人教版数学高二B版必修5教材习题点拨3.1不等关系与不等式
数学人教B版必修五教案3.1.1不等关系与不等式含答案
教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？(2)在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？(3)数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？(4)任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x A＜x B.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40 km/h 的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a ＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t 表示某天的气温，则26 ℃≤t ≤32 ℃.实例3，若用x 表示一个非负数，则x ≥0.实例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下图．|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v 表示速度，则v ≤40 km/h.实例7，⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%，p ≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f ≥2.5%或p ≥2.3%，这是不对的．但可表示为f ≥2.5%且p ≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a 和b ，在a ＝b ，a ＞b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a －b ＞＞b ；a －b ＝＝b ；a －b ＜＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.例2比较下列各组数的大小(a ≠b)．(1)a ＋b 2与21a ＋1b(a ＞0，b ＞0)； (2)a 4－b 4与4a 3(a －b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a ＋b 2－21a ＋1b＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝(a ＋b )2－4ab 2(a ＋b )＝(a －b )22(a ＋b ). ∵a ＞0，b ＞0且a ≠b ，∴a ＋b ＞0，(a －b)2＞0.∴(a －b )22(a ＋b )＞0，即a ＋b 2＞21a ＋1b . (2)a 4－b 4－4a 3(a －b)＝(a －b)(a ＋b)(a 2＋b 2)－4a 3(a －b)＝(a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3－4a 3)＝(a －b)[(a 2b －a 3)＋(ab 2－a 3)＋(b 3－a 3)]＝－(a －b)2(3a 2＋2ab ＋b 2)＝－(a －b)2[2a 2＋(a ＋b)2]．∵2a 2＋(a ＋b)2≥0(当且仅当a ＝b ＝0时取等号)，又a ≠b ，∴(a －b)2＞0,2a 2＋(a ＋b)2＞0.∴－(a －b)2[2a 2＋(a ＋b)2]＜0.∴a 4－b 4＜4a 3(a －b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a 、b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求a ＜b ，且a b≥10%， 由于a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )＞0，于是a ＋m b ＋m ＞a b .又a b≥10%， 因此a ＋m b ＋m ＞a b≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a 、b 为正实数，且a ＜b ，m ＞0，则a ＋m b ＋m ＞a b.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A．3 B．2 C．1 D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A 组3；习题3—1B 组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x －3)2与(x －2)(x －4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)m 2－2m ＋5和－2m ＋5；(2)a 2－4a ＋3和－4a ＋1.3．已知x ＞0，求证：1＋x 2＞1＋x. 4．若x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)(x ＋y)的大小．5．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小．参考答案：1．解：∵(x －3)2－(x －2)(x －4)＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1＞0，∴(x －3)2＞(x －2)(x －4)．2．解：(1)(m 2－2m ＋5)－(－2m ＋5)＝m 2－2m ＋5＋2m －5＝m 2.∵m 2≥0，∴(m 2－2m ＋5)－(－2m ＋5)≥0.∴m 2－2m ＋5≥－2m ＋5.(2)(a 2－4a ＋3)－(－4a ＋1)＝a 2－4a ＋3＋4a －1＝a 2＋2.∵a 2≥0，∴a 2＋2≥2＞0.∴a 2－4a ＋3＞－4a ＋1.3．证明：∵(1＋x 2)2－(1＋x)2＝1＋x ＋x 24－(x ＋1)＝x 24，又∵x ＞0，∴x 24＞0.∴(1＋x 2)2＞(1＋x)2.由x ＞0，得1＋x 2＞1＋x.4．解：(x 2＋y 2)(x －y)－(x 2－y 2)(x ＋y)＝(x －y)[(x 2＋y 2)－(x ＋y)2]＝－2xy(x －y)．∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0.∴－2xy(x －y)＞0.∴(x 2＋y 2)(x －y)＞(x 2－y 2)(x ＋y)．5．解：∵a ab b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(a b )a －b ，且a ≠b ，当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b ＞0，则(a b )a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a .当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，a －b ＜0.则(a b )a －b ＞1.于是a a b b ＞a b b a .综上所述，对于不相等的正数a、b，都有a a b b＞a b b a.。
人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .答案：D2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1答案：C3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()A．[－7，26] B．[－1，20]C．[4，15] D．[1，15]答案：B4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a3＜b3B．a2＜b2C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.答案：A5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()A．x＞a B．x＜aC．x≥a D．0≤x≤a解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.答案：A二、填空题6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是________． 答案：②④7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3，则α－β的取值范围是________．答案：(－56π，0)8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．答案：y ＜－y ＜x 三、解答题9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与ab －d 的大小．解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以0＜1a －c ＜1b －d，又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜ab －d.10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2log a 1－x 1＋x.因为0＜1－x 2＜1，0＜1－x1＋x＜1，所以log a (1－x 2)log a 1－x1＋x＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝ －log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x ＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1， 所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1， 所以log a (1－x 2)＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.B 级 能力提升1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；⑤a ＞b ，1a ＞1b ⇒a ＞0，b ＜0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．答案：(0，6)3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，所以⎩⎨⎧a ＝f （2）－f （1）3，c ＝4f （1）－f （2）3，而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）3＝8f （2）－5f （1）3，因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4， 所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32， 所以－10≤－5f (1)≤－5， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，即143≤f (3)≤9.。
人教B版高中数学必修五课件3.1不等关系与不等式.pptx
利用不等式基本性质和 两正数和仍是正数来证 明 :
a b
b c
a b
b c
0 0
(a
b)
(b
c)
0
a
c
0
a
c.
新课讲解
3.1 不等关系与不等式
不等式的性质3:
如果a b, 那么a c ___ b c; a b c _a____c___b_ .
利用不等式基本性质来 证明 :
移项法
则
又因为c 0, 得： c c . ba
ab 即 1 1.
ba
即 c c. ab
练习：已知，a b，问：1 与 1 的大小？ ab
小结 小结
3.1 不等关系与不等式
不等式的性质
内容
对称性
a b b a;
abba
传递性
a b,b c a c
加法性质 a b a c b c; a b,c d a c b d
a b 0 an ___ bn.
a b 0 an bn它是不等式乘法性质的推论.
不等式的性质8:
a b 0 n a ___ n b.(n N ,且n 1)
证明 : 假设n a不大于n b , 则n a n b或n a n b . 当0 n a n b时,由"0 b a bn an"得a b,
(2)截得600mm钢管的数量不能超过 500mm钢管数量
的3倍;
以上不等关系用不等式组表示为
(3)截得两种钢管
500x 600 y 4000
的数量都不能为负.
3x y x0
考虑到实际问题的 意义，y 还 0应有x,y∈N
新课引入
3.1 不等关系与不等式
数学人教B版必修5学案：教材习题点拨 3.1不等关系与不
教材习题点拨练习A1．解：∵a ≠b ，∴a ＞b 或a ＜b .2．解：(1)成立；(2)不一定成立；(3)一定成立． 3．解：(1)a ≥0；(2)－2≤a ＜3；(3)2＜|a －b |≤9.4．解：x 2＋2x －(－x －3)＝x 2＋3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋322＋34.∵⎝⎛⎭⎫x ＋322≥0， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋322＋34＞0.∴x 2＋2x ＞－x －3. 练习B1．解：4a 4＋a 2－1＝4a －(4＋a 2)4＋a 2＝－a 2－4a ＋44＋a 2＝－(a －2)24＋a 2.∵(a －2)2≥0,4＋a 2＞0， ∴－(a －2)24＋a 2≤0.∴4a4＋a 2≤1. 2．证明：a 2＋4b 2－2b (a ＋b )＝a 2＋4b 2－2ab －2b 2 ＝a 2－2ab ＋2b 2＝(a －b )2＋b 2. ∵a ≠b ，∴(a －b )2＞0. 又∵b 2≥0，∴(a －b )2＋b 2＞0. ∴a 2＋4b 2＞2b (a ＋b )． 3．解：(a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3) ＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3) ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )(a ＋b )(a －b )(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋12b 2＋34b 2. ∵a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，⎝⎛⎭⎫a ＋12b 2＋34b 2＞0， 故上式＞0，即a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3.4．证明：lg x ＋log x 10－2＝lg x ＋1lg x －2＝(lg x －1)2lg x .∵x ＞1，∴lg x ＞0，(lg x －1)2≥0， ∴(lg x －1)2lg x≥0，∴lg x ＋log x 10≥2.当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时，原式中的等号成立．练习A1．解：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＞ (6)＜2．解：(1)a ＞b ⇒ac ＞bc 是假命题．理由：∵a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ，c ＝0⇒ac ＝bc ＝0.(2)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2是假命题．理由：∵a ＞b ，c 2＞0⇒ac 2＞bc 2；a ＞b ，c 2＝0⇒ac 2＝bc 2＝0.(3)a ＞b 且a lg c ＜b lg c ⇒0＜c ＜1是真命题．理由：a ＞b 且a lg c ＜b lg c ⇒lg c ＜0⇒0＜c ＜1.3．解：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＜4．解：(1)不能，当a ＞b ＞0,0＞c ＞d 时，ac 与bd 的大小无法判断．如2＞1，－1＞－2,2×(－1)＝1×(－2)；2＞1，－2＞－3,2×(－2)＜1×(－3)；2＞1，－12＞－2，2×⎝⎛⎭⎫－12＞1×(－2)． (2)不能，如2＋1＞3－1，此时a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝－1，有a ＜b ，c ＞d ； 但1＋2＞－1＋3，此时a ＝1，b ＝－1，c ＝2，d ＝3，有a ＞b ，c ＜d . (3)不能．①当ab ＞0，即a 、b 同号时，若a ＞b ，则1a ＜1b .②当ab ＜0，即a 、b 异号时，若a ＞b ，则1a ＞1b.5．证明：(1)∵(a 2＋7)－5a ＝a 2－5a ＋7＝⎝⎛⎭⎫a －522＋34＞0，∴a 2＋7＞5a . (2)∵(a 2＋a )－(2a －1)＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴a 2＋a ＞2a －1. (3)∵(a 2＋1)－2a ＝(a －1)2≥0， ∴a 2＋1≥2a .(4)∵4a 4－(4a 2－1)＝4a 4－4a 2＋1＝(2a 2－1)2≥0，∴4a 4≥4a 2－1. 练习B1．解：(1)＞ (2)＞ (3)＞ 2．证明：(1)∵0＞a ＞b ，c ＜0， ∴ab ＞0，b －a ＜0. ∴c a －c b ＝c (b －a )ab ＞0.故c a ＞cb. (2)∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －d ＞0，b －c ＞0，b －a ＜0，d －c ＜0.∴1a －d －1b －c ＝(b －c )－(a －d )(a －d )(b －c )＝(b －a )＋(d －c )(a －d )(b －c )＜0.故有1a －d ＜1b －c. (3)∵c a －c －cb －c ＝c [(b －c )－(a －c )](a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c ). 又∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a －c ＞0，b －c ＞0，b －a ＜0.3c ＜a ＋b ＋c ＝0.∴c ＜0. 故c a －c －c b －c ＝c (b －a )(a －c )(b －c )＞0. ∴c a －c ＞c b －c. 3．解：∵1＜a ＜2＜b ＜3，∴1＜a ＜2,2＜b ＜3，－3＜－b ＜－2，13＜1b ＜12，∴3＜a ＋b＜5，－2＜a －b ＜0，－5＜a －2b ＜－2,2＜ab ＜6，13＜ab＜1.习题3－1A1．解：如每次考试中两位同学成绩的高低，同桌的身高、体重等关系． 2．解：(1)12－1＝2＋1(2－1)(2＋1)＝2＋1， ∴12－1－(23－1)＝2＋1－23＋1＝2＋2－2 3. (2＋2)2－(23)2＝6＋42－12＝42－6，(42)2＝32＜36＝62. ∴(2＋2)2－(23)2＜0.∴2＋2＜2 3.∴12－1＜23－1. (2)∵log 1213＝log 23＝log 49＞log 48，∴log 1213＞log 48.3．解：(1)∵(2a ＋1)(a －3)－(a －6)(2a ＋7)－45＝2a 2－5a －3－(2a 2－5a －42)－45＝2a 2－5a －3－2a 2＋5a ＋42－45＝－6.∴(2a ＋1)(a －3)＜(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)∵(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1－⎝⎛⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)＝x 3＋x 22＋x ＋x 2＋x 2＋1－x 3－x 2－x －12x 2－12x －12＝12＞0. ∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1＞⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)． (3)∵1－2xx 2＋1＝x 2－2x ＋1x 2＋1＝(x －1)2x 2＋1.∵x 2＋1＞0，(x －1)2≥0，∴原式≥0.∴1≥2xx 2＋1.(4)∵a 2＋b 2－(2a ＋2b －2)＝a 2－2a ＋b 2－2b ＋2＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2a ＋2b －2.(5)∵3(a 2＋2b 2)－8ab ＝3a 2－8ab ＋6b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －4b 32－163b 2＋6b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －4b 32＋23b 2≥0，∴3(a 2＋2b 2)≥8ab .4．证明：(1)∵a ＞b ，∴－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b . (2)∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b .∵c ＜0，∴c a ＞cb .(3)∵c ＞d ＞0，∴0＜1c ＜1d .又∵a ＞b ＞0，∴a d ＞bc ＞0.∴a d＞b c. 5．解：(1)∵π4＜α＜π2，∴π2＜2α－π.又∵0＜β＜π3，∴π2＜2α＋β＜43π.(2)∵0＜β＜π3，∴－π3＜－β＜0.又∵π4＜α＜π2，∴－π12＜α－β＜π2.∴－π24＜α－β2＜π4.6．解：(1)由题意得：8 000－800x ＜6 000. (2)由题意得：乙班人数为360x ，甲班人数为360x －1.∴360x ＋5≤360x －1.∵x ＞1，∴5x 2－5x －360≤0.化简得x 2－x －72≤0. 习题3－1B1．证明：(1)∵a 2＋b 2＋5－2(2a －b )＝a 2＋b 2＋5－4a ＋2b ＝a 2－4a ＋4＋b 2＋2b ＋1＝(a －2)2＋(b ＋1)2≥0. ∴不等式成立，且当a ＝2，b ＝－1时，等号成立．(2)∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋1＋b 2＋2b ＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴不等式成立，且当a ＝1，b ＝－1时，等号成立． (3)∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2－ab －bc －cd －da ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2－2ab －2bc －2cd －2da ) ＝12[(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋d 2－2cd )＋(d 2＋a 2－2da )]＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －d )2＋(d －a )2]≥0. ∴不等式成立，且当a ＝b ＝c ＝d 时，等号成立． (4)∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－a 2＋b22＝－a 2－2ab ＋b 24＝－(a －b )24≤0，∴原不等式成立，且当a ＝b 时，等号成立．2．解：设y ＝x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)， ∵x 2＋1＞0，故(1)当x ＞1时，x －1＞0，y ＞0，即x 3＞x 2－x ＋1； (2)当x ＜1时，x －1＜0，y ＜0，即x 3＜x 2－x ＋1； (3)当x ＝1时，x －1＝0，y ＝0，即x 3＝x 2－x ＋1. 3．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧8(x ＋19)＞2 200，8(x ＋19)x －12＞9.(2)0.22＋0.11(x －3)≤0.60.(x ≥3，且x ∈Z )4．解：设m ＝log a (3x 2＋4xy ＋y 2)，n ＝log a (2x 2＋6xy )， ∴a m ＝3x 2＋4xy ＋y 2，a n ＝2x 2＋6xy ， ∴a m －a n ＝x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2＞0(x ≠y )． ∴当0＜a ＜1时，m ＜n ；当a ＞1时，m ＞n .∴当0＜a ＜1时，log a (3x 2＋4xy ＋y 2)＜log a (2x 2＋6xy )； 当a ＞1时，log a (3x 2＋4xy ＋y 2)＞log a (2x 2＋6xy )．5．解：设a b ＝c d ＝k (k ＞0)，则b ＝a k ，d ＝c k ，∴b －d ＝a k －c k ＝a －ck .∴(a ＋d )－(b ＋c )＝a －c －(b －d )＝a －c －a －c k ＝(a －c )⎝⎛⎭⎫1－1k ＝(a －c )·k －1k. ∵a ＞b ，且a 、b 为正数，∴ab ＞1，即k ＞1，∴k －1＞0.又∵a ＞c ，∴a －c ＞0.∴(a －c )·k －1k ＞0.∴a ＋d ＞b ＋c .。
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第三章不等式§3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式课时目标1.掌握实数运算的性质与大小顺序之间的关系.2.初步学会作差法比较实数的大小．1．不等式的定义含有不等号的式子叫做不等式．其中“a≥b”的含义是________，“a≤b”的含义是________．2．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a____b；如果a－b等于____，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a____b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a____b；a－b＝0⇔a____b；a－b<0⇔a____b.一、选择题1．f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则有( )A．f(x)>g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)<g(x)D．不能确定f(x)与g(x)的大小关系2．下列四个数中最大的是( )A ．lg 2B ．lg 2C ．(lg 2)2D ．lg (lg 2)3．若等比数列{a n }的公比q>0，且q ≠1，又a 1<0，那么( ) A ．a 2＋a 6>a 3＋a 5 B ．a 2＋a 6<a 3＋a 5 C ．a 2＋a 6＝a 3＋a 5D ．a 2＋a 6与a 3＋a 5的大小不确定4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c5．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D ．b<c<a6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A ．甲先到教室 B ．乙先到教室 C ．两人同时到教室 D ．谁先到教室不确定 二、填空题7．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．8．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．9．设x ，y ，z ∈R ，则5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小关系是__________________．10．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A 、B 的大小关系是________． 三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．已知a 、b ∈R ，求证：a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．§3.1 不等关系与不等式 3．1.1 不等关系与不等式答案知识梳理1．a >b 或a ＝b a <b 或a ＝b 2.(1)> 0 < (2)> ＝ < 作业设计1．A [∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．]2．A [因为lg 2∈(0,1)，所以lg(lg 2)<0，又因lg 2－(lg 2)2＝lg 2(12－lg 2)>0，lg 2－lg 2＝12lg 2>0，所以lg 2>lg 2>(lg 2)2>lg(lg 2)．]3．B [(a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)＝a 1(q ＋q 5)－a 1(q 2＋q 4)＝a 1q (q 4－q 3－q ＋1)＝a 1q (q －1)2(q2＋q ＋1)∵a 1<0，q >0且q ≠1，q 2＋q ＋1>0，∴a 1q (q －1)2(q 2＋q ＋1)<0，∴a 2＋a 6<a 3＋a 5.]4．C [∵a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55.且2＝68，33＝69，∴a <b .又55＝1025，2＝1032，∴c <a .故c <a <b .]5．C [∵1e<x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .]6．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s2a＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s 2t ＝2s a ＋b ，∴T －2t ＝s a ＋b 2ab －2s a ＋b＝s ×a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b>0，故乙先到教室．]7.x1＋x 2≤12解析 ∵x1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0，∴x1＋x 2≤12. 8．A >B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .9．5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2解析 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z＝1时取到等号． 10．A ≥B解析 ∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1)＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)[(x 3－x )＋(x 3－1)]＝(x －1)2(x 2＋x ＋x 2＋x ＋1)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2[2(x ＋12)2＋12]≥0，∴A ≥B .11．解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝a ＋ba 2－b 2－a －b a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝a －b [a ＋b2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b＝2ab a －ba ＋ba 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0. ∴2aba －b a ＋ba 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．证明 (a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a )＝(a －b )(a 3－b 3)＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2[(a ＋b 2)2＋34b 2]∵(a －b )2≥0，(a ＋b 2)2＋34b 2≥0，∴(a －b )2[(a ＋b 2)2＋34b 2]≥0.∴a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.13．A [方法一 特殊值法． 令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2， ∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1， ∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21， a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0， ∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.]14．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，3x4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f (x )＝g (x )； ③当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜3x4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．。
人教版数学高二B版必修5同步训练不等关系与不等式
第三章 不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下列不等式一定成立的是( )A.-3＜-4B.0≤0C.3≥4D.-5≤-6解析：不等式a≥b 的含义是指“或者a ＞b ，或者a=b”，不等式a≤b 的含义是指“或者a ＜b ，或者a=b”，根据含义可知只有B 正确.答案：B2.已知ba 11>，则下列一定成立的是( ) A.a ＞b B.a ＜b C.b a 11-＞0 D.b a ＞1 解析：根据实数比较大小的方法,可知ba 11-＞0一定成立,其他选项可以采用特殊值代入进行排除.答案:C3.若x ＞1＞y ，下列不等式中不成立的是( )A.x-1＞1-yB.x-1＞y-1C.x-y ＞1-yD.1-x ＞y-x解析：∵x ＞1＞y,∴x+(-1)＞y+(-1)，即B 正确；x+(-y)＞1+(-y)，即C 正确；1+（-x ）＞y+(-x)，即D 正确.故选A.答案：A4.已知:a ＞b,则a 3与b 3的大小关系是____________.解析：因为a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)=(a-b)［(a+22b )+432b ］＞0， 所以,a 3＞b 3.答案：a 3＞b 310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若b ＜0,a+b ＞0,则a-b 的值是( )A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定解析:因为b ＜0,所以-b ＞0,则-2b ＞0.又a+b ＞0,所以a+b-2b ＞0,即a-b ＞0.易知只有选项A 正确.答案:A2.若a ＜b ＜0，则下列不等式中，不能成立的是( ) A.b a 11> B.bb a 11>-C.b a ->-D.|a|＞-b解析：取a=-3，b=-2，可知B 错.再由不等式的性质可推证A 、C 、D 正确.也可以采用作差直接比较大小进行判断.答案：B3.若a ＞b,则( )A.a 2＞b 2B.a 2≥b 2C.a 2≤b 2D.以上都不对解析:a 2-b 2=(a+b)(a-b),而a ＞b,所以,a-b ＞0,当a+b ＞0时,a 2-b 2＞0,a 2＞b 2;当a+b=0时,a 2=b 2;当a+b ＜0时,a 2＜b 2.答案:D4.用“＞、＜、≥、≤”符号填空(1)(2a+1)(a-3)____________(a-6)(2a+7)+45；(2)a 2+b 2____________2(a-b-1).解析:(1)(2a+1)(a-3)-［(a-6)(2a+7)+45］=-6＜0,所以,(2a+1)(a-3)＜(a-6)(2a+7)+45; (2)a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+（b+1)2≥0,所以,a 2+b 2≥2(a -b-1).答案:＜ ≥5.已知:x ＞y 且y≠0,比较yx 与1的大小. 解:yy x y x -=-1. 因为x ＞y,所以x-y ＞0.当y ＜0时,0<-y y x ,即y x -1＜0,所以,yx ＜1; 当y ＞0时,y y x -＞0,即y x -1＞0,所以,y x ＞1. 6.已知a ＞b ＞0,比较3333b a b a +-与ba b a +-的大小. 解:33332233223333)(2))((ba b a ab b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a +-=++--+++-=+--+-, 因为a ＞b ＞0,所以a-b ＞0,所以0)(233>+-b a b a ab .所以03333>+--+-b a b a b a b a , 即b a b a ba b a +->+-3333. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a 、b 分别对应数轴上的A 、B 两点,且A 在B 的左侧,则下列关系中一定正确的是( )A.a 2＞b 2B.ba 11> C.a-b≤0 D.以上都不对解析:根据条件可知a ＜b,所以a-b ＜0,根据这个结论可知C 正确,其他选项可以取特殊值代入检验,也可作差比较得到答案.答案：C2.如果a ＜0,b ＞0，那么下列不等式中正确的是( )A.ba 11< B.-a ＜b C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 解析:如果a ＜0,b ＞0，那么a 1＜0,b1＞0， ∴a 1＜b 1，选A. 答案：A3.若a ＞b ，下列不等式中一定成立的是( )A.b a 11<B.ab ＜1 C.a 2＞b 2 D.lg （a-b ）＞0 解析：因为a ＞b ，y=2x 是增函数.答案:C4.设a 、b 、c 、d ∈R ,且a ＞b,c ＞d,则下列结论中正确的是( )A.a+c ＞b+dB.a-c ＞b-dC.ac ＞bdD.cb d a > 解析:可以取值代入检验,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)＞0,故A 正确.答案:A5.如下图，y=f （x ）反映了某公司的销售收入y 万元与销量x 之间的函数关系，y=g （x ）反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系.（1）当销量x 时，该公司赢利；（2）当销量x 时，该公司亏损.①x ＞a;②x ＜a;③x≥a;④0≤x ＜a.A.①②B.③④C.①④D.②③解析：当销售收入f （x ）大于销售成本g （x ）时，公司赢利；当销售收入f （x ）小于销售成本g （x ）时，公司亏损.故选C.答案：C6.如果[x]表示不超过x 的最大整数,a=[-3.1],b=[m],c=[7.1]且a≤b≤c,那么实数m 的取值范围是_____________.解析:根据定义,可知a=-4,c=7，所以-4≤b≤7,再根据定义知,m 最小为-4,最大值也不能达到8,因此m 的取值范围是-4≤m ＜8.答案:-4≤m ＜8 7.已知0＜b ＜21，a ＞1，试比较log b a 与log 2b a 的大小. 解法一:用商比求解如下：a b b a a ab b lg 2lg lg lg log log 2•==log b 2b. ∵0＜b ＜21， ∴0＜b ＜2b ＜1，a ＞1. ∴log b 2b ＜log b b ＜1，则a ab b 2log log ＜1. ∴log b a ＞log 2ba.解法二:用作差比较求解如下：log b a-log 2ba=bb a b b b b a b a b a 2lg lg 2lg lg 2lg lg )lg 2(lg lg 2lg lg lg lg ••=•-•=-. ∵0＜b ＜21， ∴lgb ＜0，lg2b ＜0.又∵a ＞1，lga ＞0，lg2＞0，∴log b a-log 2b a ＞0.∴log b a ＞log 2b a.8.若a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4，试比较a 、b 、c 三个实数的大小.解:b-c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0.所以b≥c.由题意可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+.44,64322a a c b a a c b 解得b=2a 2-4a+5,c=a 2+1.所以c-a=a 2+1-a=(a-21)2+43＞0, 所以c ＞a,故b≥c ＞a.9.已知一个三边分别为15、19、23单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 单位长度，且能构成钝角三角形，试用不等式写出x 的不等关系.解:缩短x 单位长度后三边长分别为15-x ，19-x ，23-x ，则⎪⎩⎪⎨⎧-+->-->-+->-.)19()15()23(,23)19()15(,015222x x x x x x x10.船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么?解:设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为u ，水流速度为v （u ＞v ＞0），则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t=222v u us v u s v u s -=-++,平均速度uv u t s u 222-==， ∴uv u u v u u u 222-=--=-＜0. ∴u ＜u.因此，船在水流中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度.。
高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
人教B版人教B版高中数学必修五3.1不等关系与不等式(人教实验B版).docx
3.1不等关系与不等式（人教实验B 版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是（）A.a 2<b 2B.ab 2<a 2bC.21ab <21a b D.b a <a b 2.若1a <1b<0，则下列不等式：①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a 2<b 2中， 正确的个数是（） A.1B.2C.3D.43.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（）A.1a <1b B.a 2>b 2 C.21a c +>21b c + D.a |c |>b |c | 4.如果c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式不一定成立的是（）A.ab >acB.c （b -a ）>0C.cb 2<ab 2D.ac （a -c ）<0二、填空题(每小题5分，共10分) 5.已知a >b >0，c <d <0，则b ac -与ab d-的大小关系是.6.已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc -ad >0，则c a -db>0； ②若ab >0，c a -db>0，则bc -ad >0； ③若bc -ad >0，c a -db>0，则ab >0.其中正确命题的个数是.三、解答题(共70分)7．（15分）已知f （x ）=ax 2+b ，若1≤f （1）≤2，2≤f （2）≤3，求f （3）的范围.8.（20分）已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：a （b 2+c 2）+b （c 2+a 2）+c （a 2+b 2）>6abc .9.(15分)已知0<a<1，0<b<1，0<c<1.求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能都大于14.10.（20分）若二次函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且1≤f（1）≤2，3≤f（2）≤4，求f（3）的范围.3.1 不等关系与不等式（数学人教实验B版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5．6．三、解答题7.8.9.10.3.1 不等关系与不等式（数学人教实验B版必修5）答案一、选择题1.C 解析：若a <b <0，则a 2>b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a >ab，故D 错；若ab >0，则a 2b <ab 2，故B 错. 2.B 解析：∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴a +b <0<ab ，|b |>|a |，∴a 2<b 2，故①④正确. 3.C 解析：∵a >b ，c 2+1>0，∴21a c +>21bc +.4.C 解析：∵c <a 且ac <0，∴c <0<a .但b 的符号不确定，∴当b =0时，cb 2=ab 2=0，∴cb 2<ab 2不一定成立.二、填空题5.b ac -<a bd -解析：∵a >b >0，-c >-d >0，∴a -c >b -d >0，∴ 0<1a c -<1b d-. ∵a >b >0，∴b a c -<ab d-.6.3 解析：由bc -ad >0得bc >ad ，又ab >0，∴bc ab >ad ab ，即c a >d b ，∴c a -db>0，故①正确；由ab >0，c a -d b >0，得ab （c a -db ）>0，即bc -ad >0，故②正确；由c a -d b >0，得bc ad ab->0，又bc -ad >0，∴ab >0，故③正确. 三、解答题7. 解法一：整体代换.令f （3）=9a +b =m （a +b ）+n （4a +b ）=（m +4n ）a +（m +n ）b ，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38.3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即f （3）=53-（a +b ）+83（4a +b ）.因为1≤a +b ≤2，2≤4a +b ≤3， 所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法2:巧妙换元.令a +b =x ，4a +b =y ，则a =3y x -，b =43x y-，1≤x ≤2，2≤y ≤3. 因为f （3）=9a +b =853y x-，6≤8y -5x ≤19，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].8.证明：∵ （b-c ）2≥0，∴ b 2+c 2-2bc ≥0，即b 2+c 2≥2bc.又a >0，∴a （b 2+c 2）≥2abc .同理b （c 2+a 2）≥2abc ，c （a 2+b 2）≥2abc . ∵a ，b ，c 不全相等，∴以上三个式子中至少有一个式子取不到等号（这是在论证中极易忽略的）. 故a （b 2+c 2）+b （c 2+a 2）+c （a 2+b 2）>6abc .9.证明：假设（1-a ）b14，（1-b ）c 14，（1-c ）a 14， 由（1a --b ）2≥0，展开得(1)2a b -+≥(1)a b ->12.同理可得(1)2b c -+>12，(1)2c a -+>12.∴(1)2a b -++(1)2b c -++(1)2c a -+>32，即32>32，矛盾.∴原结论成立.10.解：设f （x ）=ax 2+c （a ≠0），则f （1）=a+c ，f （2）=4a+c. 又∵f （3）=9a +c ，故设λ1f （1）+λ2f （2）=f （3），则有121249,1,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得125,38,3λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴f （3）=8(2)5(1)3f f -.∵ 1≤f （1）≤2，3≤f （2）≤4，∴ 5≤5f （1）≤10，24≤8f （2）≤32.∴ 14≤8f （2）-5f （1）≤27. ∴143≤8(2)5(1)3f f -≤9，即143≤f （3）≤9.。
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教材习题点拨练习A1．解：∵a ≠b ，∴a ＞b 或a ＜b .2．解：(1)成立；(2)不一定成立；(3)一定成立． 3．解：(1)a ≥0；(2)－2≤a ＜3；(3)2＜|a －b |≤9.4．解：x 2＋2x －(－x －3)＝x 2＋3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋322＋34.∵⎝⎛⎭⎫x ＋322≥0， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋322＋34＞0.∴x 2＋2x ＞－x －3. 练习B1．解：4a 4＋a 2－1＝4a －(4＋a 2)4＋a 2＝－a 2－4a ＋44＋a 2＝－(a －2)24＋a 2.∵(a －2)2≥0,4＋a 2＞0， ∴－(a －2)24＋a 2≤0.∴4a4＋a 2≤1. 2．证明：a 2＋4b 2－2b (a ＋b )＝a 2＋4b 2－2ab －2b 2 ＝a 2－2ab ＋2b 2＝(a －b )2＋b 2. ∵a ≠b ，∴(a －b )2＞0. 又∵b 2≥0，∴(a －b )2＋b 2＞0. ∴a 2＋4b 2＞2b (a ＋b )． 3．解：(a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3) ＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3) ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )(a ＋b )(a －b )(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋12b 2＋34b 2. ∵a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，⎝⎛⎭⎫a ＋12b 2＋34b 2＞0， 故上式＞0，即a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3.4．证明：lg x ＋log x 10－2＝lg x ＋1lg x －2＝(lg x －1)2lg x .∵x ＞1，∴lg x ＞0，(lg x －1)2≥0， ∴(lg x －1)2lg x≥0，∴lg x ＋log x 10≥2.当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时，原式中的等号成立．练习A1．解：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＞ (6)＜2．解：(1)a ＞b ⇒ac ＞bc 是假命题．理由：∵a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ，c ＝0⇒ac ＝bc ＝0.(2)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2是假命题．理由：∵a ＞b ，c 2＞0⇒ac 2＞bc 2；a ＞b ，c 2＝0⇒ac 2＝bc 2＝0.(3)a ＞b 且a lg c ＜b lg c ⇒0＜c ＜1是真命题．理由：a ＞b 且a lg c ＜b lg c ⇒lg c ＜0⇒0＜c ＜1.3．解：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＜4．解：(1)不能，当a ＞b ＞0,0＞c ＞d 时，ac 与bd 的大小无法判断．如2＞1，－1＞－2,2×(－1)＝1×(－2)；2＞1，－2＞－3,2×(－2)＜1×(－3)；2＞1，－12＞－2，2×⎝⎛⎭⎫－12＞1×(－2)． (2)不能，如2＋1＞3－1，此时a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝－1，有a ＜b ，c ＞d ； 但1＋2＞－1＋3，此时a ＝1，b ＝－1，c ＝2，d ＝3，有a ＞b ，c ＜d . (3)不能．①当ab ＞0，即a 、b 同号时，若a ＞b ，则1a ＜1b .②当ab ＜0，即a 、b 异号时，若a ＞b ，则1a ＞1b.5．证明：(1)∵(a 2＋7)－5a ＝a 2－5a ＋7＝⎝⎛⎭⎫a －522＋34＞0，∴a 2＋7＞5a . (2)∵(a 2＋a )－(2a －1)＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴a 2＋a ＞2a －1. (3)∵(a 2＋1)－2a ＝(a －1)2≥0， ∴a 2＋1≥2a .(4)∵4a 4－(4a 2－1)＝4a 4－4a 2＋1＝(2a 2－1)2≥0，∴4a 4≥4a 2－1. 练习B1．解：(1)＞ (2)＞ (3)＞ 2．证明：(1)∵0＞a ＞b ，c ＜0， ∴ab ＞0，b －a ＜0. ∴c a －c b ＝c (b －a )ab ＞0.故c a ＞cb. (2)∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －d ＞0，b －c ＞0，b －a ＜0，d －c ＜0.∴1a －d －1b －c ＝(b －c )－(a －d )(a －d )(b －c )＝(b －a )＋(d －c )(a －d )(b －c )＜0.故有1a －d ＜1b －c. (3)∵c a －c －cb －c ＝c [(b －c )－(a －c )](a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c ). 又∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a －c ＞0，b －c ＞0，b －a ＜0.3c ＜a ＋b ＋c ＝0.∴c ＜0. 故c a －c －c b －c ＝c (b －a )(a －c )(b －c )＞0. ∴c a －c ＞c b －c. 3．解：∵1＜a ＜2＜b ＜3，∴1＜a ＜2,2＜b ＜3，－3＜－b ＜－2，13＜1b ＜12，∴3＜a ＋b＜5，－2＜a －b ＜0，－5＜a －2b ＜－2,2＜ab ＜6，13＜ab＜1.习题3－1A1．解：如每次考试中两位同学成绩的高低，同桌的身高、体重等关系． 2．解：(1)12－1＝2＋1(2－1)(2＋1)＝2＋1， ∴12－1－(23－1)＝2＋1－23＋1＝2＋2－2 3. (2＋2)2－(23)2＝6＋42－12＝42－6，(42)2＝32＜36＝62. ∴(2＋2)2－(23)2＜0.∴2＋2＜2 3.∴12－1＜23－1. (2)∵log 1213＝log 23＝log 49＞log 48，∴log 1213＞log 48.3．解：(1)∵(2a ＋1)(a －3)－(a －6)(2a ＋7)－45＝2a 2－5a －3－(2a 2－5a －42)－45＝2a 2－5a －3－2a 2＋5a ＋42－45＝－6.∴(2a ＋1)(a －3)＜(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)∵(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1－⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)＝x 3＋x 22＋x ＋x 2＋x 2＋1－x 3－x 2－x －12x 2－12x －12＝12＞0. ∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1＞⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)． (3)∵1－2xx 2＋1＝x 2－2x ＋1x 2＋1＝(x －1)2x 2＋1.∵x 2＋1＞0，(x －1)2≥0，∴原式≥0.∴1≥2xx 2＋1.(4)∵a 2＋b 2－(2a ＋2b －2)＝a 2－2a ＋b 2－2b ＋2＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2a ＋2b －2.(5)∵3(a 2＋2b 2)－8ab ＝3a 2－8ab ＋6b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －4b 32－163b 2＋6b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －4b 32＋23b 2≥0，∴3(a 2＋2b 2)≥8ab .4．证明：(1)∵a ＞b ，∴－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b . (2)∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b .∵c ＜0，∴c a ＞cb .(3)∵c ＞d ＞0，∴0＜1c ＜1d .又∵a ＞b ＞0，∴a d ＞bc ＞0.∴a d＞b c. 5．解：(1)∵π4＜α＜π2，∴π2＜2α－π.又∵0＜β＜π3，∴π2＜2α＋β＜43π.(2)∵0＜β＜π3，∴－π3＜－β＜0.又∵π4＜α＜π2，∴－π12＜α－β＜π2.∴－π24＜α－β2＜π4.6．解：(1)由题意得：8 000－800x ＜6 000. (2)由题意得：乙班人数为360x ，甲班人数为360x －1.∴360x ＋5≤360x －1.∵x ＞1，∴5x 2－5x －360≤0.化简得x 2－x －72≤0. 习题3－1B1．证明：(1)∵a 2＋b 2＋5－2(2a －b )＝a 2＋b 2＋5－4a ＋2b ＝a 2－4a ＋4＋b 2＋2b ＋1＝(a －2)2＋(b ＋1)2≥0. ∴不等式成立，且当a ＝2，b ＝－1时，等号成立．(2)∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋1＋b 2＋2b ＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴不等式成立，且当a ＝1，b ＝－1时，等号成立． (3)∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2－ab －bc －cd －da ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2－2ab －2bc －2cd －2da ) ＝12[(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋d 2－2cd )＋(d 2＋a 2－2da )]＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －d )2＋(d －a )2]≥0. ∴不等式成立，且当a ＝b ＝c ＝d 时，等号成立． (4)∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－a 2＋b22＝－a 2－2ab ＋b 24＝－(a －b )24≤0，∴原不等式成立，且当a ＝b 时，等号成立．2．解：设y ＝x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)， ∵x 2＋1＞0，故(1)当x ＞1时，x －1＞0，y ＞0，即x 3＞x 2－x ＋1； (2)当x ＜1时，x －1＜0，y ＜0，即x 3＜x 2－x ＋1； (3)当x ＝1时，x －1＝0，y ＝0，即x 3＝x 2－x ＋1. 3．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧8(x ＋19)＞2 200，8(x ＋19)x －12＞9.(2)0.22＋0.11(x －3)≤0.60.(x ≥3，且x ∈Z )4．解：设m ＝log a (3x 2＋4xy ＋y 2)，n ＝log a (2x 2＋6xy )， ∴a m ＝3x 2＋4xy ＋y 2，a n ＝2x 2＋6xy ， ∴a m －a n ＝x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2＞0(x ≠y )． ∴当0＜a ＜1时，m ＜n ；当a ＞1时，m ＞n .∴当0＜a ＜1时，log a (3x 2＋4xy ＋y 2)＜log a (2x 2＋6xy )； 当a ＞1时，log a (3x 2＋4xy ＋y 2)＞log a (2x 2＋6xy )．5．解：设a b ＝c d ＝k (k ＞0)，则b ＝a k ，d ＝c k ，∴b －d ＝a k －c k ＝a －ck .∴(a ＋d )－(b ＋c )＝a －c －(b －d )＝a －c －a －c k ＝(a －c )⎝⎛⎭⎫1－1k ＝(a －c )·k －1k. ∵a ＞b ，且a 、b 为正数，∴ab ＞1，即k ＞1，∴k －1＞0.又∵a ＞c ，∴a －c ＞0.∴(a －c )·k －1k ＞0.∴a ＋d ＞b ＋c .。