【高考数学】6.3考点2 等比数列的判断与证明
等比数列的判定与证明-定义法ppt课件
解得， a1 5 ， q 2
因此
a4 a1q3 40
答：它的第一项是5，第4项是40.
5
等比数列的例题
例2 已知 an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a1 ,公比为 q1;bn 首项为b1 ,公比为q2
那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
项的比等同一个常数
项的差等同一个常数
公比(q)
常数
公差(d)
q可正可负,但不可为零
性质
an a1 • q n1
通项
an am q nm
通项 变形
(n, m N * )
d可正可负,且可以为零
an a1 (n 1)d
an
am
(n m)d
(n, m N * )
8
4
课堂互动
(1)一个等解比：数设列它的的第第5一项项是是9 4,a公，1 比则是由题13意，得求它的第1项；
a1
(
1 )51 3
4 9
解得， a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
解：设它的第一项是 a，1 公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20
当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…等比数列. 2
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学1. 引言1.1 等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列，指的是一个数列中每一项与它的前一项成等比例关系的数列。
换句话说，等比数列中任意相邻两项的比值都是恒定的，这个恒定比值称为公比，通常用字母q表示。
1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
在等比数列中，首项表示数列中的第一个数，通常用字母a表示。
数列中第n项的表示一般为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的通项公式为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的前n项和公式为Sn=a*((q^n)-1)/(q-1)。
等比数列具有明显的规律性和对称性，能够通过一些性质和公式来描述和推导等比数列的特点和性质。
在接下来的文章中，我们将进一步讨论等比数列的判断方法、首项和公比的关系、等比中项的性质、等比数列的特点和应用以及如何进行等比数列的证明方法。
通过深入研究，我们可以更加全面地了解等比数列在数学中的重要性和应用价值。
1.2 等比数列的性质等比数列的性质包括等比数列的负项、任意项和等比中项的性质。
我们来看等比数列的负项。
如果一个数列是等比数列，那么它的任意一项和它的相反数都可以构成一个等比数列。
这是因为对于任意一项a，其相反数-b也是等比数列的一项，且它们的比值相同，即-b/a等于公比q。
等比数列的性质之一是每一项和其相反数构成一个等比数列。
等比数列的任意项也具有一定的性质。
假设一个等比数列的首项为a，公比为q，则它的第n项可以表示为a*q^(n-1)。
这个公式可以帮助我们快速计算等比数列任意一项的值，从而更好地理解等比数列的规律。
等比数列的等比中项也有着特殊的性质。
等比数列的等比中项是指两个相邻项的平方根，即等比数列中第n项与第n+1项的平方根。
这个性质有利于我们在不知道等比数列具体项的情况下，通过已知项求解中间项的值。
等比数列的性质包括每一项与其负项构成等比数列、任意项的计算公式以及等比中项的特殊性质。
专题6.3 等比数列及其前n项和(讲)(解析版)
专题6.3 等比数列及其前n 项和1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系．知识点一 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．知识点二 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .知识点三 等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m ． (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ． 【必会结论】等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .(6)等比数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列；满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．考点一 等比数列基本量的运算【典例1】【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若，则S 5=____________。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。
证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。
高考数学：证明等差等比数列的解法
高考数学：证明等差等比数列的解法
我们在数列部分常碰到这样的问题：证明某个复杂数列为等差或者等比数列。
比如下面这道题：
从求证出发，我们回顾等比数列的定义：从第2项开始，数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数，则这个数列为等比数列。
这就是我们证明等比数列的主要办法，也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可。
使用定义法的技巧，就是在化简过程中，保持前项不变，然后后项用题中给定的关系式代入。
道理也是显然的，要使得计算结果为常数，必须要出现消项、约分，所以把后项朝前项去靠近，才能最终通过消项、约分得到常数。
根据条件中给定的关系式，代入上式。
结果还真是一个常数，神奇吗？
其实一点也不神奇，只要方法正确，常数是命题者设计好了的，你不用担心。
下面，增加一点难度，看这一道分段形式给出的数列递推式。
请自觉做题3分钟.不要往下看。
分析：首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它。
通过这种方式，我们对数列有了一些感性的认识。
不管怎样，还是采用定义法来证明。
还是采用前面介绍的技巧：保持前项不变，把后项用题中给定的关系式代入。
注意看，分子项和分母项的脚标相差2，我们根据题目所给递推式，可以分两步来。
咦！结果又是一个常数。
废话，要不是常数，那就是题目出错了。
总结：定义法来真好用，证明等比显奇功。
高中数学6.3考点2-等比数列的判断与证明
高考真题（2019•全国II 卷（理））已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0， ，. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.【解析】（1）由题意可知，，，，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，， 因为，所以，数列是首项、公差为的等差数列，。
（2）由（1）可知，，，所以，。
【答案】（1）见解析；（2），。
（2019•全国I 卷（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．（i ）证明：为等比数列；1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-111a b 111a b -=1144323442nn n n n n n n a b a b b a a b 1112n n n n a b a b {}n n a b +112112n n n a b 11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b 112nn n n a b a b {}n n a b -1221n na b n 112n n n a b 21n na b n 111222n nn n n na ab a b n 111222nnn nn nb a b a b n1122nn a n1122nnb n1-1-X (0,1,,8)i p i =i 00p =81p =11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =(1)a P X ==-(0)b P X ==(1)c P X ==0.5α=0.8β=1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =（ii ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，；；则的分布列如下：（2），，，（i ）即整理可得：是以为首项，为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：，，……，作和可得：表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）.4p 4p X 1-01()()11P X αβ∴=-=-()()()011P X αβαβ==+--()()11P X αβ==-X 0.5α=0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=0.50.20.1c =⨯=()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅10p p -4()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅67614p p p -=⋅01014p p p -=⋅()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 410.0039257p =≈41257p =高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
(完整版)等差、等比数列的判断和证明
等差、等比数列的判断和证明一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
a a a n n n 212+++=⇔{}a n 为等差数列。
③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A=2d ，B=21da -. Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
3.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=(4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等差，公差为md ；②若{}n a 是等差数列，则﹛ka n +p ﹜(k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd 1+pd 2 （d 1、d 2 分别为{}n a 、{}n b 的公差）④232,,n n n n n S S S S S -- 也成等差数列.⑤{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时， )(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a n n s s 1+=奇偶. 当项数为奇数21n -时， a n n n s )12(12-=-；a s s 1-=-奇偶 ；nn s s 1-=奇偶（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg ：a 1，a 3，a 5…构成等差数列，a 1+a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9…也构成等差数列.二、1、等比数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即)2,(*1≥∈=-n n q N a a n n2、等比数列的判断方法： ①定义法：1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠⇔{}a n 为等比数列。
等比数列的判定与证明-通项公式法
• 1．等比数列 {an} 中， |a1|＝ 1， a5＝－ 8a2， a5＞ a2，则 an＝( ) • A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 • C．(－2)n D．－(－2)n • 解析： ∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1. • ∵a5＝－8a2＝a2·q3， • ∴q3＝－8，∴q＝－2. • 又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜ 0， • ∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1 • 答案： A
2.设等比数列{an}的公比q＜1，前n项和为Sn.已知a3 ＝2，S4＝5S2，求数列{an}的通项公式．
解析：
2
a11－qn 由题设知 a1≠0，Sn＝ ， 1－q
a q ＝2， ① 1 4 a11－q2 则a11－q ＝5× . 1－q 1－q 由②式得 1－q4＝5(1－q2)，
等比数列的判定与证明-通项公式法
等比数列的通项公式
等比数列an，首项为
,
a1公比为q,则通项公式为
当q=1时，这是 一个 常函数。 an 0
an a1 q
n 1
等比数列的通项公式2:
通项公式一:
通项公式二:
an a1 m ( a1 , q 0)
对于通项公式an a q n1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
• 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比 数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题 的基础和出发点． • (1)确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q. • (2)在等比数列通项公式和前 n项和公式中共涉及五个量 an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”．
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高考真题
（2019•全国II 卷（理））已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0， ，. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.
【解析】（1）由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，， 因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，。
（2）由（1）可知，，，
所以，。
【答案】（1）见解析；（2），。
（2019•全国I 卷（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，
1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-111a b 111a b -=1
144323442n
n n n n n n n a b a b b a a b 1
112n n n n a b a b {}n n a b +11
2
1
12
n n n a b 11443434
448n n n n n n n n a b a b b a a b 1
1
2n
n n n a b a b {}n n a b -1221n n
a b n 1
12
n n n a b 21n n
a b n 1
112
2
2n n
n n n n
a a
b a b n 11122
2n
n
n n
n n
b a b a b n
112
2n
n a n
112
2n
n
b n
1-1-X (0,1,
,8)i p i =i 00p =81p =11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,
,7)i =(1)a P X ==-
，．假设，．
（i ）证明：为等比数列；
（ii ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【解析】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2）
，
，，
（i ）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii ）由（i ）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药
更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）. (0)b P X ==(1)c P X ==0.5α=0.8β=1{}i i p p +-(0,1,2,
,7)i =4p 4p X 1-01()()11P X αβ∴=-=-()()()011P X αβαβ==+--()()11P X αβ==-X 0.5α=0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=0.50.20.1c =⨯=()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅()11541,2,,7i
i i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅10p p -4()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅67614p p p -=⋅01014p p p -=⋅(
)
88017
8011114414441143
p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18
3
41
p ∴=
-(
)
440123
44011841441311
44441434141257
p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==
--+4p 41
0.0039257
p =
≈41257
p =。