等比数列的判定与证明-定义法ppt课件
合集下载
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
等比数列ppt课件
第十一页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
性质 ：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2
3、m+n=s+t → am.an=as.at
第十二页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
1、b2=ac是a，b，c成等比数列的
_____条件。
谢谢观看
第十七页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
k (q≠1) 变：等差数列首项为-5，前11项的平均值为5，若从中抽取一项，余下10项的平均值为4.
比较an+1与bn+1的大小。 +an+k} 70a1+a2+. (3)a5=4,a7=6,求a9 等比数列的证明与判断只能用定义 (4)a5-a1=15,a4-a2=6,求a3 第六页，编辑于星期五：十三点 二十八分。 (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (5)a3+a8=124,a4a7=-512,且公比q是整数,an=?
数列的单调性： 1: a1>0,q>1 2: a1<0,q>1 3: a1>0,0<q<1
4: a1<0,0<q<1
第四页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
判断 : 1.定义法：
an q
a n1
a n a n1
2.递推公式：a n 1 a n
a
2 n
a n1a n1
第五页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
等比数列
第一页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
等差等比抓首公；看清下标用性质。 五个元素三基本；求和项数很重要。
性质 ：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2
3、m+n=s+t → am.an=as.at
第十二页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
1、b2=ac是a，b，c成等比数列的
_____条件。
谢谢观看
第十七页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
k (q≠1) 变：等差数列首项为-5，前11项的平均值为5，若从中抽取一项，余下10项的平均值为4.
比较an+1与bn+1的大小。 +an+k} 70a1+a2+. (3)a5=4,a7=6,求a9 等比数列的证明与判断只能用定义 (4)a5-a1=15,a4-a2=6,求a3 第六页，编辑于星期五：十三点 二十八分。 (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (5)a3+a8=124,a4a7=-512,且公比q是整数,an=?
数列的单调性： 1: a1>0,q>1 2: a1<0,q>1 3: a1>0,0<q<1
4: a1<0,0<q<1
第四页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
判断 : 1.定义法：
an q
a n1
a n a n1
2.递推公式：a n 1 a n
a
2 n
a n1a n1
第五页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
等比数列
第一页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
等差等比抓首公；看清下标用性质。 五个元素三基本；求和项数很重要。
等差等比数列的证明ppt课件
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
等比数列的概念及基本运算ppt课件
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和 公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避 开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2， 所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30， 得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82， 所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3
等比数列知识点总结PPT
02
03
定义
等比数列的极限是指当等 比数列的项数趋于无穷大 时，数列的通项趋于的某 个常数。
性质
等比数列的极限存在且唯 一，当且仅当公比的绝对 值小于1。此时，极限值 为首项除以(1-公比)。
应用
等比数列的极限在数学分 析、概率论等领域有着广 泛的应用，如求解某些无 穷级数的和等。
等比数列与其他知识点的综合应用
06
等比数列常见误区与解题技巧
常见误区及避免方法
误区一
忽视等比数列的首项和公比是否 为零。在解决等比数列问题时， 必须注意等比数列的首项和公比 都不能为零，否则会导致数列无
法构成或计算错误。
误区二
混淆等比数列的求和公式与通项 公式。等比数列的求和公式和通 项公式是解决等比数列问题的关 键，混淆两者会导致计算错误。
02
等比数列求和公式
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
有限项求和公式
01
等比数列前n项和公式：$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，其中 $a_1$是首项，$r$是公比，$n$ 是项数。
02
特别地，当$r = 1$时，前n项和 公式变为：$S_n = na_1$。
技巧三
构造等比数列求解。对于一些看似不是等比数列的问题， 可以通过构造等比数列的方法，将其转化为等比数列问题 进行求解。
经典例题解析
01 例题一
已知等比数列{an}中，a1=2， q=3，求a4。
02 解析
根据等比数列的通项公式 an=a1*q^(n-1)，将a1=2， q=3，n=4代入公式，可得 a4=2*3^(4-1)=54。
利用求和公式进行数学推导和 证明。
等比数列复习ppt课件
A．63
B．64
C．127
D．128
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
解析：由 a1＝1，a5＝16，得 q4＝aa51＝16，q＝2，S7＝ a111－－qq7＝127.
解析：对等比数列{an}有 S2、S4－S2、S6－S4 成等比数 列，
∵S2＝6，S4－S2＝30－6＝24， ∴S6－S4＝2642＝96，S6＝S4＋96＝126.
答案：126
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
答案：34
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
要点点拨
1．常数列与等差数列、等比数列的关系 常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，只有当常 数列各项不为零时，才是等比数列．
5．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6∶S3＝1∶2， 则 S9∶S3＝________.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
解析：法一：∵S6∶S3＝1∶2， ∴{an}的公比 q≠1. 由a111－－qq6÷a111－－qq3＝12， 得 q3＝－12， ∴SS93＝11－－qq39＝34.
第三节 等比数列
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解得， a1 5 ， q 2
因此
a4 a1q3 40
答：它的第一项是5，第4项是40.
5
等比数列的例题
例2 已知 an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a1 ,公比为 q1;bn 首项为b1 ,公比为q2
那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
项的比等同一个常数
项的差等同一个常数
公比(q)
常数
公差(d)
q可正可负,但不可为零
性质
an a1 • q n1
通项
an am q nm
通项 变形
(n, m N * )
d可正可负,且可以为零
an a1 (n 1)d
an
am
(n m)d
(n, m N * )
8
4
课堂互动
(1)一个等解比：数设列它的的第第5一项项是是9 4,a公，1 比则是由题13意，得求它的第1项；
a1
(
1 )51 3
4 9
解得， a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
解：设它的第一项是 a，1 公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20
当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…等比数列. 2
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2)
a1
q n1 1
b1
q2 n1与a1
q1n
b1
q2 n
即为
a1b1 (q1q2 )n1与a1b1 (q1q2 )n
an1 bn1 an bn
a1b1 (q1q2 ) n a1b1 (q1q2 ) n1
q1q2 .它是一个与n无关的常数，
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列 6
1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
1
是,公比 q= 2
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，…
(6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x , x2 , x3, x4 , L (x 0) 是,公比 q= x
等比数列的判定与证明-定义法
1
对a概n1念的q(更是深与理n无解关的数或式子,且q 0）
an
(1) 1，3，9，27，…
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , 3. 当q>0，各项与首项同号
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，… (4) 1，-1，1，-1，…
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 ·a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124,
法公一比：q直为接整列数方，程求组a求10. a 1、q。
法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5
法三：由 a 4 ·a 7 = a 3 ·a 8 = －512
a
2 3
124a3
3
等比数列通项公式的推导：
an an 1
q n 2
方法一:累乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q
…a3 …
an q an 1
(n-1)个 式子
方法二:迭代法
a2 a1q
a3
a2q a1q
2
(a1q)q
a4 a3q (a1q 2 )q
a1q3
……
an a1
qn1
an a1q n1
512
0
a3 128或a3 4
aa38
128或 4
a3 a8
4 128
∵ 公比 q 为整数
aa83
4 128
q5 128 32 4
q 2
∴ a 10 = a 3×q 10 －3 = －4×(-2) 7 = 512
7
回顾小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前一 概念 从第2项起,每一项与它前一