博弈论考题与答案

一、假设市场上有三个垄断企业，企业无生产成本，问达到纳什均衡时的产量为多少？假设市场的价格和数量之间P=a—b*Q
解：
二、什么是纳什均衡，你是如何理解纳什均衡的？
答：纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种战略组合由所有参与人的最优战略组成，也就是说，给定别人战略的情况下，没有任何单个参与人有积极性选择其他战略使自己获得更大利益，从而没有任何人有积极性打破这种均衡。

当然，“纳什均衡”虽然是由单个人的最优战略组成，但并不意味着是一个总体最优的结果。

如上述，在个人理性与集体理性的冲突的情况下，各人追求利己行为而导致的最终结局是一个“纳什均衡”，也是对所有人都不利的结局。

三、构建一个博弈，说明如何杜绝学生考试作弊现象（参考高薪养廉博弈）
答：
四、给出该博弈的纳什均衡，并用消除劣势战略法，找出
（R1，C3）这个纳什均衡。

C1 C2 C3
R1 2,12 1,10 1,12
R2 0,12 0,10 0,11
R3 0,12 0,10 0,13
五、两个老朋友在一起喝酒，每个人有四个纯战略：杠子、老虎、鸡和虫子，输赢规则是：杠子降鸡，鸡吃虫子，虫子降杠子，两人同时出令。

如果一个打败另一个，赢的效用为1，输的效用为-1，否则效用为0，写出这个博弈的支付矩阵，计算其混合战略纳什均衡。

答：设S为棒子T为老虎C为鸡W为虫子，则其支付矩阵为：
2
S T C W
S 0,0 1,-1 0,0 -1,1
1 T -1,1 0,0 1,-1 0,0
C 0,0 -1,1 0,0 1,-1
W 1,-1 0,0 -1,1 0,0
设1、2出STCW的概率分别为P1P2P3P4和Q1Q2Q3Q4，则矩阵达到均衡时，2的期望收益必须满足：0*p1—1*p2+0*p3+1*p4=1*p1+0*p2—1*p3+0*p4=0*p1+1*p2+0*p3—1*p4= —1*p1+0*p2+1*p3+0*p4 整理为—p2+p4=p1—p3= —p1+p3
由于上式为对称的，所以，p1=p2=p3=p4,又p1+p2+p3+p4=1,可得p1=p2=p3=p4=0.25. 同理q1=q2=q3=q4=0.25 综上所述，混合战略的纳什均衡为：A1（0.25,0.25,0.25,0.25）A2（0.25,0.25,0.25,0.25）
六、5个海盗抢到了100颗宝石，每一颗大小和价值都一样他们决定这么分:抽签决定自己的号码(1、2、3、4、5)。

首先，1号提出分配方案。

然后大家5人进行表决，当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔人大海喂鳌鱼。

如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔人大海喂鳖鱼。

以次类推。

假定每个个强盗都是经济学假设的“理性人”，假定每个判决都能顺利执行。

那么，如果你是第一个强盗，你该如何提出分配方案才能够使自己的收益最大化?
七、假设选民政治态度是成线性均匀分布的，说明为什么两党政治具有欺骗性，如果是三党政治情况如何，为什么？
答：政党和政治家争取选民情况实际上就和杂货铺定位博弈一样。

工党一定要打出劳工代言人的旗帜，所以他是站在左边的，左边是他的地盘。

但是只有左边一半的选民，还不足以保证胜出。

为了在竞选中获胜，他要想办法把中间的在两党之间摇摆的选民争取过来。

最好的办法，就是使自己的竞选纲领向“右”的方向靠过去一点，就是在竞选中宣布也要照顾中产阶级的利益。

移过去一点，地盘就可能大一点。

同样，原来立党之本是在“右”边的保守党，在竞选的过程中，也要往左边靠，争取更多的选民。

这样斗法的结果，在漫长的竞选过程中，虽然两党的漫骂不断升级，但是实际纲领却不断靠近，直到两个政党在中点紧挨在一起，才是稳定的纳什均衡。

这个政党纲领向中点移动的机制，也说明西方两党政治的欺骗性。

竞选的时候，怎样有利于拉票就怎样讲，当选以后，可以忘得一干二净。

在这个意义上，我们说不要以为哪个政党上台这些西方国家的态度就会改变，确实很有道理。

政党政治，本来在理论上有促使政治家个人操守不可太放肆的优点。

但是在西方国家，小学生都知道政治家说的话不可靠，无奈制度决定了，每次竞选，人们只能在那少数政治家之间作出他信非常有限的选择。

为什么第三个政党难成气候?这是因为，如果三个政党的位置不相同，不在同一个点上，那么他们都有向中点
M挤压的动机，所以这时候不是稳定的局面，如果三个党都位于中点M，那么谁跳开一点点，谁就会取胜，所以也是不稳定的局面。

这是因为从M跳开一点儿走到D的时候，至少D以外的选民都会投他的票，而D的另一边的选民要由留在M点的两个政党来瓜分，这两个党各自的得票，就都比不上跳开的那个党。

三个党全在中点不稳定，有一个不在中点也不稳定，总起来一句话，三党政治不会稳定。

八、假设纳税人应纳税金额为A，税收机关检查成本为C，如果纳税人偷税被税收机关检查到，则罚金为F。

纳税人有两种策略行为：纳税和偷税；税收机关有两种策略行为：检查和不检查。

构建一个收益矩阵，并说明如何处于纳什均衡？
解：假定C<A+F。

不存在纯战略纳什均衡。

纳税人
逃税不逃税
税收机关检查A-C+F,-A-F A-C,-A
不检查0,0 A，-A
S 为税务机关检查的概率，E为纳税人逃税概率。

给定E，税收机关选择检查与否的期望收益：
K(1,E)=(A-C+F)E+(A-C)(1-E)
=EF+A-C
K(0,E)=0E+A(1-E)=A(1-E)
解K(1,E)= K(0,E)，得：E=C/(A+F)纳税人逃税概率小于E,税收机关的最优决策是不检查，否则则反。

给定S，纳税人选择逃税与否的期望收益是：
K(S,1)=(-A-F)S+0(1-S)=-(A+F)S
K(S,0)=-AS+(-A)(1-S)=-A
解K(S,1)= K(S,0) ，得S=A/(A+F)即，如果税收机关检查的概率小于S,纳税人的最优选择是逃税，否则交税。

混合纳什均衡是S,E,即税收机关以S的概率查税，而纳税人以E的概率逃税。