河南省洛阳市2020-2021学年高三上学期期中考试数学试卷(理)
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案． 【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点， 即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解， 又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<， 解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立， 故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减， 在（-2，0）上单调递增， 故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（ ）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =， 所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩， 可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减， 所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 因为a 为整数，故a 可取2101--，，， 故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增， 所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >， 所以c b >， 综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解； 所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______． 【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=， 所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______． 【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解； （2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-， 当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<， 因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥， 因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解． 【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ， 由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v， 则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=， 国道上行驶30km ，所用时间为30h v， 则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-， 由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增， 又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ， 此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<， 当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增； 当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减； 当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。
河南省洛阳市高三数学“一练”试题 理(含解析)新人教A版
河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。
河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期第一次统一考试地理试卷 含答案
河南省洛阳市2021—2022学年高中三年级第一次统一考试地理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间为90分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、单项选择题：（每小题2分，共60分。
）2021年11月7日20时28分，神舟十三号航天员翟志刚、王亚平先后从天和核心舱节点舱成功出舱。
王亚平的出舱标志着中国女航天员首次实现“太空漫步”，她身着的新舱外服也在太空中首次亮相。
图1为在北京航天飞行控制中心拍摄的神舟十三号航天员王亚平（右）结束出舱任务的照片，据此完成1-2题。
图11.航天员的舱外航天服具有的主要功能有①隔绝高低温②保持压力平衡③防强辐射④减轻失重感A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④2.航天员出舱时不能观察到的是A.悬浮在宇宙中的蔚蓝色地球B.黑色天幕上无数明亮的星星C.太阳照射下的明亮船体D.划过天幕的众多流星国庆节期间，湖北某校研学小组到学校周边的山地进行考察，在出发前他们专门学习了夏季去山区旅游的相关安全知识，并设计了登山线路。
在山顶上他们领略了优美的湖光山色，当地人告诉他们，而季M湖湖水经常外泄。
图2示意他们绘制的该山等高线地形图和登山线路。
据此完成3-5题。
3.M湖湖水上涨外泄处的海拔可能是A.1280米B.1520米C.1480米D.1620米4.当研学小组到达②处时，如果突遇湖水大量外泄，最佳的逃生方向是A.东北B.正北C.东南D.正南5.登山线路上最早看到日出的是A.①地B.②地C.③地D.④地九九消寒图是我国民间传统文化中冬季“数九”计算日期的一种方法。
“日冬至，画素梅一枝，为瓣八十有一，日染一瓣，瓣尽而九九出，则春深矣，日九九消寒图。
”图3为一位同学某日涂染的消寒图，据此完成6-7题。
6.自冬至涂染开始，至消寒图如图3所示期间，洛阳A.气温降至全年最低B.日出方位逐渐偏南C.白昼浙短黑夜渐长D.正午日影逐渐变短7.当整个消寒图涂染全部完成时A.青海湖畔油菜花次第开放B.黄河上游可能出现凌汛C.三江平原进入春耕时节D.华北地区准备收割小麦蒸发皿蒸发量是指在蒸发皿中一直有水状态下测得的蒸发量，它反映陆地蒸发的能力，代表地面最大理论蒸发量。
专题14 不等式选讲解答题30题 学生版--高考数学专题训练
专题14不等式选讲解答题30题1．（2022-2023学年高三上学期一轮复习联考（五）理科数学试题（全国卷））已知函数() 2 1f x x a x =-++，() 21g x x =-+.(1)当a =2时画出函数()f x 的图象，并求出其值域；(2)若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知函数()23f x x a x =+-++.(1)当0a =时，求不等式()9f x ≥的解集；(2)若()2f x >，求a 的取值范围.3．（陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题）已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m ．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若a ，b 都是正数且ab m =，求2a b +的最小值．4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）已知a ，b 均为正数，且2226a b +=，证明：(1)2a b +≤(2)12a b +≥5．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）已知()223f x x x =++-．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m++≥+++．6．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题）已知函数()121f x x x =++-．(1)求不等式()8f x <的解集；(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．7．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时，求不等式()0f x 的解集；(2)当1a -时，若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明：232b a ->.8．（河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题）已知函数()|||4|f x x a x =-++.(1)当2a =时，求不等式()8f x ≥的解集;(2)若()21>+f x a 恒成立，求a 的取值范围.9．（青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文）试题）已知函数()|2||22|(0,0)f x x a x b a b =++->>.(1)若2a =，2b =，求不等式()8f x >的解集；(2)若()f x 的最小值为1，求1123a b b++的最小值.10．（2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四））已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+．（1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．11．（甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学(文科)试题）已知函数()|21|,()||f x x g x x a=+=+（1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x ∈R ，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．12．（安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题）已知函数()22212f x x m x m =-++-.(1)当3m =时，求不等式()10f x 的解集；(2)若()4f x 恒成立，求实数m 的取值范围.13．（河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题）设函数()1f x x a x a =-+++．(1)当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；(2)若关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围．14．（山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题）（1）解不等式217x x -+-；（2）若正实数,a b 满足1a b +=，求2211a b b a +++的最小值．15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知函数()2R f x x m m =+-∈，，且()0f x <的解集为[3,1]--．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，的最大值.16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）已知函数()22f x x a a x =---.(1)当1a =-时，求不等式()8f x <的解集；(2)当[]1,2x ∈时，()0f x ≥，求a 的取值范围.17．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知()()4f x x m x x x m =-+--(1)当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若(),2x ∈-∞时，()0f x <，求m 的取值范围.18．（内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题）已知函数()|||2|f x x a x =++-，其中a 为实常数．（1）若函数()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）若当[]1,2x ∈时，不等式()|4|f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．19．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）已知m ≥0，函数()212f x x x m =--+的最大值为4，(1)求实数m 的值；(2)若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值.20．（宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学(理)试题）已知函数f （x ）＝2|x ＋1|＋|x －3|．(1)求不等式f （x ）>10的解集；(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝M ，证明2228a b c c a b++≥．21．（河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷）已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()52f x x ≥--的解集；(2)记()1y f x x =+-的最小值为m ，若0a >，0b >，20a b m +-=，证明：189a b+≥.22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数()()22R f x ax x a =---∈.(1)当2a =时，求不等式()2f x >的解集；(2)若存在[]2,4x ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围.23．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知函数()31f x x =-+．(1)求不等式()82f x x ≤-+的解集；(2)若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．24．（江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试题）已知函数()212f x x x =+++的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)设,,a b c 为正数，且a b c m ++=，求证：2222222a b c a b c c b a+++++≥．25．（2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟（三模）文科数学试题）已知函数()11f x x x =-++.（1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）已知函数()21,R f x x a a =-+∈，(1)当3a =时，求()f x 的最小值；(2)若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈，不等式()f x >a 的取值范围.27．（贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学（文）试题）已知0,0a b >>，函数()|2||2|1f x x a x b =++-+的最小值为3．(1)求a b +的值；(2)求证：3221log 42b a ab ⎛⎫++≥- ⎪⎝⎭．28．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）已知函数()2f x a x x =-++．(1)当1a =付，求不等式()4f x ≤的解集；(2)若()2f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围．29．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．(1)求证：115236a b -<；(2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．30．（广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学（文）试题）已知函数()|21||1|f x x ax =++-．(1)当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若0a >时，存在x ∈R ，使得()12a f x <+成立，求实数a 的取值范围．。
河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期期中考试化学试题
+'氨 分 子 的 比 例 模 型 为
8'+,9 的结构示意图
!'化 学 在 人 类 社 会 发 展 中 发 挥 着 重 要 作 用 下 列 事 实 不 涉 及 化 学 反 应 的 是
5'利 用 微 生 物 降 解 水 域 中 的 有 毒 有 害 物 质
7'小 苏 打 用 作 食 品 膨 松 剂
一 选 择 题 本 题 共 #" 小 题 每 小 题 只 有 一 个 选 项 符 合 题 意 每 小 题 ! 分 共 !" 分
#'反应$01(2(+,!3*014+,20! 可 用 于 氯 气 管 道 的 检 漏 下 列 表 示 相 关 微 粒 的 描述错误的是
5'中子数为%的氮原子#*60!!!!!7'0! 分子的电子式
提高化学反应速率 #*'# =:"'# =>,):?G溶 液 与& =:"'# =>,):
./+,( 溶液发生反应&!./(2 !CF"2!G9 !CF" %&!./!2 !CF"2G!!CF"达到平衡$下列说法错误的是 5'该反应平衡常数 &3##!!!!..//(!22""**##!!!GG!9"" 7'加入 ./B)4 固体#平衡逆向移动 +'加 入 苯 #振 荡 #平 衡 正 向 移 动 8'经苯 ! 次 萃 取 分 离 后#在 水 溶 液 中 加 入 ?B+0#溶 液 呈 血 红 色#表 明 该 化 学 反
5'B)(B)!通 过 饱 和 亚 硫 酸 氢 钠 溶 液
河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含解析
2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由一元二次不等式的解法可得集合M，由绝对值不等式的解法可得集合N，进而有交集的意义可得答案．解答：解：集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选B．点评：本题考查集合的交集运算，关键是求出集合M、N．2．已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4C．﹣7 D．7考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等，求出a，b的值，然后利用复数的几何意义即可得到结论．解答：解：由（1+）2=a+bi得1+﹣4=a+bi，即﹣3﹣4i=a+bi，则a=﹣3，b=﹣4，解得a=1，b=2，则a+b=﹣3﹣4=﹣7，故选：C点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数相等求出a，b是解决本题的关键，比较基础．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=18﹣a7，∴S12=（a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．点评：本题考查等差数列的前12项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由实轴长、虚轴长、焦距成等比数列可得b2=ac再结合b2=c2﹣a2可得c2﹣a2=ac即e2﹣e﹣1=0则可求出e解答：解：∵双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0∴e=又在双曲线中e＞1∴e=故选A．点评：此题主要考查了求双曲线的离心率．关键是要利用题中的条件建立a，b，c的关系式再结合c2=a2+b2和两边同除ab即得到关于e的方程求解即可，但要注意双曲线中e＞1，椭圆中0＜e＜1这一隐含条件！5．已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，]考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；数形结合．分析：利用CA是常数，判断出A的轨迹为圆，作出A的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．解答：解：||=，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置OC与x轴所成的角为；与切线所成的为所以两个向量所成的最小值为；最大值为故选D点评：本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围．6．执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n的值到S并输出S．解答：解：循环前，S=1，n=1第一次循环：S=1+2=3，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=3+22=7，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=7+23=15，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=15+24=31，n=4+1=5，继续循环；第五次循环：S=31+25=63，n=5+1=6，继续循环；第六次循环：S=63+26=127，n=6+1=7，停止循环，输出S=127．故选B．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：首先对p，q两个命题进行整理，得到关于x的范围，把两个条件对应的范围进行比较，得到前者的范围小于后者的范围，即属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，得到结论．解答：解：p：≤2x≤，即为﹣2≤x≤﹣1，q：﹣≤x+≤﹣2，即为﹣2≤x≤﹣∴属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是对于所给的条件进行整理，得到两个条件对应的集合的范围的大小，本题是一个基础题8．已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；定积分．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论．解答：解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选A点评：本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积，要求熟练掌握几何概型的求解方法．9．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．解答：解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选D点评：本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．10．若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过f（t+）=f（﹣t），判断函数的对称轴，就是函数取得最值的x值，结合f（）=﹣1，即可求出m的值．解答：解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又f（）=﹣1，所以﹣1=±2+m，所以m=1或﹣3．故选B．点评：本题是基础题，考查三角函数的对称轴的应用，不求解析式，直接判断字母的值的方法，考查学生灵活解答问题的能力．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（）A．B．C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．解答：解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=160．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由已知列方程组求出首项和公比，即可求出a5+a7．解答：解：设等比数列的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a1q3=20，a1q2+a1q4=40，解得a1=q=2∴a n=a1q n﹣1=2n，∴a5+a7=160，故答案为：160．点评：本题考查的知识点是等比数列的前n项和，等比数列的通项公式，其中根据已知构造关于首项和公比的方程组，是解答的关键．14．（2014•嘉定区三模）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=5．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值解答：解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：5点评：如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：分类讨论，利用基本不等式，求出函数f（x）=的最大值与最小值，即可得出结论．解答：解：f（x）==，x=0时，f（0）=0，x≠0时，f（x）=，x＞0时，x+≥2，∴0＜f（x）≤，x＜0时，x+≤﹣2，∴﹣≤f（x）＜0，综上，∴﹣≤f（x）≤，∴函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得到sinA的值，再由a 与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积；（Ⅱ）原式分子分母利用正弦定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，约分即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）∵2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1，∴1+cos2A﹣sin2A=1﹣2（sin2A﹣cos2A）=1﹣2sin（2A﹣）=﹣1，即sin（2A﹣）=1，∵A为三角形内角，即0＜A＜π，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，即A=，在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，解得：b=4或b=﹣2（舍去），∴S△ABC=bcsinA=×4×2×=2；（Ⅱ）已知等式，利用正弦定理===2R，变形得：=====2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有两条线路没有被选择的概率．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：（Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD•k BD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．解答：解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数判断函数的单调性，求出单调区间；（2）当x＞0时，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，求出导数h′（x），当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，讨论当x＞1时，当0＜x＜1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证．解答：（1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+e x（x﹣1）+e x=x（e x+1﹣ex），令y=e x+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即e x+1﹣ex＞0恒成立，则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，h′（x）=+2ex﹣1﹣e x x﹣e x，当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．点评：本题考查导数的应用：求单调区间、求极值，求最值，考查构造函数证明不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，应用导数求解，本题属于中档题．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．考点：与圆有关的比例线段．专题：几何证明．分析：（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答：（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2点评：本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，可得直线l的普通方程，圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ，可得曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|．解答：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．点评：本题考查参数方程化成普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，比较基础．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。
河南省洛阳市2021-2022学年高一上学期期中考试化学试题(word版带答案)
洛阳市2021——2022学年第一学期期中考试高一化学试卷木试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间为90分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．考试结束，将答题卡交回。
木试卷可能用到．．．．的相对原子质量：H ：1 C ：12 N ：14 O ：16 K ：39 Mn ：55 一、选择题（本题共10小题，每小题只有一个选项．．．．．．符合题意，每小题2分，共20分） 1．《天工开物》中记载“铁器淬与胆矾水中，即成铜色也”。
下列叙述不正确的是（ ） A ．铜色为红色B ．胆矾是4CuSO 的俗称C ．发生的反应属于置换反应D ．反应说明Fe 的还原性大于Cu2．合成新物质是化学研究的主要目的之一。
意大利科学家最近合成了一种新型的氧分子4O ，下列关于4O 的说法正确的是（ ） A ．4O 是一种新型化合物B ．1个4O 分子由两个2O 分子构成C ．1O 、2O 、3O 互为同位素D ．4O 转化为2O 是化学变化 3．下列物质的分类正确的是（ ）匀地分散到蒸馏水中，所形成的物质（ ）①是溶液②是胶体③能产生丁达尔效应④能透过滤纸⑤不能透过滤纸⑥静置后，会析出黑色沉淀 A ．①④⑥B ．②③④C ．②③⑤D ．①③④⑥5．实现下列物质之间的转化，需要加入还原剂才能实现的是（ ） A ．CuO Cu →B ．2CO CO →C ．2Cl Cl -→D ．324SO H SO →6．对于某些离子的检验及结论一定正确的是（ ）A ．向某溶液中加入稀盐酸产生无色气体．将气体通入澄清石灰水中，澄清石灰水变浑浊，则原溶液中一定有23CO -B ．向某溶液中加入氯化钡溶液有白色沉淀产生，再加足量稀硝酸，沉淀不消失，则原溶液中一定有Ag +C ．向某溶液中先加入足量盐酸，没有明显现象，再加入2BaCl 溶液，产生白色沉淀，则原溶液中一定有24SO -D ．向某溶液中加入碳酸钠溶液产生白色沉淀，再加盐酸白色沉淀消失，则原溶液一定有2Ba +7．下列叙述中．正确的是（ ）A ．NaCl 固体不导电，所以NaCl 不是电解质B ．铜丝、氯化钠溶液均能导电．所以他们都是电解质C ．3NH 、2CO 的水溶液均导电，所以3NH 、2CO 均是电解质D ．熔融的2MgCl 能导电，所以2MgCl 是电解质 8．室温下，能在溶液中大量共存的一组离子是（ ） A ．H +、Cl -、3NO -、2Ba+B ．Na +、23CO -、H +、Cl -C ．2Cu +、24SO -、OH -、K +D ．2Ca+、24SO -、23CO -、3NO -9．下列说法中，正确的是（ ） A ．11.2 L 2O 中一定含有1 mol OB ．0.5 mol 碳酸钠溶于0.5 L 水中，所得溶液物质的量浓度为11mol L -⋅ C ．在标准状况下，10 mL 2CO 和40 mL 2O 所含分子个数比为1:4 D ．9 g 2H O 在标准状况下的体积约为11.2L10．实验装置如右图所示，关闭A 处的弹簧夹时，试管C 中的红色布条无明显变化；打开A 处的弹簧夹后，试管C 中的红色布条逐渐褪色。
2022届河南省洛阳市高三上学期期中考试化学试题(word版含答案)
南阳市2021年秋期高中三年级期中质量评估化学试题注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题）。
满分100分，考试时间90分钟。
答题前务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。
2．答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．可能用到的相对原子质量：H 1 N 14 O 16 S 32 Cl 35.5 Ba 137第Ⅰ卷选择题(共48分)一、选择题(本题包括16小题，每题3分，共48分，每小题只有一个选项符合题意)1．下列选项错误的是A．乙二醇溶液可用作汽车防冻液B．聚乙炔可导电，可用作防静电材料C．氧化钙可用作食品干燥剂D．风能发电，粮食酿酒，石油裂化都有利于实现“碳达峰、碳中和”2．下列表示正确的是NCl分子的球棍模型A．3B．氨基的电子式：CH OC．乙酸乙酯和葡萄糖的实验式都为2D．对苯二甲醛的结构简式：3．下列有关实验现象及结论等叙述正确的有①向溶有SO2的BaCl2溶液中通入气体X，出现白色沉淀，说明X具有碱性②将HClO3滴入硅酸钠溶液中，充分振荡，有白色沉淀产生，非金属性：Cl>Si③向某溶液加入稀硫酸，有淡黄色沉淀和刺激性气味的气体，该溶液中一定含有S2O32－④向X溶液加新制氯水，再加入少量KSCN溶液，溶液变为红色，X溶液中一定含有Fe2+⑤向饱和NaHCO3溶液中滴加硼酸，无气泡产生，非金属性：C > B⑥取少量Fe(NO3)2样品溶于稀硫酸，滴入KSCN溶液，溶液变红色，证明样品已变质A．0条B．1条C．2条D．3条4．甲、乙、丙三种不同的物质中均含有同一种元素，反应④为置换反应，往乙溶液中滴加KSCN溶液，乙溶液变为血红色。
它们之间的转化关系如图所示(部分反应物及生成物已略去)。
2020-2021学年河南省洛阳市高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数的虚部是（）A．1B．i C．2D．2i2．设函数f（x）满足＝2，则f'（x0）＝（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x+）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x+）是奇函数，在这一过程中（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确4．用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5 整除B．a、b都不能被5 整除C．a、b不都能被5 整除D．a不能被5 整除5．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．16．观察（x3）′＝3x2，（x5）′＝5x4，（sin x）′＝cos x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）7．若函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣，2）D．[﹣，]8．曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（）A．2B．C．3D．09．设函数f（x）＝x2+mln（x+1）有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，]B．（0，]C．（﹣1，）D．（0，）10．在确定（“…”代表无限次重复）的值时，可采用如下方法：令＝S，则＝S，于是可得S＝2；类比上述方法，不难得到（“…”代表无限次重复）的值为（）A．B．C．D．11．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，则（）A．9f（ln2）＞4f（ln3）B．9f（ln2）＜4f（ln3）C．9f（ln2）＝4f（ln3）D．9f（ln2）与4f（ln3）大小关系不定12．已知函数f（x）＝e，g（x）＝ln+1，对任意x1∈R，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为．14．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z＝．15．已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为．16．设实数λ＞，若对任意的x∈[1，+∞），关于x的不等式e x﹣λln（λx）≥0恒成立，则λ的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z1＝m+（1﹣m2）•i（m∈R），z2＝cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．（1）当m＝3时，求z1的虚部；（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．18．已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的极值；（2）比较3π与π3的大小，并说明理由．19．（1）设a，b，c＞0，求证三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）已知a＞5，用分析法证明：﹣＜﹣．20．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△HAD分别是以AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GDC，△HAD，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥，设AB＝2x．（1）试把四棱锥的体积V表示为x的函数；（2）x多大时，四棱锥的体积最大？21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+3S n＝3．（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；（2）用数学归纳法证明你对a n的猜想．22．已知函数f（x）＝alnx﹣x2﹣（a﹣1）x，（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数的虚部是（）A．1B．i C．2D．2i【分析】根据复数的运算法则进行化简即可．解：＝＝＝2+i，则对应的虚部为1，故选：A．2．设函数f（x）满足＝2，则f'（x0）＝（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】利用导数的概念以及极限的运算性质即可求解．解：因为f′（x0）＝＝﹣＝﹣，故选：A．3．现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x+）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x+）是奇函数，在这一过程中（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确【分析】根据题意，由正弦函数的性质分析，可得推理过程中的小前提是错误的，即可得答案．解：根据题意，在演绎推理过程中，大前提为正弦函数是奇函数，是正确的，小前提为：f（x）＝sin（x+）是正弦函数，是错误的；结论f（x）＝sin（x+）是奇函数也是错误的，故选：C．4．用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5 整除B．a、b都不能被5 整除C．a、b不都能被5 整除D．a不能被5 整除【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．5．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．1【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．解：求导得：f′（x）＝2f'（e）+，把x＝e代入得：f′（e）＝e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）＝﹣e﹣1，∴f（e）＝2ef′（e）+lne＝﹣1，故选：C．6．观察（x3）′＝3x2，（x5）′＝5x4，（sin x）′＝cos x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）【分析】函数y＝x3、y＝x5与y＝sin x都是定义在R上的奇函数，而它们的导数都是偶函数．由此归纳，得一个奇函数的导数是偶函数，不难得到正确答案．解：根据（x3）′＝3x2、（x5）′＝5x4、（sin x）′＝cos x，发现原函数都是一个奇函数，它们的导数都是偶函数由此可得规律：一个奇函数的导数是偶函数．而定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），说明函数f（x）是一个奇函数因此，它的导数应该是一个偶函数，即g（﹣x）＝g（x）故选：C．7．若函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣，2）D．[﹣，]【分析】由函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，进一步得x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，进而得△＝（2a）2﹣4×1×2≤0，解之即可．解：由函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，又f′（x）＝x2+2ax+2，∴x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，所以△＝（2a）2﹣4×1×2≤0，所以a2≤2，∴．故选：D．8．曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（）A．2B．C．3D．0【分析】在曲线y＝ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8＝0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．解：设曲线y＝ln（2x﹣1）上的一点是P（m，n），则过P的切线与直线2x﹣y+8＝0平行．由，所以切线的斜率．解得m＝1，n＝ln（2﹣1）＝0．即P（1，0）到直线的最短距离是d＝．故选：A．9．设函数f（x）＝x2+mln（x+1）有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，]B．（0，]C．（﹣1，）D．（0，）【分析】函数f（x）有两个极值点x1，x2，即f′（x）＝0在定义域上有两个不相等的实数根，构造函数，根据二次函数的图象与性质即可求出m的取值范围．解：函数f（x）＝x2+mln（1+x），定义域为（﹣1，+∞）；若函数f（x）有两个极值点x1，x2，则不妨设﹣1＜x1＜x2，即f′（x）＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，所以2x+＝0，化为方程2x2+2x+m＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根；记g（x）＝2x2+2x+m，x∈（﹣1，+∞），则，即，解得0＜m＜，所以实数m的取值范围是（0，）．故选：D．10．在确定（“…”代表无限次重复）的值时，可采用如下方法：令＝S，则＝S，于是可得S＝2；类比上述方法，不难得到（“…”代表无限次重复）的值为（）A．B．C．D．【分析】类比所给的解法，令，则，解出S的值，即可求解．解：由题意令，则，故S2+2S﹣2＝0，解得或﹣1，∵S＞0，∴S＝，S＝﹣﹣1（舍去）．故选：D．11．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，则（）A．9f（ln2）＞4f（ln3）B．9f（ln2）＜4f（ln3）C．9f（ln2）＝4f（ln3）D．9f（ln2）与4f（ln3）大小关系不定【分析】分析：根据选项可构造函数h（x）＝＝利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可比较h（ln2）与h（ln3）的大小，从而得到答案．解：令h（x）＝则h′（x）＝＝，∵函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，e2x＞0，所以当x∈R时，h′（x）＞0，h（x）在定义域R上单调递增，∴h（ln3）＞h（ln2），即，∴9f（ln2）＜4f（ln3）；故选：B．12．已知函数f（x）＝e，g（x）＝ln+1，对任意x1∈R，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．C．D．2【分析】不妨设f（x1）＝g（x2）＝a，（a＞0），则x1＝2lna，x2＝2e a﹣1，x2﹣x1＝2e a﹣1﹣2lna，令h（a）＝2e a﹣1﹣2lna，（a＞0），求导分析单调性，进而可得h（a）的最小值，即可得出答案．解：不妨设f（x1）＝g（x2）＝a，（a＞0）所以e＝ln+1＝a，所以x1＝2lna，x2＝2e a﹣1，所以x2﹣x1＝2e a﹣1﹣2lna，令h（a）＝2e a﹣1﹣2lna，（a＞0）h′（a）＝2e a﹣1﹣，所以h′（a）在（0，+∞）上单调递增，且h′（1）＝0，所以在（0，1）上，h′（a）＜0，h（a）单调递减，在（1，+∞）上，h′（a）＞0，h（a）单调递增，所以h（a）在a＝1处取得最小值，所以x2﹣x1的最大值为h（1）＝2e1﹣1﹣2ln1＝2，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为2．【分析】根据积分的应用可知所求的面积为，然后根据积分公式进行计算即可．解：∵在[0，π]，sin x≥0，∴y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积S＝＝（﹣cos x）＝﹣cosπ+cos0＝1+1＝2．故答案为：2．14．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z＝﹣2i．【分析】两个复数都是纯虚数，可设z，化简（z+2）2﹣8i，可求出z．解：设z＝ai，a∈R，∴（z+2）2﹣8i＝（ai+2）2﹣8i＝4+4ai﹣a2﹣8i＝（4﹣a2）+（4a﹣8）i，∵它是纯虚数，∴a＝﹣2故答案为：﹣2i．15．已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为．【分析】先利用导数求出g（x）在某点处的切线l的方程，然后再利用判别式法说明l 与y＝ax2相切，由此列出a的方程求解．解：设A（m，lnm）是公共点，由，得曲线y＝g（x）在A处的切线为：y﹣lnm＝，即……①，再设A（m，am2），f′（x）＝2ax，故f（x）在A处的切线为：y﹣am2＝2am（x﹣m），即y＝2am•x﹣am2……②，由已知得①②重合，故，解得，．故答案为：．16．设实数λ＞，若对任意的x∈[1，+∞），关于x的不等式e x﹣λln（λx）≥0恒成立，则λ的最大值为e．【分析】令f（x）＝e x﹣λln（λx），则问题e x﹣λln（λx）≥0恒成立转化为f（x）min≥0，利用导数的知识分析f（x）取得最小值时λ的值，即可得出答案．解：令f（x）＝e x﹣λln（λx），e x﹣λln（λx）≥0恒成立，即f（x）min≥0，f′（x）＝e x﹣λ••λ＝e x﹣，如图所示：函数y＝e x与y＝（λ＞0），在第一象限有且只有一个交点（m，n），所以当x∈（0，m）时，e x＜，即f′（x）＜0，f（x）在（0，m）上单调递减，当x∈（m，+∞）时，e x＞，即f′（x）＞0，f（x）在（m，+∞）上单调递增，令f′（x）＝0，即e x＝，即e m＝，解为m＝1，λ＝e，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝e﹣λlnλ，因为e﹣λlnλ≥0，即λlnλ≤e，令g（λ）＝λlnλ，g′（λ）＝lnλ+λ•＝lnλ+1，令g′（λ）＝0，即lnλ+1＝0，解得λ＝e，若λlnλ≤e，则λ的最大值为e．故答案为：e．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z1＝m+（1﹣m2）•i（m∈R），z2＝cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．（1）当m＝3时，求z1的虚部；（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．【分析】（1）将m代入，化简复数即可；（2）利用复数相等的充要条件，消去m，得到用sinθ表示的λ的表达式，利用三角函数的有界性求范围．解：（1）当m＝3时，z1＝3﹣8i虚部为﹣8；（2）∵z1＝z2，∴，消去m，得λ＝（sinθ﹣1）2﹣1，由于﹣1≤sinθ≤1，∴﹣1≤λ≤3，∴λ的取值范围为[﹣1，3]．18．已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的极值；（2）比较3π与π3的大小，并说明理由．【分析】（1）由题意首先确定导函数的解析式，然后利用导函数与原函数的关系即可确定函数的极值；（2）结合（1）的结论利用函数的单调性比较所给的数的大小即可．解：（1）f（x）的定义域为，由f’（x）＞0得0＜x＜e，由f’（x）＜0得x＞e，故f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．当x＝e时，f（x）有极大值，其极大值为：无极小值．（2）由（1）知f（x）在（e，+∞）上单调递减，又π＞3，故，πln3＞3lnπ，即ln3π＞lnπ3，又y＝lnx在（0，+∞）内单调递增，故3π＞π3．19．（1）设a，b，c＞0，求证三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）已知a＞5，用分析法证明：﹣＜﹣．【分析】（1）利用反证法结合基本不等式证明；（2）利用分析法，移向后两边平方，依次寻找使结论成立的充分条件即可．【解答】证明：（1）假设+，+，+都小于2，则（+）+（+）+（+）＜6，①又（+）+（+）+（+）＝（）+（）+（）．且a，b，c＞0，∴，，，∴（+）+（+）+（+）≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号，与①矛盾．∴假设不成立，故三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）要证﹣＜﹣，需要证+＜+，只需要证＜，即证2a﹣5+2＜2a﹣5+2，也就是证a（a﹣5）＜（a﹣2）（a﹣3），只需证a2﹣5a＜a2﹣5a+6，此时显然成立，故﹣＜﹣．20．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△HAD分别是以AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GDC，△HAD，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥，设AB＝2x．（1）试把四棱锥的体积V表示为x的函数；（2）x多大时，四棱锥的体积最大？【分析】连接OF，与BC交于I，设正方形ABCD的边长为2x，则OI＝x，FI＝4﹣x，写出棱锥体积公式，再由导数求最值．解：（1）如图，连接OF，与BC交于I，因为AB＝2x，则OI＝x，FI＝5﹣x，设E，F，G，H重合于点P，则PI＝IF＝5﹣x＞x，则x＜，则所得正四棱锥的高为h＝＝，∴四棱锥的体积V＝•4x²•＝，其中0＜x＜，（2）令f（x）＝25x4﹣10x5，0＜x＜，f′（x）＝100x3﹣50x4，令f′（x）＝0，解得x＝2，则当0＜x＜2时，f′（x）＞0，y＝25x4﹣10x5单调递增；当2＜x＜时，f′（x）＜0，y＝25x4﹣10x5单调递减，∴当x＝2，四棱锥体积最大．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+3S n＝3．（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；（2）用数学归纳法证明你对a n的猜想．【分析】（1）根据已知条件，分别令n＝1，n＝2，n＝3，n＝4，依次求解a1，a2，a3，a4，即可猜想a n的值．（2）①当n＝1时，，②假设n＝k时，，求证n＝k+1时猜想成立，即可求证．【解答】解（1）在a n+3S n＝3 中，令n＝1，4a1＝3，解得a1＝，令n＝2，a2+3S2＝3，即4a2+3a1＝3，解得a2＝，令n＝3，a3+3S3＝3，即4a3+3（a1+a2）＝3，解得，令n＝4，a4+3S4＝3，即4a4+3（a1+a2+a3）＝3，解得，故猜想．（2）①当n＝1时，，②假设n＝k时，，那么当n＝k+1时，∵a k+3S k＝3，∴，∵a k+1+3S k+1＝3，∴＝，即n＝k+1时猜想成立，根据①②，可知猜想对任何n∈N*都成立．22．已知函数f（x）＝alnx﹣x2﹣（a﹣1）x，（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的定义域为（0，+∞），求其导数，分a≥0与a＜0两类讨论，判断导函数的符号，可得函数的单调性；（Ⅱ）法1°：设0＜x1＜x2，由已知得f（x1）﹣（1﹣a）x1＞f（x2）﹣（1﹣a）x2，令h （x）＝f（x）﹣（1﹣a）x，则h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，利用h′（x）＝f'（x）﹣（1﹣a）≤0恒成立，可求得实数a的取值范围．法2°：若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题⇔∀x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）≤1﹣a恒成立，分离参数a，求得其右侧的函数的最小值，即可求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）＝﹣＝﹣，若a≥0，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；若a＜0，则由f'（x）＝0得x＝﹣a或x＝1，若a＝﹣1，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；若1﹣（﹣a）＞0，即﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，﹣a），（1，+∞）单调递减，在（﹣a，1）上单调递增；若1﹣（﹣a）＜0，即a＜﹣1时，f（x）在（0，1），（﹣a，+∞）单调递减，在（1，﹣a）上单调递增；（Ⅱ）法1°：令0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x1）＞（x1﹣x2）（1﹣a），即f（x1）﹣（1﹣a）x1＞f（x2）﹣（1﹣a）x2，令h（x）＝f（x）﹣（1﹣a）x，则h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）＝f'（x）﹣（1﹣a）≤0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤x2（x＞0）恒成立，∴a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]．法2°：若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题⇔∀x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）≤1﹣a恒成立，整理得a≤x2（x＞0）恒成立，∵x2＞0，∴a≤0，故a的取值范围为（﹣∞，0]．。
河南省洛阳市09-10学年高二上学期期中考试(数学理)
洛阳市2009-2010学年第一学期期中考试高二数 学 试 卷(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在等差数列 中，前11项和和为121，则 的值是 A 、6 B 、11 C 、12 D 、102. 关于x 的一元二次不等式20x ax b ++<的解集是 ，则不等式210bx ax ++>的解集是A 、B 、C 、D 、3. 若 是钝角三角形的三边长，则实数x 的取值范围是A 、 03x <<B 、13x <<C 、34x <<D 、46x <<4. 在 中， 为内角 所对的边，则 的值是A 、2sin AB 、2cos AC 、aD 、不能确定5. 设点 满足 ，O 是坐标原点，则||OP 是最小值为 A 、1 B 、13 C 、31010 D 、226. 在ABC ∆中，2,30a A ==°，45C =°，那么ABC ∆的面积是A 、2B 、31+C 、312+ D 、227．已知 ，下列命题：① ② ；③ ；④ 中，一定正确的命题个数为A 、1B 、2C 、3D 、4{}n a 6a {}|23x x <<{}|23x x x <>或{}|61x x x <->或11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或,1,2x x x ++,,a b c ,,A B C cos cos b C c B +ABC ∆(),P x y 1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩110a b <<;a b ab +<a b <1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2b a a b +>8. 已知数列 是公差不为零的等差数列，且431a a a ，，成等比数列，则 的值为A 、1B 、-1C 、D 、9. 等比数列 的各项均为正数，且 ，则的值为 A 、15 B 、-15 C 、3 D 、-310. 设 当 时，总有 ，则实数k 的取值范围是 A 、223k ≥+ B 、6k ≥C 、D 、11. 设函数 ，若 ，则实数a 的取值范围是 A 、B 、C 、D 、12. 已知两个等差数列 ， 的前n 项和分别为 ，且 ，则使 为整数的n 个数是A 、5B 、4C 、3D 、2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。