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教学课件：第八讲-机器人动力学-牛顿-欧拉方程
教学课件：第八讲-机器人动力学牛顿-欧拉方程
目录
• 引言 • 牛顿-欧拉方程的原理 • 牛顿-欧拉方程的应用 • 机器人动力学仿真 • 牛顿-欧拉方程的扩展与展望
01 引言
主题简介
01
机器人动力学是研究机器人在运 动过程中力与运动关系的学科。
02
牛顿-欧拉方程是描述机器人关节 运动的数学模型，用于分析机器 人的动态行为。
动态特性分析
动态控制策略
根据动力学模型，设计合适的控制算 法和策略，实现机器人的稳定、快速 和准确的运动控制。
分析机器人在动态环境中的响应特性， 包括稳定性、动态精度和跟踪性能等。
机器人的控制策略
轨迹规划
根据任务需求，规划机器 人的运动轨迹，包括路径 规划、速度规划和加速度 规划等。
控制器设计
基于动力学模型和控制算 法，设计合适的控制器， 实现机器人对给定轨迹的 精确跟踪。
05
总结词：功能模块
06
详细描述：列举仿真软件的功能模块，例如建模模块、求 解器模块、后处理模块等，并简要介绍每个模块的作用。
仿真模型的建立
总结词：建模步骤 总结词：模型精度 总结词：模型验证
详细描述：介绍建立机器人动力学仿真的步骤，包括建 立机器人模型、设置约束和力矩、定义初始状态等。
详细描述：说明建模过程中需要考虑的因素，如模型的 精度、简化程度等，以及如何权衡这些因素。
机器人动力学模型
总结词
描述机器人运动过程中力和运动的数 学模型。
详细描述
机器人动力学模型基于牛顿-欧拉方程， 通过建立力和运动的数学关系，可以 预测机器人的运动轨迹和姿态。该模 型对于机器人的控制和优化设计至关 重要。
03 牛顿-欧拉方程的应用
目录
• 引言 • 牛顿-欧拉方程的原理 • 牛顿-欧拉方程的应用 • 机器人动力学仿真 • 牛顿-欧拉方程的扩展与展望
01 引言
主题简介
01
机器人动力学是研究机器人在运 动过程中力与运动关系的学科。
02
牛顿-欧拉方程是描述机器人关节 运动的数学模型，用于分析机器 人的动态行为。
动态特性分析
动态控制策略
根据动力学模型，设计合适的控制算 法和策略，实现机器人的稳定、快速 和准确的运动控制。
分析机器人在动态环境中的响应特性， 包括稳定性、动态精度和跟踪性能等。
机器人的控制策略
轨迹规划
根据任务需求，规划机器 人的运动轨迹，包括路径 规划、速度规划和加速度 规划等。
控制器设计
基于动力学模型和控制算 法，设计合适的控制器， 实现机器人对给定轨迹的 精确跟踪。
05
总结词：功能模块
06
详细描述：列举仿真软件的功能模块，例如建模模块、求 解器模块、后处理模块等，并简要介绍每个模块的作用。
仿真模型的建立
总结词：建模步骤 总结词：模型精度 总结词：模型验证
详细描述：介绍建立机器人动力学仿真的步骤，包括建 立机器人模型、设置约束和力矩、定义初始状态等。
详细描述：说明建模过程中需要考虑的因素，如模型的 精度、简化程度等，以及如何权衡这些因素。
机器人动力学模型
总结词
描述机器人运动过程中力和运动的数 学模型。
详细描述
机器人动力学模型基于牛顿-欧拉方程， 通过建立力和运动的数学关系，可以 预测机器人的运动轨迹和姿态。该模 型对于机器人的控制和优化设计至关 重要。
03 牛顿-欧拉方程的应用
第四章__机器人动力学ppt课件
pdii1npzii1opzji1apzk
pi 0i0j0k
§ 4.2 机械手动力学方程
n
Dij Tra(TcpepjIppiTpT) pmai,xj
n
mp piTkppjpdi•pdjprp(pdipjpdjpj)
pmai,xj
其中 kp
kkp2p2xxxy
kp2xz
kp2xy k2
pyy
力矩T1和T2的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为： T 1 D 1 1 1 D 1 2 D 1 1 1 2 1 D 1 2 2 2 2 D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 （4.1-8) T 2 D 2 1 1 D 2 2 D 2 1 1 2 1 D 2 2 2 2 2 D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2 （4.1-9)
n
D i i m pp i 2 T x k p 2 x p i 2 x T y k p 2 y p i 2 y T z k p 2 zp d z i • p d i 2 p r p • ( p d i p i)
p m i ,jax
如果为旋转关节
n
D i i m p n 2 p T k p 2 x o x 2 p T k x p 2 y a y 2 p T k y p 2 z z p p • z p p 2 p r p • ( p p • n p ) i ( p p • o p ) j ( p p • a p ) k
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定性 和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
§ 4.2 机械手动力学方程
4.2.2 动力学方程的简化
1 惯量项Dij的简化
《机器人动力学》课件
机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。
机器人动力学ppt
5.2.3机器人静力关系式的推导
可用虚功原理证明。
以图所示的二自由度机械手为研究对象，要产生图 所示的虚位移，推导出图b所示各力之间的关系。
证明: 假设
X [X1,....,X m ]T , Rm1 手爪的虚位移 [1,....,n ]T , Rn1 关节的虚位移
奇异位形：由于雅可比矩阵J(q)是关节变量q的函数, 总会存在一些位形,在这些位形处,|J(q)|=0,即J(q)为奇 异矩阵,这些位形就叫奇异位形。
一般，奇异位形有两种类型：
工作域边界上的奇异：这种奇异位形出现在机器人 的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手 臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不 是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边 界即可。
若令J1，J2 分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二 列矢量，即
x [J1
J
2
]12
由上式可知，J11和J 22分别是由1和2 产生的手部速度的分量。 而J1是在 2 0时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节 转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。 同样，J2是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部 平移速度在基础坐标系上表示出的向量。
，可写成：X X (q) ，并且是一个6维列矢量。
dX [dX, dY, dZ, x , y , z ]T
反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小
角位移(微小转动)组成。可写为 dX J (q)dq
式中： J (q是) 6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可
0 20 0 0 0 0
J
0
1 0 0 1 0
机器人动力学牛顿欧拉方程教学课件
基于牛顿第二定律和欧拉方程，可以推导出 机器人动力学中的牛顿欧拉方程。
推导过程：首先根据机器人的连杆结构，将 机器人的运动分解为各个连杆的质心运动和 绕质心的转动；然后对每个连杆应用牛顿第 二定律和欧拉方程，得到每个连杆的力和力 矩平衡方程；最后将各个连杆的力和力矩平 衡方程联立起来，消去中间变量，得到机器 人整体的牛顿欧拉方程。
逆向动力学计算流程
介绍逆向动力学计算的基本步骤，包括期望轨迹规划、逆向求解关 节力、考虑约束条件等。
逆向动力学实例分析
以具体机器人为例，展示逆向动力学计算过程，包括数值计算和仿 真验证。
动力学仿真与验证
1 2
动力学仿真软件介绍
介绍常用的机器人动力学仿真软件，如 MATLAB/Simulink、ADAMS等。
实验结果分析
数据处理
将采集到的关节位置、速度和加速度数据进 行处理和分析，得到机器人的实际运动轨迹
。
轨迹对比
根据实验结果，评估机器人在运动过程中的 稳定性、精确性和动态性能。
性能评估
将实际运动轨迹与预设轨迹进行对比，分析 两者之间的差异及其原因。
教学反馈
将实验结果反馈给学生，帮助他们深入理解 机器人动力学的原理和实际应用。
机器人连杆质心与转动惯量计算
01
02
03
质心位置计算
通过积分方法或几何方法 计算连杆的质心位置。
转动惯量计算
根据连杆的质量分布和形 状，计算连杆相对于其质 心的转动惯量。
产品惯性矩阵计算
将所有连杆的转动惯量和 产品惯性矩阵组合起来， 得到整个机器人的产品惯 性矩阵。
机器人关节力与力矩计算
牛顿-欧拉方程
感谢您的观看
THANKS
最新第4章机器人动力学教学讲义ppt课件
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4.1.2 动力学方程的两种求法
4.1.2 动力学方程的两种求法
牛顿-欧拉动态平衡法 错误！
二连杆系统的动力学方程的一般形式为：
(4 .4 )
4.1 刚体动力学
4.1.2 动力学方程的两种求法
拉格朗日功能平衡法
二连杆机械手系统的拉格朗日函数L为：
LKP
1 2 (m 1 m 2 )d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 )
m 2 d 1 d 2 c 2 ( 1 2 o 1 2 ) ( m s 1 m 2 ) g 1 c 1 d m o 2 g 2 c 1 s d o 2 ) s
第四章 机器人动力学
4.1.1 刚体的动能与位能
K12M1x1212M0x02 P1 2k(x1x0)2M 1g1x M 0g0x
D
1 2c(x1
x0)2
错误！
WF1xF0x
F
x0
F
x1
k
c
M0
图4.1 一般物体的动能与位能
4.1 刚体动力学
4.1.1 刚体的动能与位能
二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为：
( 4 .1 0 )
机器人动力学PPT课件
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两个例子
平面二连杆 RV-M1：假定各连杆是规则的矩形刚体
.
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第四节关节空间和操作空间的动力学
关节空间动力学方程 操作空间动力学方程 操作力矩方程－关节力矩与操作运动之间的关系
.
38
关节空间动力学方程
D(q)q h(q, q) G(q)
.
5
用拉格朗日方程解决问题的优点
从系统总体解决问题，不需取隔离体； 不需关注各部分之间的内力； 是一种能量方法； 易程序化； 易与现代控制理论相结合，转变成控制模型。易取状
态、输出、及控制作用。
.
6
单自由度－小车弹簧系统
.
7
.
8
两自由度系统－小车弹簧摆系统
.
9
广义坐标与广义力
广义坐标：不是通常所说的与坐标系对应的坐标的概 念；有几个自由度就有几个广义坐标；可以是移动位 移，亦可以是转动转角。
拉格朗日动力学方程的描述 几个应用实例
单自由度小车弹簧系统 两自由度系统小车弹簧摆系统 集中质量双连杆系统 两自由度机器人手臂（分布质量）
.
3
拉格朗日动力学方程
.
4
用拉格朗日方程解决问题的一般步骤
求质点或刚体质心处的速度；求刚体绕质心转动的角 速度．
求各部件的动能；求总动能K． 求各部件的势能；求总势能P． 求拉格朗日函数L=K-P 求与各变量对应的广义力或力矩 列写拉格朗日方程 将拉格朗日方程写成矩阵形式．
D(q)是操作臂的惯性矩阵； h(q, q)是离心力和哥氏力矢量， 其中，关节速度的平方项是离心力，
两关节速度的乘积项是哥氏力； G(q)是重力矢量。
第五章机器人动力学ppt课件
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1
1 2
m1l1212
1 2
I
2
yy1 1
Ek 2
1 2
m2
(d
2 2
21
d
2 2
)
1 2
I
yy
2
21
总动能为：
Ek
1 2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2d22 )12
1 2
m2
d
2 2
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
H (q, q) J T (q)U x (q, q) J T (q) 9q)ar (q, q)
G(q) J T (q)Gx (q)
3．关节力矩—操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的
操作运动之间的关系．由式(4)和(5)，得(6) ：
F M x (q)x U x (q, q) Gx (q) ……4
E p q
g(m1l1 m2d2 )c1
gm2 s1
(5)拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日方
程，得到平面RP机器人的动 力学方程的封闭形式：
d Ek Ek Ep
dt q q q
拉格朗日方程
1
2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2
d
2 2
)1
2m2d21d2
m2d2 m2d212 m2 gs1
q)
1 2
qT
D(q)q
式中，D(q是) nxn阶的机器人惯性矩阵
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第六章 机器人动力学
6.2.4 拉格朗日方程的特点
它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程 式的数目和系统的自由度数是一致的； 理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时 只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力； Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了 列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个 是表征系统运动的动力学量—系统的动能和势能，另一个 是表征主动力作用的动力学量—广义力。因此用Lagrange 方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
动力学方程f的(一,般形,式)： F g (r,r,r)
式中 ,F,,r分别表示力矩、力、角位移和线位移
2020/7/31
5
第六章 机器人动力学
牛顿－欧拉方程
牛顿方程……面向平动
f ma
• 欧拉方程……面向转动
r1
o
m1
于是
x1 r1sin y1 r1cos
由于 v12 x12 y12
r122 sin2 r122 cos2 r122
根据动能的公式
T1
1 2
m1r122
数L可定义为
LTV
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
ddtLL
若操作机的执行元件控制某个移动变量r时，则施加在运动方 向r上的力应为
Fr ddtLrLr
2020/7/31
9
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加上负载的 r操作机
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M
m2
r1
m1
o
操作机的物理学模型
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第六章 机器人动力学
6.3.2 建立拉格朗日函数
N
r
M
m2
（1）求动能T
先对 m 1 求 T1
显然
x1 r1 cos y1 r1 sin
0 而 r1 0
第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
例 6.3 r 操作机的动力学分析
6.3.1 r 操作机的动力学模型
第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
6.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程
对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件组成的机 械系统，其Lagrange方程应为
d dt q T i q Ti q Vi q D i Fqi
其中，q i 为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量； F q i 为作用在系统上的广义力；
2020/7/31
第六章 机器人动力学
6.1 机器人动力学研究概述
2020/7/31
第六章 机器人动力学
6.1 机器人动力学研究概述
本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质 量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问 题； 机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描 述机器人动态特性的数学方程； 目前主要采用两种理论来建立数学模型： （1）动力学基本理论，包括牛顿－欧拉方程 （2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程 如同运动学，动力学也有两个相反问题
T,V和D 是系统总的动能、势能和耗散能，分别为
n
T Ti i 1
n
V Vi i 1
n
D Di i 1
2020/7/31
8
【推荐动力学 培训课 件
第六章 机器人动力学
6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函
（1）正问题 （2）逆问题
2020/7/31
4
第六章 机器人动力学
动力学的两个相反问题
动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
方程，其基本形式为
ddtqTi qTi Qi i1,2,3.....s....
其中，
q1,q2,...q,s是所研究力学体系的广义坐标；
Q1,Q2,...Q,s是作用在此力学体系上的广义力；
T
是系统总动能。
分析力学注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的 能量，扩大了坐标的概念。
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Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
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6
第六章 机器人动力学
6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学体 系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做Lagrange
《机器人原理与应用》
第六章 机器人动力学
2020/7/31
1
第六章 机器人动力学
本章主要内容
（1）机器人动力学研究概述； （2）拉格朗日动力学方法； （3） r 操作机的动力学分析； （4）二连杆机构的动力学分析； （5）倒立摆系统的动力学分析； （6）机器人动力学方程一般形式； （7）考虑非刚体效应的动力学方程。
6.2.4 拉格朗日方程的特点
它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程 式的数目和系统的自由度数是一致的； 理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时 只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力； Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了 列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个 是表征系统运动的动力学量—系统的动能和势能，另一个 是表征主动力作用的动力学量—广义力。因此用Lagrange 方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
动力学方程f的(一,般形,式)： F g (r,r,r)
式中 ,F,,r分别表示力矩、力、角位移和线位移
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牛顿－欧拉方程
牛顿方程……面向平动
f ma
• 欧拉方程……面向转动
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于是
x1 r1sin y1 r1cos
由于 v12 x12 y12
r122 sin2 r122 cos2 r122
根据动能的公式
T1
1 2
m1r122
数L可定义为
LTV
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
ddtLL
若操作机的执行元件控制某个移动变量r时，则施加在运动方 向r上的力应为
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6.3.2 建立拉格朗日函数
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（1）求动能T
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x1 r1 cos y1 r1 sin
0 而 r1 0
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例 6.3 r 操作机的动力学分析
6.3.1 r 操作机的动力学模型
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第六章 机器人动力学
6.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程
对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件组成的机 械系统，其Lagrange方程应为
d dt q T i q Ti q Vi q D i Fqi
其中，q i 为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量； F q i 为作用在系统上的广义力；
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第六章 机器人动力学
6.1 机器人动力学研究概述
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第六章 机器人动力学
6.1 机器人动力学研究概述
本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质 量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问 题； 机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描 述机器人动态特性的数学方程； 目前主要采用两种理论来建立数学模型： （1）动力学基本理论，包括牛顿－欧拉方程 （2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程 如同运动学，动力学也有两个相反问题
T,V和D 是系统总的动能、势能和耗散能，分别为
n
T Ti i 1
n
V Vi i 1
n
D Di i 1
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【推荐动力学 培训课 件
第六章 机器人动力学
6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函
（1）正问题 （2）逆问题
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第六章 机器人动力学
动力学的两个相反问题
动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
方程，其基本形式为
ddtqTi qTi Qi i1,2,3.....s....
其中，
q1,q2,...q,s是所研究力学体系的广义坐标；
Q1,Q2,...Q,s是作用在此力学体系上的广义力；
T
是系统总动能。
分析力学注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的 能量，扩大了坐标的概念。
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Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
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第六章 机器人动力学
6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学体 系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做Lagrange
《机器人原理与应用》
第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
本章主要内容
（1）机器人动力学研究概述； （2）拉格朗日动力学方法； （3） r 操作机的动力学分析； （4）二连杆机构的动力学分析； （5）倒立摆系统的动力学分析； （6）机器人动力学方程一般形式； （7）考虑非刚体效应的动力学方程。