(完整版)平面向量的数乘及其几何意义
平面向量数乘的定义及运算法则
平面向量数乘的定义及运算法则一、平面向量数乘的定义a平面向量数乘是指将一个实数与一个向量相乘的运算。
给定一个向量，记实数为k，则该数乘运算表示为k。
二、数乘运算的几何意义a1.若k>0，则k的几何意义是将向量的长度放大k倍，并且与的方向相同。
a2.若k<0，则k的几何意义是将向量的长度放大|k|倍，并且与的方向相反。
a3.若k=0，则k的几何意义是零向量，即长度为零的向量。
三、数乘运算的性质a1.结合律：对于任意实数k1、k2和向量，有k1(k2)=(k1k2)。
a2.分配律：对于任意实数k和向量、**b**，有k(+**b**)=k+k**b**。
a3.分配律：对于任意实数k1、k2和向量，有(k1+k2)=k1+k2。
a4.数乘1的性质：对于任意向量，有1=。
a5.数乘0的性质：对于任意向量，有0=**0**。
四、实例分析现在我们通过一个实例来理解平面向量数乘的定义及运算法则。
例1：已知向量**a**=(2,3)，计算3**a**和-2**a**。
解：根据定义，我们有：a-3=3(2,3)=(6,9)a--2=-2(2,3)=(-4,-6)a所以，3=(6,9)，-2=(-4,-6)。
a根据几何意义，3的长度是向量长度的3倍，并且与方向相同；-2的长度是向量长度的2倍，并且与方向相反。
五、总结平面向量数乘的定义及运算法则为：-数乘运算是将一个实数与一个向量相乘的运算。
-数乘运算的几何意义是改变向量的长度和方向。
-数乘运算满足结合律、分配律，数乘1的性质和数乘0的性质。
-通过实例分析可以更好地理解平面向量数乘的概念和运算法则。
在向量的数乘运算中，需要注意实数与向量的顺序以及符号的正确性，以确保结果的准确性。
掌握平面向量数乘的定义及运算法则，能够在解决相关问题时得到正确的结果，并应用到更复杂的向量运算中。
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
向量数乘运算及其几何意义课件
向量数乘运算及其几何意义
1．向量的数乘
定义
长度 λ>0
方 λ＝0
向 λ<0
一般地，实数λ与向量a的积是一个向__量__， 这种运算叫做向量的数乘，记作λa |λa|＝|λ|a λa的方向与a的方向_相__同___ λa＝0 λa的方向与a的方向_相__反__
[破疑点]①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个
命题方向 向量的线性表示 [例 2] 已知O→A＝3e1，O→B＝3e2，C、D 是 AB 的三等分 点，求O→C、O→D. [分析] 依据向量加法、减法的定义和数乘向量的几何意 义，将待求向量逐步向已知条件过渡．
[解析] O→C＝O→A＋A→C＝O→A＋13A→B ＝O→A＋13(O→B－O→A)＝23O→A＋13O→B ＝23×3e1＋13×3e2＝2e1＋e2， O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋23A→B ＝O→A＋23(O→B－O→A)＝13O→A＋23O→B＝e1＋2e2.
向量，不是实数；但实数与向量不能进行加运算，如λ＋a，λ－a是错误的．
②对任意非零向量a，则向量
a |a|
是与向量a同向的单位向
量．
③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大
或缩小|λ|倍．
命题方向 向量线性运算的运算律
[例 1] 计算：(1)3(6a＋b)－9(a＋13b)； (2)12[(3a＋2b)－(a＋12b)]－212a＋38b； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [分析] 综合运用实数与向量的运算律解题．
[解析] 证明：(1)∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b， C→D＝3(a－b) ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B、B→D共线， 又∵它们有公共点 B，∴A、B、D 三点共线．
优质课平面向量数乘运算及其几何意义
当 0 时， ar 的方r向与 a 的方向相反.
练习: 当 0 时，a0.
1、如图，点C是线段AB的中点，则
u A u C u r 12 u A u B u r,u B u C u r 12 u A u B u r .
A
C
B
r
r
2、计算： 3(2a)= 6 a
rr r 2a+4a= 6 a
向量的数乘运算运算律：
r r r r r r
( 2 ) 如 果 向 量 b 与 a ( a 0 ) 共 线 ， 那 么 b a 是 否 成 立 ?
定理 （共线向量基本定理）
rr r r 向 量 a (a 0 )与 b 共 线 ， 当 且 仅 当 有
唯 一 一 个 实 数 ， 使 b r a r. A、B、C三
练习(1 )：a r判 断r2 下e r,列b rr各2 小e r题;中的向量是点否置共之关线间系?什呢么？位 u u u r ar bru u u rr r
rr r r
(ab)ab.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 rr
对于任意向量r a、b，以及r 任意实数r 、1、2，恒r 有 （ 1 a 2 b ） = 1 a 2 b
rr
如果去掉(a 0) 这个条件呢？
探究： rr r r r r ( 1 ) 如 果 b a ( a 0 ) , 向 量 a 与 b 是 否 共 线 ?
r
又因为有公共点A 所以，A、B、C三点共线.
br Oa
u u u r u u u ru u u r u u u r 变式练习：如图，已知 A D 3 A B ,D E 3 B C ,
证明:A、C、E三点共线.
E
C
平面向量数乘运算及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾顺次连，起点 指终点
C
ab b
A
a
B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和Baຫໍສະໝຸດ babC b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
特点：平移同起点，方向指被减
a
B
b
BAab
b
O
a
A
作一作，看成果 已知非零向量 a ,作出aaa ,你能发现什么？ a
2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： A EA D DE A
B
3AB3BC
3A BBC
D
3AC
∴ AC 与 AE 共线．
例3.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OAab,
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
a
b
3b
B
2b
A
b a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已 知 两 个 非 零 向 量 e1和 e2不 共 线 ， 如 果 AB2e13e2， BC6e123e2， CD4e18e2， 求 证 :A、 B、 D三 点 共 线 .
设e1 , e 2是两个不共线的向量， A B 2 e 1 k e 2 ,C B e 1 3 e 2 , CD2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值.
A,B,C三点共线
向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的向量，向量数乘运算有助于理解它们的几何意义。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的向量。通过向量数乘运算，可以方便地表示出速度 和加速度在不同方向上的分量，以及它们之间的变化关系。例如，在匀变速直线运动中，加速度的大 小和方向可以通过向量数乘运算来表示。
题目二
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1, - 1,2)$，$overset{longrightarrow}{b} = (3,0, - 1)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的模。
04
向量数乘运算的实例
力的合成与分解实例
总结词
力的合成与分解是向量数乘运算在实际问题中的重要应用。
详细描述
在物理学中，力的合成与分解是常见的操作。通过向量数乘运算，可以方便地表示出合力与分力之间的关系，以 及它们在不同方向上的分量。例如，当有两个力同时作用于一个物体时，可以通过向量数乘运算来计算它们的合 成效果。
THANK YOU
感谢聆听
也是通过向量数乘运算来建立的。
05
向量数乘运算的练习题及答案
向量数乘运算的练习题
题目一
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2, - 4, - 6)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的坐标。
高中数学 2.22.2.2向量数乘运算及其几何意义课件 新人
栏 目
链
B、D 三点共线．
接
跟踪 训练
分析：欲证 A、B、D 三点共线，只需证A→D与A→B共线即可．
证明：∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
栏
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A→B，
目 链
接
∴向量A→D与A→B共线．
又向量A→D与A→B有共同的起点 A，
因为 A、B、D 三点共线．
栏
目
∴存在实数 λ，使得A→B＝λB→D，
链 接
即 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，解得 k＝－8.
点评：待定系数法是解决两向量平行的重要工具，
适用于两个向量平行的判定中实数的确定．
跟踪 训练
2．已知任意两个非零向量 e1、e2 不共线，如果A→B
＝2e1＋3e2，B→C＝6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2，求证：A、
解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，
栏 目
∴a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1，
链 接
a－b＝(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝－2e1＋4e2，
3a－2b＝3(e1＋2e2)－2(3e1－2e2)＝－3e1＋10e2.
题型2 向量的共线问题
例2 设 e1，e2 是两个不共线向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝
e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，若三点 A，B，D 共线，求 k.
栏
目
分析：由C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，求得B→D＝C→D
链 接
－C→B＝e1－4e2.因为 A、B、D 三点共线．所以A→B与B→D存
高中数学2.13向量数乘运算及其几何意义优秀课件
重点难点 个个击破
解析答案
练一练:1. 课本P90,ex.5（见下一页） 2.思考：
思考：非零向量 , 作出a a a和 a
(a) (a) (a) , 你能说明它们的几何意义吗？
a
aa a
OA
B
C 记作 3a
OC OA AB BC a a a
a a a
记作 -3a
NM Q
P
PN PQ QM MN （ a）（ a）（ a）
一.向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量 a 的积是一
练一练: 课本P90,ex.4
类型二 向量的表示 例 2 (1)如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的两个三 等分点，C→A＝3a，C→B＝2b，求C→D，C→E. 解 ∵C→A＝3a，C→B＝2b， ∴A→B＝C→B－C→A＝2b－3a， 又D，E为边AB的两个三等分点， 所以A→D＝13A→B＝23b－a， 所以C→D＝C→A＋A→D＝3a＋23b－a＝2a＋23b， C→E＝C→A＋A→E＝3a＋23A→B ＝3a＋23(2b－3a)＝a＋43b.
2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|
倍.向量
a |a|
表示与向量a同向的单位向量.
3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为
向量共线问题.
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2.以下各式计算正确的有( C ) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b； ③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b. 个个个个
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• (2)几何角度
• 对于向量的长度而言，
• ①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在 原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|a|的|λ|倍；
• ②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线 段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|a|的|λ| 倍．
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
a
b
o
a
A
ab
b
B
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
a
b
ob
B
a
A
C
向量的减法(三角形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
(3) 原式 2a 3b c 3a 2b c
a 5b 2c .
3、把下列各小题中的向 量b表示为实数与向量 a的积
(1)a 3e,b 6e;
(2)a 8e,b 14e; (3)a 2 e,b 1 e;
33
e a 8
e 3a 2
(4)a 3 e,b 2 e;
4
3
e 4a 3
b 2a b7a
4 b1a
2 b 8a
9
思考
a与a有何关系？(a
0)
结 论： 那如么果ab， b是a, 共线向量.
2020/8/14
思考 共线反向过量来，那，么如b果a与a？b是
结那论么：如b 果aa，. b是共线向量，
2020/8/14
共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
由图知，PN PQ QM MN (a) (a) (a)，记为： 3a
即 PN 3a .显然 3a 的方向与a 的方向相反，| 3a | 3 | a | .
问题：通过上述的具体实例总结出更具一般性
的向量数乘的定义 定义： 一般地，实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，
它的长度与方向规定如下：
在物理中位移与速度的关系：s = vt， 力与加速度的关系：f = ma.
其中位移、速度，力、加速度都是向量， 而时间、质量都是数量．
判一判(判断下列说法的正误) (1)实数λ与向量a的和λ＋a与差λ－a是向量．( ) 提示：× 实数与向量不能作加减运算． (2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．( ) 提示：√ －3a与3a方向相反． (3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．(
实数与向量的积的运算律：思考：2(a b)与2a 2b的联系
ab
2(a b)
ab
2b
2(a b) 2a 2b
2a
(a b) a b
根据实数与向量的积的定义，可得运算律：
设 、 为实数，则
(1) (a) ()a ； (结合律)
(2) ( )a a a ；(第一分配律 )
) 提示：√ |－6a|＝6|a|＝2×|3a|.
实数与向量的积的运算律：思考：（3 2a）与6a之间的联系
a 2a
3( 2a )
6a 3(2a) 6a
(a) ()a
实数与向量的积的运算律：思考：(2 3)a与2a 3a的联系
5a
a
2a
3a
(2 3)a 2a 3a
( )a a a
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反； 当 0 时，a 0 .
问题：你能说明它数乘意义吗？
• 1．从两个角度看数乘向量
• (1)代数角度
• λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条 件是λ＝0或a＝0.
E C
解： AE AD DE
3AB 3BC
A B
D
变式二：求证：BC // DE
3( AB BC) 3AC ， AC 与AE 共线
DE 3BC
BC 与DE 共线且BC与DE不在同一直线上 BC // DE
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明三点共线的问题:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
(3) (a b) a b . (第二分配律)
向量的加、减、数乘运算统称为向量 的线性运算。
例 5 计算：
(1) (3) 4a；(2) 3(a b) 2(a b) a；
(3) (2a 3b c) (3a 2b c) .
解：(1) (3) 4a (3 4)a 12a；
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b；
(3)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB
//
直线CD
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
课本P90 4
4、判断下列各小题中向量a与b是否共线：
(1)a 2e,b 2e; (2)a e1 e2,b 2e1 2e2;
解：a b
a与b共线。
解：b 2a
a与b共线。
例如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.
a
b
o
bB
a ab
A
练习：已知非零向量 a ，作出：a a a 和 (a) (a) (a) .
a
aa aห้องสมุดไป่ตู้
O
A
B
C
a a a
N
M
Q
P
想一想：相同的向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？
由图知，OC OA AB BC a a a，记为：3a 即 OC 3a .
显然 3a 的方向与a 的方向相同，3| 3aa的| 长3度| a是| . a 的长度的3 倍，
E 解： AE AD DE
C
A B
3AB 3BC 3( AB BC)
3AC ，
变式一：
D AC 与AE 共线
如图，已知 AD 3AB ，DE 3BC . 试判断 A、C、E三点的位置关系。.
AC 与AE 共线且有公共点A. A、C、E三点共线
例 如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.