金融数学(利息理论)复习题练习题

1. 某人借款1000元，年复利率为9%，他准备利用该资金购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适2. 已知：1） 16565111-++=+))(()()()(i i m i m 求?=m2） 16565111---=-))(()()()(d d md m 求?=m 由于i n n i mm i n m +=+=+111)()()()( 由于d n n d m md n m -=-=-111)()()()(3. 假设银行的年贷款利率12%，某人从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款。

银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。

试分析两种还款方式有何区别哪一种方案对借款人有利4. 设1>m ，按从小到大的顺序排列δ,,,,)()(m m d d ii解：由d i d i ⋅=- ⇒ d i >)()(m m d d >+1 ⇒ )(m d d < )()(n m d i > ⇒ )()(m m i d < )()(m m i i <+1 ⇒ i i m <)(δδ+>=+11e i ， δ==∞→∞→)()(lim lim m m m m d i⇒ i i d d m m <<<<)()(δ5. 两项基金X,Y 以相同的金额开始，且有：（1）基金X 以利息强度5%计息；（2）基金Y 以每半年计息一次的名义利率j 计算；（3）第8年末，基金X 中的金额是基金Y 中的金额的倍。

求j.6. 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款10,000元,期限为5年，计算下列三种还款方式中利息所占的额度：1）贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清； 2）每年末支付贷款利息，第五年末归还本金； 3）贷款每年年末均衡偿还（即次用年金方式偿还）。

三种还款方式乙方支付的利息相同吗 请你说明原因7.某人在前两年中，每半年初在银行存款1000元，后3年中，每季初在银行存款2000元，每月计息一次的年名义利率为12% 计算5年末代储户的存款积累值。

8. 期末付款先由1到n 递增付款，然后再由1-n 到1的递减付款形成的变额年金称为虹式年金，试求付款期利率为i 的虹式年金的现值和终值。

解：现值为：1211321132-+-++-++-++++=n n n n n n n A ννννννν,...,)()(,..., n n n n n n n A 2214321132νννννννν++-++-++++=++,...,)()(,...,)(,...,,...,n n n n n n A A νννννννννννν-=----++++=---+++112213212211)()(ννν--=n A 同理可证终值公式。

9. 固定养老保险计划：责任：未退休时，每月初存入一定金额（养老保险金），具体方式：25岁—29岁，月付200元， 30岁---39岁，月付300元， 40岁—49岁，月付500元， 50岁—59岁，月付1000元，权益：从退休时（60岁），每月初领取P 元退休金，一直领取20年。

问题：在给定年利率%10=i，分别计算从25，30，40，50岁参加养老保险，60岁以后月退休金为多少查表可得：513681020..|=a ，024********..|=s ，49401641030..|=s ，2750571020..|=s ，9374151010..|=s 。

10．某人继承一笔遗产：从现在起每年初可得10000元。

该继承人以10%年利率将以产收入存入银行，到第五年底，在领取第六年年金之前将遗产的权益转卖给他人，然后将前五年的存款收入取出并和转卖收入一并做一项年收益率为12%的投资项目。

若每年底的投资回报是相同的，项目有效期为30年。

求投资人每年的回报金额。

11． 考虑下列两种等价的期末年金：A ：首付6000元，然后每年减少100元，直到某年（k ），然后保持一定付款的水平直到永远；B ：每年底固定付款5000元； 如果年利率为6%，试求k （近似整数）。

解：方法一：价值等式：601006000110060005000.||||))((kk k a k ka a k a νν-∞∞⋅-+--=)()())((|k k k k k a k ννν---+--=10016000110060005000解得10=|k a ，查表得15≈k方法二：价值等式：|||)())((1100110060005000-∞∞+--=k Da a k a 注意到 ia n n n Da ||)(-= 解得10=|k a 查表得15≈k答：15≈k 。

12． 某人退休一次性获得退休金Y 元，它将其中的一部分X 用于投资回报率为X i 的永久基金，另一部分用于投资回报率为j 的十年期的国债。

已知他前十年的收入是后十年的两倍，试确定他投资于永久基金占总退休金的比例。

13． 某汽车销售商计划采取以下两种零售策略：1）若一次性付清车款，零售价格为2万元；或2）以年利率10%，提供4年分期付款（按月付款）。

如果目前市场上，商业零售贷款月换算的年名义利率为12%，试分析两种零售策略那种对消费者更优惠14．十万元的投资每年底收回一万元，当不足一万元时将不足一万元的部分与最后一次的一万元一次收回。

如果每半年接转一次利息的年名义利率为7%，试求收款次数和最后一次的收款金额。

15．考虑一个十年期的投资项目：第一年初投入者投入10000元，第二年初投入5000元，然后每年初只需投入维修费1000元。

该项目期望从第六年底开始有收益：最初为8000元，以后每年递增1000元。

用DCF法计算该投资项目的价值。

特别如果贷款利率为10%，该项目是否有投资价值16．某项10年期贷款，年利率为8%，如果还款额同时以年利率为7%在投资，求下列情况下的实际收益率：1）到期一次还清；2）每年还利息，到期还本金；3）每年等额分期偿还。

17．某基金投资者：每年初投入一定本金，共投资10年。

基金本身的年回报率为7%，年底支付。

分别对再投资利率为5% 和8% 两种情况下，讨论投资者的实际收益率。

18．讨论下列模型假设下得再投资的实际收益率：1）每年末（一个计息期）投资1单位资金，每年（一个计息期）的直接投资收益率为i；2）投资的回报方式为：逐年（一个计息期）收回利息，结束时收回本金； 3）同时将每年的利息收入以再投资利率为j进行再投资。

资金流程图如下：19． 投资者购买以下五年期的金融产品：1）每年底得到1000元；2）每年的收入可按年利率4%再投资且当年收回利息。

如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%。

求该金融产品的购买价。

20．某投资者连续五年每年向基金存款1000元，年利率5%，同时利息收入可以年利率为4%投资。

给出第十年底的累积余额表达式。

21．1万元的贷款计划20年分年度还清，每年底还款1000元。

如果贷款方可以将每年的还款以年利率为5%投资，计算贷款方的实际收益率。

22．某活期存款账户年初余额为1000元，4月底存入500元，六月底和八月底分别提取200元和100元，年底余额为1236元，求该储户的年资本加权收益率。

23．某投资账户年初余额为10万元，5月1日的余额为万元，同时投资3万元，11月1日余额将为万元，同时提取万元，在下一年的1月1日又变为10万元。

分别用资金加权和时间加权求投资收益率。

24．某基金由两个投资人，甲年初在基金中有资金1万元，年中又投入1万元，乙年初有2万元，上半年收益率为10%，下半年收益率为20%，利用投资组合法计算甲乙应分得的收益。

25．债券A ，面值为A P ，收益率为A i ，无违约风险；债券B ，面值为B P ，收益率为B i ，违约概率为p （10<<p ），如果违约发生则到期债券的价值为0，即债券B 在到期时的价值为随机变量{不违约违约..................B P B X 0=。

问题：在什么条件（A P ，B P ，p ，A i ，B i 满足什么关系）下，债券A 和债券B 对投资者来说有相同的期望收益分析：要使两债券在到期时有相同的期望收益，两债券期末的期望本利和应相同，所以应有关系：)]([)(B B A A i X E i P +=+11 即：))(()(B B A A i p P i P +-=+11126．某按月摊还的债务，年实际利率为11%，如果第三次还款中的本金量为1000元，计算第33次还款中本金部分的金额。

27．某借款人借款2000元，年利率为10%，要求两年内还清。

借款人以偿债基金方式还款：每半年向基金存款一次，而且存款利率为季度挂牌利率8%，求每半年应偿债基金的存款额。

并构造偿还表。

28．假设一笔贷款期限为5年，贷款利率为10%，如果贷款人计划每年末的总付款额为：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。

试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。

基本概念：1. 实际利率、单利法 、复利法、均衡利率、单位度量期上贴现m 次贴现值的名义贴现率、单位度量期上结转m 次利息的名义利率、实际贴现率、标准年金、变额年金、永续年金、年金现值、永续年金的现值、年金终值、变动利率年金、支付利率原则、 经历利率原则、利息结转周期、支付周期、投资项目的收益率、内涵报酬率、2. 利率水平是受债券或货币的供求关系影响，决定利率水平的两种理论模型：可贷资金模型和流动性偏好模型。

3. 一般情况下，在其他条件不变的情况下，收益率曲线随期限变化的规律是：期限越长，收益率越大，收益率是关于期限的单调增函数，或者说：长期利率大于短期利率。

4. 常见的用于解释利率期限结构的理论模型有 纯粹预期假设、流动性偏好假设、市场分割假设、区间（完全）偏好假设等。

5. 影响债券供给曲线的因素：经济周期、预期通货膨胀率、政府活动规律。

6. 影响债券需求曲线的主要因素有：经济周期、价格风险、流动性、预期利率、预期通货膨胀率。

7. 内涵报酬率可以用来对投资项目进行评价：当内涵报酬率大于投资者预先设定的利率时，投资项目可行。

8. 投资收益率的计算方法主要有：币值加权平均法和时间加权平均法。

9. 投资收益的分配方法主要有：投资额法（投资组合法）和投资年法 10. 当债券存在违约风险时，对风险的补偿方式有：提高收益率和降低发行价。