考研高数总复习第七章线性变换第七节(讲解)
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈L 。
性质1.()()00,σσαα==-;性质2. 若12s ,,,αααL 线性相关，那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,αααL 线性无关，那么()()()12s ,,,σασασαL也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββL ，12,,,s γγγL 是V 中的两个向量组， 如果：11111221221122221122s ss sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L LL LL记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LL L M M M L于是，若()dim V n =，12,,,n αααL 是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββL 是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++L L LLLL记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=L L那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L M M M L设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LM M M L，12,,,m ηηηL 是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηηL 是12,,,m ηηηL 的一个极大线性无关组，那么()()()12,r i i i σβσβσβL 就是()()()12,m σβσβσβL 的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβL 的秩等于秩()B 。
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
其次，任取 Vi , 设
( i E )ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
由（2）, 有 ( i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( i E)ri (i ) ( i E)ri (i )
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
又 ( i E)ri Wi ( i E)ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E)ri Wi 0.
（2）
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下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
3∴. 证存明在多Vi 项 W式i
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) 1
高等代数 讲义 第七章
(στ ) δ
= σ (τδ )
D( f ( x )) = f ′( x )
J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
x
（2） Eσ = σ E = σ ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
( DJ ) ( f ( x ) ) = D ∫0 f ( t ) dt
x
στ ≠ τσ .
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即
若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 σ ( β ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ).
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
C ( a , b ) 上的变换
σ ( X ) = AX , τ ( X ) = XB ,
∀X ∈ P n×n
则 σ ,τ 皆为 P n×n 的线性变换，且对 ∀X ∈ P n×n , 有
(στ )( X ) = σ (τ ( X )) = σ ( XB ) = A( XB ) = AXB , (τσ )( X ) = τ (σ ( X )) = τ ( AX ) = ( AX ) B = AXB .
= σ (τ (α )) + σ (τ ( β )) = (στ )(α ) + (στ )( β ), (στ )( kα ) = σ (τ ( kα )) = σ ( kτ (α )) = kσ (τ (α )) = k (στ )(α )
§7.1 线性变换的定义
２．基本性质
（1）满足结合律：
例1. 线性空间 R[ x ]中，线性变换
第七章 线性变换
第七章 线性变换§1基本知识§1. 1 基本概念 1、线性变换：2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：3、线性变换在给定基下的矩阵：4、矩阵的相似：5、矩阵的迹与范数：6、矩阵的特征多项式：7、特征值与特征根：8、线性变换的对角化：9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：§1. 2 基本定理定理7.1设)(V L 是数域P 上的线性空间V 上的线性变换的全体构成的集合，那么)(V L 关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间；定理7.2设n ααα,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个基，n βββ,,,21 是V 上任意n 个向量，则存在唯一的线性变换)(V L ∈σ，使得：),,2,1()(n i i i ==βασ；定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设n ααα,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个基，对任意线性变换)(V L ∈σ，令σ和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是)(V L 到n n P ⨯的一一对应，且设)(,V L ∈τσ在这个基下的矩阵分别是B A ,，P k ∈，那么 （1）B A +→+τσ； （2）kA k →σ； （3）AB →στ；（4）σ可逆的充分必要条件是：A 为可逆矩阵；且11--→A σ。
定理7.4（象的坐标计算公式）设)(V L ∈σ在数域P 上的n 维线性空间V 上的基n ααα,,,21 下的矩阵是A ，V ∈α在基n ααα,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ，)(ασ在基n ααα,,,21 下的坐标是),,,(21n y y y ，那么：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121； 定理7.5（线性变换关于不同基的矩阵相似定理）设)(V L ∈σ在数域P 上的n 维线性空间V 上的基n ααα,,,21 和n βββ,,,21 下的矩阵分别是A 和B ，基n ααα,,,21 到n βββ,,,21 的过渡矩阵是T ，那么：AT T B 1-=；定理7.6 （线性变换关于不同基的矩阵相似定理）同一线性变换在不同基下的矩阵是相似矩阵；反之，两个相似的矩阵一定可以成为同一个线性变换在两组基下的矩阵；定理7.7 相似矩阵的特征多项式相等；定理7.8 （线性变换对角化的条件）设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，那么σ在V 的某个基下的矩阵是对角矩阵的充分必要条件是：σ有n 个线性无关的特征向量，即V 有一个由σ的特征向量构成的基； 定理7.9 属于不同特征值的特征向量一定是相性无关的；推论7.1设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，如果σ的特征多项式在数域P 上有n 个不同的特征值，那么σ可以对角化； 推论7.2 设σ是复数域上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，如果σ的特征多项式没有重根，那么σ可以对角化；定理7.10 设t λλλ,,,21 是线性变换σ所有不同的特征值iisi i ααα,,,21是σ的属于特征值i λ的线性无关的特征向量，那么：iiisi i s s ααααααααα,,,;;,,,;,,,21222211121121线性无关；定理7.11设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，n ααα,,,21 是V 的一个基，σ在基n ααα,,,21 下的矩阵是A ，那么 （1）))(,),(),(()(21n L V ασασασσ =； （2）σ的秩)(A R =；定理7.12设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，则σ的值域的一个基的原象和σ的核的一个基并起来构成V 的一个基；由此得：σ的秩+σ的零度n =。
高等代数--第七章 线性变换_OK
45
线性变换的乘法
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
(A B )() A (B ()) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，
(A B )( ) A (B ( )) A (B () B ())
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
14
又如果1 , 2 ,, r之间有一线性关系式 k11 k22 krr 0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
15
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性 相关的向量组.
A x1A 1 x2A 2 xnA n x1B 1 x2B 2 xnB n B .
20
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它 在一组基上的作用所决定。
2.设 1,2,,n是线性空间V的一组基。对于
任意一组向量 1,2,,n一定有一个线性变换A
使
A i i ,i 1, 2, , n.
46
A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
29
例3 在 F 22 中定义线性变换 A
X
a c
b
d
X
第七章 线性变换
,即A
1
B .
可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。
类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下 定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂：
2
A
A A , A
3
A
2
A , , A
第七章
线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如 果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念， 它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1
线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系， 那么， 这一节将要介绍的线性空间上 的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。 定义 1.1 设 V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A : V V 满足：
3
( x, y, z )T 3 , 定义 A ( x, y, 0)T 3 , 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证
3
明： A 是 上的线性变换，并且 A 5. 6. 证明性质 1.1, 1.3.
3
4
E .
在 P[ x] 中， 对任意 f ( x) P[ x], A f ( x) f' ( x), B f ( x) xf ( x), 其中 f' ( x) 是 f ( x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。
高等代数讲义ppt第七章 线性变换
(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N
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… , k ，并且把它扩充成 V 的一组基
1 , 2 , … , k , k+1 , … , n .
(1)
A 那么， 在这组基下的矩阵就具有下列形状
a11 a1k
a1,k 1
a1n
ak1
akk
0 0
ak ,k 1 ak 1,k 1
例 2 A A 的值域与核都是 -子空间. A A A 按定义， 的值域 V 是 V 中的向量在 下 A 的像的集合，它当然也包含 V 中向量的像，所 A A 以 V 是 的不变子空间. A A 的核是被 变成零的向量的集合，核中向
量的像是零，自然在核中，因此核是不变子空间.
例 3 A B B 若线性变换 与 是可交换的，则
的 0 倍，仍然是 的一个倍数.
这说明 的倍数
A 构成一个一维 - 子空间.
显然， A 的属于特征值 0 的特征子空间
V0
也是 A 的不变子空间.
A A - 子空间的和与交还是 - 子空间.
四、 A 在不变子空间上引起的变换
A A 设 是线性空间 V 的线性变换，W 是 的不
变子空间. 由于 W 中向量在 A 下的像仍在 W 中，
向量 B ，则
A ( B ) = B (A子空间.
A A A 因为 的多项式 f ( ) 是和 交换的，所以
A A f ( ) 的值域与核都是 - 子空间.
A 这种 - 子空
间是经常碰到的.
例 4 任何一个子空间都是数乘变换的不子空
间. 这是由于，按定义子空间对于数量乘法是封闭
A 的核与值域都是 - 子空间.
在 B 的核 V0 中任取一向量 ，则 B ( A ) = (BA ) = (A B )
= A ( B ) = A 0 = 0 .
A B A 所以 在 下的像是零，即 V0 .
这就证
A 明了 V0 是 - 子空间.
在 B 的值域 BV 中任取一
这就使得有可能不必在整个空间 V 中来考虑 A ，
而只在不变子空间 W 中考虑 A ，即把 A 看成是
A W 的一个线性变换，称为 在不变子空间 W 上引
起的变换.
A 为了区别起见，用符号 | W 来表示;
但在不致引起混淆的情况下，仍然可用 A 来表示.
A A 必须在概念上弄清楚 和 | W 的异同： A A 是 V 的线性变换，V 中每个向量在 下都 有确定的像； A | W 是不变子空间 W 上的线性变
W = L(1 , 2 , … , s ) .
A 则 W 是 - 子空间的充分必要条件是
全属于 W .
A A A 1 , 2 , … , s
六、不变子空间与矩阵化简之间的关系
定理14 A 1) 设 是 n 维线性空间 V 的线性变
A 换, W 是 V 的 - 子空间.
在 W 中取一组基 1 , 2 ,
V = W1 W2 … Ws .
A 在每一个 - 子空间 Wi 中取基
i1, i2 , , ini
并把它们合并起来成为 V 的一组基 I .
(i 1,2, , s), (3)
则在这组
A 基下， 的矩阵具有准对角形状
A1
A2
As
节不变子空间
定义
举例
特征向量与一维不变子空间的关系
A在不变子空间上引起的变换
子空间为A-子空间的条件
不变子空间与矩阵化简之间的关系
空间的分解
一、定义
这一节我们再来介绍一个关于线性变换的重要
概念------不变子空间.
同时利用不变子空间的概念
来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联
系. 这样，对上面的结果可以有进一步的了解.
仍然在 W 中.
A 1 , A 2 , … , A k
故它们可以通过 W 的基1 , 2 ,…, k
线性表示
A 1 = a111 + a212 + … + ak1k , A 2 = a121 + a222 + … + ak2k ,
…………
A k = a1k1 + a2k2 + … + akkk .
(4)
A 其中 Ai ( i = 1 , 2 , … , s ) 就是 |W 在基 (3) 下的
矩阵.
A 反之，如果线性变换 在基 I 下的矩阵是准 A 对角形 (4) ，则由 (3) 生成的子空间 Wi 是 - 子空
间.
证明 只证 1) ，因为2) 的证明与 1) 类似.
A 因为 W 是 - 子空间，所以像
定义 12 A 设 是数域 P 上线性空间 V 的线性
变换，W 是 V 的子空间.
A 如果 W 中的向量在 下
的像仍在 W 中，换句话说，对于 W 中任一向量
A 有 W， 我们就称 W 是 A 的 不变子空间，
A 简称
- 子空间.
二、举例
例 1 整个空间 V 和零子空间 { 0 }，对于每个 A A 线性变换 来说都是 -子空间.
换，对于 W 中任一向量 ，有
A A ( | W ) = .
A 但是对于 V 中不属于 W 的向量 来说，( |W )
是没有意义的.
例如，任一 线性变换在它的核上引起的变换就
是零变换，而在特征子空间
乘变换0 .
V0 上引起的变换是数
五、子空间为 A - 子空间的条件
定理13 设 W 是线性空间 V 的子空间，且
akn ak 1,n
A1 O
A2 A3
.
(2)
0 0 an,k1 ann
A 并且左上角的 k 级矩阵 A1 就是 |W 在 W 的基
1 , 2 , … , k 下的矩阵.
A 2) 设 V 分解成若干个 - 子空间的直和：
的.
三、特征向量与一维不变子空间的关系
A 设 W 是一维 - 子空间， 是 W 中任何一个
非零向量，它构成 W 的基.
A 按 - 子空间的定义
A W，它必定是 的一个倍数：
A = 0 . A 这说明 是 的特征向量，而 W 是由 生成的
A 一维 - 子空间.
A 反过来，设 是 属于特征值 0 的一个特征 向量，则 以及它的任一倍数在 A 下的像是原像