有限单元法期末重要知识点
材料力学有限元法知识点总结
材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。
有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。
本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。
1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。
它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。
1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。
1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。
根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。
1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。
1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。
2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。
它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。
2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。
这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。
有限元法及应用知识点总结
• 但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理， 他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理 论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问 题。
4.最小位能原理和最小余能原理
• 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上 的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性 （包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线 性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系 是非线性关系。研究这类问题一般都是假 定材料的应力和应变呈线性关系。它包括 大位移大应变及大位移小应变问题。如结 构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题， 橡胶部件形成过程为大应变问题。
• 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移 使系统总位能取最小值。
• 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。
• 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使 系统的总余能取最小值。
• 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。
4.最小位能原理和最小余能原理（续）
• 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解 的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似 的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算 模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得 的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界， 即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模 型偏于柔软。
平面单元划分原则（续）
• 3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或 等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时 也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须 节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。 4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。
有限元期末复习提纲及整理
有限元期末复习提纲1.弹性矩阵，应变矩阵，应力矩阵的定义微分体表面上的应力可分解为一个正应力和两个切应力。
垂直于表面的应力称为正应力；平行于表面的应力称为切应力。
应力矩阵弹性矩阵应变矩阵2.节点自由度定义，写出平面应力三角形单元，刚架单元与桁架单元（平面与空间），薄板弯曲单元，实体元的节点自由度节点自由度：节点所具有的位移分量的数量平面应力三角形单元：节点自由度2，单元自由度数=2*3=6平面刚架单元：节点自由度3（2个移动自由度，1个旋转自由度），单元自由度数=3*2=6空间刚架单元：节点自由度6，单元自由度数=6*2=12平面桁架单元：节点自由度2，单元自由度数=2*2=4空间桁架单元：节点自由度3，单元自由度数=3*2=6薄板弯曲单元：实体元：4节点四面体单元：节点自由度3，单元自由度数=3*4=123.平面应力问题的定义和特点1. 平面应力问题如果空间物体满足以下两个条件，则该问题可以按平面应力问题考虑。
（1）某方向尺寸较另外两方向的尺寸小得多，即近似为一等厚的薄板；（2）受到平行于板面的沿厚度方向均匀分布的面力；根据上述条件，在上图中，图(a)所示的结构属于平面应力问题。
而图(b)中结构的载荷与板平面不平行，图(c)中结构的厚度t与截面尺寸差不多，因此不是平面应力问题。
一般地，当结构厚度t≤L／15(L为截面特征尺寸)时，结构可作为平面应力问题。
如车辆的墙板顶板等受拉压的平板，内燃机的飞轮，链传动的链片以及宽度较小的直齿圆柱齿轮等。
4.杆件结构的分类及其特点杆件结构定义：当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件曲杆直杆等截面杆（1）桁杆，和其他结构采用铰相连接，如图（a)所示，其连接处可以自由转动，因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。
影响应力的几何因素主要是截面面积。
由桁杆组成的杆系称为桁架，若杆系和作用力均位于同一平面内，则称为平面桁架，否则称为空间桁架。
有限元复习重点
●有限元起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
●有限元基本思想：在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。
“一分一合”，化整为零，集零为整，把复杂的结构看成由有限个单元组成的整体。
●单元、节点、边界：采用8节点四边形等参数单元把受力体划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。
节点数和单元数目是有限的。
●有限元法的优点：（1）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。
(2) 具有灵活性和适用性，应用范围极为广泛。
(3) 该法在具体推导运算中，广泛采用了矩阵方法，便于实现程序设计的自动化。
●有限单元法分为三类:位移法（以节点位移为基本未知量）、力法（以节点力为基本未知量）和混合法（一部分以节点位移，另一部分以节点力作为基本未知量）。
●有限元法分析计算的基本步骤可归纳如以下五点。
1.结构的离散化（将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型）在平面问题用三角形、矩形或任意四边形单元。
在空间问题用四面体、长方体或任意六面体单元2.单元分析①选择位移模式（位移模式是表示单元内任意点的位移随位置变化的函数式，由于所采用的函数是一种近似的试函数，一般不能精确地反映单元中真实的位移分布）位移模式或位移函数：i ni i a y φ∑=②建立单元刚度方程e e e F k =δ，e 为单元编号；e δ为单元的节点位移向量；e F 为单元的节点力向量 ；ek 为单元刚度矩阵.③计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。
计算力学(有限单元法)第三章重点整理
第三章一、三角形单元（常应变单元）1）三角形单元位移函数：123456u a a x a yv a a x a y =++⎧⎨=++⎩2）位移函数用形函数来表示：i i j j m mi i j j m mu N u N u N u v N v N v N v =++⎧⎨=++⎩其中1()(,,)2i i i i N a bx c y i j m A =++，,(,,)i j m m ji j m ij m a x y x y b y y i j m c x x ⎧=-⎪=-⎨⎪=-+⎩，11121i i j j mmx y A x y x y = 形函数用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数，反映了单元的位移形态，数学是反映了节点位移对单元内任一点位移的插值。
矩阵形式：0000i i ijm j ijm jm m u v N N N u u N NN v v u v ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭或{}[]{}[][]{}i j m f N N N N δδ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦4）单元应变：{}[]{}B εδ=（其中[]B 为常量）由x y xy u x v y u v y x εεγ⎧⎫∂⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪=⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂∂+⎪⎪∂∂⎩⎭得到[]001002ii i i i i i i i Nx b N B c y Ac b N N yx ⎡⎤∂⎢⎥∂⎢⎥⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥==⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎣⎦应变和节点位移关系式：00010002i i x i j m j y i j m j xy iijjmm m m u v b b b u c c c v A c b c b c b u v εεγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭5）单元应力：{}[][]{}{}[]D B S σδδ==其中36[][[][][]]i j k S S S S ⨯=平面应力问题2[],(,,)2(1)1122i i i i ii i b c ES b c i j m Ac b μμμμμ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦平面应变问题将上式中的21E E μ=-6）单元平衡方程：{}{}[]d k F δ=,{}{}{}{}d V S c F F F p =++7）单元刚度矩阵：[][][][]TVk B D B dv=⎰（表示单元力和单元位移关系间的系数，代表单元的刚度特性）性质：（1）三角形单元刚度矩阵与坐标系无关，即单元刚度矩阵[]k 不随单元或坐标轴的平行移动或作n π角度的转动而改变（平面问题的单元刚度矩阵可以认为是结构坐标系中的单元刚度矩阵，没有坐标变换问题） （2）单元刚度矩阵中每个元素ij k 的物理意义表示单元第j 个自由度产生单位位移，其它自由度固定时，第i 个自由度产生的节点力。
有限元考试必备
有限元考试必备
1
有限元知识点归纳及复习题
1.、有限元解的特点、原因？
答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2有限元法的基本原理
是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分
割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元
的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过
变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。
分析指导思想：化整为零，裁弯取直，以简驭繁，
变难为易
有限元分析的基本步骤
（1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标计算、位移约束条件确定（2）等效结点力的计算
（3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，再组装成整体刚度矩阵）
（4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解结点位移（5）应力计算 2。
计算力学(有限单元法)第四章重点整理
第四章一、杆单元 平面杆单元（轴力）1)位移函数：121(),()i i u x x x x x αα-=+≤≤ 2）形函数：1111,ee i i i i i i i i x x x x N N x x x x ------==-- （拉格朗日多项式） 则{}11i eeee i ii ii u u N N N u δ--⎧⎫⎡⎤⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭3）单元应变和应力：（设1i i L x x -=-） {}[]{}1[]11e e i i i du B dx Lεδδ===-，{}[]e i i E E B σεδ== 4）单元刚度矩阵：111[][]11ii x e T ii i x EA K B AE B dx L --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎰5）单元等效节点力： {}{}11[]12ii x ee ii i x gAL F gA N dx ρρδ-⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭⎰二、梁单元不考虑剪切变形的平面梁单元1、 弯剪平面梁单元（,v θ仅有位移v 是独立的，其中dv dxθ=） 1） 位移函数：231234()v x x x x αααα=+++2） 形函数：323312232223332324(32)/(2)/(32)/()/N l lx x l N l x lx x lN lx x l N lx x l⎧=-+⎪=-+⎪⎨=-⎪⎪=--⎩（Hermite 插值函数解得） 则{}[]11123422e ev v N N N N N v θδθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭3） 单元应力和应变：{}{}223[][(126)(64)(126)(62)]bi i i d v yy B x l l x x l l x l dx lεδδ=-==------{}{}[]b e E E B σεδ==4） 单元刚度矩阵：2230221261266462[][][]([][])1261266264le T T z V A l l l l l l EI k B D B dv E B B dx dA l l l l l l l -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰考虑轴向变形后：32322232322200001261260064620000012612600626400z zzz zz zz ez z zz z z zz EAEA ll EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l k EAEA l l EIEI EI EI l l l l EI EI EI EI l lll ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 5） 单元等效节点力：{}0[]()leTyy F N p x dx =⎰，其中{}{}Te yii jj FQM Q M =2、 弯剪扭平面梁单元（截面形心和扭心重合时，弯曲和扭转是相互独立的） 1） 基本位移未知量：{}{}Texiyii xj yj j w w δθθθθ=2） 等效节点力:{}{}Texiyizixjyizj FM M Q M M Q =3） 单元刚度矩阵：（见上册书P98） 考虑剪切变形的平面梁单元 1） 位移函数：12()u x x αα=+231234()b v x x x x ββββ=+++（弯曲变形引起的挠度） 12()s v x x γγ=+（剪切变形引起的挠度）2） 形函数：323312232223332324(32)/(2)/(32)/()/N l lx x l N l x lx x lN lx x lN lx x l⎧=-+⎪=-+⎪⎨=-⎪⎪=--⎩和56()//N l x l N x l =-⎧⎨=⎩则{}{}56123400000i b i bbbi ee j b j j u v N N v N u N N N N v θδθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭，{}[]56sss i s e e s j v v N N N v δ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎩⎭3） 单元应力和应变：{}[]{}{}3232110000(126)(64)(126)(62)00bb bb e e ll B y x l y x y x l y x l l l l εδδ⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥----⎢⎥---⎢⎥⎣⎦{}[][]{}[]{}00bbbb b be e EA D B B EI σδδ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦{}{}11[]sss s e e B ll εδδ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦s s s sGA D kσεε==4） 单元刚度矩阵：3232223232220000126126006462000012612600626400z zzz zz zz be zz zz z z zz EAEA ll EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l k EAEA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l lll ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,11[]11e sGA k kl -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦由几何关系可得整体刚度矩阵：32322232322000012612600(1)(1)(1)(1)64)62)00(1)(1)(1)(1)000012612600(1)(1)(1)(1)6(20(1)z z z z z z z z ez zz z z EAEAll EI EI EI EI b l b l b l b l EI b EI EI b EI b l b l b l b l k EA EA l l EI EI EI EI b l b l b l b l EI b b l ----+++++--++++⎡⎤=⎣⎦---++++--+（（2)6(4)0(1)(1)(1)zz z EI EI b EI b l b l b l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-⎢⎥+++⎣⎦其中212EIkb GAl = Timoshenko 梁单元（截面转角θ与挠度w 独立变化） 1） 几何关系：,dw d dx dxθγθκ=-=- 2） 形函数：1211,22N N ξξ-+== 2211,i i i i i i v N v N θθ====∑∑1211000i i j j v N N v v N N θθθ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭3） 单元应力与应变：b s εεε=+[]{}{}[]{}11000101bb e e edN dN B dx dx εδδδ⎡⎤==--=-⎢⎥⎣⎦[]{}{}[]{}12121111ss e e e dN dN B N N dxdxεδδδ⎡⎤==--=--⎢⎥⎣⎦4） 单元刚度矩阵：222200001/21/20101/2/3/2/600001/21/20101/2/6/2/3e e e b s l l l l l l EI GA K K K l l l kl l l l l -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦5） 等效节点荷载：{}00[]leT FN dx q ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰，其中121200[]0N N N N N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦三、坐标变换1、坐标变换矩阵[]T ：把单元位移从结构整体坐标转换单元坐标系的变换矩阵—{}{}[]eT δδ= 平面单元1）平面铰接杆单元与弯剪平面梁单元（连续梁）cos sin 00sin cos 00[]00cos sin 00sin cos T αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2）轴剪弯平面梁单元（刚架）与面外弯剪扭平面梁单元cos sin 0000sin cos 0000001000[]000cos sin 0000sin cos 001T αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦空间单元1） 空间杆单元(,,)u v w[][]00[]T λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中坐标系的旋转矩阵111213212223313233[]λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（λ代表单元坐标轴,,x y z 在整体坐标系,,X Y Z 中的方向余弦）111213,,j i j i j i X X Y Y Z Z λλλ=-=-=-（单位长度）212223λλλ===3132330,λλλ===2） 空间梁单元(,,,,,)x y z u v w θθθ[][][][][]T λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中坐标系的旋转矩阵111213212223313233[]λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111213,,j i j i j i X X Y Y Z Z λλλ=-=-=-213312311113112211212223()()(),,A A A A A A A A Aλλλλλλλλλ---===312313233,,A A AA A Aλλλ=== 注：在主惯性平面xy 上任取一参考点(,,)k k k k X Y Z123,,,k i k i k ik k k kX X Y Y Z Z g g g D D D D ---====111221321132113211112,,,A g g A g g A g g A λλλλλλ=-=-=-=四、梁端自由度释放原刚度矩阵eOOR RO R K K K K ⎡⎤⎢⎥⎣⎦释放自由度后的刚度矩阵1e O OR R RO K K K K K -=-五、带刚域的梁 单元刚度矩阵：[][][][]'Td d k T k T =其中10000001000001000[]000100000010000001d a T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
弹性力学及有限单元法复习提纲
位移模式与收敛性条件 形函数及其性质 有限元支配方程的建立 荷载列阵：单元到整体 劲度矩阵：单元到整体
简单问题的有限元具体计算
计算结果的整理与分析 网格剖分的注意事项
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1、应力、应变、位移等概念； 2、弹性力学的基本假定，在那些地方用到； 3、弹性力学基本方程，平衡方程、几何方程、物理方 程、相容方程，及其推导； 4、应力边界条件、圣维南原理的应用； 5、按位移求解的方法及推演； 6、按应力求解的方法及推演； 7、逆解法和半逆解法的求解思路； 8、常体力情况的解法，应力函数； 9、能用给定应力函数或自行假定应力函数求解具体弹 性力学问题； 10、掌握典型解答并能灵活运用，如简支梁纯弯曲、简 支梁受匀布荷载、半无限体表面受集中力、圆孔应力 集中解答；
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九 论证四结点矩形单元是完备的协调单元 77 四结点矩形单元的位移函数可表示为 U=α1 +α2 x+α3 y+α4 xy V=α5 +α6 x+α7 y+α8 xy 他们是 x,y 的双线性函数。其中参数α1 α2 α3 和α5 α6 α7 反映了刚体位移和常应变，所 以， 是完备单元。 另外， 在相邻单元的公共边x = −a 和y = − b上， 位移函数按线性变化， 而相邻单元在边界的两个结点上有相同位移。所以，这两个相邻单元在公共边界的各点 上有相同的位移，这就保证了相邻单元的协调性，因此，这种单元也是协调单元。 1. 3 非线性问题的类型 1．材料非线性：非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起，位移分量仍假设为无限 小量，故仍可采用工程应力和工程应变来描述，即仅材料为非线性。 2．几何非线性：如果结构经受大变形，则变化了的几何形状可能会引起结构的非线性 响应，这又可以分为两种情形： 第一种情形，大位移小应变。第二种情形，大位移大应变。 3．状态非线性：除以上两种非线性问题之外，还有一种非线性问题，即由于系统刚度 和边界条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响应。 常用的非线性分析方法 非线性方程组的增量逐步解法 Newton－Raphson 迭代格式的增量逐步解法 2、什么是等参元？它有什么特点？ P47（等参数单元） 等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同 数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。 由于等参变 换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表 示单元的规则域内进行， 因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂， 仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为 有限元法中应用最为广泛的单元形式。
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5 网格分界面和分界点 应使网格形式满足边界条件特单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。为保证位移协调， 一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。 7 网格布局 当结构外形对称时，其网格也应划分对称网格。 8 节点和单元编号 节点和单元的编号影响结构总刚矩阵的带宽和波前数， 因而影响计算时间和存储 容量的大小，因此公道的编号有利于进步计算速度。 六、你知道哪些大型有限元软件，请说明
ansys 偏向于专业的工程应用，需要获得精确的分析结果。操作起来也十分专业，包括 网络划分，几何修正、几何体的物理模型等都给与使用者更多的选择，以便达到更加精确的 效果。Ansys 更偏重专业分析人员来做工程分析。 ABAQUS 长于非线性有限元分析,可以分析复杂的固体力学和结构力学系统，特别是 能够驾驭非常庞大的复杂问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS 不但可以做单一零件的力 学和多物理场的分析， 同时还可以做系统级的分析和研究， 其系统级分析的特点相对于其他 分析软件来说是独一无二的。 七、形函数性质，并画出三节点三角形单元函数Ni 的分布规律 1 形函数与位移函数是相同次数的多项式 2，形函数在自身节点上的值为 1，其它结点上的值是 0； 3 单元的任一点上，三个形函数之和为 1； 八、为了保证有限元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件?如何构造？ 1. 位移函数必须包括单元的刚度位移。 2. 位移函数必须包括单元常应变 3. 位移函数在单元内必须连续，在相邻单元间必须协调。 多项式的项数应等于单元的自由度数，其阶次应包括常数项和完全线性项。同时要对称 地选取多项式的项数。
一．有限元法求解弹性力学问题的基本步骤，为什么应力解答的精度低于位移解答精度？ （1） 步骤 1 弹性单元的离散化 2 选择位移函数 3 建立单元刚度方程 4 建立整体平衡方 程 5，求解整体平衡方程 （2） 位移法求解，位移是直接解，应力是一个与位移导数相关的派生解，这就导致了应 力解答的精度低于位移解答精度。 二．简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的性质 单元刚度矩阵性质 48 1 单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。 2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。 3 单元刚度矩阵为对称矩阵 4 单元刚度矩阵为奇异矩阵 整体刚度矩阵性质 1 每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。 2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。 3 单元刚度矩阵为对称矩阵 4 单元刚度矩阵为奇异矩阵，排除整体刚度位移后为正定矩阵。 5 整体刚度矩阵是带状矩阵 三、简述你知道的单元类型，对同一类型的单元精度比较，给出一般规律。 三角形单元中， 三结点的常应变单元， 其单元内应力是常量， 它是一种简单但精度低的单元； 六结点的二次三角形单元精度高但不能适应曲线边界。 而矩形单元， 其精度虽比相应的三角 形单元高，但不易改变单元尺寸，以及不能适应曲线边界和非直角的直线边界。平面等参数 单元适应了曲线边界和非直角的直线边界。 四、有限元网格划分的过程中应注意哪些问题？ 1 网格数目 网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数目增加，计算 精度会有所进步，但同时计算规模也会增加。实际应用时可以比较两种网格划分的计算结 果，假如两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。 2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格， 这是为了适应计算数据的分布特点。 在 计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比 较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的 网格。 3 单元阶次 选用高阶单元可进步计算精度，所以当结构外形不规则、应力分布或变形很复杂时可以选 用高阶单元。但高阶单元的节点数较多，在网格数目相同的情况下由高阶单元组成的模型 规模要大得多，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时间。 4 网格质量 网格各边或各个内角相差不大、网格面不过分扭曲、边节点位于边界，在重点研究的结构 关键部位，应保证划分高质量网格