求极限的13种方法

求极限的13种方法
求极限的13种方法

求极限的13种方法

案场各岗位服务流程

销售大厅服务岗:

1、销售大厅服务岗岗位职责:

1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;

2)保持销售区域台面整洁;

3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;

4)收集客户意见、建议及现场问题点;

2、销售大厅服务岗工作及服务流程

阶段工作及服务流程

班前阶段1)自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域

2)检查使用工具及销售大厅物资情况,异常情况及时登记并报告上级。

班中工作程序服务

流程

行为

规范

迎接

指引

递阅

资料

上饮品

(糕点)

添加茶水

工作

要求

1)眼神关注客人,当客人距3米距离

时,应主动跨出自己的位置迎宾,然后

侯客迎询问客户送客户

注意事项

15度鞠躬微笑问候:“您好!欢迎光临!”2)在客人前方1-2米距离领位,指引请客人向休息区,在客人入座后问客人对座位是否满意:“您好!请问坐这儿可以吗?”得到同意后为客人拉椅入座“好的,请入座!”

3)若客人无置业顾问陪同,可询问:请问您有专属的置业顾问吗?,为客人取阅项目资料,并礼貌的告知请客人稍等,置业顾问会很快过来介绍,同时请置业顾问关注该客人;

4)问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好,这里是XX销售中心,这边请”5)问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好

6)关注客人物品,如物品较多,则主动询问是否需要帮助(如拾到物品须两名人员在场方能打开,提示客人注意贵重物品);

7)在满座位的情况下,须先向客人致歉,在请其到沙盘区进行观摩稍作等

待;

阶段工作及服务流程

班中工作程序工作

要求

注意

事项

饮料(糕点服务)

1)在所有饮料(糕点)服务中必须使用

托盘;

2)所有饮料服务均已“对不起,打扰一

下,请问您需要什么饮品”为起始;

3)服务方向:从客人的右面服务;

4)当客人的饮料杯中只剩三分之一时,

必须询问客人是否需要再添一杯,在二

次服务中特别注意瓶口绝对不可以与

客人使用的杯子接触;

5)在客人再次需要饮料时必须更换杯

子;

下班程

序1)检查使用的工具及销售案场物资情况,异常情况及时记录并报告上级领导;

2)填写物资领用申请表并整理客户意见;3)参加班后总结会;

4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;

1.3.3.3吧台服务岗

1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责

1)为来访的客人提供全程的休息及饮品服务;

2)保持吧台区域的整洁;

3)饮品使用的器皿必须消毒;

4)及时补充吧台物资;

5)收集客户意见、建议及问题点;

1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程

阶段工作及服务流程

班前阶段1)自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域

2)检查使用工具及销售大厅物资情况,异常情况及时登记并报告上级。

班中工作程序服务

流程

行为

规范

问询需求按需求提

供饮品客户离开后清理桌面

阶段工作及服务流程

服务准迎客:保得知需客户

班中工作程序工作

要求

注意

事项

1)在饮品制作完毕后,如果有其他客户仍

在等到则又销售大厅服务岗呈送;

2)所有承装饮品的器皿必须干净整洁;

下班程序5)检查使用的工具及销售案场物资情况,异常情况及时记录并报告上级领导;

6)填写物资领用申请表并整理客户意见;7)参加班后总结会;

8)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;

1.3.4展示区服务岗岗位职责

1.3.4.1车场服务岗

1.3.4.1.1车场服务岗岗位职责

1)维护停车区的正常停车秩序;

2)引导客户车辆停放,同时车辆停放有序;

3)当车辆挺稳时,上前开车门并问好;同时提醒客户锁好车门;4)视情况主动为客户提供服务;

5)待车辆停放完好后,仔细检查车身情况请客户签字确认;

1.3.4.1.2

阶段工作及服务流程

班前阶

段1)自检仪容仪表

2)检查周边及案场区设备、消防器材是否良

好,如出现异常现象立即报告或报修

3)检查停车场车位是否充足,如有异常及时上报上级领导

班中工作程序服务

流程

行为

规范

1.敬礼

2.指引停车

3.迎客问好

4.目送

阶段工作及服务流程

班中工作程序工作

要求

注意

事项

1)岗位应表现良好的职业形象时刻注

意自身的表现,用BI规范严格要求自

2)安全员向客户敬礼,开车门,检查车

辆情况并登记,用对讲系统告知销售大

厅迎宾,待客人准备离开目送客人离

开;

引导敬为问指引销售

检查车

为引敬

下班程序1)检查使用的工具情况,异常情况及时记录并报告上级领导;

2)参加班后总结会;

3)统计访客量;

4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;

1.3.4.2展示区礼宾岗

1.3.4.

2.1展示区礼宾岗岗位职责

1)对过往的客户行标准的军礼,目视;

2)与下一交接岗保持信息联系,及时将信息告知下一岗位,让其做好接待工作;3)热情礼貌的回答客户的提问,并做正确的指引;

4)注视岗位周边情况,发现异常及时上报上级领导;

1.3.4.

2.2展示区礼宾岗工作及服务流程

阶段工作及服务流程

班前阶段1)自检仪容仪表

2)检查周边及案场区设备、消防器材是否良好,如出现异常现象立即报告或报修

班中工作程序服务

流程

敬礼问指引样板敬礼目送

行为

规范

1.迎接客户

2.指引客户

3.为客户提供帮

助4.目送客户

工作要求注意事项1)礼宾岗必须掌握样板房户型、面积、朝向、在售金额、物业服务管理费用等客户比较关注的话题;

2)礼宾岗上班后必须检查样板房的整体情况,如果发现问题必须及时上报并协助销售进行处理;

3)视线范围内见有客户参观时,远处目视,待客户行进1.5米的距离时,敬军礼并主动向客户微笑问好,“欢迎您来参观样板房,这边请,手势指引样板房方向”;

阶段工作及服务流程

班中工作程序工作

要求

注意

事项

4)参观期间,礼宾岗需注意背包或穿大

衣等可以重点人员进行关注,避免样板

房的物品丢失,当巡检时发现有物品丢

失及时上报上级领导,对参观的可疑人

员进行询问,根据销售部的意见决定是否报警;

5)样板房开放时间,在未经销售、项目部允许而进行拍照、摄像等行为劝阻,禁止任何人员挪动展示物品;

6)样板房开放时礼宾岗要关注老人、小孩、孕妇及行动不便的人群,对在参观过程中出现的意外及物品损坏必须及时上报上级领导,根据销售部的意见进行处理并做好登记;

7)样板房开放期间礼宾岗要礼貌准确的回答客户的问题,对不能回答的问题需引导给销售人员由其进行解答,严禁用含糊不清或拒绝来回答;

8)留意客户是否离开样板房,通知电瓶车司机来接客户;

9)当客户参观完毕离开样板房,待客户1.5米距离时微笑敬礼目送客户,手势指向出门的方向,若电瓶车未到,向客户致歉并说明电瓶车马上就到;

10)每天下班要对样板房物品进行检查并做好登记,如出现丢失或损坏须向上

级领导呈报,根据销售部意见进行处理并做好记录;

11)礼宾岗下班后要关闭样板房的水源、电源及监控系统并与晚班人员做好交接;

12)对于特殊天气,样板房礼宾岗要检查周边环境,以防不则;

下班程序1)检查使用的工具情况,异常情况及时记录并报告上级领导;

2)参加班后总结会;

3)统计访客量;

4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;

1.3.4.3电瓶车服务岗

1.3.4.3.1电瓶车服务岗岗位职责

1)严格按照规定的路线及线路行驶,将客人送到指定地点;

2)正确执行驾驶操作流程,确保车行安全;

3)了解开发建设项目的基本情况并使用统一说辞,在允许的情况下礼貌回答客户问题;4)车辆停放时及时对车辆进行清洁,确保车辆干净;

5)负责车辆的检查;

6)对车辆实施责任化管理,未经允许任何人不得驾驶;

7)不允许非客户人员乘坐电瓶车;

8)做好电瓶车的交接工作

1.3.4.3.2电瓶车服务岗工作及服务流程

阶段工作及服务流程

班前阶段1)自检仪容仪表

2)检查电瓶车运行状态,如发现问题立即上报上级领导进行维修并做好记录

班中工作程序服务

流程

行为

规范

1)迎接客户上车2)转弯、减速、避让

提示客户3)下车提示客户小心

工作

要求

注意

事项

1)电瓶车驾驶员载客至样板房过程中

禁止鸣笛、超速、遇车避让;

2)客户上车时应主动问好,欢迎您来到

XX项目,车辆行驶时应提示客户坐稳扶

好,到达目的地时,驾驶员提示客户样

板房已经到达请小心下车,客户离开电

瓶车时应说:欢迎下次乘坐,谢谢再见,

问指引车辆起车辆行驶下

请慢走;

3)带客户下车时应检查车上是否有遗留物品,并提示客户随身带好物品;4)电瓶车必须严格按照规定路线行驶;5)做好行车记录;

下班程序1)待客户全部离开后将电瓶车开至指定位置,并将车辆进行清洁及充电;

2)整理客户意见,参加班后会;

3)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;

1.3.5样板房服务岗

1.3.5.1样板房讲解岗岗位标准

1.3.5.1.1样板房讲解岗岗位职责

1)负责来访样板房客户的全程接待与讲解;

2)协助、配合置业顾问介绍;

3)客户离开后,样板房零星保洁的处理;

4)收集客户意见、建议及现场问题点的填写(样板房日常庶务)反馈单,下班后递交案场负责人;

1.3.5.1.2样板房讲解刚工作及服务流程

阶段工作及服务流程

班前阶1)自检仪容仪表,以饱满的工作状态进入工

段作;

2)检查样板房设备设施运行情况,如有异常

及时上报并做好登记;

3)检查样板房保洁情况及空调开启情况;

设备设施班中工作程序服务

流程

行为

规范

1)站立微笑自然2)递送鞋套3)热情大

方、细致讲解4)温馨道别保持整洁

工作

要求

注意

事项

1)每日对接样板房设备清单,检查空调

开启及保洁状态;

2)站在样板房或电梯口,笑意盈盈接待

客户;

3)顾客出现时,身体成30度角鞠躬“欢

迎光顾XX样板房”

4)引领入座并双手递上鞋套,双手递上

时不宜过高,与客人坐下时的膝盖同

高;

5)与客户交谈时声音要足,吐字清晰避

迎客,引导客协助置向客户

免重复;

6)专注你接待的客户,勿去应其他客户,以示尊重,对其他客户微笑点头以示回应;

7)若无销售人员带领的客户,要主动介绍房子的户型及基本信息,谈到房子的价位时请客户直接与销售人员联系不要直接做回答;

8)参加样板房时,未经销售或其他人员允许谢绝拍照及录像,谢绝动用样板房物品及附属设施,对客遗失物品做好登记并上报上级领导;

9)时刻注意进入样板房的客户群体,特别是小孩,要处处表达殷勤的关心,以示待客之道;

10)时刻留意客户的谈话,记下客户对样板房的关注点和相关信息;

11)送别,引领客户入座示意脱下鞋套双手承接,客户起身离去时,鞠躬说感谢您参观样板房,并目送客户离开;

下班程

序1)检查样板房设备设施是否处于良好的运营状态,如出现异常及时维修;

2)需对接样板房物品清单;

3)整理客户意见,参加班后会;

4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班

时间已经到,必须待客人离开后下班;

1.3.5.2样板房服务岗岗位标准(参见销售大厅服务岗岗位标准)

1.3.6案场服务岗管理要求

培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况

在岗培训每

月至少一次

1)公司企业文化2)客户服务技

巧3)客户心理培训4)突发事件

处理5)营销知识培训6)职业安

全7)7S现场管理

例会

日会:每日参加案场管理岗组织

的总结会并及时接收案场信息

周会:每周参加管理岗组织的服

务类业务点评会

客户信息收集反馈

每日汇总客户信息反馈到案场管理岗

样板房客户车场岗客户

监督考

核1)考核频次:至少每月一次;

2)考核人:案场管理岗;

3)每月汇总客户信息反馈表,依据上级检查及客户满意度调查情况进行绩效加减;

4)由案场负责人直接考核;

5)连续两个月考核不合格者直接辞退

1.4案场基础作业岗

1.4.1案场基础作业岗任职资格

岗位类

岗位名称任职资格基

础作业岗安

基本要求:

1)男性:身高1.80米

以上;

2)年龄:(18-30)岁;

3)普通话标准;

4)学历:高中以上;

技能要求:

1)熟悉项

目的基本

情况

2)具备过

硬的军事

素质

素质要求:

1)性格:开朗、主动服

务意识强有亲和力;

2)从业经历:具有同岗

位经验半年以上

案场保洁岗及绿化养护岗基本要求:

1)男女不限;

2)年龄30岁以下

3)学历:初中以上

技能要求“

案场保洁岗:

熟知药剂使

用及工具使

案场绿化养

护岗:熟知树

木习性及绿

化养护知识素质要求:具有亲和力,

对保洁及绿化工作有认

同感

案场技术保障岗基本要求:男性五官端

学历:中专(机电一体化)

技能要求:

1)具有水

或电及空

调证书;

2)熟悉各

岗位操作

工具的使

用;

3)同岗工

作一年以

素质要求:

踏实肯干,具有亲和力及

主动服务意识

1.4.2案场基础作业岗通用行为规范

通用规范

参照

标准 君正物业员工BI 规范手册

1.4.3安全岗岗位标准 1.4.3.1安全岗岗位职责

1)负责销售案场管理服务区域的安全巡视工作,维持正常秩序; 2)监督工作区域内各岗位工作状态及现场情况及时反馈信息;

3)发现和制止各种违规和违章行为,对可疑人员要礼貌的盘问和跟踪察看; 4)谢绝和制止未经许可的各类拍照、摆放广告行为; 1.4.3.2安全岗作业要求

1)按照巡视路线巡视签到检查重点部位;

2)遇见客户要站立、微笑、敬礼,礼貌的回答客户的提问并正确引导; 3)人过地净,协助案场保洁人员做好案场的环境维护; 4)在每一巡视期内检查设备设施运行状态并做好记录; 5)协助做好参观人员的车辆引导、指引和执勤工作; 6)积极协助其他岗位工作,依据指令进行协助;

1.4.4保洁岗岗位标准

1.4.4.1保洁岗岗位职责

1)负责案场办公区域、样板房及饰品的清洁工作;

2)负责案场外围的清洁工作;

3)负责案场垃圾的处理;

4)对案场杂志等资料及时归位;

1.4.4.2保洁岗作业要求

1)每天提前半小时上岗,对案场玻璃、地面等进行全方位清洁;2)卫生间每十分钟进行一次巡视性清洁;

3)阴雨天提前关闭门窗;

4)掌握清洁器具的使用;

5)熟知清洁药剂的配比及使用;

1.4.5绿化岗岗位标准

1.4.5.1绿化岗岗位职责

1)负责管理区域内一切绿化的养护;

2)确保绿化的正常存活率;

3)对绿植进行修剪及消杀;

1.4.6案场技术岗岗位标准

1.4.6.1案场技术岗岗位职责

1)全面负责案场区域内设备设施的维护、维修及保养;

2)协助管理岗完成重大接待工作案场的布置;

3)现场安全的整体把控;

1.4.6.2案场技术岗岗位要求

1)每日案场开放前对辖区设备设施进行检查,保障现场零事故;2)每日班后对设备设施进行检查保障正常运行并做好相关记录;3)报修后5分钟赶到现场;

4)接到异常天气信息,对案场设备进行安全隐患排除;

1.4.7案场基础作业岗岗位要求

培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况

在岗培训每

月至少一次

1)公司企业文化2)客户服务技

巧3)客户心理培训4)突发事件

处理5)营销知识培训6)职业安

全7)7S现场管理

例会

日会:每日参加案场管理岗组织

的总结会并及时接收案场信息

周会:每周参加管理岗组织的服

务类业务点评会

客户信息收集反馈

每日汇总客户信息反馈到案场管理岗

监督考

核1)考核频次:至少每月一次;

2)考核人:案场管理岗;

3)每月汇总客户信息反馈表,依据上级检查及样板房客户车场岗客户

高数中求极限的16种方法

高数中求极限的16种方法——好东西 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要,就是说在一定区间内,函数的正负与极限一致 一、极限分为一般极限,还有数列极限,(区别在于数列极限发散,是一般极限的一种) 二、求极限的方法如下: 1 .等价无穷小的转化,(一般只能在乘除时候使用,在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者(1+x)的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2.罗比达法则(大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法) 首先他的使用有严格的使用前提,必须是 X趋近而不是N趋近!所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!必须是函数的导数要存在!必须是 0比0 无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0 注意:罗比达法则分为3种情况 0比0,无穷比无穷的时候直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了;0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方;对于(指数幂数)方程,方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因, LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0) 3.泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意!!!!) E的x展开,sina 展开,cos 展开,ln1+x展开,对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则,最大项除分子分母!!!!!!!!!!! 5.无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候,尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!!! 6.夹逼定理(主要对付数列极限!) 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用(对付数列极限,q绝对值符号要小于1) 8.各项的拆分相加(来消掉中间的大多数,对付的还是数列极限) 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9.求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn 的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化 10.两个重要极限的应用。第一个是X趋近0时候的sinx与x比值。第二个是趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限) 11.还有个方法,非常方便的方法,就是当趋近于无穷大,不同函数趋近于无穷的

求极限方法总结全

极限求解总结 1、极限运算法则 设lim n →∞ a a =a ,lim n →∞ a a =a ,则 (1) lim n →∞ (a a ±a a )=lim n →∞ a a ±lim n →∞ a a =a ±a ; (2) lim n →∞ a a a a =lim n →∞ a a lim n →∞ a a =aa ; (3) lim n →∞a a a a = lim n →∞a a lim n →∞ a a = a a (a ≠0). 2、函数极限与数列极限的关系 如果极限lim x →a 0 a (a )存在,{a a }为函数a (a )的定义域内任一收敛于a 0的数列,且满 足:a a ≠a 0(a ∈a +),那么相应的函数值数列{a (a )}必收敛,且lim a →∞ a (a a )= lim a →a 0 a (a ) 3、定理 (1) 有限个无穷小的和也是无穷小; (2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小; 4、推论 (1) 常数与无穷小的乘积是无穷小; (2) 有限个无穷小的乘积也是无穷小;

(3)如果lim a(a)存在,而c为常数,则lim[aa(a)]=a lim a(a) (4)如果lim a(a)存在,而n是正整数,则lim[a(a)]a=[lim a(a)]a 5、复合函数的极限运算法则 设函数y=a[a(a)]是由函数u=a(a)与函数y=a(a)复合而成的,y=a[a(a)] 在点a0的某去心领域内有定义,若lim a→a0a(a)=a0,lim a→a0 a(a)=a,且存在a0> 0,当x∈U(a0,a0)时,有a(a)≠a0,则lim a→a0a[a(a)]=lim a→a0 a(a)=a 6、夹逼准则 如果 (1)当x∈U(a0,a)(或|a|>M)时,g(x)≤a(a)≤h(x) (2)lim a→a0(a→∞)a(a)=a,lim a→a0(a→∞) a(a)=a 那么lim a→a0(a→∞) a(a)存在,且等于A 7、两个重要极限 (1)lim a→0sin a a =1 (2)lim x→∞(1+1 x )x=a 8、求解极限的方法(1)提取因式法

求极限的方法总结

学号:0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师(职称) 完成时间年月日至年月日

摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异,变化多端,有时甚至感到变幻莫测无从下手,通过通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结,以供参考。 关键词:极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (ii ) A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下:

1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (i )“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后,就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或;) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=,这样就能把幂上的函数移下来了,变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候,含有正余弦的加减的时候) 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ; cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

关于计算极限的几种方法

目录 摘要 (1) 引言 (2) 一.利用导数定义求极限 (2) 二.利用中值定理求极限 (2) 三.利用定积分定义求极限 (3) 四.利用施笃兹公式 (4)

五.利用泰勒公式 (5) 六.级数法 (5) 七.结论 (6) 参考文献 (6)

内容摘要

引言: 极限是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代,极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术,就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生,极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的,因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪,由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作,才将其置于严密的理论基础之上,从而得到举世一致的公认。 数学分析中的基本概念的表述,都可以用极限来描述。如函数()x f y =在 0x x =处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分,三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。 一.利用导数定义求极限 据文[]1定理1导数的定义:函数)(x f 在0x 附近有定义,对于任意的x ?, 则)()(00x f x x f y -?+=? 如果x x f x x f x x ?-?+=→?→? ) ()(lim lim 000 0存在,则此极限值就 称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )('0000在这 种方法的运用过程中。首先要选好)(x f ,然后把所求极限。表示成)(x f 在定点0x 的导数。 例1:求a x x a a x x a a a a x --→lim 解:原式0)(lim lim 1lim 0---?=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a a a x x a a a a x a a a a a x x a x x ,令a x x a y -=, 当a x →时,0→y ,故原式a a a a a a a y y a ln |)'(0=?== 一般地,能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求,值得注意的是许

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例,f(x) 在点以A为极限的定义是:对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式时,对应的f(x)函数值都满足不等式:,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则: 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的,因此,利用极限四则运算法则求函数极限时,必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件,满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者,不能直接利用极限四则运算法则求之。但是,井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限,而是需将函数进行恒等变形,使其符合条件后,再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时,通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解:lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是,在求一个含分式的函数的极限时,分别对分子和分母求导,在求极限,和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点: 设函数f(x)和F(x)满足下列条件: (1)x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; (2)在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; (3)x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1: 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导(洛必达法则) (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限: 应用第一重要极限时,必须同时满足两个条件: ①分子、分母为无穷小,即极限为0 ; ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时,必须同时满足四个条件:

高等数学-求极限的各种方法

求极限的各种方法 1.约去零因子求极限 例1:求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限 例2:求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方; (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限 例3:求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

例4:求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子...........是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim , 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5:求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑X 1 + ,最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6:(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ;(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ,求a 。 5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有: 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-; (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式.. ;

高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结

L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真! 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎,可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先,对极限的总结如下: 极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限,数列极限(区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种) 2.解决极限的方法如下:(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???) 1 等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1 或者(1+x)的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2 LHopital 法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!必须是X趋近而不是N 趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死!!)必须是0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!! 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0)3泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!!!!)E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母!!!!!!!!!!!看上去复杂处理很简单!!!!!!!!!!5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候, 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!!!6夹逼定理(主要对付的是数列极限!) 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。7等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要!!!!!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)11 还有个方法,非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!x的x次方快于x!快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换

求极限的常用方法

毕业论文 题目:求极限的方法 学院:数学与统计学院 专业:数学与应用数学 毕业年限:2013 学生姓名:俞琴 学号:200971010249 指导教师:伏生茂

求极限的方法 俞 琴 (数学与应用数学 200971010249) 摘要:在数学分析中,极限思想始终贯穿于其中,求极限的方法也显得至关重 要,求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定义、四则运算法则、迫敛性、两个重要极限、定积分、函数连续性等,除了这些常用方法外,还有许多相关技巧.本文结合自己对极限求解方法的总结,通过一些典型的实例,对求极限的各种方法的很多细节作了具体分析,使方法更具针对性、技巧性,因此,克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余. 关键词:极限 单调性 定积分 洛必达法则 函数连续性 一、极限的定义及性质 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限概念和极限方法产生的客观基础. 极限概念是数学分析中最基本的概念,因为数学分析的其它基本概念均可用极限概念来表达,且解析运算(微分法、积分法) 都可用极限概念来描述,如函数)(x f y =在0x x =处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分、三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条主线,它将数学分析的各个知识点连在了一起.所以,极限概念与极限运算非常重要,学好极限便为学习数学分析打好了基础. (一)定义 定义1 设}{n a 为数列,a 为定数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当N n >时有 ε<-a a n ,则称数列}{n a 收敛于a ,定数a 称为数列}{n a 的极限,并记作

高等数学求极限的16种方法

高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉,假如高等数学是棵树木得话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎,可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限,还有个数列极限,(区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种) 2解决极限的方法如下:(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???)1 等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1 或者(1+x)的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 (x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2落笔他法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 首先他的使用有严格的使用前提!!!!!! 必须是 X趋近而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件 (还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死!!) 必须是 0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!! 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0) 3泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!!!!)

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法

设 f (x )=xsin 1/x + a,x<0,b+1,x=0,x^2-1,x<0,试求: 当a ,b 为何值时,f (x )在x=0处的极限存在? 当a ,b 为何值时,f (x )在x=0处连续? 注:f (x )=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解:f(0)=b+1 左极限:lim(x→0-) f(x)=lim(x→0-) (xsin(1/x)+a)=0+a =a 左极限:lim(x→0+) f(x)=lim(x→0+) (x^2-1)=0-1=-1 f(x)在x =0处连续,则lim(x→0-) f(x)=lim(x→0+) f(x)=f(0), 所以a =-1=b+1, 所以a =-1,b =-2 7.利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限30tan sin lim sin x x x x →-. 解 由于()s i n t a n s i n 1c o s c o s x x x x x -=-,而 ()sin ~0x x x →,()2 1cos ~02 x x x -→,()33sin ~0x x x → 故有 2 3300tan sin 112lim lim sin cos 2 x x x x x x x x x →→?-=?=. 注 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代,如在例题中,若因有()t a n ~0x x x → ,()s i n ~0x x x →,而推出 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==, 则得到的式错误的结果. 附 常见等价无穷小量 ()sin ~0x x x →,()tan ~0x x x →,()2 1cos ~02 x x x -→, ()arcsin ~0x x x →,()arctan ~0x x x →,()1~0x e x x -→, ()()ln 1~0x x x +→,()()11~0x x x α α+-?→. 8 利用洛比达法则求极限 洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞ 型不定式极限.用此种方法求极限要求在

求极限的常用方法Word版

求极限的常用方法 摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理,这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时,极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限;计算方法 初等数学的研究对象基本上是不变的量,而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限,下文研究的是函数的极限,这些方法对于数列的极限同样适用。 1.直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21) x x →- 解 1 lim(21)2111 x x →-=?-= 2.约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11 lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3.分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注:一般地,分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4.分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

高数中求极限的16种方法——好东西 )

假如高等数学是棵树木得话,那么极限就是他的根,??函数就是他的皮。树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎,??可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要?? ?各个章节本质上都是极限,??是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先??对??极限的总结??如下 极限的保号性很重要? ?就是说在一定区间内??函数的正负与极限一致 1??极限分为? ?一般极限? ?,??还有个数列极限,??(区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种) 2解决极限的方法如下:(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???) 1 等价无穷小的转化,? ?(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用??但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1? ?或者(1+x)的a次方-1等价于Ax??等等。??全部熟记 (x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2??LHopital?法则? ?(大题目有时候会有暗示??要你使用这个方法) ??首先他的使用有严格的使用前提!!!!!! ? ?必须是??X趋近而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,??当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件?? (还有一点??数列极限的n当然是趋近于正无穷的??不可能是负无穷!) ? ?必须是函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x),??没告诉你是否可导,直接用无疑于找死!!) ??必须是??0比0??无穷大比无穷大!!!!!!!!! ? ?当然还要注意分母不能为0?? ??LHopital? 法则分为3中情况 1 0比0? ?无穷比无穷??时候??直接用 2? ?0乘以无穷? ?无穷减去无穷? ?(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后? ?这样就能变成1中的形式了 3??0的0次方? ? 1的无穷次方无穷的0次方? ? ??对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,??这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(??这就是为什么只有3种形式的原因, LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0??当他的幂移下来趋近于无穷的时候??LNX趋近于0) 3泰勒公式? ? (含有e的x次方的时候??,尤其是含有正余旋??的加减的时候要特变注意??!!!!) E的x展开? ?sina??展开? ?cos??展开? ?ln1+x展开 对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 ??取大头原则? ? 最大项除分子分母!!!!!!!!!!! ??看上去复杂处理很简单!!!!!!!!!!

求极限的方法及例题总结

1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5 )13(lim 2 =-→x x (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3) )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

求极限的几种方法

一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则: B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 (IV ) cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 (c 为常数) 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,

例:求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式(此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法(适用于∞-∞型) 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质) 设函数f(x)、g(x) 满足:

求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则; (2) 利用两个重要极限; (3) 利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量); (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限: (1)x x x 33sin 9lim 0-+→ (2)1)1sin(lim 21--→x x x (3)x x x 1 0)21(lim -→ (4)2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ (5))1 1e (lim 0-+→x x x x 解(1)对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四则运算法则和第一重要极限计算,即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? (2)利用第一重要极限和函数的连续性计算,即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= (3)利用第二重要极限计算,即 x x x 1 0)21(lim -→=2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 (4)利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量)计算,即

222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注:其中当∞→x 时,x x x x sin 1sin =,)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量,即它们还是无穷小量。 (5) 利用函数的连续性计算,即 )11e (lim 0-+→x x x x =11 01e 00-=-+?

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下: 定理:如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B ()() (1)[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B (2)[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B ()()( (3)若B ≠0 (4)0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A (5)[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????(n 为自然数) 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式,直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?,求lim n n x →∞ 解: 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义:函数f(x)在0x 附近有定义,χ??,则 如果 存在, 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中,首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

求极限方法总结

求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限,还有个数列极限,区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种 2解决极限的方法如下:我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化,只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方

对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,这就是为什么只有3种形式的原因, LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候,尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下, xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法,非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法,当然也是夹杂其中的

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