D ．24- 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若︒<α<︒900,21tan =α,则=αsin . 12．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为（—1，0），则它FEDCBA与x 轴的另一个交点为．13．长方体底面周长为50cm ，高为10cm ．则长方体体积y ）（3cm 关于底面的一条边长x ）（cm 的函数解析式是.其中x 的取值范畴是. 14．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若OA=2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A′的坐标为______.第14题 第15题15．两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F ． 已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm ，则CF=_______ cm ． 16．定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax 2+bx(a≠0)的关联直线. 依照定义回答以下问题：(1)已知抛物线y=ax 2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2, 则该抛物线的顶点坐标 为_________；(2)当a=1时, 请写出抛物线y=ax 2+bx 与其关联直线所共有的特点（写出一条即可）：___________________________________.三、解答题（本题共72分，第23题6分，第26题4分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，其余每小题5分）17．运算: 20210+121-⎪⎭⎫⎝⎛−2sin 45°+tan 60°．18．如图，在△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD =30°． 求tan C 的值．19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）20．已知：二次函数23y x bx=+-的图象通过点(25)A，．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k=-+的形式．21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2 O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直截了当写出P点的坐标．22．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，35=AD ， AB ＝3，求BC 的长．23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发觉：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元.（1）求y 与x 的函数关系式并直截了当写出自变量x 的取值范畴； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24. 设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直截了当写出2y 的取值范畴；（3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象通过A ，B 两点，当23y y <时，直截了当写出x 的取值范畴．EDCBA25．如图，设△ABC 和△CDE 差不多上正三角形，且∠EBD ＝70o ， 求∠AEB 的度数。
26.阅读材料，解答问题例：用图象法解一元二次不等式：2230x x -->．解：设223y x x =--，则y 是x 的二次函数．10a =>∴，抛物线开口向上．又当0y =时，2230x x --=，解得1213x x =-=，．∴由此得抛物线223y x x =--的大致图象如图所示．观看函数图象可知：当1x <-或3x >时，0y >．∴2230x x -->的解集是：1x <-或3x >．（1）观看图象，直截了当写出一元二次不等式：2230x x --<的解集是____________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．1 2 3 1-12- 12 3 1-2- 3- 4-xy27．抛物线221=-+-（m＞0）与x轴的交点为A，B．y mx mx m（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标差不多上整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范畴．28．阅读下面材料：小伟遇到如此一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3 ，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.小伟是如此摸索的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP’C，连接PP’，得到两个专门的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于.参考小伟同学摸索问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=22PB=1，17，求∠APB的度数和正方形的边长；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，13直截了当写出∠APB的度数等于_________，正六边形的边长为______．29．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，通过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特点线”．例如，点M（1，3）的特点线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线通过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直截了当写出点D（m，n）所有的特点线；（2）若点D有一条特点线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特点线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？参考答案： 一、选择题1-5 CABBB 6-10 DBDBD 二、填空题 11.5512.(5,0) 13.x x y 250102+-=,250<<x 14.(2,2-) 15. 2316.（—1，—1）；如：过点（1,1+b ）（不唯独） 三、解答题17．解：原式322221+⨯-+= ………………………………4分 3121+-+=32+=． ……………………………………………5分18．解：∵AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADB=∠ADC =90°．∵在Rt △ABD 中，AB =12，∠BAD =30°， ∴BD =12AB =6，…………………………………1分AD =AB ·cos ∠BAD =12·cos30°=63．………………2分∵BC =15，∴CD = BC －BD =15－6=9．……………………………3分 ∴在Rt △ADC 中，tan C =ADCD…………………………4分 =639=233．………………5分 19．解：（1）作BH⊥AF 于H ，如图，……………………1分 在Rt△ABF 中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，……………………2分 ∴EF=BH=400m；……………………3分（2）在Rt△CBE 中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，……………………4分∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m ）．……………………5分 答：AB 段山坡高度为400米，山CF 的高度约为541米． 20．解：（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象通过点A (2，5)，∴ 4235b +-=． .................................... 1分 ∴ 2b =．∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． ................. 2分 （2） 令0y =，则有2230x x +-=．解得13x =-，21x =．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)． .... 4分 （3）223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-． ........................................ 5分21．解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1为所求做的三角形；……………………1分 （2）如图所示，△A 2B 2O 为所求做的三角形；……………………3分 （3）∵A 2坐标为（3，1），A 3坐标为（4，﹣4），∴A 2A 3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16， 令y=0，则x=，∴P 点的坐标（，0）．………………5分22．解：23．解：（1）依题意得……………………1分自变量x 的取值范畴是0＜x ≤10且x 为正整数；……………………2分（2）当y=2520时，得解得x 1=2，x 2=11 …………3分因为x 2=11 不合题意，舍去； 当x=2时，30+x=32（元）因此，每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；…………4分（3） ∵a=-10＜0 ∴当x=6.5时，y 有最大值为2722.5 …………………5分 ∵0＜x ≤10(1≤x ≤10也正确)且x 为正整数∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元）当x=7时，30+x=37，y=2720（元） 因此，每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720元. ……………………6分24．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--，……………………1分∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-，……………………2分即2243y x x =++．（2）1-≤2y ≤3．……………………4分（3）20x -<<．……………………5分.25．∵△ABC 和△CDE 差不多上正三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°， 又∠ACB=∠ACE+∠BCE ，∠ECD=∠BCE+∠BCD ，∴∠BCD=∠ACE ，△ACE ≌△BCD ，…………………2分∴∠DBC=∠CAE ，…………………3分0000000000,..60.60.=180--180(60)(60)60()6070130.......................................................5DBC CBE CAE DBC BAE ABE ABE AEB BAE ABEαβααβαβαβ∠=∠=∠=∠=∠=-∠=-∠∠∠=----=++=+=下设则有则在三角形中，分26．(1)-1<x<3 …………………1分(2)x<1或x>3 …………………4分(其中画图象1分)27．解：（1）将抛物线表达式变为顶点式2(1)1y m x =--， 则抛物线顶点坐标为（1，-1）；…………………2分（2）①m =1时，抛物线表达式为22y x x =-，因此A 、B 的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB 上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；…………………5分②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，因此即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y =0，则2210mx mx m -+-=，得到A 、B 两点坐标分别为（11m -，0），（11m+，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到123m ≤<，∴1194m <≤．…………………7分28．解：（1）如图3，把△APB 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADP ′， 由旋转的性质，P ′A=PA=2，P ′D=PB=1，∠PAP ′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=PA=×2=4，∠AP′P=45°，∵PP′2+P′D2=42+12=17=PD2，∴∠PP′D=90°，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故，∠APB=∠AP′D=135°，∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，则AE=PE=PP′=×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB===；故答案为：150°；…………………2分（1）135°，；…………………5分（其中辅助线1分）（2）120°，．…………………7分29．解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特点线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；……2分（2）点D有一条特点线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3…………………4分（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特点线时，依照题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．……………6分如图，当点A′在平行于x轴的D点的特点线时，延长OP交y=3于Q，易求得Q（4+，3），则直线OP解析式为y=∴N（2，）∴抛物线需要向下平移的距离=3-即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．……………8分。
北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析
北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析北京四中2020-2021学年度初三上学期期中数学试卷及参考答案一、选择题：本大题共10个小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A ．6，7，8B ．2，3，4C ．3，4，6D ．6，8，10 2.下列各式中，运算正确的是（）A B ．3= C ．2+= D 2=-3.如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，点D 为AB 的中点，若2AC =，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．54.右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）A ．区域①处B ．区域②处C ．区域③处D ．区域④处 5.用配方法解方程2410x x --=，方程应变形为（）A ．()223x += B ．()225x += C ．()223x -= D ．()225x -= 6.下列条件中，不能．．判定一个四边形是菱形的是（）A ．一组邻边相等的平行四边形B ．一条对角线平分一组对角的四边形 C ．四条边都相等的四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形7.若a ，b ，c 满足0,0,a b c a b c ++=??-+=?则关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的解是（）A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无实数根8.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数.得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如下信息：则下列选项正确的是（） A ．可能会有学生投中了8个B ．五个数据之和的最大值可能为30C ．五个数据之和的最小值可能为20D ．平均数m 一定满足4.2 5.8m ≤≤之间9.如图1，将矩形ABCD 和正方形EFGH 的分别沿对角线AC 和EG 剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN ，中间空白部分的四边形KRST 是正方形.如果正方形EFGH 与正方形KRST 的面积分别是16和1，则矩形ABCD 的面积为（）A ．15B ．16C ．17D ．2510.如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .设AE x =，矩形ECFG 的面积为y ，则y 与x 之间的关系描述正确的是（）A ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先增大再减小B ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先减小再增大C ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 一直保持不变D ．y 与x 之间不是函数关系二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.计算：已知x =y =xy = ．12.有意义的x 的取值范围是．13.如图，在平行四边形ABCD 中，2ED =，5BC =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则CD 的长为．14.写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以是．15.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。
北京四中初三数学期中试题 (含答案)
初三数学试卷班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 考生须知1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。
3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。
一、选择题（每题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．2521y x =-+（） B ．25+21y x =+（） C ．2521y x =--（） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦， 点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3， 则⊙O 的半径长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y=-(x -2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 1 6．如图，⊙O 中直径AB ⊥DG 于点C ，点D 是弧EB 的中点，CD 与BE 交于点F ．下列结论①∠A =∠E ，②∠ADB =90°，③FB=FD 中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3AB CO第2题图第4题图第6题图7．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x… 2- 1-0 1 23 … y…4-2 24-…下列结论：①抛物线开口向下； ②当−1<x <2时，y >0；③抛物线的对称轴是直线12x =； ④函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大值为2. 其中所有正确的结论为( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 0) (3，为圆心作⊙P ， ⊙P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C 2) (0，，Q 为⊙P 上 不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作 PE ⊥QA 于E ，PF ⊥QB 于F ．设点Q 的横坐标为x ，y PF PE =+22．当Q 点在⊙P 上顺时针从点A 运动到点B的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分．．图象是（ ）A. B.C.D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 .10．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB =140°， 那么∠ACB 的度数为 .11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y =x 2+bx +c(a ≠0)上的两个点， 则b = ．第8题图BCAO第10题图12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m ．13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上， 过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 14. 已知关于x 的二次函数42++=bx ax y 的图象如右图所示，则关于x 的方程02=+bx ax 的根为_____________. 15.元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为（2，0），点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径. 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.解：如图2，连接BC. ∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径． （依据是___________________________________________）431254312OxyC BA 第13题图图1图2第12题图yx41-4O第14题图图2图1第15题图∵∠ODB ＝30°，∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°．（依据是_________________________________________）∴BC OB 21=．∵OB=2,∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．16．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ⊥abc ＜0； ⊥20a b +=； ⊥4a −2b +c >0； ⊥若，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是 .三、解答题 (本题共68分,第17题每小题5分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分) 17. 解关于x 的方程.（1）0232=++x x ； （2）01222=--x x .18. 已知抛物线的顶点为（-2,2），且过坐标原点，求抛物线的解析式.19.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA .若AB = 4，CD =1，求⊙O 半径的长.0m n >>C D OAB第16题图20. 已知抛物线y=-x 2+2x +3，回答下列问题： (1)画出该函数图象(要求列表、2B 铅笔画图)；(2)当−3<x <3时，y 的取值范围是__________．21. 如图，⊥ABC 中AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE AC 于点E . 求证：（1）BD=DC ;（2）DE 是⊙O 的切线.22. 学生会要组织“四中杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？x … ... y …...23.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数22||y x x =-的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是________． （2）化简：当x >0时函数y =_________，当x <0时函数y =________.（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点， 画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+. （1） 求抛物线的对称轴；（2） 过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点，求m 的取值范围．25. （1）已知等边三角形ABC ，请作出△ABC 的外接圆⊙O .在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC .①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.（2）已知⊙O ，请作出⊙O 的内接等腰直角三角形ABC ，∠C =90°.在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC.①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.26.在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC ，点P 在BC 边的垂直C ABO平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”.右图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”已知点P（0, 4），Q（a, 0）（1）如图1，a=4，在点A（1, 0）、B( 2, 2)、C( 2√3, 2√3) 、D( 5, 5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为.（2）如图2，a=4√3，①已知D(0 , 8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围;②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y=−√3x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围.图1图2初三期中测试数学学科参考答案：一、选择题1、D2、B3、A4、B5、B6、D7、A8、A 二、填空题9、9 10、110 11、-6 12、2 13、（2，1） 14、-3，0 15、90º的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等。
2020-2021学年数学北京四中初三期中试卷
2020-2021学年数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级 学号 姓名 分数一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1．下列事件是必然事件的是（ ）．A ．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D ．打开电视，正在播放动画片2．抛物线2(1)2y x =-+可以由抛物线2x y =平移而得到，下列平移正确的是（ ）． A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ）． A ．2250cm πB ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关系是（ ）．A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）．A ． 14B ．13C ．34D ．126．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（ ）．A ．(53)，B ．(35)，C ．(54)，D ．(45)，7．抛物线21y x kx =++与2y x x k =--相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（ ）． A ．0B ． 2C ．−1D ．148．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，6cm CD =，QPONxy MPQ ADCBAD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运 动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ． 二．填空题（每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm ．10．函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是_______________．12． 已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<； （2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有．①0a < ②0a b c -+< ③0c > ④20a b -> ⑤ 124b a -<三．解答题（每小题5分，本题共30分）13．计算：()3031221250-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π 14．用配方法解方程： 212302x x --=15． 已知221(1)(3)m m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？P AEFDC16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1）弦AB 的长； （2） AB⌒ 的长．17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，x 0 2 y−3−4−3（1（2）将表中的空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．_______________________18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ． （1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5，DC =3，求AC 的长．xO yOC B A O A CB。
精品解析：北京四中2020-2021学年九年级上学期数学试题(解析版)
正确的是（ ）
A. ③
B. ②③
C. ③④
D. ②③④
6. 矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 C. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
【答案】C
【解析】 【分析】 利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断． 【详解】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等， 互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选 C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．
4. 方程 x(x x 的解是（ ）
A. x 1 C. x1 0 ， x2 1
B. x 2
D. x1 0 ， x2 2
【答案】D 【解析】 【分析】 首先移项，然后提取公因式 x，即可得到 x（x-1-1）=0，则可得到两个一次方程：x=0 或 x-2=0，继而求得 答案． 【详解】解：∵x（x-1）=x， ∴x（x-1）-x=0， ∴x（x-1-1）=0， 即 x=0 或 x-2=0， 解得：x1=0，x2=2． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，解题的关键是找到公因式 x，利用提取公 因式法求解．
2021北京四中初三(上)期中数学试卷含答案
2021北京四中初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣22．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（）A．83°B．84°C．86°D．87°3．（2分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定4．（2分）将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x+1）2﹣5C．y＝2（x﹣1）2+5 D．y＝2（x+1）2+55．（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．2x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x﹣1＝0 D．3x2＝5x﹣26．（2分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OAC＝40°时，∠B的度数是（）A．100°B．120°C．130°D．140°7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．28．（2分）已知O⊙，如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝．10．（2分）半径为1，圆心角是120°扇形的弧长为．11．（2分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1的最大值为．12．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a ＝，b＝．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为．14．（2分）在⊙O中，弦AB所对圆心角为140度，则弦AB所对的圆周角为°．15．（2分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．16．（2分）如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
北京四中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
北京四中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图标中，是中心对称的是( )A ．B ．C ．D ． 2．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（﹣2，3）C ．（2，3）D ．（﹣2，﹣3） 3．已知3x=2y ,那么下列式子中一定成立的是（ ）A ．x+y=5B ．32x y =C ．23x y =D ．32x y = 4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =6，BD =2，AE =9，则EC 的长是A ．8B ．6C ．4D ．35．如图，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90° ，得到''A B C ∆，连接'AA ，若∠1=25°，则∠BAC 的度数是( )A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 6．已知二次函数y ＝－3x 2＋1的图象如图所示，将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的表达式为( )A ．y ＝－3x 2－1B ．y ＝3x 2C ．y ＝3x 2＋1D ．y ＝3x 2－1 7．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．28．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x =－2时，y 取最大值；③当m <4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =m 必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c (k ≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时，x 的取值范围是－4<x <0；其中推断正确的是 （ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④二、填空题 9．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，－1）的抛物线的表达式：______ 10．若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则ac _____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．11．如图，在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则△AEF 与△ABC 的面积之比为 ．12．点A （-1，1y ）、B （1，2y ）在二次函数221y x x =--的图象上，则1y 与2y 的大小关系是1y ______2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空）13．如图是小孔成像原理的示意图,根据图中标注的尺寸,如果物体AB 的高度为18cm ,那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为______cm ．14．北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现, 太和殿,中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD （北至保和殿, 南至太和门,西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH 为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意． 根据测量数据, 三大殿台基的宽(EF )为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽(AB )为_________丈．15．已知二次函数22y ax bx =+-自变量x 的部分取值和对应的函数值y 如下表，则在实数范围内能使得y ＞1成立的x 的取值范围是__________．16．如图，点A 是抛物线24y x x =-对称轴上的一点，连接OA ，以A 为旋转中心将AO 逆时针旋转90°得到AO ′，当O ′恰好落在抛物线上时，点A 的坐标为______________．三、解答题17．已知二次函数y=x2+bx-3的图象过点(1,0)．求该二次函数的解析式和顶点坐标．18．如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上。
北京四中2020-2021学年度第一学期九年级期中测试数学学科试题
北京四中2020—2021学年度第一学期初三期中测试数学学科班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________一、选择题（每题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．2521y x =-+（） B ．25+21y x =+（） C ．2521y x =--（） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦， 点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3， 则⊙O 的半径长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y=-(x-2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 1 6．如图，⊙O 中直径AB ⊥DG 于点C ，点D 是弧EB 的中点，CD 与BE 交于点F ．下列结论①∠A =∠E ，②∠ADB =90°，③FB=FD 中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：考生须知1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。
3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。
2021年北京市第四中学九年级上学期期中数学试题(含答案)(2021word版)
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数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．已知1sin 2A =，则锐角A 的度数是（） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒ 2．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB =1∶2，若DE =2，则BC 等于（）A ．4B ．6C ．12D ．184．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ＝6， AC ＝3，则CD 的长为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5，CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）A．512B．513C．1213D．1257. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△BCE绕点C旋转得到△ACD，则cos∠ABC的值等于（）A.33 B.21C.31D.1010第7题第8题8.如图，二次函数2y ax bx c=++的图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论：①0,0,a b<<②20,a b->③0,a b c++>④0,a b c-+<⑤当1x>时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①③④9. 若抛物线1222-++-=mmmxxy（m是常数）的顶点是点M，直线2+=xy 与坐标轴分别交于点A、B两点，则△ABM的面积等于（）A．6B．3C．25D．2310．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点'P是点P关于BD的对称点，'PP交BD于点M，若BM=x，'OPP△的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）M OP'PDBACxyxyxyxyO OOO483333848448二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如果23a b b =-，那么ab =________．12．已知抛物线522+-=x x y 经过两点A （-2，y 1）和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为m. 14．已知在△ABC 中，tan A =43，AB =5，BC =4，那么AC 的长等于. 15．若关于x 的一元二次方程0142=-+-t x x （t 为实数）在270<<x 的范围内有解，则t 的取值范围是__________．16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值等于；（2）当AE +AF 的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF .三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．18．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D =90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE ．AB =3，DE =2，BC =6．求CD 的长．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，， AC=3.（1）求∠B 的度数；（2）求AB 及BC 的长．20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：(1) 可求得m的值为；(2) 求出这个二次函数的解析式； (3) 当y >3时，x 的取值范围为.21．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)，在第一象限内，以原点为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点C 1坐标．ADC B EF图①图②CEADBDCBAxy1234567891012345678910CABo22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD．23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？24．已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°.（1）如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且kFCEFBCAB==时，若BE=1，AE=2，CE=3，则k的值等于.AF图1 图225．抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出△ABP 面积的最大值； (3)设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使m S ABQ =∆，则m 的值等于.26. 有这样一个问题：探究函数11-+=x x y 的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数11-+=x x y 的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数11-+=x x y 的自变量x 的取值范围是___________；(2)下表是y 与x 的几组对应值求m 的值； (3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1+=x y 交于点A ，点A 关于直线1-=x 的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象， 求a 的取值范围.28．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，点E，F分别是AC，BC的中点，线段AF，BE交于点P，将线段AF绕点A顺时针旋转α（0°≤α≤180°）得到线段AQ.（1）直接写出APPF的值为；（2）如图2，当α=180°时，延长BE到D使得ED=BE，连接QD，证明QD⊥BD；（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ交直线BE于点M，当△AMP为等腰三角形时，△AMP的底角正切值为.ED图1 图2图329．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2关联．（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y 、抛物线③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联；10-=x 上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案题号 1 2 3 45 6 7 8 9 10 答案 A A BCCBDCBD16．（Ⅰ）561+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭……………… 3分 1332=+-1.2= ……………… 5分18．解：∵在△ABC 中，∠B =90º，∴∠A +∠ACB = 90º． ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB +∠ECD =90º． ∴∠A =∠ECD ． ……………………2分∵在△ABC 和△CDE 中，∠A =∠ECD ，∠B =∠D =90º， ∴△ABC ∽△CDE ．………………………3分 ∴DEBC CDAB =．……………………4分∵AB = 3，DE =2，BC =6，∴CD =1． ……………………5分题号11 12 13 1415 16答案 3512y y ＞ 2474±13<≤-t2615+19．解：（1）∵在△ACD中，90C∠=︒，CD=3，AC=3，∴tan3CDDACAC∠==．∴∠DAC =30º．………………………1分∵AD平分∠BAC，∴∠BAC =2∠DAC =60º．……………2分∴∠B =30º．…………………………………3分(2) ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30º，AC=3，∴AB =2AC =6．………………………4分tan3ACBCB==……………………5分20．解：(1) m的值为 3 ；1分(2) 二次函数为y=a（x-2）2−1 2分∵过点（3，0）∴a=1 y=x2-4x+3 3分(3) 当y>3时，x的取值范围为x<0或x>4 . 5分21. C1坐标（8,6）．x22. 3160200+米23．设房价为（180+10x ）元利润y=(180+10x ）（50-x)-(50-x)20=-10x 2 +340x+8000当x=17即房间定价为180+170=350的时利润最大.24.（1）（i ）证明：∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形，，∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF ， ∴△CAE ∽△CBF ．（ii ）解：∵△CAE ∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF ，AE ：BF ＝AC：BC ，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF=90°，又∵AE ：BF ＝AC ：BC ＝2，AE=2，25．（1）322++-=x x y （2）当=x ABP 面积的最大值是827.（3）827 26.27.（3）292<≤a .28．（1）2；（2）作AH ⊥BD 于D ，证明△APH ∽△QPD ，得证；（3） 43，13或3.29.（1）②1分（2）21781218122-+=-+=)x (y ,)x (y 5分 （3）),(),,(),,(C 2411024110310--+-- 8分教学反思1 、要主动学习、虚心请教 ，不得偷懒 。
北京四中2020-2021学年第一学期初三开学测试数学试题及答案
数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为100分）一、选择题（每题3分，共30分）1.下列各式中，化简后能与75合并的是（）A. V r B. 78 C.寿 D.应2.用配方法解方程r-4x-l=0,方程应变形为（）A. （x+2）2=3 B・（x + 2）2=53.卜面的图形是用数学家名字命名的.的是（）C. （x-2）・=3 D・（x-2），=5其中既是轴对称图形又是中心对称图形A.科克曲线 B.笛卡尔心形线4,方程x （x-l ）=x 的解是（ ）A jt =1 B. x=2 C. xi=O. C.赵爽弦图 D.斐波那契螺旋线X2=ID. X|=0» X2 =25. 如图,在婆形A BCD 中，E.「分别是AB. AC 的中点.若£?' = 2,则菱形48CD 的周长为（ ）A.4B.8C. 16D. 206, 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等R.对角线互相垂直C.对角线互相平分 D .对角线平分对角7. •狙数据中，改动•个数据，下列统计鼠一定变化的是（）A .平均数B 众数 C.中位数 D.方差8.如图，将&4BC 绕点。
顺时针旋转得到△DEC,使点,4的对应点。
恰好落在边Alik ,点8的对应点为EL 连接BE,下列四个结论：①AC=AD ②ABLEB ③BC=EC。
ZAYEBC 其中一定正确的是（）A .③ H .②③ C .③④D.②③④9.将4张长为〃、宽为bBb ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为51,阴影部分的面积之和为S2.若A. 2a = 5bB. 2a = 3bC. a=3bD. a=2bS = ：，，则 a ，/?满足（10.生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段.为『解2019年某市第:季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该rfj 2019年第:季度的机天数据，整理后绘制成统计表进彳r 分析.廿均可回收物回收量（千吨）]<x<22<x<33<x<44<x<55<x<6合计频数12b 3m 频率0.050.10a0.151表中3<r<4组的频率〃满足0.20 <^<0.30.下面有四个推断：①表中m 的值为20：②表中b 的值可以为7：③ 这m 大的LI 均可I 可收物I 可收量的中位数在4<x<5组;④ 这m 大的日均可回收物回收用的平均数不低于3.所有合理推断的序号是（ ）A.①®BCD® C.®@®D j 二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数y = \Jx + 3中，自变量x 的取值范围是.12. 如图，正方形ABCD 的边长为2,点尸为对角线4C 上任意一点.PE LAD,PF LCD ，垂足分别是& F .则PE + PF =________. 牙、、12题图 13题图15题图13.如图，菱形4BCD中,48=10,AC.8。
北京四中初三上册期中考试数学(含解析).docx
北京四中初三上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为（ ）． A ．直线1x = B ．直线1x =- C ．直线2x = D ．直线2x =-2．已知反比例数ky x=的图象过点(2,1)，下列各点也在反比例函数图象上的点是（ ）． A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．1(2,)2D ．1(4,)23．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则OC 的长为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数解析式为（ ）． A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+- C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若35ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）． A ．20︒ B ．40︒ C ．60︒ D ．70︒6．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象可能为下列中的（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，P 是反比例函数图象上的一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，若PAO △的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ ）． A ．4y x = B ．4y x =-C ．8y x=D ．8y x=-xOyxOyxO yxO yOCABO DC BAPA xOy8．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A ．0a >B ．不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<C ．0a b c -+>D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大9．若抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，则t 的取值范围为（ ）．A ．13t -<<B ．13t -<≤C ．534t << D ．1t -≥10．如图，ACB △中，60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，若弦EF 的最小值为1，则AB 的长为（ ）． A ．22 B ．263 C ．1.5D ．433二、填空题（每空4分，共24分）11．已知双曲线3y x=，如果1(1,)A b -，2(2,)B b 两点在该双曲线上，那么1b __________2b ．（比较大小）12．将抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，则旋转后抛物线的解析式为__________．13．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x … 2- 1- 0 1 2 3 … y…5 03-4-3-…当函数值0y <时，x 的数值范围是__________．14．已知：如图，⊙O 是的内切圆，分别切BC 、AB 、AC 于点D 、E 、F ，ABC △的周长为24cm ，10cm BC =，则AE =__________cm ．15．已知：如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知8cm BC =，2cm DE =，则AD 的长为__________cm ．52OxyFE OCDABFEDCBA OCAE DB16．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)和1(,0)x ，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点，下列结论：①0b >；②214ac b <；③a b >；④2a c a -<<-．其正确结论的序号是__________．三、解答题（本题共18分，每题6分）17．若二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点，求此二次函数的解析式．18．已知；如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(1,2)A -、(2,)B n 两点． （1）求出上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出当m kx b x+≥时x的取值范围．19．已知抛物线212(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），对称轴为直线1x =-．（1）m 的值为__________；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x … … 1y……（2）若直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --，根据图象直接写出当x 取什么值时，21y y ≤．yxOBA1221yxO20．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形． 求OAD OCD ∠+∠的度数．21．如图，PB 切⊙O 于点B ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC 、AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）若6BC =，:1:2AD FD =，求⊙O 的半径r 的长．22．已知21(2)y x kx k k =-+->．（1）求证：抛物线21(2)y x kx k k =-+->与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若tan 3OAC ∠=，求此抛物线的解析式；（3）以（2）中的抛物线上一点(,)P m n 为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 分别取何值时，x 轴与⊙P 相离、相切、相交．xy O –1–21234–1–2123423．对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点(2,0)A 和抛物线E 上的点(1,)B n -，请完成下列任务： 【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为__________． （2）点A __________（填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为__________．【发现】通过（2）或（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为__________．【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．24．如图，ABC △外接圆⊙O 半径为r ，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 、BE 交于点K ，AK r =．求BAC ∠的度数．K E OCADB25．如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC △，90A ∠=︒，AB AC =，(2,0)A -、(0,1)B 、(,2)C d ． （1）求d 的值；（2）将ABC △沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B '、C '正好落在某反比例函数图象上，请求出这个反比例函数和此时的直线B C ''的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B C ''交y 轴于点G ．问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图象上的点P ，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．C'B'A'GBCAyOx北京四中初三上期中数学试卷答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBDDBDBBB二、填空题（每空4分，共24分）题号 1112 13 14 15 16 答案 <21y x =--13x -<<2213②④三、解答题（本题共18分，每题6分）17．解：二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点， ∴031423a b a b =++⎧⎨-=++⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩． ∴二次函数的解析式为243y x x =-+．18．解：（1）∵(1,2)A -在my x=上， ∴2m =-．∴反比例函数的解析式是2y x =-． ∵点(2,)B n 在2y x=-上， ∴212n =-=-，即(2,1)B -．∵(1,2)A -，(2,1)B -在y kx b =+上， ∴221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩．∴一次函数的解析式是1y x =-+．（2）由函数图象可知，x 的范围为1x -≤或02x <≤．19．解：（1）由题意得12b a -=-，即2(2)12m +-=-， ∴1m =-．∴抛物线解析式为：2123y x x =+-． 令10y =，得13x =-，21x =． 列表如下：x … 3- 2-1- 0 1 … 1y…3-4-3-…描点画图如图所示：（2）如图所示，易知，当2x -≤或1x ≥时，21y y ≤．1221y xOPB1221y xO20．解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴180B D ∠+∠=︒．∵四边形OABC 为平行四边形， ∴AOC B ∠=∠． 又∵2AOC D ∠=∠， ∴60D ∠=︒．连结OD ，可得AO OD =，CO OD =． ∴OAD ODA ∠=∠，OCD ODC ∠=∠．∴60OAD OCD ODA ODC D ∠+∠=∠+∠=∠=︒．21．（1）证明：如图，连接OB ． ∵PB 是⊙O 的切线， ∴90PBO ∠=︒．∵OA OB =，BA PO ⊥于D ， ∴AD BD =，POA POB ∠=∠． 又∵PO PO =， ∴PAO △≌PBO △． ∴90PAO PBO ∠=∠=︒． ∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）解：∵OA OC =，AD BD =，6BC =， ∴132OD BC ==． 设AD x =．∵:1:2AD FD =，∴2FD x =，23OA OF x ==-．在Rt AOD △中，由勾股定理，得222(3)23x x -=+． 解之得，14x =，20x =（不合题意，舍去）． ∴4AD =，235OA x =-=． 即⊙O 的半径的长5．22．（1）证明：∵22()41(1)(2)k k k ∆=--⨯⨯-=-， 又∵2k >， ∴20k ->．∴2(2)0k ->，即0∆>．∴抛物线21y x kx k =-+-与x 轴必有两个交点．（2）解：∵抛物线21y x kx k =-+-与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，有210x kx k -+-=． 解得：1x k =-或1x =． ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴(1,0)A ，(1,0)B k -． ∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴(0,1)C k -．∵在Rt AOC △中，tan 3OAC ∠=， ∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==，解得4k =． ∴抛物线的表达式为243y x x =-+．（3）解：当22m <-或22m >+时，x 轴与⊙P 相离． 当22m =-或2m =或22m =+时，x 轴与⊙P 相切． 当222m -<<或222m <<+时，x 轴与⊙P 相交．23．解：（1）将2t =代入抛物线E 中，得：2222(32)(12)(24)242(1)2y x x x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-； （2）点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线E 上． （3）∵点(1,)B n -在抛物线E 上，∴将1x =-代入抛物线E 的解析式中，得：(132)(1)(24)6n t t =+++-+=． 【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+， ∴抛物线E 必过定点(2,0)、(1,6)-． 【应用】不是，理由如下：∵将1x =-代入2352y x x =-++，得66y =-≠， ∴二次函数2352y x x =-++的图象不经过点B ．∴二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的“再生二次函数”．24．解法一：如图1，连接CO 并延长，交⊙O 于点N ，连接AN ，BN ． ∵CN 为⊙O 直径， ∴90NAC NBC ∠=∠=︒， ∵AD BC ⊥，BE AC ⊥， ∴AN BE ∥，NB AD ∥． ∴四边形ANBK 为平行四边形． ∴NB AK r ==，在Rt NBC △中，2NC r =， ∴1cos 2NB NBC NC ∠==， ∴60BNC ∠=︒， ∴60BAC BNC ∠=∠=︒．解法二：如图2，连接OA ，过点O 作OF AB ⊥于点F ． ∵90AOF OAF ∠+∠=︒，90KAE C ∠+∠=︒， 且AOF C ∠=∠， ∴OAF KAE ∠=∠．又∵OA KA r ==，90AEK AFO ∠=∠=︒， ∴AFO △≌AEK △．图1NK E O CADB F图2K E O CADB∴AF AE =， ∴2AB AE =．∴在Rt ABE △中，60BAC ∠=︒．25．解：（1）作CN x ⊥轴于点N ． 在Rt CNA △和Rt AOB △中， ∵2NC OA ==，AC AB =， ∴Rt CNA △≌Rt AOB △（HL ）．∴1AN BO ==，3NO NA AO =+= 又∵点C 在第二象限， ∴3d =-．（2）设反比例函数为ky x=，点C '和B '在该比例函数图像上， 设(,2)C m '，则(3,1)B m '+． 把点C '和B '的坐标分别代入ky x=，得2k m =；3k m =+， ∴23m m =+，3m =，则6k =， ∴反比例函数解析式为6y x=. ∴点(3,2)C '，(6,1)B '．∴直线B C ''的解析式为133y x =-+．（3）设点M 的坐标为(,0)m ，点P 的坐标为6(,)p p． 当以MP 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p +=+，解得215m =-； 当以MG 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p+=+，解得3m =； 当以MC 为平行四边形对角线时，30m p -=+，6023p+=+，解得3m =-． 综上所述，存在点121(,0)5M -，2(3,0)M ，3(3,0)M -，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形．N C'B'A'GBCAyOx11 北京四中初三上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为直线1x =．故选A ．2．【答案】D 【解析】∵反比例数k y x =的图象过点(2,1)，∴2k =，易知点1(4,)2在2y x =的图象上．故选D ．3．【答案】B【解析】∵半径OD 过AB 的中点C ，弦AB 的长为8，∴4BC =，90OCB ∠=︒，在Rt OCB △中，2222543OC OB BC =-=-=．故选B ．4．【答案】D【解析】根据“上加下减，左加右减”可得，所求二次函数的解析式为23(2)1y x =++．故选D ．5．【答案】D【解析】由圆周角定理可得，270AOC ABC ∠=∠=︒．故选D ．6．【答案】B【解析】由解析式可知，两个函数均过点(0,)c ；当0a >时，一次函数单调递增，二次函数开口向上；当0a <时，一次函数单调递减，二次函数开口向下．故选B ．7．【答案】D【解析】由k 得几何意义，可知142PAO S k ==△， 又∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴0k <， ∴8k =-，∴反比例函数的解析式为8y x=-．故选D ．8．【答案】B【解析】由二次函数的图象可知，开口向下，∴0a <；抛物线的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(5,0)，故另一个交点为(1,0)-， ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<；又∵抛物线经过点(1,0)-，∴0a b c -+=；当2x >时，y 随x 的增大而减小．故选B ．9．【答案】B【解析】抛物线的对称轴为直线2x =，开口向上，∵抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，12∴当2x =时，48310y t t =-+-=--≤，当0x =时，30y t =->，∴13t -<≤．故选B ．10．【答案】B【解析】连接OE ，OF ．∵60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴90EOF ∠=︒． ∴222EF OE AD ==． ∵弦EF 的最小值为1，∴AD 的最小值为2，即当AD BC ⊥时，2AD =．在Rt ABD △中，60B ∠=︒，∴26cos603AD AB ==︒．故选B ． 二、填空题11．【答案】<【解析】易得13b =-，232b =，∴12b b <．故答案为<．12．【答案】21y x =--【解析】抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，顶点由(0,1)变为(0,1)-，开口方向由向上变为向下，故旋转后抛物线的解析式为21y x =--．故答案为21y x =--．13．【答案】13x -<<【解析】由表格中数据已知，当函数值0y <时，x 的数值范围是13x -<<．故答案为13x -<<．14．【答案】2【解析】设AE x =，则AF x =，又∵CD CF =，BD BE =，∴22024x +=，解得2x =．故2cm AE =．故答案为2．15．【答案】213【解析】设半圆O 的半径为r ．∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵E 为BC 弧中点，∴OE BC ⊥，∴OE AC ∥，∴22(2)AC OD r ==-，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴2224(2)84r r -+=，解得5r =． F EO C D A B13 ∴6AC =，142CD BC ==， ∴22213AD AC CD =+=．故答案 为213．16．【答案】②④【解析】由题意可知，二次函数的图象大致如图所示： 由图可知，0b <，①错误；240b ac ∆=->，∴214ac b <，②正确； ∵1122x ba +-=，121x -<<-， ∴1211222ba --<-<，即01ba <<，∵0a <，∴a b <，③错误． 又∵11cx a ⋅=，121x -<<-， ∴21ca -<<-，∵0a <，∴2a c a -<<-，④正确．故答案为②④．-1-21y x。