进才中学特级教师张雪明为您在线解读数学高考卷
张雪明老师自主招生解题思路(上午)学习资料
自主招生解题思路（上午课程）01高校自主招生备考指南一、不忘高中以前的数学例如：（2012卓越）如图，半径为5的圆O 中，延长长度为8的弦BC 至E ，使4CE =，作圆的切线EF ，F 为切点，直径MN BC ⊥（M 在BC 的劣弧上），若MF 交BC 于G ，求GE 的长。
二、重视高中现在的数学例如：（2012卓越）已知,{1,2,3,4,5}a b ∈，直线y ax b =+与圆222x y +=，求 （1）直线与圆有交点的概率； （2）直线与圆的交点个数的数学期望。
三、关注高中以后的数学例如：（2012香港大学）（1）求证220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰；（2）求证2(sin )(sin )xf x dx f x dx πππ=⎰⎰；（3）求20sin 1cos x xdx xπ+⎰。
EM四、关注学校特色及培养理念2010北大自主招生（三校联招）数学部分1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分） 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）02解题思路生成～简介一、名词解释T——Tie[taɪ]（联结）L——Link [lɪŋk]（联系）A——Associate[ə'soʃɪet]（联想）Tie（联结）现代汉语词典：结合在一起。
百度：结合，连接。
如：画一条直线把这两点联结起来。
2019届上海市进才中学高三上学期开学考试数学试题(解析版)
2019届上海市进才中学高2020届1月江西省上饶市一模数学（理）试题一、单选题1．设集合{A x y ==，()(){}120B x x x =+-<，则A B =I （ ） A ．[)1,2 B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．()1,2-【答案】B【解析】先求出集合A 和集合B ，由此即可得到结论. 【详解】由题意{}10A x x =-≥{}1x x =≤，{}12B x x =-<<， ∴(1,1]A B ⋂=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查交集的求法，交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．计算34i12i+=-（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+【答案】D【解析】利用复数的运算法则即可得出． 【详解】由复数的运算法则可得：34i 12i +=-()()()()34121212i i i i ++=+-510125ii -+=-+．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知直线m ⊥平面α，则“直线n m ⊥”是“n αP ”的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【解析】当m α⊥且n m ⊥时,我们可以得到//n α或n ⊂α（因为直线n与平面α的位置关系不确定）,所以充分性不成立;当//n α时,过直线n 可做平面β与平面α交于直线a ,则有//n a .又有m α⊥,则有m a ⊥,即m n ⊥.所以必要性成立,故选B .4．上海地铁2号线早高峰时每隔4.5分钟一班，其中含列车在车站停留的0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（ ） A ．17B ．18C ．19D ．110【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算问题，求出对应时间的比即可． 【详解】Q 每4.5分钟一班列车，其中列车在车站停留0.5分钟，∴根据几何概型概率公式可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为0.514.59=. 故选：C ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，对应时间的比值是解题关键，属于基础题． 5．《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第1天织了五尺，一个月（按30天计算）共织九匹三丈（一匹=四丈，一丈=十尺），则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（ ） A ．16 B ．17C ．19D ．21【答案】A【解析】设该女子第一天织布为1a ，利用等差数列即可得到结论. 【详解】记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则1303030()3902a a S +==，13026a a +=，则3021a =，30116a a -=.故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，6．已知MOD 函数是一个求余数函数，(),MODm n (),m N n N ++∈∈表示m 除以n 的余数，例如()8,32MOD =.如图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为28，则输出的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】模拟执行程序框图，根据题意，28大于1的约数有：2,4,7,14,28共5个，即可得解. 【详解】模拟执行程序框图，可得：2n =，0i =，28m =，满足条件28n ≤，()28,20MOD =，1,3i n ==； 满足条件28n ≤，()28,31MOD =，1,4i n ==； 满足条件28n ≤，()28,40MOD =，2,5i n ==； 满足条件28n ≤，()28,53MOD =，1,6i n ==； …Q28N n*∈，可得程序框图的功能是统计28大于1的约数的个数，由于约数有：2,4,7,14,28共5个，故5i =．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的(),MODm n 的值是解题的关键，属于基础题．7．已知,a b r r 是不共线的向量，OA a b λμ=+u u u r r r，2OB a b =-u u u r r r ，2OC a b =-u u u r r r，若、、A B C 三点共线，则λμ、满足（ ）A ．3λμ=-B ．3λμ=+C ．2λμ=+D ．2λμ=-【答案】B【解析】利用三点共线，即可得到结论. 【详解】由、、A B C 三点共线，得(1)(1)(2)OA tOB t OC t a t b =+-=++-u u u r u u u r u u u r r r，Q ,a b r r是不共线的向量，∴1t λ=+，2t μ=-，∴3λμ=+ .故选：B. 【点睛】本题考查了三点共线，向量共线定理，属于基础题．8．已知变量,x y 满足03030x x y x y ≤≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩，则23z x y =-的最大值为（ ）A ．9-B ．9C ．12-D ．12【答案】A【解析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值. 【详解】画出03030x x y x y ≤≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩表示的可行域，如图，平移直线2133y x z =-，当直线经过点(0,3)时，直线截距最小，z 最大，所以，z 最大值为20339z =⨯-⨯=-， 故选：A ． 【点睛】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题. 9．已知函数()()()2sin 0f x x ωω=>在[](),20x a a ∈<上最大值为1且递增，则2a -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．9D ．8【答案】D【解析】利用正弦函数的单调性求得a 的最值，进而可得2a -的最值. 【详解】由题意可知，[,2][,]22a ππωω⊆-，(2)2sin(2)1f ω==，26πω=，12πω=，则min 6a =-，max (2)8a -=.故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，不等式的解法，属于基础题．10．已知())lnf x x =，不等式(()220f f x ++≤对x ∈R 成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[)2,-+∞ B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],2-∞-【答案】A【解析】易证()f x 是奇函数且在R 上单调递减，利用函数性质得不等式，进而解得即可. 【详解】())f x x -=()f x ==-，())f x x =是奇函数且在R 上单调递减，不等式2((2)0f f x ++≤即：2((2)f f x ≤--，结合函数的单调性可得：22x ≥--，2a ≥=-，max 2-=-，所以2a ≥-.故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用奇函数的性质得不等式是关键，属于中档题.11．在直角坐标系xOy 中，12F F 、分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b -=>>的左、右焦点，点()00,P x y 是双曲线右支上的一点，满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，若点P 的横坐标取值范围是054,43x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则双曲线C 的离心率取值范围为（ ）A ．54,43⎛⎫⎪⎝⎭B ．169,72⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．72⎛ ⎝⎭D ．53⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由120PF PF ⋅=u u u r u u u u r 可计算得222202()a b c x c+=，再利用054,43x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得离心率的取值范围. 【详解】由120PF PF ⋅=u u u r u u u u r 可得，222000x c y -+=，222220020b x c x b a-+-=，222202c x b c a=+，222202()a b c x c +=，由于054(,)43x a a ∈，所以22222225()16169a b c a a c +<<，2297169b c <<，29171169e <-<，2217916e <<，216972e <<e <<故选：C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，向量数量积的运算，考查计算能力，属于中档题． 12．已知对任意实数x 都有()()3xf x e f x '=+，()01f =-，若不等式()()2f x a x <-（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．41,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．274,43e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．271,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由()3()x f x e f x '=+，(0)1f =-得()(31)xf x x e =-，进而得()(32)x f x x e =+'，再根据图像比较点()2,0与四个点(1,2)e ，(0,1)-，4(1,)e--，27(2,)e--连线的斜率，即可得到答案.【详解】由()3()xf x e f x '=+，(0)1f =-得()(31)x f x x e =-，故()(32)xf x x e =+'，()f x 在23x =-取得极小值，根据图像，欲使解集中恰有两个整数，则比较点()2,0与四个点(1,2)e ，(0,1)-，4(1,)e --，27(2,)e --连线的斜率，由2e -<2741432e e <<可得274[,)43a e e∈.故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题13．若直线210x cy -+=是抛物线2x y =的一条切线，则c =__________． 【答案】1-【解析】根据题意，联立方程即可得到答案. 【详解】联立直线和抛物线得到2210x cy x y-+=⎧⎨=⎩2210cx x ⇒--=01c ⇒∆=⇒=-．故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.14．一个棱长为2的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为__________．【答案】322-【解析】在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球，即为放置的球与正方体相切与圆柱体也相切，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图，利用几何关系计算即可.【详解】如图，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R，则圆柱体底面圆半径1r=,正方形的边长为2，由题意可得，()21221R R=+，解得322R=-322-故答案为：322-【点睛】本题主要考查球的半径的求法，几何图形的转化，属于基础题.15．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且332nnS a=+⋅，则63SS=__________．【答案】28【解析】由等比数列前n项和的通项公式得=3q，进而可得比值.【详解】等比数列{}n a的前n项和为11=(1)11nna aq qqSq-≠--，由已知3=+32nnS a⋅，可知=3q，则()()6136331111+2811a qS qqS a qq--===--．故答案为：28.【点睛】本题考查等比数列前n 项和的代数表达式，利用等比数列的定义是关键，属于基础题. 16．一只蚂蚁从一个正四面体ABCD 的顶点A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A 的爬行方法种数是__________． 【答案】60【解析】方法一：根据题意，蚂蚁第一次爬行可以到B C D 、、的任何一点，再利用第二次爬行到A 与不到A 进行分类计算，依次计算即可；方法二：设从点A 出发爬行n 次仍在点A 的爬行方法种数为(2)n a n ≥，由题意得递推关系113(3)n n n a a n ---=≥，进而可得结论.【详解】解法一：第一次爬行可以到B C D 、、的任何一点，第二次爬行分到A 与不到A ，对于第二次不到A 的第三次爬行再分到A 与不到A ．爬行方法总数为313[22⨯⨯⨯+⨯1326]20⨯+⨯=（）（种）．解法二：设从点A 出发爬行n 次仍在点A 的爬行方法种数为(2)n a n ≥，则23a =，113(3)n n n a a n ---=≥，11113(3)(1)(1)(1)n n n n n n na a -----==-----，11[](1)(1)(1)n n n n n n a a a --=----1212[](1)(1)n n n n a a ----+-+--L 322322[](1)(1)(1)a a a +-+--- 12(3)(3)n n --=------L 123[(3)1](3)331n -----+=---13[(3)1]4n -=---， 553(1)4a ∴=--4[(3)1]60--=-，560a =．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值）故答案为：60. 【点睛】本题主要考查了计数原理的应用，构造数列，利用递推关系解决问题，属于中档题.三、解答题17．已知()tan sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为锐角，且()f B = （1）求角B 的大小；（2）若3b =，2a c =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）利用诱导公式和倍角公式对函数解析式化简，将()f B =代入即可得到答案；（2）利用余弦定理求得c 的值，代入三角形面积公式求得三角形的面积. 【详解】（1）函数()4tan sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭cos 3x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭4tan cos cos 3x x x π⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭4sin cos 3x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+-=1cos 2sin 22xx -+sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()f B =sin 232B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， B Q 为锐角， 22,333B πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 233B ππ∴-=3B π∴=；（2）由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-，3b =Q ，2a c =，3B π=，()222924cos 3c c c π∴=+-，23c ∴=，1sin 2ABC S ac B ∆∴=2sin 2c B ==.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，要求学生对正弦定理和余弦定理公式及变形公式熟练应用，属于基础题.18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，SAB ∆是等边三角形，侧面SAB ⊥底面ABCD ，23AB =，3BC =，1AD =，点M 、点N 分别在棱SB 、棱CB 上，2BM MS =，2BN NC =，点P 是线段MN 上的任意一点.（1）求证：//AP 平面SCD ； （2）求二面角S CD B --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）3π. 【解析】（1）先证//MN 平面SCD ，再证//AN 平面SCD ，进而可得平面//AMN 平面SCD ，即可得到答案；（2）建立空间直角坐标系，求出平面SCD 的法向量，取平面BCD 的法向量，利用向量法求出二面角即可. 【详解】（1）连接,AM AN ，由2BM MS =，2BN NC =得//MN SC//MN ∴平面SCD且113NC BC AD ===，又//AD BC ， 则四边形ADCN 为平行四边形， 故//AN DC ，//AN ∴平面SCD 又MN AN N =I∴面//AMN 面SCD，又AP ⊆面AMN//AP ∴平面SCD .（2）如图，以AB 中点O 为原点，AB 的中垂线为z 轴，直线BA 为x 轴，过O 于BC 平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系则面BCD 的其中一个法向量()10,0,1n =u r， 设面SCD 的一个法向量()2,,n x y z =u u r又()0,0,3S ，()3,1,0D，()3,3,0C -()3,1,3SD ∴=-u u u r ，()23,2,0CD =-u u u r2200SD n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u vu u u v u u v 3302320x y z x y ⎧+-=⎪⇒⎨-=⎪⎩，令1y =得，32(,1,)33n =r 则121212cos ,n n n n n n ⋅<>=u r u u ru r u u r ur u u r 2134213==⋅ 故二面角S CD B --的大小为3π. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，利用向量法求法向量，求二面角的大小，属于中档题． 19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，23. 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算2K ，对照临界值得出结论；（2）根据题意可得贫困指标在[)00.4,的贫困户共有15（户），“亟待帮助户”共有5（户），则X 的可能值为0，1，2，列出分布列，计算期望值即可. 【详解】（1）由题意可知，绝对贫困户有()0.250.500.75++0.210030⨯⨯=（户），可得出如列联表：()22100182825230702080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.762 3.841≈>． 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户），“亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，()210215307C P X C ===，()1110521510121C C P X C ===， ()252152221C P X C ===，则X 的分布列为故31022012721213EX =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，理由见解析. 【解析】（1）求出a ，b 代入即可；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，P ，Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y ，求出M ，N 的横坐标，12122121212(1)(1)3()9M N x x x x x x y y k x x k x x ⋅==+++++，利用直线和椭圆联立，由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+，即可求出. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=，又由3e =2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=； （2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y 则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k+==-+++22212412489363k k k =-++，是定值．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的综合，圆锥曲线的定值问题，属于中档题． 21．已知函数()42ln af x a x x x-=-++. （1）当4a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()26xg x e mx =+-，当22a e =+时，对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2122f x e g x +≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，(2,)a -+∞；当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间；（2）2m e e ≤-.【解析】（1）先求函数的定义域，利用函数的导函数()0f x '=，得2x =或2=-x a ，当4a ≥时，分4a >，4a =讨论即可得到答案；（2）当22a e =+时，由（1）知()f x 在()22,e 上单调递减，在()2,e +∞上单调递增， 从而()f x 在[)2,+∞上的最小值为22()6f e e =--，由题意得2266x e e mx ≥+--，即22e e xm x-≤，令22()x e e h x x -=，求新函数()h x 的最大值即可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，224()1a a f x x x -'=-++2(2)[(2)]x x a x ---=，由()0f x '=，得2x =或2=-x a .当4a >即22a ->时，由()0f x '<得22x a <<-， 由()0f x '>得02x <<或2x a >-；当4a =即22a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，(2,)a -+∞；当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间.（2）当22a e =+时，由（1）知()f x 在()22,e 上单调递减，在()2,e +∞上单调递增， 从而()f x 在[)2,+∞上的最小值为22()6f e e =--.对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21x ∈+∞,，使()g x 的值不超过()22e f x +在区间[)2,+∞上的最小值26e -.由2266xe e mx ≥+--，22e e xm x -∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()22222()x x e x e xh x e x ---'=Q ()232x x e xe e x+-=-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22xxe xe e +-20xx xee >-≥，()0h x '<. 故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-，从而2m e e ≤-. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 50ρρθ--=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，定点()3,0F ，求FA FB +的值. 【答案】（1）22(2)9x y +-=；（2）【解析】（1）由222x y ρ=+，sin y ρθ=，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和t 的几何意义，即可求得. 【详解】（1）将222=,x y y sin ρρθ⎧+⎨=⎩代入24sin 50ρρθ--=，得：22450y x y --=+，即圆C 的直角坐标方程为22(2)9x y +-=； （2）设点A B ，对应的参数为12t t ，，把直线l的参数方程3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)9x y +-=，得：22((3)9222)t t +--=化简得240t -+=，12t t ∴+=12FA FB t t ∴+=+12t t =+=【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系，考查直线参数方程的运用，属于基础题. 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知实数正数x , y 满足1x y +=． （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1[,1)6.(2)见解析.【解析】（1）利用零点分段法即可求解. （2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明. 【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>Q 且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩01011112121222x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩ 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解法1： 1,x y +=Q 且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225x y y x =++ 22259x y y x ≥⋅+=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2： 1,x y +=Q 且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y xx y ++=⋅ 1x y xyxy+++=21xy=+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭当且仅当12x y ==时，等号成立. 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.浙江省绿色联盟2019届高三5月适应性考试数学试题一、选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分。
高考数学压轴专题晋城备战高考《推理与证明》真题汇编附答案解析
【高中数学】高考数学《推理与证明》解析一、选择题1．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法C ．可能是排球D ．一定是篮球【答案】B 【解析】 【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.2．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.4．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .5．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（ ） A ．1个 B ．5个C ．7个D ．9个【答案】B 【解析】 【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个， 由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 因此这样的点有且只有5个. 故选：B 【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.6．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李C ．小孙D ．小赵【答案】A 【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.7．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误；④数列{a n}的递推关系是a n+1=a n+n+1(n∈N∗).正确；本题选择D选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A．甲B．乙C．丙D．无法预测【答案】A【解析】【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。
(上海专版)高考数学分项版解析专题13推理与证明、新定义、复数文
专题13 推理与证明、新定义、复数 文一．基础题组1. (2009上海,文14)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5)为报刊零售点.请确定一个格点__________为发行站,使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 【答案】 (3,3)2. 【2008上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ）Ａ．»AB B ．»BCC ．»CD D ．»DA 【答案】D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方,∴当Q 在»DA上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点,∴Q 组成的集合是劣弧»DA. 3. 【2006上海,文12】如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.【答案】44. 【2005上海,文16】用n 个不同的实数n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in ni i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b Λ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++Λ等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720 【答案】－1080【解析】在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b Λ复数一．基础题组1. 【2014上海,文2】若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________. 【答案】6【解析】由题意21()1(12)(12)11(2)16z z z z i i i z+⋅=⋅+=+-+=-+= 【考点】复数的运算.2. 【2013上海,文3】设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝______.【答案】－2【解析】 m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数⇒222010m m m ⎧+-=⎪⎨-≠⎪⎩⇒m ＝－2.3. 【2012上海,文1】计算：311i-=+__________(i 为虚数单位)． 【答案】1－2i【解析】23i (3i)(1i)33i i i 12i 1i (1i)(1i)2-----+===-++-.4. 【2012上海,文15】若1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1 【答案】B【解析】由x 1＝1i ，知x 2＝1i. 则x 1＋x 2＝2＝－b ，即b ＝－2；x 1x 2＝(1i)＝1－2i 2＝3＝c .5. 【2011上海,文19】已知复数z 1满足(z 1－2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.【答案】4＋2i【解析】∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4， ∴z 2＝4＋2i.6. 【2010上海,文4】若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝____________.【答案】6－2i【解析】法一：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝12－(2i)2＝1－(－4)＝5. ∴z ·z ＋z ＝5＋(1－2i)＝6－2i. 法二：∵z ＝1－2i ，∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＋z ＝z (z ＋1)＝(1－2i)(2＋2i)＝2－4i 2－4i ＋2i ＝6－2i.7. 【2008上海,文3】若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 【答案】1i +【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-. 8. 【2008上海,文7】若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．【答案】4【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且2222z a b =⇒+=，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,3,b b ∴==±所以(13)(13) 4.p z z i i '=⋅=-+--=9. 【2007上海,文12】已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（ ） Ａ.32a b =-=， Ｂ.32a b ==-， Ｃ.32a b =-=-， Ｄ.32a b ==， 【答案】A 【解析】10. 【2006上海,文5】若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈则____z =.【答案】3【解析】若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则m=2，z=3i ，3z =.11. 【2016高考上海文数】设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于_______. 【答案】-3 【解析】 试题分析：32i23i,iz +==-故z 的虚部等于−3. 【考点】复数的运算、复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.12. 【2015高考上海文数】若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z 2141+=. 【考点定位】复数的概念，复数的运算.【名师点睛】本题用待定系数法求复数.复数不能比较大小，两个复数相等，实部与虚部分别相等.共轭复数的实部相等虚部互为相反数.共轭复数的模相等.二．能力题组1. (本题满分14分)(2009上海,文19)已知复数z=a+bi.(a 、b∈R +,i 是虚数单位)是方程x 2-4x+5=0的根.复数w=u+3i(u∈R )满足|w-z|＜52,求u 的取值范围.【答案】-2＜u ＜6【解析】原方程的根为x 1,2=2±i, ∵a、b∈R +,∴z=2+i.∵|w -z|=|(u+3i)-(2+i)|=524)2(2<+-u , ∴-2＜u ＜6.2. 【2005上海,文18】（本题满分12分）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）. 【答案】z=-21±23i【解析】原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第55课向量的数量积 含解析
第55课 向量的数量积1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算.3. 能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直.1. 阅读：必修4第83～88页.2. 解悟：①数量积的定义；②向量b 在向量a 方向上的投影；③两个向量夹角的范围；④重解第87页例4，体会解题的方法和规范.3. 践习：在教材空白处，完成第89～90页习题12～18题.基础诊断1. 判断下列各题正确与否： (1) 0·a ＝0.()(2) 0·a ＝0.( √ )(3) 若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c.()(4) 若a ·b ＝a ·c ，则b ≠c ，当且仅当a ＝0时成立.( ) (5) (a ·b)·c ＝a ·(b ·c)，对任意a ，b ，c 向量都成立.( )(6) 对任意向量a ，有a 2＝|a|2.( √ )【分析与点评】 (1)(2) 实数与向量的乘积是一个向量，向量与向量的数量积是一个实数；(3) 向量不能进行除法运算；(4) 当a ⊥(b －c)时也成立；(5) 向量间的乘法不具有结合律.2. 已知A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则AB →·AC →＝ －4 .解析：由题意得AB →＝(2，1)，AC →＝(－2，0)，所以AB →·AC →＝(2，1)·(－2，0)＝－4. 3. 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝ 32a 2 .解析：由题意得，|BA →|2＝a 2，BA →·BC →＝a ×a ×cos 60°＝12a 2，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·BA→＝|BA →|2＋BC →·BA →＝a 2＋12a 2＝32a 2.4. 已知|a|＝2，|b|＝4，且(a ＋b)⊥a ，则向量a 与b 的夹角为2π3. 解析：由题意得(a ＋b)·a ＝0，即a 2＋a ·b ＝0，所以a ·b ＝－|a|2＝－4.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a||b|＝－42×4＝－12，所以θ＝2π3. 范例导航考向❶ 通过定义求平面向量的数量积例1 已知|a|＝2，|b|＝1，a 与b 的夹角为135°.(1) 求(a ＋b)·(2a －b)的值； (2) 若为实数，求|a ＋b|的最小值.解析：(1) 由题意得a ·b ＝|a||b|cos 135°＝－1，(a ＋b)·(2a －b)＝2a 2－b 2＋a ·b ＝4－1－1＝2.(2) |a ＋b|2＝|a|2＋2|b|2＋2a ·b ＝2－2＋2＝(－1)2＋1. 当＝1时，|a ＋b|2的最小值为1，即|a ＋b|的最小值为1.已知向量a 、b 满足||b ＝1，且a 与b －a 的夹角为2π3，则|a|的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥0，3 .解析：在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b.因为b －a ＝AC →－AB →＝BC →，a 与b －a 的夹角为120°，所以∠ABC ＝60°.因为|AC →|＝|b|＝1，所以|a|sin C ＝|b|sin 60°，所以|a|＝233sin C ≤233，所以|a|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233.考向❷ 通过“基底法”求平面向量的数量积例2 如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，F 为DE 的中点，求BF →·DE →的值.解析：DE →＝AE →－AD →＝13AC →－12AB →，BF →＝DF →－DB →＝12DE →－12AB →＝16AC →－34AB →，所以BF →·DE →＝(16AC →－34AB →)·(13AC →－12AB →)＝118|AC →|2－13AC →·AB →＋38|AB →|2＝2－4＋6＝4.在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，OA ＝3，OC ＝5. 若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →＝ 9 .解析：因为O 为BD 的中点，所以OB →＋OD →＝0.因为AB →·AD →＝－7，所以(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)＝|AO →|2＋AO →·OD →＋OB →·AO →＋OB →·OD →＝|AO →|2＋AO →·(OD →＋OB →)－|OB →|2＝|AO →|2－|OB →|2＝－7，即32－|OB →|2＝－7，所以|OB →|2＝16，所以|OB →|＝|OD →|＝4，所以BC →·DC →＝(BO →＋OC →)·(DO →＋OC →)＝BO →·DO →＋BO →·OC →＋OC →·DO →＋|OC →|2＝－|BO →|2＋OC →·(BO →＋DO →)＋|OC →|2＝－16＋52＝9，故BC →·DC →的值为9. 考向❸ 通过建系法求平面向量的数量积例3 在矩形ABCD 中，边长AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且BM BC ＝CNCD ，则AM →·AN →的取值范围是 [1，4] .解析：以AB 所在的直线为轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1).设点M 的坐标为(2，y)，点N 的坐标为(，1).因为BM BC ＝CN CD ，所以y ＝2－x 2，所以AN →＝(，1)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2－x 2，所以AM →·AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2－x 2·(，1)＝3x 2＋1，0≤≤2，所以1≤3x 2＋1≤4，即AM →·AN →∈[1，4].在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是 [4，6] .解析：以C 为坐标原点，CA 所在的直线为轴，CB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则点A(3，0)，B(0，3)，所以直线AB 的方程为x 3＋y3＝1，即y ＝－＋3.设点N(a ，3－a)，M(b ，3－b)，且0≤a ≤3，0≤b ≤3.不妨设a>b ，因为MN ＝2，所以(a －b)2＋(3－a －3＋b)2＝2，所以a －b ＝1，所以a ＝b ＋1，所以0≤b ≤2.CM →·CN →＝(a ，3－a)·(b ，3－b)＝2ab －3(a ＋b)＋9＝2(b ＋1)b －3(b ＋1＋b)＋9＝2(b －1)2＋4.因为0≤b ≤2，当b ＝0或b ＝2时有最大值6，当b ＝1时，有最小值4，所以CM →·CN →的取值范围是[4，6].自测反馈1. 若a ，b 均为单位向量，且a ⊥(a －2b)，则a ，b 的夹角大小为π3. 解析：由题意得a ·(a －2b)＝0，即a 2－2a ·b ＝0.因为a ，b 均为单位向量，所以a ·b ＝12.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a|·|b|＝121＝12，所以θ＝π3，故a 与b 的夹角大小为π3.2. 已知向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，设向量c 满足(2a －c)·(3b －c)＝0，则|c|的最大值.解析：设c ＝(，y )，则2a －c ＝(2－，2－y )，3b －c ＝(－3－，3－y ).因为(2a －c)·(3b －c)＝0，所以(2－，2－y )·(－3－，3－y )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝132.因为圆经过原点，所以|c|的最大值为圆的直径26.3. 在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，则BA →·AD →的值为 －17 . 解析：如图以C 为原点，AC 所在的直线为轴，BC 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，则点C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，D(0，2)，所以BA →＝(3，－4)，AD →＝(－3，2)，所以BA →·AD →＝(3，－4)·(－3，2)＝－9－8＝－17.4. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE →＝λBC →，CF →＝λCD →. 若AE →·BF →＝－1，则λ＝2Ｗ. 解析：AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝(AB →＋λBC →)·(BC →＋λCD →)＝(AB →＋λAD →)·(AD →－λAB →)＝－λ|AB →|2＋λ|AD →|2＋(1－λ2)·AB →·AD →＝(1－λ2)AB →·AD →＝(1－λ2)×2×2×cos 120°＝2(λ2－1)＝－1，解得λ＝±22.因为λ>0，所以λ＝22.1. 求两个非零向量的夹角时，要注意它的取值范围是[0，π].2. 两个向量数量积是一个数，常用的计算方法有：定义法、坐标法、基底法等，在使用定义法时，要准确确定两个向量的夹角.3. 你还有哪些体悟，写下;：。
2021届 与名师对话 高三理科数学第一轮 第七章 不等式、推理与证明 第五节 直接证明与间接证明
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基
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知
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课
回 顾
最新考纲：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法
导 学
和综合法；2.了解分析法和综合法的思考过程和特点；3.了
解反证法的思考过程和特点；4.了解数学归纳法的原理，能
核 心
用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
课 后
考
跟
点
踪
突
训
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导
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练
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第7章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基 础
考点一 直接证明
名 师
知
微
识
课
回 顾
推理证明是高考的热点问题，涉及范围广，常以函
导 学
数、数列、立体几何、解析几何等为背景，一般难度较
大，证明时应注意推理的严谨性．
即证(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
核
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
心
课 后
考 点
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
跟 踪
突
训
破
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
练
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第7章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
着眼基础 回归教材——2019年全国Ⅱ卷第22题解析与思考
作者简介：符强如(1989 -),男，新疆伊宁人，硕士，中学初级教师，研究方向：中学数学教育.
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理科考试研究•数学版
2020年2月1日
如图1,设点Q（p,e）为直线/上异于点p的任意 一点，在 RtAOPQ \0Q\ =p, \0P\ =4cos60。=2. 则 2 =pcos（于-e）.
中,0 为极点，点 M(po,%)(po >0)在曲线 C-p =4sin& 上，直线2过点/1(4,0)且与OM垂直，垂足为点P.
⑴当0 =号时，求p。及/极坐标方程；
(2)当点M在C上运动且点P在线段OM上时， 求点P轨迹的极坐标方程. 2试题解析 2. 1第(1)问解析
解法1由题知，当仇=于时,p()=2A.
sin 乙 OQA sin 乙 OAP
所以一F--------=-^.
sin（ —tt -6） sin 乎
o
0
所以 psin（ -|-7r - 6） =2. □
经检验点4（4,0）在直线上，所以I的极坐标方程
为 psin（刍7T-&） =2. o
解法3由题易知直线Z的斜率"=-鲁，则直线
I的普通方程为y =-享（％ -4）.即pcosO + TTsine =
的关系;关注对空间想象能力的考查，设计了一个有 趣的作图•虽然此题不足以充当压轴题，但作为中档 题却能令人眼前一亮•这是笔者命题反思的一个成功 实践.本文所述的命题手法，可以成为立体几何问题 行之有效的命题路径.
参考文献： ［1］任子朝.从能力立意到素养导向［J］.中学数学教学 参考,2018( 13):1.
2020年2月1日
理科考试研究•数学版
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高中数学研究性学习案例分析
浅谈高中数学案例分析与研究性学习的方法
数学研究性学习是一种以学生为主体的积极学习活动过程，是学生在数学教学活动中去自主选择研究学习课题，亲身去发现、提出、探究和解决数学问题的探索性学习方式。
从某些数学问题以及其它学科或实践生活中出现的问题中选择并确定研究性课题，运用类似于数学学科的科学研究方法去获取和应用数学知识，从而在掌握数学知识的同时，体验、理解、掌握和应用数学学科的研究方法，培养科学精神，发展科研能力的一种学习方式。
3.2充分体现了“以学生为主体，教师为主导”的教学理念
由于高中数学有相当多的教学内容具有较强的抽象性、又具有一定的运算能力要求，如果只用自主探究的方式组织教学，必然在教学效果、效率以及在有限时间内促进学生最大发展等方面大打折扣；但若完全采用讲授式教学，又不利于学生自主性的发挥.这就要求教师能够将两者有机结合，既能体现学生的主体地位，又能体现教师的主导作用.这两个案例将本节课的核心问题由学生提出并加以解决，其它内容则采用启发式、讲授式完成，符合“以学生为主体，教师为主导”的教学理念.
一 研究性学习课题的大概类型：
1.知识探究型。即对基础知识的研究，这是学生研究课题中的最低层次。
2.社会调查型。通过对社会的研究调查，提出研究性学习的课题。
3.创造发明型。在学生研究性学习课程中，最高的研究层次应是创新发明。通过自已的努力，以科技创造为目标，进行认真的科技发明尝试，并能取得成果。
4.学术研究型。在研究性学习中，经过研究探索写出学术论文，这个层次较高。
3.其它问题。如最优化问题：
无盖盒子的最大容积问题 ，用一张边长为a的正方形铁皮，如何制作一个无盖长方体盒子,使其容积最大?
三、高中数学研究性课题中教师主导作用
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进才中学特级教师张雪明为您在线解读数学高考卷今年数学考卷的难点和创新在哪里？新一年的高考备战已经开始，今年的高考数学试卷能给我们些什么启示？刚刚进入高三的的学生们应该怎样安排复习？2008年6月11日（周三）17：30—18：30，上海市进才中学特级教师张雪明做客东方网嘉宾聊天室，为您解读数学高考试卷，分析命题趋势，为考生们备战数学高考提建议。
[嘉宾介绍]张雪明，进才中学数学教师，学校研究发展处主任。
先后被评定为江苏省特级教师、上海市特级教师。
主要学术兼职有：中国数学会会员，北京全品教育研究所研究员，浦东新区中学高级职务评审委员、专家组成员，上海市教科院带教导师，《高考（沪版）》杂志学科主编。
在多所大学开设过教师培训课程。
致力于课程与学科教学论的研究与实践。
曾分别主持区、市级课题4项，获得市级以上教育科研成果奖10余项。
在全国有影响的专业期刊上发表论文50余篇，主编、著述各种书籍40余册。
[聊天实录][主持人]：各位网友大家好，欢迎你收看东方网嘉宾聊天室节目。
昨天我们请到一位特别好的语文老师跟我们点评今年高考语文试卷的作文，今天我们非常荣幸请到上海进才中学的数学老师。
[嘉宾张雪明]答：各位网友大家好。
[主持人]：可能很多考生都说数学很难，有些考生觉得还可以，不知道为什么，可不可以说一下今年的试题？[嘉宾张雪明]答：有的考生说难，我们应该有一个标准来比。
难有两个方面，一个纬度是从技巧上面，脑筋急转弯，想得到就做出来，想不出来就做不出来。
另外一个难就是突出学科素养，即便有些问题看上去非常简单，但是对于一部分同学也有难度，原因是在设计的时候我们把它的学科素养，它的思维品质这一方面人为地设计在里面。
你比方说它里面有一个小问题，就是第9题是一个统计学的问题，是一个样本，样本里面有若干个数要我们确定它里面的中数大小。
那么中数是一个简单的概念，如果这个概念搞清楚了，这个题就很容易找到中数，知道中间两个和。
只要理解方差的含义，方差是表达正负的量，让方差小让这两个数尽可能接近，就口答是10.5，但是对于大部分同学来说这部分就丢分了。
我觉得今年的难度与去年相比更温和一点，能力不比去年要求低。
[主持人]：有可能答题系数不会那么大，但是也有学生会认为不会答，有些可能不是说你平时多看一些题就可以了？[嘉宾张雪明]答：对，我们认为老做题带来一些惯性，反而对解答带来困难。
比如说倒数第二题，是求一个轨迹问题，最终是按照变化动点在一个已知轨迹上变化，Q点落在X轴对称的抛物线上，由于我们大量作题已经定格了，认为与X轴对称就是标准的相左相右，这样做出来虽然得到一部分分，但是第三小题大量的分就得不到的，因此做题太多造成思维定式就会不能把一些题目产生冲击力，第一次读反而有冲击力，可能都预料到，由于做得多反而造成读题的偏差。
[主持人]：但是我们平时一直在说数学一定要多做，到现在张老师却跟我们说也许做多了不太好，我觉得还不是很能理解。
那我们平时作题的时候要多作题又不能作多，这怎么把握呢？[嘉宾张雪明]答：数学是做出来，华罗庚就这么说的。
在做题当中悟一些东西，从而对学科的背景和素养有一些提高，从而能够对学科本质的地方抓得比较牢，这就是所谓的以不变应万变，因为了解了背后的东西才能掌握全局性。
但是同时如果同质化的问题，类似的问题我们每天都在做，这样是不对的，因为会导致思维的惯性产生。
所以我们认为如果你对非同质化的问题，你做得比较多，这个一般情况下反而可以提高你的思维品质。
但是我们平时的这些习题如果不加区分就有同质化的现象。
这样做下去就是所谓的题海，所谓题海与做题多这不是一回事。
[主持人]：就是说不能千篇一律做一样，应该换着花样来。
[嘉宾张雪明]答：也就是你选择的时候最好让老师帮你选择，比如说你作业选择哪一本书，他给你建议，甚至帮你怎么做，哪些要做，哪些不要做，做一个大概的考量规划，不要盲目一本一本拿过来做题。
还有一个现象，就是有的同学一本书总是做某一块，比如说函数，他做厌恶了丢掉，然后换一本还做这一块，还把大部分都舍弃了，导致同质化严重，其他地方一片荒芜。
[主持人]：我想知道今年看卷子之后，张老师有没有觉得有什么题很出乎意料或者很新颖的题，有吗？[嘉宾张雪明]答：这样的题有，而且不止一处。
比如说第9题统计的问题，这个问题我们一直在想，该考但是怎么考，如果你出一个求方差或者求标准差、均数这样东西很傻，因为只是让学生算一下就可以了，这个考察是没有任何价值了。
而我们命题者利用这个考虑中数的基本概念，更考察了方差的数值，为什么在统计学里面把方差提出来，而且作为统计学里面一个考察社会现象重要的量。
由于你把握它的背景，你知道方差是描述变化幅度，这样在解答题的时候就无需计算。
再比方说第10题，我非常欣赏什么地方呢？它很美，因为在生活当中的确有这样的现象，它是一个海岛，四周是海平面，浅水区是椭圆，正好在焦点上有两个灯塔，高度不太一样，然后反映到仰角上，这样使船判断是否在浅水区或者深水区。
生活当中可能是其他复杂的曲线，但我们同学了解这个模型就足够了，他走到社会可以利用这样的感觉去构造一个更复杂的模型解决这个问题。
所以它很好为我们的学生提供一个生活的背景，同时让他们觉得数学是有价值有用的，而且里面没有复杂的计算或者脑筋急转弯，非常好。
再一个创新我觉得倒数第二题，可能考生觉得比较困难，里面实际上是一个代数变换，就是把坐标A、B变成1/A和1/B怎么办，命题者希望学生从里面达成变换、分类讨论等等这样的过程，所以对他考察比较全面。
最后一题也蛮有新意，最后一题的特点在于它一点都不难，但是能力特别高，为什么不难，我们可以看一看，它的递推关系一个是等比一个是等差，也就是数学第一课学的东西，而且思想和方法上面第一个让他升华，然后不完全归纳逐步达到一般。
所以从思想方法的考察到知识点的考察非常简单，最终想顺利解决最后一个问题，这要求很高的，我个人以为第三题可能有相当比例的学生在这里落下马来。
事实上如果他能够把数学里面最基本的方法就是数学里面的不完全归纳这个最基本的思想运用到此处，他舍得花时间在草稿纸上进行演算，大部分同学都可以拿分。
如果觉得难就是对里面深刻认识缺少归纳。
[主持人]：我觉得你经常跟我提到对它非常本质的理解，而且经常说难度不高，但是能力要求很高。
我们也看到有一个网友是一位考生家长，他说我在网上看了，都说比07年的难，听孩子讲今年考题要转一个弯思考，可能时间不够，物理难度太大，跟化学相比就亏了。
这位家长说的转个弯的思考是不是就是能力上去理解呢？[嘉宾张雪明]答：我觉得就他的话说我觉得是蛮有道理的。
因为他在这儿说的转个弯并不是我们所讲的脑筋急转弯，我们在数学里面要排斥脑筋急转弯，但是生活的东西经过考生数学化，能够画出数学的模型解决生活的现象。
那么这个是数学的东西，因为数学的最终追求也是想达到这一点，数学化的能力。
因为一个学生被我们经过数学的熏陶和培养，除了基本的知识以及过程和方法，最终还有科学的语言以及思维的方式，如果说能够把这样一些弯给转过来这是我们追求的。
实际上这个弯要想转好，一个就是要对数学有一个悟性。
我们脑筋急转弯的题可能考生解不好，学生也解不好，所以数学要转生活和数学这个弯，今年这个方面体现的比较多。
第二个弯就是数学的基本哲学层面的方面，我说的可能有一点深奥，但是事实上这真的很简单。
有的时候我们同学就会体会到，老师说这个方法我们可以归纳一下，找几个特例画一下，最后发现眉目，找到一般的方法解决了。
这个在一般人看来觉得这个没有意思，还要找几个特例，明显没有数学修养，这是数学的大修养。
一看找到一个技巧，一下子解决了，找不着这个技巧就谁也没戏，那不能要的。
所以今年的试卷应该说有拐弯的地方，但是这个弯大部分还是值得一拐的。
[主持人]：面对这样一个难度不大，但是能力要求很高的考题，我相信很有一部分考生被难倒了。
作为要进入高三复习的学生，他们面对这样的问题，需要能力的时候，在一年之中怎么快速提高自己的能力呢？[嘉宾张雪明]答：应该说没有一个确切的或者一个万能的回答，这个原因在于即便我的回答是比较准确的，在理解上、在后面的操作上会出现一些很大的变化。
所以，我们只能够提供一种理念，根据这种试卷，或者说我们数学教学的现状以及高考的双重任务，一个人要测量要区分要选拔人才，同时要弘扬数学的精神，最终要把数学作为人的一种素养一种品质，传递下去。
所以这个大方向变不了，考察能力让他回归数学本源，这些都不可更改。
特别是以往一些窍门可能改为通则通法，也就是数学的一些原则，一些方法要凸显出来。
按照这样的一个设想，我个人以为在目前这几个体现能力的方面，它在以后的考卷当中只能更加弘扬和广大，上海的试卷应该说在前面，在全国都起到一定的示范作用，每年都有所创新，有些创新已经在全国得到推行和认可。
所以，这个高举素质教育的大旗，把能力考察作为方向，把高考作为引导教学走向更好方向的指挥棒不可更改。
这些调子定下来以后就可以做一个复习上的判断。
我觉得给考生提四个方面的想法：第一，复习一定要全面，不能偏，不能复习一年以后有的地方复习得很厚实，有的地方连见都没有见过。
所以考完之后有的学生问什么叫做中位数，什么叫做众数，方差又是什么？本来这是一个送分的，但是没有送出去。
再比方说第17题扇形的题，三角函数的题，这个题非常简单，但是很多同学在这个地方出现麻烦，影响整个试卷的发挥，所以又有的同学说又是三角函数害了我，导致在后面的试题以及后面两个学科考不好。
我来描述一下，它总归是一个扇形，扇形是圆的一部分，AD是半径的一部分，如果仅仅盯着这个线来做肯定做不好，因为圆心是确定位置的，半径是确定大小的，这两个量永远是解决圆相关问题的源泉，所以应该想到连接CO这条半径，一旦连接起来，你就发现定律就出来了。
所以想法很重要。
作为一个素养我觉得圆肯定圆心、半径，对这个概念认识的深度就非常深，因此是3分钟解决，还是30分钟害在里面差距非常大。
所以第一个要注重全面，不能在某个地方有缺漏。
[嘉宾张雪明]答：第二个要重视数学基本方法，不能把一个做题的技巧捏在你的听课笔记上面。
一个方法、两个方法、十个方法，最后考卷里面出来是第十一个方法，他还不会。
那怎么办呢？就要掌握最一般的方法。
像最后一题只要是不完全归纳用上来可能做出80%，大部分同学都可以从基本往下做，能做多少得多少分。
所以基本的方法就是我说的哲学层面的原方法，归纳呀、演算呀、类比呀。
第三，重视思维的独立性。
你一年时间千万别把自己完全交给老师，也不要把自己完全交给例题，有解答的，他看别人怎么解，老师讲给我听的，换句话说我没有自己了，我没有自己脑袋了，我是一个容器，别人告诉我赶快记下来，我抄笔记，所以我记了很多，但是我自己没有主张。
那么题目能够产生差距，就是那几个创新的问题，那几个地方你如果没有自己的想法，没有人告诉你，也没有见过，所以你只有等老师讲给你，但是考场上不会有老师讲给你听，只有两个老师是看着你的，不是讲给你听的。