管理运筹学复习要点
管理运筹学笔记
管理运筹学笔记管理运筹学笔记一、引言管理运筹学是一门研究如何科学地管理和决策的学科，它综合了数学、统计学、经济学和信息技术等多个学科的方法和工具。
本文将介绍管理运筹学的基本概念、方法与应用，分析其在企业决策和管理中的作用，并探讨未来的发展方向。
二、管理运筹学的基本概念管理运筹学是一门以优化理论为核心，研究如何决策和管理的学科。
它主要涉及决策分析、生产与运作管理、供应链管理、项目管理、风险管理等领域。
管理运筹学通过建立数学模型，运用数学方法和技术，对复杂问题进行分析、优化和决策，以帮助企业提高效率、降低成本、增加利润。
三、管理运筹学的方法与工具1. 决策分析：决策分析是管理运筹学的一种基本方法，它通过建立决策模型，对不确定因素进行量化和评估，从而帮助决策者做出最优的决策。
决策分析常用的方法有决策树、马尔可夫链、蒙特卡洛模拟等。
2. 线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，它通过建立线性模型，以最小化或最大化目标函数为目标，同时满足线性约束条件，从而寻找最优解。
线性规划在生产调度、资源配置等方面有广泛的应用。
3. 动态规划：动态规划是一种将复杂问题分解为子问题，并使用递归方法求解的优化方法。
动态规划在项目管理、供应链管理等领域有重要的应用，可以帮助企业制定最优的决策方案。
4. 排队论：排队论是研究随机排队系统的一种方法，它通过建立数学模型，分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、利用率等，从而帮助企业优化服务水平、提高效率。
四、管理运筹学在企业决策和管理中的作用1. 优化资源配置：管理运筹学可以通过优化方法和技术，帮助企业合理分配资源，提高资源利用效率。
例如，在生产调度中，通过使用线性规划方法，可以确定最佳的生产计划，使得生产成本最小，生产效率最高。
2. 提高效率和降低成本：管理运筹学可以通过建立数学模型，分析生产过程和供应链流程，找到瓶颈并优化，从而提高效率和降低成本。
例如，在供应链管理中，通过使用排队论方法，可以优化库存管理和物流配送，减少运输时间和成本。
《管理运筹学》复习提纲
《管理运筹学》复习提纲第一章绪论（P1-P9)1.决策过程（解决问题的过程）（1）认清问题。
（2）找出一些可供选择的方案。
（3）确定目标或评估方案的标准。
（4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等。
（5）选出一个最优的方案：决策。
（6）执行此方案：回到实践中。
（7）进行后评估：考察问题是否得到圆满解决。
其中：（1）（2）（3）形成问题。
（4）（5）分析问题：定性分析与定量分析，构成决策2.运筹学的分支：线性规划、整数线性规划、动态规划、图与网络模型、存储论、排队论、排序与统筹方法、决策分析、对策论、预测、目标规划，此外，还有多目标规划、随机规划、模糊规划等。
3.运筹学在工商管理中的应用1）生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等，追求利润最大化和成本最小化。
2）库存管理：多种物资库存量的管理，某些设备的库存方式、库存量等的确定。
3）运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等。
4）人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等。
5）市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等。
6）财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。
此外，还有设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等。
3.学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重学以致用的原则。
第二章线性规划的图解法(P10-P26)1.一些典型的线性规划在管理上的应用合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少；配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润；投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大；产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大；劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。
2.线性规划的组成目标函数：max f 或min f ；约束条件：s.t. (subject to)，满足于；决策变量：用符号来表示可控制的因素。
管理运筹学考试必备 复习课三
设备维修费如下表 使用年数 每年维修 费用 0-1 5 1-2 6 2-3 8 3-4 11 4-5 18
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§2 最短路问题
的解： 例3的解： 的解 将问题转化为最短路问题，如下图： 将问题转化为最短路问题，如下图： 表示“ 年年初购进一台新设备 弧 年年初购进一台新设备” 表示第i年年初购进 用vi表示“第i年年初购进一台新设备”,弧（vi，vj）表示第 年年初购进 ， 的设备一直使用到第j年年初 年年初。 的设备一直使用到第 年年初。
v2 3 1 4 v7 3 v6 4 5 v5 2 8 v3 7 v4
图11-14
v1 10
3
解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 11 的最小生成树 也即按照图11 13的(f)设计 可使此网络的总的线路长度为最短， 11设计， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。 百米。 “管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。 管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
16 v3 17 V2 （16,1） ） (22,1) 30
41
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最小生成树问题
用破圈算法求图（ ） 例 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 3 3 v6 v2 v1 3 3 v6 v2 3 v1 3 3 v6 (e) v5 管 4 4 1 v3 v1 10 7 3 4 v7 2 5 v5 v3 v4 v1 8 v6 v2 3 3 3 v5 v3 7 v4 v1 3 3 v6 v2 3 v7 2 v5
管理运筹学复习-图文
管理运筹学复习-图文对偶问题基本可行解：满足非负条件的基本解。
【最优解不一定是基本可行解,因为问题有可能有无穷多最优解,最优解是两个基可行解】可行解：对应于基本可行解的基。
最优基：是原问题的最优解对应初始单纯行表中列向量所组成的m阶方阵（B）。
对偶问题的基本性质对称性：原问题与对偶问题是两个互为对偶的问题。
弱对偶性：两个问题的可行解对应的目标函数值互为上下界。
最优性：两个问题最优解的目标函数值一定相等。
强对偶性：两个问题都有可行解时则两个问题一定都有最优解。
互补松弛性：两个问题最优解中，一个问题中某个变量取值非零，则该变量在对偶问题中对应的某个约束条件必为紧约束。
若原问题的最优基为B，则其对偶问题的最优解为：Y某CBB1对偶定理：原问题P与对偶问题D1.P有最优解，则D有最优解；2.若某某与Y某分别为P和D的可行解，则它们分别也为P和D的最优解且有C某某=Y某b。
影子价格：在其他条件不变的情况下，单位资源b变化所引起的目标函数f某CBB1Y某的最优值的变化.f某CBBbY某b，对b求导：b灵敏度分析1、价值系数的灵敏度分析假定目标函数只有一个Cj发生变化，模型中其他系数保持不变；确定Cj在什么范围内变化，原问题的最优解不变，称这个范围为Cj的可变范围.依据：保证最优解不变保证检验数≤02、资源系数的灵敏度分析整数规划分支定界法：是对有界的规划问题的可行域，以恰当的方式进行系数的搜索的算法。
（求ma某是下界；求min是上界。
）指派问题：假设必须指派每个人去完成一项任务，怎样把n项任务指派给n个人，使完成n项任务的总效率最高。
匈牙利算法：求min，则各行/列减去本行/列最小值，且保证每行/列至少有一个0元素；求ma某，则各行/列减去本行/列最大值，且保证每行/列至少有一个0元素。
运输问题模型的特点：[有可行解的条件]a、有m个产地n个销地且产销平衡运输问题的基变量个数为m+n-1个b、产销平衡的运输问题存在可行解。
管理运筹学复习提纲
《管理运筹学》复习提纲前言国家（兴旺）经济(繁荣) 企业(发展) 管理(关键)（政治）表层文化：外表形象文化浅层文化：员工仪表定性决策：经验中层文化：机制、制度决策深层文化：价值理念定量决策（包括信息科学、行为科学）管理科学森林运筹学等（管理科学之树）●管理既是科学，更是艺术；●管理科学依赖智商（左脑），管理艺术取决于情商（右脑）；管理科学放之四海皆准，而管理艺术只可意会却难以言传；(科学家与企业家的区别),人的命运更多是由情商决定!●当今:企业三分技术，七分管理；而管理三分科学，七分艺术。
●技术领先并不等于市场领先（铱星公司破产、IBM忽视pc机，瀛海威案例等）●传统管理：管理服务于技术（让技术最大限度发挥）；现代管理：技术总是为管理服务（哑铃理论：重研发和营销）哑铃理论例：Intel的研发、保洁营销的成功。
●张树新：成功不需要管理，但成功企业必需管理；●运筹学是管理科学，它追求一种最优思想、属于科学范畴，在实践中却只能服务于管理艺术，而不能取代之，因此我们不能迷信运筹学，必须将之与社会、经济、技术、环境等因素综合起来分析，才能作出符合实际的决策。
例消防车的“两个最优解”。
●美财政部长鲁宾：当今时代，唯一确定的是“不确定”。
●比尔。
盖次:在新经济时代，唯一不变的是“变”。
但运筹学的许多内容是不适应“变化”的。
●“失败是成功之母”可以安慰总是失败者，“成功是失败之母”却警示一大批尤其是第一次创业成功的人。
●失败不是美，成功不是美，由失败到成功才是美。
●托夫勒：没有什么比昨天的成功更危险。
●运筹学提供了一种最优目标，但我们不能成为其目标的奴隶。
●唯一不竞争的就是超越“竞争”，从“退一步海阔天空”到“转一步海阔天空”，从而避免“羊群经济”或“蝗虫经济”。
●德鲁克：作正确的事与正确的做事；正确问题的满意解远比错误问题的最优解重要！第0章运筹学的产生和发展一、运筹学的产生20世纪30年代，运筹学从研究如何使用雷达、反潜深水炸弹，战品运输船护航等开始。
《管理运筹学》复习提纲
《管理运筹学》复习提纲管理运筹学是现代管理科学的一门重要学科，旨在帮助管理者进行决策和规划，以实现组织的最佳效益。
为了帮助大家复习管理运筹学，下面是一份复习提纲，共分为四个部分：运筹学的基础知识、线性规划、网络分析和决策分析。
每个部分都包含了相关的概念、方法和应用案例，希望对大家复习有所帮助。
一、运筹学的基础知识（300字）1.运筹学的定义和发展历程2.运筹学的研究对象和基本方法3.运筹学在管理中的应用场景和作用4.运筹学与其他管理学科的关系二、线性规划（300字）1.线性规划的基本概念和原理2.线性规划的求解方法：图解法、单纯形法3.线性规划的应用案例：生产计划、资源分配等4.敏感性分析在线性规划中的应用三、网络分析（300字）1.网络图的表示和性质2.关键路径法和关键事件法的基本原理3.网络分析的应用案例：项目管理、生产调度等4.项目的时间和资源的优化分配四、决策分析（300字）1.决策分析的基本概念和理论2.决策树的构建和分析方法3.敏感性分析在决策分析中的应用4.决策分析的应用案例：投资决策、市场营销策略等这些提纲覆盖了管理运筹学的核心内容，帮助大家回顾基本概念、原理和方法，并通过具体的应用案例加深对管理运筹学的理解和应用能力。
在复习过程中，可以结合课堂讲义、教材和相关参考资料，做题、做案例分析，并与同学进行讨论和交流，提高自己的学习效果。
同时，也建议大家不仅仅局限于复习知识点，还要进行实际问题的解决和分析，如企业生产优化、项目管理等，这将有助于将理论知识与实践能力相结合，提高综合运筹能力。
最后提醒大家，复习不仅要注重理论的牢固掌握，更要重视实践操作的能力培养，只有理论与实践相结合，才能真正将管理运筹学的知识运用到实际管理中，并取得优秀的管理业绩。
希望大家能够在复习中找到适合自己的方法和学习策略，取得好成绩。
加油！。
管理运筹学考试必备 复习课二
问题2： x1 = 4, x2 = 10 / 3, Z = 58
问题3： x1 = 5, x2 = 0, Z = 35
x2 ≥4
上界： 58 下界： 55
x2≤3
问题4： x1 = 4, x2 = 3, Z = 55
问题 5： 上界： 55 无可行解 下界： 55
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目标规划的建模
目标函数一般有三种基本表达形式: 目标函数一般有三种基本表达形式 (1):要求恰好达到目标值 即各正负偏差变量都要尽可能小 要求恰好达到目标值:即各正负偏差变量都要尽可能小 要求恰好达到目标值 minz= d+ +dd (2):要求不超过目标值 即正偏差变量要尽可能小 要求不超过目标值:即正偏差变量要尽可能小 要求不超过目标值 minz= d+ (3):要求不低于目标值 即负偏差变量要尽可能小 要求不低于目标值:即负偏差变量要尽可能小 要求不低于目标值 minz= d目标规划的数学模型特点: 目标规划的数学模型特点 (1)目标函数是关于优先权、罚数权重和偏差变量。 目标函数是关于优先权、罚数权重和偏差变量。 目标函数是关于优先权 (2)约束条件包括绝对约束和目标约束 约束条件包括绝对约束和目标约束 (3)所有决策变量和偏差变量都收到非负约束 所有决策变量和偏差变量都收到非负约束
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改进运输方案的办法——闭回路调整法 闭回路调整法 改进运输方案的办法
偶数偶点x 偶数偶点 14=3，x23=1，x24=min(3,1)=1 ， ，
偶数顶点的运输量都减少这个值1，奇数顶点的运输量都增加这个值 偶数顶点的运输量都减少这个值 ，奇数顶点的运输量都增加这个值1
管理运筹学-复习整理
一线性规划图解法1.线性规划的标准形式：(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。
(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y轴。
(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。
二单纯形法1.大M法（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。
（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.2.两阶段法（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。
（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。
3.单纯表特殊情况的解判断（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。
（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。
（因为比较比值大小时都是负的）。
（3）某个非基变量σ=0，无穷解。
（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。
σk相同，任选一个入基。
4.初等行变换✓某一行（列），乘以一个非零倍数。
✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。
✓某两行（列），互换。
三单纯形法灵敏度分析1.对偶问题原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T yAx≤b A T y≥c TX≥0 y≥0（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。
（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。
（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。
（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。
（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。
（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。
2.灵敏度分析（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。
（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。
判断b是否非负。
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管理运筹学复习（1）某工厂在计划期内要安排Ⅰ,Ⅱ两种产品的生产.生产单位产品所需的设备台时及A,B 两种原材料的消耗以及资源的限制如下表所示:生产多少单位产品Ⅰ和产品Ⅱ才能使获利最多？解：max z=50X1+100X2 ；满足约束条件：X1+X2≤300，2X1+X2≤400，X2≤250，X1≥0,X2≥0。
（2）：某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉10台，需要原材料为∮63.5×4mm的锅炉钢管，每台锅炉需要不同长度的锅炉钢管数量如下表所示：多少根原材料？设按14 种方案下料的原材料的根数分别为X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14, 可列出下面的数学模型：min f＝X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14满足约束条件：2X1＋X2＋X3＋X4≥ 80X2＋3X5＋2X6＋2X7＋X8＋X9＋X10≥420X3＋X6＋2X8＋X9＋3X11＋X12＋X13≥ 350X4＋X7＋X9＋2X10＋X12＋2X13＋3X14≥ 10X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，X10，X11，X12，X13，X14≥ 0（3）某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、应如何调运，使得总运输费最小？解：此运输问题的线性规划的模型如下min f =6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23约束条件：X11+X12+X13=200X21+X22+X23=300X11+X21=150X12+X22=150X13+X23=200X ij≥0(i=1,2;j=1,2,3)(4) 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、（5）某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的（6）某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为300箱、400箱、500箱。
需要供应四个地方的销售，这四地的产品需求分别为400箱、②如果2分厂的产量从400箱提高到了600箱,那么应如何安排运输方案,使得总运费为最小?③如果销地甲的需求从400箱提高到550箱,而其他情况都同①,那该如何安排运输方案,使得运费为最小?解:①此运输问题的线性规划的模型如下minf=21X11+17X12+23X13+25X14+10X21+15X22+30X23+19 X24+23X31+21X32+20X33+22X34 约束条件：X11+X12+X13 +X14=300X21+X22+X23+X24=400X31+X32+X33+X34=500X11+X21+X31=400X12+X22+X32=250X13+X23+X33=350X14+X24+X34=200X ij≥0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)③解：这是一个销大于产的运输问题，建立一个假想销地4分厂，得到产销平衡（7）整数规划的图解法某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利解：设X1,X2分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学模型如下所示：max z=2X1+3X2约束条件：195X1+273X2≤1365，4X1+40X2≤140，X1≤4，X1, X2≥0，X1, X2 为整数。
（8）指派问题有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时解：引入0—1变量X ij，并令1，当指派第i人去完成第j项工作时；X ij=0，当不指派第i人去完成第j项工作时；此整数规划的数学模型为：min z=15X11+18X12+21X13+24X14+19X21+23X22+22X23+18 X24+26X31+17X32+16X33+19X34 +19X41+21X42+23X43+17X44约束条件：X11+X12+X13 +X14=1（甲只能干一项工作）X21+X22+X23+X24=1（乙只能干一项工作）X31+X32+X33+X34=1（丙只能干一项工作）X41+X42+X43+X44=1（丁只能干一项工作）X11+X21+X31+X41=1（A工作只能一个人干）X12+X22+X32+X42=1（B工作只能一个人干）X13+X23+X33+X43=1（C工作只能一个人干）X14+X24+X34+X44=1（D工作只能一个人干）X ij为0—1变量，(i=1,2,3，4;j=1,2,3,4)(9)有优先权的目标规划的图解法一位投资商有一笔资金准备购买股票，资金总额为90000元，目前可选的股票有A 、B 两种（可以同时投资于两种股票），其价格以及年收益率和风险系数股票A 的收益率为（3/20）×100%=15%,股票B 的收益率为（4/50）×100%=8%, A 的收益率比B 大，但同时A 的风险也比B 大，这符合高风险高收益的规律。
试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收益不低于10000元。
解：设X 1、X 21.针对优先权最高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下：min d 1+约束条件：20X 1+50X 2 ≦900000.5X 1+0.2X 2-d 1++d 1- =700 3X 1+4X 2-d 2++d 2- =10000 X 1 , X 2 , d 1+ , d 2- ≧02.针对优先权次高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下： min d2- 约束条件： 20X 1+50X 2 ≦900000.5X 1+0.2X 2-d 1++d 1- =700 3X 1+4X 2-d 2++d 2- =10000 d 1+=0X 1 ， X 2 ，d 1+ ，d 1- ，d 2+，d 2- ≧03.目标规划模型的标准化对于两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解，为方便，把他们用一个模型来表达：min P 1(d 1+)+P 2(d 2-)约束条件： 20X 1+50X 2 ≦90000 ，0.5X 1+0.2X 2-d 1++d 1- =700，3X 1+4X 2-d 2++d 2- =10000，X 1 ， X 2 ，d 1+ ，d 1- ，d 2+，d 2- ≧0。
（10）某工厂试对产品A、B进行生产，市场需求并不是很稳定，因此对每种产品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润，这两种产品都经过甲、乙两台设备加工，已知产品A和B分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备的可用加工时间以及预期利润如表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期利润不少于5千元，其次是要求销售良好时，预期销售利润尽量达到1万元。
试建解：设工厂生产A 产品X1 件，生产B 产品X2件。
按照生产要求，建立如下目标规划模型: min P1(d1+)+P2(d2-)约束条件：4X1+3X2≦45 ，2X1+5X2≦305X1+5X2-d1++d1- =50，8X1+6X2-d2++d2- =100，X1 ，X2，d i+，d i- ≧0.i=1,2(11)动态规划石油输送管道铺设最优方案的选择问题：如图所示，其中A为出发点，E为目的地，B、C、D分别为三个必须建立油泵加压站的地区，其中的B1、B2、B3;C1、C2、C3;D1、D2分别为可供选择的各站站点。
图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数字为铺设管线所需要的费用，问如何铺设管道才使总费用最小？解：第四阶段：D1—E 3；D2—E 4；第三阶段：C1—D1—E 5；C2—D2—E 8；C3—D1—E 8；C3—D2—E 8；第二阶段：B1—C1—D1—E 11；B1—C2—D2—E 11；B2—C1—D1—E 8；B3—C1—D1—E 9 ；B3—C2—D2—E 9；第一阶段：A—B1—C1—D1—E 14；A—B1—C2—D2—E 14；A—B2—C1—D1—E 13；A—B3—C1—D1—E 13；A—B3—C2—D2—E 13；最优解：A―B2―C1―D1―E；A―B3―C1―D1―E；A―B3―C2―D2―E 最优值：13（12）最小生成树问题某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机联网，这个网络的可能联通的途径如图所示，图中V1，……，V7表示7个学院办公室，图中的边为可能联网的途径，边上的所赋权数为这条路线的长度，单位为百米。
请设计一个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
解：①在G中找到一个圈（V1，V7，V6，V1）,并知在此圈上边[V1，V6]的权数10为最大，在G中去掉边[V1，V6]得图G1 ，如上图所示②在G1中找到一个圈（V3，V4，V5，V7，V3），去掉其中权数最大的边[V4，V5]，得图G2 ，如上图所示③在G2中找到一个圈（V2，V3，V5，V7，V2），去掉其中权数最大的边[V5，V7]，得图G3 ，如上图所示④在G3中找到一个圈（V3，V5，V6，V7，V3），去掉其中权数最大的边[V5，V6]，得图G4 ，如上图所示⑤在G4中找到一个圈（V2，V3，V7，V2），去掉其中权数最大的边[V3，V7]，得图G5 ，如上图所示⑥在G5中已找不到任何一个圈了，可知G5即为图G的最小生成树。
这个最小生成树的所有边的总权数为3+3+3+1+2+7=19(13)某一个配送中心要给一个快餐店送快餐原料，应按照什么路线送货才能使送货时间最短。
下图给出了配送中心到快餐店的交通图，图中V1，……，V7表示7个地名，其中V1表示配送中心，V7表示快餐店，点之间的联线表示两地之间的道路，边所赋的权数表示开车送原料通过这段①给起始点1标号为（0，S）②I={V1},J={ V2，V3，V4，V5，V6 ,V7} ，边的集合{[V i，V j] ︳V i，V j两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V1，V2]，[ V1，V3]}，并有S12=L1+C12=0+4=4 ；S13=L1+C13=0+18=18min (S12,S13)= S12 =4给边[ V1，V2]中的未标号的点V2 标以（4，1），表示从V1 到V2 的距离为4，并且在V1到V2的最短路径上V2的前面的点为V1.③这时I={V1，V2},J={V3，V4，V5，V6 ,V7}，边的集合{[V i，V j] ︳V i，V j两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V1，V3]，[ V2，V3]，[ V2，V4]}，并有S23=L2+C23=4+12=16 ；S24=L2+C24=4+16=20 ；min (S23,S24 , S13)= S23 =16 给边[ V2，V3]中的未标号的点V3 标以（16，2）④这时I={V1，V2 ，V3},J={V4，V5，V6 ,V7}，边的集合{[V i，V j] ︳V i，V j两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V2，V4]，[ V3，V4]，[ V3，V5]}，并有S34=L3+C34=16+2=18 ；S35=L3+C35=16+6=22 ；S24=L2+C24=4+16=20min (S34,S35,S24)= S34 =18给边[ V3，V4]中的未标号的点V4 标以（18，3）⑤这时I={V1，V2 ，V3 ，V4},J={V5，V6 ,V7}，边的集合{[V i，V j] ︳V i，V j两点中一点属于I,而另一点属于J}={ [ V4，V6]，[ V4，V5]，[ V3，V5]}，并有S46=L4+C46=18+7=25 ；S45=L4+C45=18+8=26 ；min (S46,S45 ,S35)= S35 =24 给边[ V3，V5]中的未标号的点V5 标以（24，3）⑥这时I={V1，V2 ，V3 ，V4 ，V5 },J={V6，V7}，边的集合{[V i，V j] ︳V i，V j 两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V5，V7]，[ V4，V6] }，并有S57=L5+C57=22+5=27 ；min (S57,S46)= S46 =25给边[ V4，V6]中的未标号的点V6 标以（25，4）⑦这时I={V1，V2 ，V3 ，V4 ，V5 ，V6},J={ V7}，边的集合{[V i，V j] ︳V i，V j 两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V5，V7]，[ V6，V7] }，并有S67=L6+C67=25+6=31 ；min (S57,S67)= S57 =27给边[ V5，V7]中的未标号的点V7 标以（27，5）⑧此时I={V1，V2 ，V3 ，V4 ，V5 ，V6，V7},J=空集，边集合{[V i，V j] ︳V i，V j两点中一点属于I,而另一点属于J}=空集，计算结束。