高等数学1_期末复习题一
四川大学网络教育《高等数学(理)(1)》复习资料期末考试复习题及参考答案
之得
y
2xy 3 ey x2
.
1 etdt
11.求极限 lim x0
cos x
sin x2
.
解：由洛必达法则，
lim
x0
1 etdt
cos x
sin x2
sin xecos x lim
x0 2x
1 e. 2
12. 设 D 是 由 直 线 x y 1 与 x、y 轴 围 成 的 区 域 ， 求 二 重 积 分
解：特征方程为 r2 5r 6 0 ，解之得特征根为 r1 2，r2 3 . 故原方 程的通解为
y C1e2x +C2 e3x， 其中 C1，C2 为任意常数. 10.求由方程 e y x2 y 3x 0 所确定的隐函数 y y(x) 的导数. 解：
方程 e y x2 y 3x 0 两边同时对 x 求导得，e y y 2xy x2 y 3 0，解
(A) 2x y 1 0
(B) 2x y 1 0
(C) x 1 0
(D) y 1 0
9. 设区域 D 为 x2 y2 1在第一象限部分，则 xy2dxdy =( C )
D
(A)
d
1sin cos2 r2dr
0
0
(B)
d
1sin cos2 r3dr
0
0
(C)
x0
x
x0
1
14.由方程 xy2 e y 5 0 可确定 y 是 x 的隐函数，求 dy . dx
解：方程 xy2 e y 5 0 两边同时对 x 求导得，
y2 2xyy e y y 0
解之得，
y
e
y
y2 2xy
.
15.求微分方程 y 3 y 4 y 0 的通解.
广西大学成人教育《高等数学1》期末考试复习题及参考答案
A B C D
正确答案： B
7
A
B
C
D
正确答案： B
8
A4 B3 C2 D1
正确答案： D
9
A3
B2
C1
D0
•
正确答案： A
10
A B
C
D
•
正确答案： D
11
A
0
B
1
C2
D3
•
正确答案： C
12
A B
C D
正确答案： D
13
A
B C
D
•
正确答案： D
14
A 单调增加
B 单调减少
C 图形上凹
D 图形上凸 正确答案： A
复习题一
一.单选题（共 14 题）
1
A 充分必要条件 B 充分条件 C 必要条件 D 无关条件 正确答案： C
2
A 连续且可导 B 不连续但可导 C 连续但不可导 D 不连续也不可导 正确答案： C
3
A B
高等数学(一)
C
D
•
正确答案： B
4
A B
C D
正确答案： A
5
A
B C D
正确答案： A
6
15
手写答题卡，拍照上传
三.证明题（共 3 题）
1
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2
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3
四.计算题（共 15 题）
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10
11 12 13 14Fra bibliotek15五.应用题（共 4 题）
1
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2
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
高数一期末试题及答案
高数一期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的通解是：A. \( y = e^x \)B. \( y = \sin(x) + \cos(x) \)C. \( y = e^{2x} \)D. \( y = x^2 \)答案：B4. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是：B. 1C. 3D. 27答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，则 \( f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案：\( 2x - 4 \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的不定积分是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案：\( x\ln(x) - x + C \)3. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 的交点坐标是\( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案：\( (0,0) \) 和 \( (2,4) \)4. 函数 \( y = e^{3x} \) 的二阶导数是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案：\( 9e^{3x} \)三、计算题（每题15分，共30分）1. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx \)。
\[\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx = \left[ x^3 - x^2 + x\right]_{0}^{1} = (1 - 1 + 1) - (0 - 0 + 0) = 1\]2. 求函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 的极值。
高等数学高数期末总复习题
高数第一学期总复习题函数、极限、连续选择题1、下列函数中为偶函数的是（ ）。
A.2x xey -= B. x x y cos 2+= C. 2x x e e y --= D. 21sin xx+ 2、下列各对函数中是相同函数的是（ ）。
A.22)(,x y x y ==； B.1,112+=--=x y x x y ； C.)sin (cos ,22x x x y x y +== D.x y x y lg 2,lg 2==3、=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=→），则设x f x x x x x x f x (lim 0,10,00,1)(0（ ） A. 1- B. 0 C.1 D. 不存在4、,0()1sin 1,0x e x f x x x x ⎧>⎪=⎨+<⎪⎩,则0lim ()x f x →= ( ) A ．不存在 B ． 1 C ． 2 D ． 0 5、=-→2102lim x x （ ）A ．0B ．1C ．∞+D ．∞- 6、=+∞→xxx x sin lim（ ）A.0B. 1C.不存在D.∞7、=∞→xx x 1sinlim （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 8、下列等式正确的是（ ） A ．01sinlim =∞→x x x B ．11sin lim =∞→xx x C ．1sin 1lim =∞→x x x D ．0sin 1lim 0=→x x x9、下列各式正确的是（ ）。
A.e x xx =+∞→1)1(lim B. e x xx =+→)1(lim 0 C. e xx x =+∞→)11(lim D. e x x x =+∞→1)11(lim10、=→x xx 2sin lim0( ) A ．21B ．0C ．1D ．211、的是时，下列函数为无穷小当+→0x ( )A. x x 1sin ；B. x e 1； C. x ln ； D. x xsin 1；12、在指定变化过程中，（ ）是无穷小A. )0(,1sin →x xB.)0(,1→x e x C. )0(),1ln(→+x x D. )3(,932→--x x x13、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,,3sin 1)(x a x x x x f 在),(+∞-∞上是连续函数，则a=（ ）A. 0 ；B. 1 ；C. 31； D. 3 ；14、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+-=2,2,223)(2x a x x x x x f 在处x=2处连续，则a=（ ） A. 0 ； B. 1 ； C.2； D. 任意值；15、函数)1ln(2)(x x x f ++-=的连续区间是（ ）A ．]2,1[- B.]2,1(- C.)2,1(- D.)2,1[-2)2()(1611--=-x e x x f x 、的连续区间是（ ）A.),2()2,(+∞⋃-∞B. ),1()1,(+∞⋃-∞C.),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞D. )2,1()1,(⋃-∞填空题1、已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则=)(x f 2、=====)(,tan ,,32x f y x v v u y u则复合函数 3、函数⎩⎨⎧>≤+=0cos 02)(x xx ax x f 在0=x 处连续,则=a4、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x xx x f ，在0=x 处连续，则=k ． 5、432lim 23=-+-→x k x x x 存在， 则ｋ＝ ，6、2lim(1)xx x→∞-=7、=++-+∞→552lim 32x x x x x ，=++∞→424532lim x x x x8、=++-→11sin)1(lim 1x x x 9、函数)2)(1(2)(++-=x x x x f 的连续区间是__________．10、函数2312+--=x x x y 的间断点为 计算题1、1)1sin(lim 21+--→x x x2、x x x x x +-→20sin lim3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→1311lim 31x x x 4、()x x x x x --++∞→22lim5、xx x 11lim 0--→ 6、x x xx tan cos 1lim 0-→ 7、521lim5---→x x x 8、 xx x 311lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→9、()xx x 1051lim +→ 10、x x x 2)41(lim -∞→ 11、 1231lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 12、 )2sin(11lim 0x x x -+→导数与微分选择题1、设函数)(x f 在0x x =处可导，且2)(0'=x f ，则hx f h x f h )()(lim000--→=（ ）A ．21 B ． 2 C ． 21- D ． 2- 2、曲线x y =在点（4 , 2）处的切线方程为（ ）A.044=+-y xB. 044=++y x C ． 044=++y x D ． 044=+-y x 3、若x x x f cos sin )(+=，则='])3([πf （ ）A ．21+23 B ．0 C ．21-+23 D ．2123-4、设2cos y x =，则dy =( )；Ａ、22cos x x dx - Ｂ、22cos x x dx Ｃ、22sin x x dx - Ｄ、22sin x x dx 5、设函数=y )(2x f -，则=dy （ ）A ．dx x f )(2-'B ．dx x f x )(22-' C ．)(22x f x -'- D ．dx x f x )(22-'-6、设函数12)(-=x ex f ，则f （x ）在0=x 处的二阶导数)0(f ''为（ ）A ．0B ．1-eC ．41-e D ． e7、若)1ln()(2xex f -+=，则=')0(f （ ）A ．1-B ．1C ．21 D ．21- 8、已知一质点作变速直线运动的位移函数223,tS t e t =+为时间，则在时刻2t =处的速度和加速度分别为（ ）A 、44122,64e e ++ B 、44122,122e e ++ C 、4464,64e e ++ D 、4412,6e e ++ 9、曲线x x y 32-=上一点（1，-2）处的切线方程为（ ）（A ） 01=+-y x （B ）01=--y x （C ） 01=-+y x （D ） 01=++y x填空题1、曲线26322-+=x x y 上一点M 的切线斜率为15，则点M 的坐标为 ． 2、曲线x y ln =上点（1，0）处切线方程为 ． 3、曲线x e x y +=在x=0处的切线方程是 ； 4、已知处可导，在0)(x x f ，则 =∆-∆-→∆xx f x f x )()x (lim 000．5、已知y xe y -=1，则dx dy= ． 6、已知函数2x e y -=，则该函数的微分dy =7、设ln ,xy e x =则_______;dy =8、当物体的温度高于周围介质的温度时，物体 就不断冷却若物体 的温度T 与时间t 的函数关系为T=T （t ），则该物体在时刻t 的冷却速度为_____； 9、设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为Q=Q(t),则在0t 时刻的电流为 10、一个质量非均匀的细杆放在x 轴上，在[0，x]上的质量为kg x m 23=，则当x=1m 时的线密度为计算题 A 、求导数1.x x x y cos 413-+=, 2.1123+-=x y x , 3. 4cos tan 2π+=x x y 4. 23cos 2y x x =+5.3)(l n x y =，6、)ln(ln x y =，7、xy 1cos=，8、x e y x 5sin = ， 9、21arcsin x x x y --= 10、)ln(3x x y +=， 11、210(25)y x x =-+ ， 12、)2(tan 23+=x yB.求微分1、x x y 31+=2、x e y cos =3、x e x y 22=4、21xx y +=C. 求下列隐函数的导数y '1. 0922=+-xy y 2. yxe y -=1 3. y e y x xsin 2=- 4.已知076333=--++y xy x y ，求2=x dxdy导数的应用选择题1、函数21)(x xx f +=（ ） A ．在),(+∞-∞内单调增加 B ．在),(+∞-∞内单调减少 C ．在)1,1(-内单调增加 D ．在)1,1(-内单调减少 2、的单调增加区间是函数)1ln()(2x x f +=（ ）A.)5,5(-B.)0,(-∞C. ),0(+∞D.).(∞+-∞ 3、函数()y f x =在点0x 处取极值，则必有（ ）；A 、0()0f x '=,B 、 0)(≠'x f ，C 、0()0f x '=或0()f x '不存在，D 、0()f x '不存在4、若()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0,()0,f x f x '''><则()y f x =在(,)a b 内（ ）：5、A 、单调增加且凸 B 、单调增加且凹 C 、单调减少且凸 D 、单调减少且凹 曲线16)(23++-=x x x x f 的凹区间是( )A ．(-∞,2)B ．( 2,+∞)C ．( -∞,-2)D ．(-2,2)6、设函数()f x 在[1,2]上可导，且()0,f x '<(1)0,(2)0f f ><，则()f x 在（1，2） 内（ ）。
《高等数学》练习题库含答案(大学期末复习资料) (1) (1)
华中师范大学网絡教育学院 《高等数学》练习测试题库一.选捽题1,函数y=-J —是()X + 1A, 偶函数B,奇函数 C 单调函数 2•设 f(sin —)=cosx+l,则 f(Q 为( )2卜-列数列为单潤递増数列的有(6 limsincr-l)=(Il X -]AJ B,0C2IXI/27.设L*X=c h则 k=()AJ B 、2 C.6 DJ/68?'|x->l 时，下列与无穷小(x-1 )等价的无穷小是( A. x 2-! B. x ?-l C.(x-l)2D.sin(x-I)9. f(x)在点处有定义是f(x)在NXQ 处连续的() A,心要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D,无关条件 10、 当 |x <1 Ht, y= /】京(.)D 无界函数A 2x 2-2 B 2—2/ C I +/D l-x 2A. 0,9 t 0.99, 0,9991 0.9999B.—为奇数 I +n丄，网为偶数 U -科4, 数列有界是数列收敛的() A.充分条件 C.充要条件 5. 卜列命题正确的是( )A.发散数列必无界C.两发散数列之狷必发散C. {f(n)h 其中 f(n)=； B. D 必要条件 既非充分也非必要 R.D. 2N + 1 2tl两无界数列之和必无界 两收敛数列之用［必收A、是连续的无界函数C、有最大值勺最小值IL无最小值11、设函数f (x) = (1-xL要使f (x)在点:戸。
连续，则应补充定义1 (0) 为< )A、丄B、e 。
、-e D. _e 1e12、下列有跳跃间断点x=0的函数为()A-, sarctiinl /x B、 arctan 1/xC\ tetr 1 /x D、cosl/x13、设f (妇在点为连续，g(x)在点舔不连续，则下列结论成立是()A、f(X)-g(X)在点Xa必不连续B、f(x) Xg(x)在点为必不连续须冇C、复合函数f [g(x)]在点为必不连续*)D、gW在点为必不连续1 li1L设f (,x)= ]+@户在区间(1 8,+ 8)卜连续，冃J5f(x)=0,则a, h满足 ()A. a>0, b>0B. a>0h b<0C. a<0,b>0 Ik a<0, b<015、若函数「6)在点险连续，则下列复合函数在x*也连续的有( )A. K) B、貯3C、Un[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f (x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区向中的< )A、[0, ]B、『0,」)C、[- ■! /I, Ji /4] D* (-.'1/4:J]/4)17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()A,充分条件B、必要条件C、充要条件IX无关条件18、「(a)「(b) VQ是在[H,b] ±连续的函「(x)数在(a, b)内取零值的( )L 充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件D 、无关条件19、 下列函数中能在区间（。
《高等数学(一)》期末复习题(答案)
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 （ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数 （B) 偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时， 下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ）.（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ） （D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数 （D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减 （B)在（+∞,1e）内单调递减 （C ）在（0，+∞）内单调递减 （D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ） （B ）（C ） （D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减 （B)在(,0)-∞内单调递减 （C ）在(,0)-∞内单调递增 （D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）． （A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点 （B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小 （C ） 高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数 （B ）是偶函数，非奇函数 （C ）既非奇函数，又非偶函数 （D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数 （B) 奇函数 （C)偶函数 （D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导； （B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导； （C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续； （D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。
《高等数学一》期末复习题及答案
《高等数学（一）》期末复习题 一、选择题 1、极限2lim()xxxx 的结果是 （ C ） （A）0 （B） （C） 12 （D）不存在 2、方程3310xx在区间(0,1)内 （ B ） （A）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根 （D）有三个实根 3、)(xf是连续函数, 则 dxxf)(是)(xf的 （ C ） （A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sinxxy和直线0y所围的面积是 （ C ） （A）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) 5、微分方程2xy满足初始条件2|0xy的特解是 ( D ) （A）3x （B）331x （C）23x （D）2313x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(lnxx (B) )0(1lnxx (C) cos (0)xx (D) )2(422xxx 7、极限011lim(sinsin)xxxxx 的结果是（ C ） （A）0 （B） 1 （C） 1 （D）不存在 8、函数arctanxyex在区间1,1上 （ A ） （A）单调增加 （B）单调减小 （C）无最大值 （D）无最小值 9、不定积分 dxxx12= （ D ） (A)2arctanxC (B)2ln(1)xC (C)1arctan2xC (D) 21ln(1)2xC 10、由曲线)10(xeyx和直线0y所围的面积是 （ A ） （A）1e (B) 1 (C) 2 (D) e
8、设sin1,yxx则()2f 1 9、 11(cos1)xxdx 2 10、 231dxx 3arctanxC 11、微分方程ydyxdx的通解为 22yxC 12、1415xdx 2 13、 sin2limxxxx 1 14、设2cosyx，则dy 22sinxxdx 15、设cos3,yxx则()f -1 16、不定积分xxdee Cx2e21 17、微分方程2xye的通解为 212xyeC 22222222222111120,201122xxxxxxxdyyyeyedyedxdxydyedxeCyyxyCeyey代入上式可得到所求的特解为或者 18、微分方程xyln的通解是 xyeC 19、xxx3)21(lim＝ 6e 20、,xyxy设函数则(ln1)xxx 21、)21(lim222nnnnn的值是 12
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高等数学1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a 。
2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点是 。
3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。
4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。
5、xdx arctan 1⎰= 。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。
（A ）若n x 发散，则n y 必发散。
（B ）若n x 无界，则n y 必无界。
（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。
（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。
2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。
（A ） 1。
（B ）不存在。
（C ） 0。
（D ） -1。
3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ ）。
（A ）())(x f e f e x x ----。
（B ）())(x f e f e x x +---。
（C ） ())(x f e f e x x --- 。
（D ）())(x f e f e x x +--。
5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，则（ ）。
（A ）)3(,1πf a =是极小值。
（B ）)3(,1πf a =是极大值。
（C ）)3(,2πf a =是极小值。
（D ）)3(,2πf a =是极大值。
三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）1、求 )1ln(sin 1tan 1lim 30x xx x ++-+→2、设4lim 221=-++→xx b ax x x ，求 b a 、。
3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=tt y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx yd dx dy 、。
4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dxx df x )(sin lim 20+→ 。
5、求不定积分 dx xxx ⎰3cos sin 。
6、求定积分dx x ⎰cos 4。
7、设⎩⎨⎧≥<=-0sin )(22x xex xx f x ， 求 ⎰-dx x f )2(31 。
四、证明下列不等式（本题10分） 1、)2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x； 2、2sin 12ππ<<⎰dx x x 。
五、（本题10分）设 00)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x xe x g xf x，其中)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。
（1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。
六、（本题8分）设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-。
(8分)答案一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a ln 2 。
2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断0 ，第二类间断点是 2 。
3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy。
4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1⎰+=，则=)(x f1x - 。
5、xdx arctan 1⎰=4π-。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ D ）。
（A ）若n x 发散，则n y 必发散。
（B ）若n x 无界，则n y 必无界。
（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。
（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。
2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ C ）。
（A ） 1。
（B ）不存在。
（C ） 0。
（D ） -1。
3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ C ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ A ）。
（A ）())(x f e f e x x ----。
（B ）())(x f e f e x x +---。
（C ） ())(x f e f e x x --- 。
（D ）())(x f e f e x x +--。
5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，则（ D ）。
（A ）)3(,1πf a =是极小值。
（B ）)3(,1πf a =是极大值。
（C ）)3(,2πf a =是极小值。
（D ）)3(,2πf a =是极大值。
三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 )1ln(sin 1tan 1lim3x xx x ++-+→3300300lim lim2ln(1)1tan sin 1lim 24x x x x x x x x x →→→→=+-===解：（分）（6分）2、设4lim 221=-++→xx b ax x x ，求 b a 、。
212211lim()010,(1)(22lim lim 242, 3.(621x x x x ax b a b b a x ax b x a a a b x x x →→→++=⇒++==-++++==+=⇒==---解：分）分）3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=tt y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx y d dx dy 、。
()()2222222223222(3112212(624dy t t tt t dx tt td y d t dtdx dtt dx t ++==++-+⎛⎫+==⎪⎝⎭解：分）分）4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dxx df x )(sin lim 20+→ 。
22002(sin lim lim[(sin (4lim[(sin (0)(4x x x df f dx f f +++→→→'=''=解：分）=分）5、求不定积分 dx xxx ⎰3cos sin 。
233222sin (cos )1(cos )(2cos cos 211[][tan ](62cos cos 2cos x x xd x dx xd x x x x dx x x C x x x--===-=-+⎰⎰⎰⎰解：分）分）6、求定积分dx x ⎰cos 40。
422200,2,0,0;4, 2.22cos 2[sin sin ]2(2sin 2cos 21)t dx tdt x t x t t tdt t t tdt ======∴==-=+-⎰⎰⎰（分）（6分）7、设⎩⎨⎧≥<=-0sin )(22x xex xx f x ， 求 ⎰-dx x f )2(31 。
22231012111111201002,,1,1;3, 1.21cos 2(2)()sin 21111()[sin 2]2222121[sin 2]4x x x x t dx dt x t x t xf x dx f t dt xdx xedx dx e d x x x e e--------====-==-∴-==+=--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：令（分）（4分）（6分）四、证明下列不等式（本题10分） 1、)2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x； 2、2sin 12ππ<<⎰dx x x 。
证明：设sin (0,)()21xx f x xx π⎧∈⎪=⎨⎪=⎩则函数在0x =处连续，且 22cos sin cos ()(tan )0,(0,)32x x x x f x x x x x x π-'==-<∈（分）所以，当(0,)2x π∈时，()f x 单调减少，2sin ()(0)162x f f x f x ππ⎛⎫⇒<<∴<< ⎪⎝⎭（分）220022sin sin ,(0,).110222xx x x x dx dx x πππππππ∴<<∈⇒=<<=⎰⎰（分）五、（本题10分）设 00)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x xe x g xf x ，其中)(xg 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。
（1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。
200000()0()(0)()1(0)lim lim lim ()()(0)1lim lim 222xxx x x x xx x g x e f x f g x e x f x x x g x e g x e g x --→→→--→→----'==='''''+--===解：（）（3分） 222(())(()()()(1)()()()(1)0()(6)(0)102x x xxx g x e g x e xg x g x x e f x x x xg x g x x e x x f x g x ----''+---++'=='⎧-++≠⎪⎪'∴=⎨''-⎪=⎪⎩）分（2）当0x ≠时,()f x '连续.当0x =时,200()()(1)1lim ()lim [(0)1](0)2x x x xg x g x x e f x g f x -→→'-++''''==-= 所以, )(x f '在),(+∞-∞上都连续. (10分)六、（本题8分）11 设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-。