误差理论和测定结果表达
误差理论-绪论-附答案
绪论大学的物理实验课是高等院校理科的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。
它与物理理论课具有同等重要的地位。
这里主要介绍测量误差理论、实验数据处理、实验结果表述等初步知识，这是进入大学物理实验前必备的基础。
物理实验可分三个环节：1）课前预习，写预习报告。
2）课堂实验，要求亲自动手，认真操作，详细记录。
3）课后进行数据处理，完成实验报告。
其中：预习报告的要求：1）实验题目、实验目的、实验原理（可作为正式报告的前半部分）。
2）画好原始数据表格，单独用一张纸。
实验报告内容：（要用统一的实验报告纸做）1)实验题目；2)实验目的；3)实验原理：主要公式和主要光路图、电路图或示意图，简单扼要的文字叙述；4)主要实验仪器名称、规格、编号5)实验步骤：写主要的，要求简明扼要；6) 数据处理、作图（要用坐标纸）、误差分析。
要保留计算过程，以便检查；7) 结论：要写清楚，不要淹没在处理数据的过程中；8) 思考题、讨论、分析或心得体会；9) 附：原始数据记录。
测量误差及数据处理误差分析和数据处理是物理实验课的基础，是一切实验结果中不可缺少的内容。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法。
一、测量与误差1、测量：把待测量与作为标准的量（仪器）进行比较，确定出待测量是标准量的多少倍的过程称为测量。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位。
2、测量的分类测量可以分为两类。
按照测量结果获得的方法来分，可分为直接测量和间接测量两类；而从测量条件是否相同来分，又可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。
如用米尺测量物体的长度，用电流表测量电流等。
间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出的物理量。
误差理论及实验数据处理
可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
·97·
材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
实验室误差分析大全
第一部分误差理论简介在日常检测工作中，我们虽然有最好的检验方法、有检定合格的仪器设备、有满足检验要求的环境条件和熟悉检验工作的操作人员，但是，得到的检验结果却往往不可能是绝对准确的，即使是同一检测人员对同一检测样品、对同一项目的检测，其结果也不会完全一样，总会产生这样或那样的差别，也就是说，任何物理量的测定，都不可能是绝对准确的，在测得值与真实值之间总是或多或少的存在着差别，这就是误差。
误差是客观存在的，用它可以衡量检测结果的准确度，误差越小，检测结果的准确度越高。
一、术语和定义1准确度准确度指，检测结果与真实值之间相符合的程度。
(检测结果与真实值之间差别越小，则分析检验结果的准确度越高)2精密度精密度指，在重复检测中，各次检测结果之间彼此的符合程度。
(各次检测结果之间越接近，则说明分析检测结果的精密度越高)3重复性重复性指，在相同测量条件下，对同一被测量进行连续、多次测量所得结果之间的一致性。
重复性条件包括：相同的测量程序、相同的测量者、相同的条件下，使用相同的测量仪器设备，在短时间内进行的重复性测量。
4再现性(复现性)在改变测量条件下，同一被测量的测定结果之间的一致性。
改变条件包括：测量原理、测量方法、测量人、参考测量标准、测量地点、测量条件以及测量时间等。
如，实验室资质认定现场操作考核的方法之一：样品复测即是样品再现性(复现性)的一种考核、样品复测包括对盲样(即标准样品)的检测，也可以是对检验过的样品、在有效期内的再检测。
或是原检测人员或是重新再安排检测人员。
※通常再现性或复现性好，意味着精密度高。
精密度是保证准确度的先决条件，没有良好的精密度就不可能有高的的准确度，但精密度高准确度不一定高;反之，准确度高，精密度必然好。
二、误差的种类、来源和消除根据误差的来源和性质，误差可以分为以下几种：1系统误差(又称规律误差)1.1系统误差的定义※系统误差是指，在偏离检测条件下，按某个规律变化的误差。
误差理论
• C．引用误差：测量仪器的误差除以仪 器的特定值。实际上一种相对误差。 • ra= △/A×100%=示值误差/测量仪 器的量程
三、准确度和误差
• 1.准确度: 系指测得结果与真实值接近 的程度。 • 2.误差: 系指测得结果与真实值之差。 • 误差愈小，则准确度愈高，所以准确度 高低用误差大小来衡量。准确度除用绝 对误差表示外，更常用相对误差表示。
偏差的分类及公式
绝对偏差
d xi x
相对偏差
平均偏差
d % 100% x
d d1 d 2 d n n
d % 100% x
2 1 2 2 2 n
相对平均偏差 标准偏差
d d d S n 1
标准偏差
• 是反映一组供试品测定值离散的统计指 标。
• 8、在滴定分析法测定中出现的下列情况，哪 种属于系统误差（ D ）。 A、试样未经充分混匀 B、滴定管的读数读错 C、滴定时有液滴溅出 D、砝码未经校正 • 9、滴定分析中，若试剂含少量待测组分，可 用于消除误差的方法是（B ）。A、仪器校 正 B、空白试验 C、对照分析 D、多测几 组 10、一个样品分析结果的准确度不好，但精密 度好，可能存在（ C ）。 A、操作失误 B、记录有差错 C、使用试剂不纯 D、随 机误差大
• 例：用两种方法来测量L1=100mm的尺寸， 其测量误差分别为δ1=±10μm，δ2=±8μm， 根据绝对误差大小，可知后者精度高。但若用 第三种方法测量L2=80mm的尺寸，其测量误 差分别为δ3=±7μm，此时用绝对误差就难以 评定它与前两种方法精度的高低，必须用相对 误差来评定。 • ⑴δ1/L1=±10μm/100mm=±0.01% • ⑵δ2/L2=±8μm/100mm=±0.008% • ⑶δ3/L3=±7μm/80mm=±0.009% • 由此可知，第一种方法精度最低，第二种方法 精度最高
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
除了偏差之外，还可以用极差R来表示样本平行测定值 的精密度。极差又称全距，是测定数据中的最大值与最小值 之差，R=xmax-xmin 其值愈大表明测定值愈分散。由于没有充分利用所有的数据， 故其精确性较差。偏差和极差的数值都在一定程度上反映了 测定中随机误差影响的大小。 此外还有公差，它是指生产部门对分析结果允许误差的 一种表示方法，如果分析结果的误差超出允许的公差范围， 称为超差，该项分析工作应重做。有关公差，由有关主管部 门根据分析对象作出相关规定。
第二章 误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
上述情况说明，精密度高表明测定条件稳定， 这是保证准确度高的先决条件。精密度低的测定结 果是不可靠的，因而是不准确的。但是高精密度的 测定值中也可能包含有系统误差的影响，只有在消 除了系统误差的前提下，精密度高其准确度必然也 高。 对于含量未知的试样，由于仅凭测定的精密度 难以正确评价测定结果，因此常同时测定一个或数 个标准试样，检查标样测定值的精密度，并对照真 实值以确定它的准确度，从而对试样测定结果的可 靠性做出评价。
第二章 误差理论及数据处理
平均偏差：个别测定偏差的绝对值加和除以测量次数，
相对平均偏差：
平均偏差和相对平均偏差由于取了绝对值因而都是正值。
第二章 误差理论及数据处理
（二）标准偏差和相对标准偏差 由于在一系列测定值中，偏差小的值总是占多数，这样 按总测定次数来计算平均偏差时会使所得的结果偏小，大偏 差值得不到充分的反映。因此在数理统计中，一般不采用平 均偏差，而广泛采用标准偏差来衡量数据的精密度，它反映 了各测定值对平均值的偏离程度。标准偏差用s表示：
样本的相对标准偏差(也称为变异系数)，用Sr或RSD表示：
误差及其表示方法
误差及其表示方法误差——分析结果与真实值之间的差值( > 真实值为正，< 真实值为负)一. 误差的分类1. 系统误差（systermaticerror ）——可定误差（determinateerror）（1）方法误差：拟定的分析方法本身不十分完善所造成；如：反应不能定量完成；有副反应发生；滴定终点与化学计量点不一致；干扰组分存在等。
（2）仪器误差：主要是仪器本身不够准确或未经校准引起的；如：量器（容量平、滴定管等）和仪表刻度不准。
（3）试剂误差：由于世纪不纯和蒸馏水中含有微量杂质所引起；（4）操作误差：主要指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与控制条件不当所引起的。
如滴定管读数总是偏高或偏低。
特性：重复出现、恒定不变（一定条件下）、单向性、大小可测出并校正，故有称为可定误差。
可以用对照试验、空白试验、校正仪器等办法加以校正。
2. 随机误差(randomerror)——不可定误差（indeterminateerror）产生原因与系统误差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。
如：测定时环境的温度、湿度和气压的微小波动，以其性能的微小变化等。
特性：有时正、有时负，有时大、有时小，难控制（方向大小不固定，似无规律）但在消除系统误差后，在同样条件下进行多次测定，则可发现其分布也是服从一定规律（统计学正态分布），可用统计学方法来处理系统误差——可检定和校正偶然误差——可控制只有校正了系统误差和控制了偶然误差，测定结果才可靠。
二. 准确度与精密度（一）准确度与误差（accuracy and error）准确度：测量值（x）与公认真值（m）之间的符合程度。
它说明测定结果的可靠性，用误差值来量度：绝对误差 = 个别测得值 - 真实值(1)但绝对误差不能完全地说明测定的准确度，即它没有与被测物质的质量联系起来。
如果被称量物质的质量分别为1g和0.1g，称量的绝对误差同样是0.0001g，则其含义就不同了，故分析结果的准确度常用相对误差（RE%）表示：(2)（RE%）反映了误差在真实值中所占的比例，用来比较在各种情况下测定结果的准确度比较合理。
对实验数值误差理论和数据处理
9 平均值的有效数字位数，通常和测量值相同。 当样本容量较大，在运算过程中，为减少舍 入误差，平均值可比单次测量值多保留一位 数。
3.3实验数据的初步整理
3.3.1实验数据的列表整理
1.数据的归类整理 2.数据的分组整理
3.3.2 分布规律判断的基本方法— —统计直方图
1．统计直方图 为了对某个随机变量的分布规律作出判断，
如0.0121×25.64×1.05782,其0.0121为三 位有效数字，故计算结果宜记0.328
5 在所有计算式中，常数π ，e的数值，以及，1/2等 系数的有效数字位数，可以认为无限制，需要几位 就可以取几位。
6 在对数计算中，所取对数位数，应与真数的有效数 字位数相等。例如，pH12.25 和 [H+]=5.6×10-13M;
3.误差与数据处理
3．1 误差及其表示方法
误差来源
设备误差 环境误差 人员误差 方法误差
误差分类
系统误差、 随机误差、 过失误差
(1)系统误差
系统误差是由某种确定的因素造成的，使测定 结果系统偏高或偏低；当造成误差的因素不存 在时，系统误差自然会消失。
当进行重复测量时，它会重复出现。系统误差 的大小，正负是可以测定的，至少在理论上说 是可以测定的，系统误差的最重要特性是它具 有‘‘单向性” 。
对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所 选用的统计方法。
1)．4d 法检验
根据测量值的正态分布可知，偏差大于3σ的测量 值出现的概率约为0.3％，此为小概率事件，而 小概率事件在有限次实验中是不可能发生的，如 果发生了则是不正常的。
即偏差大于3σ的测量值在有限次检验中是不可能 的，如果出现则为异常值，为过失所致应舍弃。 (概率不超过5%的事件称为小概率事件)。
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误差理论基础
物理实验教学中心
/
/kcwz/phylab/
物理实验：是研究自然现象、总结物理规律的基本方法，同时也
是验证新理论的必经之路。是一门独立的公共必修课，分二个学期。
本课程的目的和任务：
绪 a. 通过对实验现象的观测、分析和对物理量的测量，学习
误
误差分类
差
理
按其性质和原因可分为三类:
论
系统误差
偶然误差(随机误差)
基
粗大误差
础
1．系统误差：误差值的大小和正负总保持不变，或
误 按一定的规律变化，或是有规律的重复。
差 来源： 理 仪器的示值误差；
标准器误差；仪器安装调整不妥,不水平、不 垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂,分 光计读数装置的偏心；
n(n1)
n(n1)
3．粗大误差 ：明显超出规定条件下预期值的误差
误
来源：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、
差
算错数据或实验条件突变等原因造成的（坏值）。
理
论
处理：实验测量中要尽力避免过失错误；
在数据处理中要尽量剔除坏值。
基
础
实验结果的评估：
误
1．精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。 即是指在规定条件下对被测量量进行多次测量时，所
物理实验知识，加深对物理学原理的理解，提高对科学 实验重要性的认识；
论
b. 培养与提高学生的科学实验能力：如阅读资料、常用 仪器使用、实验现象分析与判断、数据记录与处理等。
c. 培养与提高学生的科学实验素养，要求学生具有理论联 系实际和实事求是的科学作风，严肃认真的工作态度， 主动研究的探索精神等。
值最接近被测量的真值，测量次数越多，接近程度
误
越高（当 n时，平均值趋近于真值），因此我
差
们用算术平均值表示测量结果的最佳值。
理
x1 n(x1x2x3xn)1 ni n1xi
论 结论二 一测量列的随机误差用平均值的标准偏差
基
来估算。平均值的标准偏差计算公式为
础
sx
(xi x)2 (xi)2
（随机）的方式变化并具有抵偿性的测量误差分量。
差
理 来源：是实验中各种因数的微小变动性引起的。例如实验
周围环境或操作条件的微小波动，测量对象的自身涨落，
论 测量仪器指示数值的变动性，以及观测者本人在判断和估
计读数上的变动性等．
基
特点：个体而言是不确定的; 但其总体服从一定的统计规律。
础
处理：可以用统计方法估算其对测量结果的影响（标准 差），不可修正，但可减小之。
正态分布规律:大多数偶然误差服从正态分布(高斯分布)规律
误 特点：
差
1）有界性.
理
2）单峰性.
论
3）对称性.
基
4）抵偿性.
lim
n
1 n
n
i
i1
0
础
可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿
随机误差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估计值或
最近真值)。
结论一 当系统误差已被消除时，测量值的算术平均
差 得结果之间符合的程度，简称为精度。
理 2. 准确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。
它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综
论 合。
基 3. 精确度：表示测量结果与被测量的“真值”之间的一 础 致程度。
它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。
误
差
理
论
基
a)精密度低,
(b)精密度高， (c)精密度、
E 100% 100%
X
x
真值 就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存 在的、但不可测得的（测量的不完善造成）。
误
差 可知的真值：
理
a. 理论真值----理论设计值、理论公式表达值等
如三角形内角和180度；
论
b. 约定(实用)真值-----指定值,最佳值等，
基
如算术平均值当真值等。
础
二、偶然误差和系统误差
础
准确度高
准确度低
准确度和精确度皆高
三、测量结果的不确定度
测量结果表示为：测量值=最佳估计值±不确定度（单位）
误
xx（单位）
差 1．什么是不确定度
不确定度，是指由于测量误差的存在而被测量值不能
•测量 就是把待测的物理量与一个被选做标准的同类物
误
理量进行比较，确定它是标准量的多少倍。
差 •测量值必须包括: 数值和单位，
如测量课桌的长度为1.53m。
理 测量的分类：
论 按测量方式通常可分为：
直接测量——由仪器或量具直接与待测量进行比较读数。
基
如：用米尺测量课桌的长度，电压表测量电压等
础 间接测量——借助一些函数关系由直接测量量计算出所
论 仪器的零值误差；
仪器测量附件误差；
理论公式为近似
基
理论或方法误差；
或实验条件达不 到理论公式所规 定的要求
础
人员误差---生理或心理特点所造成的误差。
特点：同一被测量物多次测量中，保持恒定或以可预知的 方式变化（一经查明就应设法消除其影响）
2．偶然误差（随机误差）：是指在同一被测量量的
误 多次测量过程中，测量误差的绝对值与符号以不可预知
要求的物理量．
如：测量单摆的振动周期T，用公式 T 2 求l /得g
g
误 ❖ 由于测量方法、测量环境、测量仪器和测量者
差
的局限性——误差的不可避免性，待测物理量
理
的真值同测量值之间总会存在某种差异，这种
差异就称为测量误差，定义为
论
测量误差= 测量值- 真值
基 ❖ 绝对误差 δ= x - X
础 ❖ 相对误差
原始数据经教师 签字认可才有效
名称
目的
预 习
仪器
部
原理
分
内容或 步骤
数据记录 和处理
数据处理和 结果表示
小结和讨论
二、误差理论基础
主要内容：
❖基本概念——物理实验和测量误差 ❖误差分类——偶然误差和系统误差 ❖误差计算——测量结果的不确定度 ❖数据格式——有效数字
一、 物理实验和测量误差
实
验 一 实验预习并写出预习报告 15%
环
节 及
二
实验实际操作
50%+5%（整理仪器）
成
绩 三 实验数据处理及总结并完成实
组
验报告
30%
成
注：未做实验者，预习报告及实验报告无效，实验成绩为 0分。若习内容
a 实验名称
预 习
b 实验目的 c 主要仪器设备 d 实验原理摘要
为避免与实验报告两次重复， 直接写在实验报告上
报 告 和 实
注意： 还需在实验原始记录纸中画好实验原始数据记录表。
二 实验报告
a 实验名称 实验环境记录 b 实验目的
验
c 主要仪器设备（型号、规格、编号等）
报
d 实验原理摘要
告
e 实验步骤
f 数据处理与结果表示（数据表报告中也要画）
g 小结与讨论
画好原始数据记录表 画好原始数据记录表