2015山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2015总决赛答案
2015年高考真题：理科数学(山东卷)试卷(含答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1） 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A B =(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A B =-+<=<<= ,答案选(C)(2) 若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z = (A)1i - (B) 1i + (C) 1i -- (D) 1i -+解析：2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-，答案选(A) （3）要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像(A)向左平移12π个单位 (B) 向右平移12π个单位(C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3π个单位解析：sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位答案选(B)(4)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅=(A)232a - (B) 234a - (C)234a (D) 232a 解析：由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+= ，答案选(D)（5）不等式|1||5|2x x ---<的解集是(A)(,4)-∞ (B) (,1)-∞ (C) (1,4) (D) (1,5)解析：当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <，答案选(A)（6）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =(A)3 (B) 2 (C) 2- (D) 3-解析：由z a x y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >；答案选(B) 7.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A)23π (B) 43π (C) 53π (D) 2π 解析：2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，答案选(C)8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）(A)4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%解析：1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，答案选(B) （9）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为(A)53-或35- (B) 32-或32- (C) 54-或45- (D) 43-或34- 解析：(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，则1,|55|d k ==+=解得43k =-或34-，答案选(D)（10）设函数31,1,()2, 1.xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3(B) [0,1] (C) 2[,)3+∞ (D) [1,)+∞解析：由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选(C)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= .解析：14n -.具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++ 021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= （12）若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 . 解析：“[0,],t a n 4xx mπ∀∈≤”是真命题，则tan14m π≥=，于是实数m 的最小值为1.（13）执行右边的程序框图，输出的T解析：11200111123T xdx x dx =++=++=⎰⎰（14）已知函数()xf x a b =+(0,a a >≠和值域都是[1,0]-，则a b += .解析：当1a >时101a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得2,b =-则13222a b +=-=-. (15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 解析：22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a =±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AF pb pa a k pb b a-==，即2222222593,,.442b c a b c e a a a a +===== 三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若()0,1,2Af a ==求ABC ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=- 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈. （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==,6A π=,而1,a =由余弦定理可得2212cos2(26b c bc bc bc π=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号成立，即2bc ≤=+1112sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤，故ABC ∆. （17）（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF-2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,,AB BC CF DE ⊥=∠求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小. 解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T. 在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC. 又在BDC∆,H是BC的中点，则TH//DB，又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，故//BD（Ⅱ）由CF⊥平面ABC,可得DG⊥平面ABC而则GB AC⊥,于是,,GB GA GC两两垂直，以点G为坐标原点，,,GA GB GC所在的直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设2AB=,则1,DE CF AC AG====((B C F H则平面ACFD的一个法向量为1(0,1,0)n=，设平面FGH的法向量为2222(,,)n x y z=，则22n GHn GF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222222x yz-=⎪⎨⎪+=⎩，取21x=，则221,y z==2(1,1n=，121cos,2n n<>==，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60 .（18）（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知23 3.nnS=+（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足3logn n na b a=，求数列{}nb的前n项和nT.解：（Ⅰ）由233nnS=+可得111(33)32a S==+=，11111(33)(33)3(2)22n n nn n na S S n---=-=+-+=≥而11133a-=≠，则13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩（Ⅱ）由3logn n na b a=及13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩可得311,1,log31, 1.3nnnnnabnan-⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n n n T --=+++++ . 2234111123213333333n n n n n T ---=++++++ 2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823n n n n n n n nnn n T n n n n ---=+-++++--=-+++++----=+-=+--⋅-+=-⋅ 113211243n n n T -+=-⋅19（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345； （Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=(20)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值. 解析：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c ==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y +=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<<，交点，在椭圆C 上，则224134b b =⋅， 整理得424510b b -+=，解得21,b =214b =（舍去） 故21,b =24,a =椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为221164x y +=， 设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==. （ⅱ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-= 2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->||AB =2211||||||36221414m m S AB d k k∆==⋅⋅⋅=++ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k ==+等号成立. 而直线y kx m =+与椭圆C ：2214x y +=有交点P ，则 2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解， 其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥，则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则2||614m S k ∆==+(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12. （21）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增. 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减. 所以函数只有一个极值点。
山东省大学生数学竞赛(专科)试题及答案
山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案（非数学类，2010）考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、填空（每小题5分，共20分）.(1)计算)cos1(cos 1lim 0xx xx --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f = .(3)若txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2.二、（5分）计算dxdy x y D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D⎰⎰-2=dxdy y xxy D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(xy D dxdy xy -------- 2分=dy y x dx x )(2210-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分=3011 -------------5分.姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.三、（10分）设)](sin[2xf y =，其中f 具有二阶导数，求22dxy d .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy '=---------------3分)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxy d '-''+'=-----7分=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a xx，求a 的值.解：)23(232123ln 0ln 0xa x a xxe d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分令t e x =-23，所以dtt dx e e a a xx⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分=at 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e axx，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以23=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xey xy x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e exx xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e xx1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分所以原方程的通解是)(1C e xy x+=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xey x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x xb <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
(2021年整理)2015年山东春季高考数学试题及详解答案
（完整）2015年山东春季高考数学试题及详解答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）2015年山东春季高考数学试题及详解答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）2015年山东春季高考数学试题及详解答案的全部内容。
机密★启用前山东省2015年普通高校招生(春季)考试数学试题注意事项:1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分,考试时间120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目，最后结果精确到0。
01。
卷一（选择题，共60分）一、选择题(本大题共20个小题，每小题3分,共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1。
集合{}1,2,3A =,{}1,3B =，则A B 等于（ ） A.{1,2，3} B.｛1,3｝ C 。
｛1，2｝ D 。
{2} 2。
不等式15x -<的解集是（ ）A.（6-，4） B 。
（4-,6) C.(,6)(4,)--+∞∞ D 。
(,4)(6,)--+∞∞3.函数1y x=的定义域是( ）A.{}10x x x -≠且B.{}1x x -C.{}>10x x x -≠且D.{}>1x x -4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切"的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C 。
充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==,则6a 的值是( ） A 。
2015年山东卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题本部分共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1.已知集合{}243|0A x xx =−+<，{}24|B x x =<<，则A B =（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）2.若复数Z 满足1Zi i=−，其中i 为虚数为单位，则Z=（ ） A ．1-iB ．1+iC ．-1-iD ．-1+i3.要得到函数sin(4)3y x π=−的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位4.已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（ ） A ．232a −B ．234a −C ．234a D ．232a 5.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（ ） A ．(,4)−∞B ．(,1)−∞C ．（1，4）D ．（1，5）6.已知x,y 满足约束条件020x y x y y −≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（ ） A ．3B ．2C ．-2D ．-37.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布2(,)N μσ， 则(P μσ−<)68.26%μσ<+=，(2P μσ−<2)95.44%μσ<+=。
2015年普通高等学校招生全国统一考试山东卷理科数学(2015年山东省高考理科数学)
2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}，B ＝{x|2<x<4}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(2，3) D ．(2，4) 答案：C 解析：A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，结合数轴，知A ∩B ＝{x|2<x<3}. 2.若复数z 满足z 1−i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1﹣iB ．1＋iC ．﹣1﹣iD ．﹣1＋i答案：A解析：∵z1−i ＝i ，∴z ＝i(1﹣i)＝i ﹣i 2＝1＋i .∴z ＝1﹣i .3.要得到函数y ＝sin (4x −π3)的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案：B解析：∵y ＝sin (4x −π3)＝sin [4(x −π12)]，∴只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位即可.4.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．﹣32a 2 B ．﹣34a 2 C ．34a 2 D ．32a 2答案：D解析：如图设BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝B ．则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a ＋b)·a ＝a 2＋a·b ＝a 2＋a ·a ·cos60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.5.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|<2的解集是( )A ．(﹣∞，4)B ．(﹣∞，1)C ．(1，4)D ．(1，5) 答案：A解析：当x ≤1时，不等式可化为(1﹣x )﹣(5﹣x )<2，即﹣4<2，满足题意；当1<x<5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(5﹣x )<2，即2x ﹣6<2，解得1<x<4； 当x ≥5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(x ﹣5)<2，即4<2，不成立. 故原不等式的解集为(﹣∞，4). 6.已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3答案：B解析：由约束条件画出可行域，如图阴影部分所示.线性目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝﹣ax ＋z. 设直线l 0：ax ＋y ＝0.当﹣a ≥1，即a ≤﹣1时，l 0过O (0，0)时，z 取得最大值，z max ＝0＋0＝0，不合题意；当0≤﹣a<1，即﹣1<a ≤0时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝a ＋1＝4，∴a ＝3(舍去)； 当﹣1<﹣a<0时，即0<a<1时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋1＝4，∴a ＝32(舍去)；当﹣a ≤﹣1，即a ≥1时，l 0过A (2，0)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋0＝4，∴a ＝2. 综上，a ＝2符合题意.7.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π答案：C解析：由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V 圆柱＝π×12×2＝2π，V 圆锥＝13×π×12×1＝π3.∴V 几何体＝V 圆柱﹣V 圆锥＝2π﹣π3＝5π3.8.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ﹣σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ﹣2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%答案：B解析：由正态分布N (0，32)可知，ξ落在(3，6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ＋2σ)−P(μ−σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%−68.26%2＝13.59%.9.一条光线从点(﹣2，﹣3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y ﹣2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．﹣53或﹣35 B ．﹣32或﹣23 C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34答案：D解析：如图，作出点P (﹣2，﹣3)关于y 轴的对称点P 0(2，﹣3).由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y ＝k (x ﹣2)﹣3，即kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0.∴圆心到直线的距离d ＝√1＋k 2＝1，解得k ＝﹣43或k ＝﹣34.10.设函数f (x )＝{3x −1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．[23，1] B ．[0，1] C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C解析：当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24，显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B ．当a ＝23时，f (23)＝3×23﹣1＝1，f (f (23))＝f (1)＝21＝2. 显然f (f (23))＝2f(23).故排除D ． 综上，选C ．第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.观察下列各式：C 10＝40；C 30＋C 31＝41； C 50＋C 51＋C 52＝42； C 70＋C 71＋C 72＋C 73＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝__________.答案：4n ﹣1解析：观察各式有如下规律：等号左侧第n 个式子有n 项，且上标分别为0，1，2，…，n ﹣1，第n 行每项的下标均为2n ﹣1.等号右侧指数规律为0，1，2，…，n ﹣1.所以第n 个式子为C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝4n ﹣1.12.若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__________. 答案：1解析：由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈[0，π4]，∴tan x ∈[0，1]， ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.执行下边的程序框图，输出的T 的值为__________.答案：116解析：初始n ＝1，T ＝1.又∫1x n d x ＝1n ＋1x n ＋1|01＝1n ＋1，∵n ＝1<3，∴T ＝1＋11＋1＝32，n ＝1＋1＝2； ∵n ＝2<3，∴T ＝32＋12＋1＝116，n ＝2＋1＝3；∵n ＝3，不满足“n<3”，执行“否”，∴输出T ＝116.14.已知函数f (x )＝a x ＋b (a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a ＋b ＝__________. 答案：﹣32解析：f (x )＝a x ＋b 是单调函数，当a>1时，f (x )是增函数，∴{a −1＋b ＝−1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a<1时，f (x )是减函数，∴{a −1＋b ＝0，a 0＋b ＝−1，∴{a ＝12，b ＝−2. 综上，a ＋b ＝12＋(﹣2)＝﹣32.15.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a −y 2b ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p>0)交于点O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为__________. 答案：32解析：双曲线的渐近线为y ＝±ba x.由{y ＝ba x ，x 2＝2py ，得A (2bp a ，2b 2p a ).由{y ＝−ba x ，x 2＝2py ，得B (−2bp a ，2b 2p a 2). ∵F (0，p2)为△OAB 的垂心，∴k AF ·k OB ＝﹣1.即2b 2p a 2−p22bpa−0·(−ba )＝﹣1，解得b 2a 2＝54，∴c 2a 2＝94，即可得e ＝32.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.(本小题满分12分)设f (x )＝sin x cos x ﹣cos 2(x ＋π4). (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．若f (A2)＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解：(1)由题意知f (x )＝sin2x 2−1＋cos(2x ＋π2)2＝sin2x 2−1−sin2x2＝sin2x ﹣12.由﹣π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得﹣π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是[−π4＋kπ，π4＋kπ](k ∈Z)；单调递减区间是[π4＋kπ，3π4＋kπ](k ∈Z).(2)由f (A2)＝sin A ﹣12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝√32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A ， 可得1＋√3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋√3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋√34.所以△ABC 面积的最大值为2＋√34.17.(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH.在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形.则O 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF ﹣ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形.可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB ． 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED ． 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH.(2)解法一：设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEF ﹣ABC 中，G 为AC 的中点，由DF ＝12AC ＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此DG ∥FC ．又FC ⊥平面ABC ， 所以DG ⊥平面ABC ．在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点，所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ，因此GB ，GC ，GD 两两垂直.以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G ﹣xyz. 所以G (0，0，0)，B (√2，0，0)，C (0，√2，0)，D (0，0，1). 可得H (√22，√22，0)，F (0，√2，1)， 故GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√22，√22，0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√2，1). 设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的一个法向量， 则由{n ·GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n ·GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可得{x ＋y ＝0，√2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，﹣1，√2). 因为GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ACFD 的一个法向量，GB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2，0，0)， 所以cos <GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n >＝GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|√22√212. 所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.解法二：作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连接NH. 由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ， 又FC ∩AC ＝C ，所以HM ⊥平面ACFD ． 因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角.在△BGC 中，MH ∥BG ，MH ＝12BG ＝√22， 由△GNM ∽△GCF ，可得MNFC ＝GMGF ，从而MN ＝√66.由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM ⊥MN ，因此tan ∠MNH ＝HM MN＝√3，所以∠MNH ＝60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n>1时，2S n ﹣1＝3n ﹣1＋3，此时2a n ＝2S n ﹣2S n ﹣1＝3n ﹣3n ﹣1＝2×3n ﹣1，即a n ＝3n ﹣1，所以a n ＝{3，n ＝1，3n−1，n >1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n>1时，b n ＝31﹣n log 33n ﹣1＝(n ﹣1)·31﹣n . 所以T 1＝b 1＝13；当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3﹣1＋2×3﹣2＋…＋(n ﹣1)×31﹣n )，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3﹣1＋…＋(n ﹣1)×32﹣n )，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3﹣1＋3﹣2＋ (32)n )﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝23＋1−31−n 1−3−1﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝136−6n ＋32×3n，所以T n ＝1312−6n ＋34×3n.经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312−6n ＋34×3n.19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解：(1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93＝84，随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，因此P (X ＝0)＝C 83C 93＝23，P (X ＝﹣1)＝C 42C 93＝114，P (X ＝1)＝1﹣114−23＝1142.所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(﹣1)×114＋1×1142＝421.20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.①求|OQ||OP|的值；②求△ABQ 面积的最大值.解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又ca ＝√32，a 2﹣c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q (﹣λx 0，﹣λy 0).因为x 024＋y 02＝1，又(−λx 0)216＋(−λy 0)24＝1，即λ24(x 024＋y 02)＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝﹣8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2−161＋4k 2.所以|x 1﹣x 2|＝4√16k 2＋4−m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m||x 1﹣x 2|＝2√16k 2＋4−m 2|m|1＋4k 2＝2√(16k 2＋4−m 2)m 21＋4k 2＝2√(4−m 21＋4k2)m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2. ②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2√(4−t)t ＝2√−t 2＋4t .故S ≤2√3，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2√3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6√3.21.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2﹣x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x>0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围.解：(1)由题意知函数f (x )的定义域为(﹣1，＋∞)，f'(x )＝1x ＋1＋a (2x ﹣1)＝2ax 2＋ax−a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax ﹣a ＋1，x ∈(﹣1，＋∞).当a ＝0时，g (x )＝1，此时f'(x )>0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点； 当a>0时，Δ＝a 2﹣8a (1﹣a )＝a (9a ﹣8).①当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f'(x )≥0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点；②当a>89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax ﹣a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝﹣12，所以x 1<﹣14，x 2>﹣14.由g (﹣1)＝1>0，可得﹣1<x 1<﹣14.所以当x ∈(﹣1，x 1)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时，Δ>0，由g (﹣1)＝1>0，可得x 1<﹣1.当x ∈(﹣1，x 2)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减； 所以函数有一个极值点.综上所述，当a<0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a>89时，函数f (x )有两个极值点.(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意；②当89<a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ③当a>1时，由g (0)<0，可得x 2>0. 所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减；因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )<0，不合题意； ④当a<0时，设h (x )＝x ﹣ln(x ＋1). 因为x ∈(0，＋∞)时，h'(x )＝1﹣1x ＋1＝xx ＋1>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增.因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0， 即ln(x ＋1)<x.可得f (x )<x ＋a (x 2﹣x )＝ax 2＋(1﹣a )x ， 当x>1﹣1a 时，ax 2＋(1﹣a )x<0， 此时f (x )<0，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[0，1].。
15年高考真题——理科数学(山东卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则A B = （ ） （A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,42．若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+3．要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，060ABC ∠=，则BD CD ⋅= （ ）（A ）232a - （B ）234a - （C ）234a （D ）232a 5．不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ）（A ）(),4-∞ （B ）(),1-∞ （C ）()1,4 （D ） ()1,56．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）2- （D ）3-7．在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===。
将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π 8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=）（ ）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%9．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为（ ） （A ）53-或35- （B ）32-或32- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 10．设函数()()()31121xx x f x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()()2f a f f a =的取值范围是（ ） （A ）[]2 （B ）[]0,1 （C ）[)2+∞ （D ）[)1,+∞二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 。
2015年山东春季高考数学试题 及详解答案
题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目
要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3}，则 A ∩B等于（ ）
（A）{1，2，3} （B）{1，3}
（C） {1，2} （D）{2}
2．|x－1|＜5的解集是（ ）
（A）(－6，4)
（B）（－4，6）
（C） (－∞, －6)∪(4, ＋∞)
（A）
（B）2
（C）6
（D）5
14．关于x,y的方程x2+m y2＝1，给出下列命题： ①当m＜0时，方程表示双曲线；②当m＝0时，方程表示抛物线；③当0 ＜m＜1时，方程表示椭圆；④当m＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。 其中，真命题的个数是（ ）
（A）2
（B）3
（C）4
24．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x2+m y2－6 m－7＝0的圆 心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于________．
25．集合M，N，S都 是非空集合，现规定如下运算： M⊙N⊙S＝{x|x(M∩N)∪(N∩S)∪(S∩M)，且x M∩N∩S }． 若集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d} ，C＝{x|e＜x＜f}，其中实 数a，b，c，d，e，f满足： （1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b－a＝d－c＝f－e；（3）b＋a＜d ＋c＜f＋e． 计算A⊙B⊙C＝_____________________________________．
（C）{x|x＝－＋2k，kZ }
（D）{x|x＝－＋k，kZ }
8．关于函数y＝－x2+2x，下列叙述错误的是（ ）
15年高考真题——理科数学(山东卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则AB =（ ）（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,42．若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+3．要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，060ABC ∠=，则BD CD ⋅=（ ） （A ）232a -（B ）234a - （C ）234a （D ）232a5．不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ）（A ）(),4-∞ （B ）(),1-∞ （C ）()1,4 （D ） ()1,56．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）2- （D ）3- 7．在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===。
将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π 8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=）（ ）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%9．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32-或32- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 10．设函数()()()31121xx x f x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()()2f a f f a =的取值范围是（ ） （A ）[]23,1 （B ）[]0,1 （C ）[)23,+∞ （D ）[)1,+∞二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前
山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛试卷
（非数学类，2015）
一、填空题（每小题5分，共30分）
一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。
）
1. 已知1
)1(42
+=+x x x x f ，)(x f =___________. 2. 设8)2(lim =-+∞→x x a
x a x ，则a =___________. 3. 设方程x y e
xy cos 2=+确定y 为x 的函数，则dx
dy =_________________. 4. 曲线22)3()1(--=x x y 的拐点个数为__________个.
5. 求不定积分=___________.
2 02 d 6.
cos d ______.d x x t t x
=⎰
二、综合题（本题共6小题，共70分，请写出相应演算步骤。
）
1. （15分）
1cos ,0()sin 0,
0(1)0(2)'().
x x f x x x x x f x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩=讨论函数在处的连续性和可导性；求出导函数
2. （12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，试证：
（1）存在)1,21(∈η，使得ηη=)(f （2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使得1])([)(=--'ξξλξf f
3. （13分）求dx x t t 1
0 ⎰-
4. （10分）求平面上的圆盘)0()(222b a a y b x <<≤+-绕y 轴旋转所得圆环体的体积.
5. （10分）选做题（考生在下面两道题中选择一道作答，答题时请标明题号，两题全答的只计算一题得分。
）
2222222(1)r r r r r x y z ∂∂∂=++=∂∂∂已知成立.
（2）设函数)(x f y =满足条件⎩⎨⎧-='==+'+''4
)0(,2)0(044y y y y y ，求广义积分⎰∞+ 0 )(dx x y . 6. （10分）选做题（考生在下面两道题中选择一道作答，答题时请标明题号，两题全答的只计算一题得分。
）
（1）一平面过M 1（1,1,1）和M 2（0,1，-1），且垂直于平面0=++z y x ，求其方程.
（2）已知级数Λ-+-=-∑∞=-3
2)1(3
211x x x n x n n n 求收敛半径及收敛域.。