初二数学竞赛辅导资料 勾股定理
初二数学复习讲义——-勾股定理
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： ， ，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
常见图形：
题型一：直接考查勾股定理
例１.在 中， ．
（1）已知 ， ．求 的长
（2）已知 ， ，求 的长
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
1在 中， ， ， ， 于 ， ＝
2⑵已知直角三角形的两直角边长之比为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
3已知直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三： ， ，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
例7.三边长为 ， ， 满足 ， ， 的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知 中， ， ， 边上的中线 ，求证：
证明：
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜边
初二讲义：勾股定理
初二数学讲义勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． （方法一）（方法二）（方法三）a b ccb a E DC B A方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以A B方法三：，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 例题解析题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=考点一、已知两边求第三边例．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．练习一1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________．2.（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段 楼梯所铺地毯的长度应为 ．3．在数轴上作出表示10的点．4．三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜B CA 30CB A DE F 边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积考点二、利用列方程求线段的长例．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 练习二 如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m题型四：与展开图有关的计算例4、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm题型五：勾股定理的实际应用 用勾股定理求两点之间的距离问题例、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°A DE B CA B C D E 第7题F E D CB A 第9题 方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地C点。
初二数学知识点梳理：勾股定理
初二数学知识点梳理：勾股定理知识点总结一、勾股定理：勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
２.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：确定最大边；算出最大边的平方与另两边的平方和；比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
常见考法直接考查勾股定理及其逆定理；应用勾股定理建立方程；实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
初中数学竞赛25个定理
初中数学竞赛25个定理
初中数学竞赛25个定理1. 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两腰的平方和。
2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有c²=a²+b²-2abcosC。
3. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
4. 相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
5. 平行四边形法则：平行四边形两对邻边互相平分、互为反向共线向量。
6. 向量加减法则：向量之间可以进行加减运算，并且满足交换律、结合律和分配律。
7. 向量数量积公式：设向量a=(x₁,y₁,z₁)和b=(x₂,y₂,z₂)，则
a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂。
8. 圆周率π的计算方法及其性质
9. 等差数列通项公式an=a1+(n-1)d
10. 等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)
11. 数列求和公式Sn=n(a1+an)/2
12. 柿子（二次根号不含整系数）判别法
13 .一元二次方程求解公式 x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
14 .勾股数存在条件与构造方法
15 .正多面体表面积与体积计算公式
16 .圆锥侧面积与体积计算公式
17 .球表面积与体积计算公式
18 .立体图像展开后各部位长度关系推导方法
19 .概率基本定义及常见问题解决思路
20 .排列组合基础知识点总结
21 .函数定义域、值域以及单调性研究方法
22 .极坐标下曲线参数化表示方式
23 ．复杂图案拼接技巧总结
24 ．代数恒等变换规律总结
25 ．空间几何证明题目思考策略。
勾股定理在数学竞赛中的常见题型
勾股定理在数学竞赛中的常见题型勾股定理作为数学中的一条重要定理，经常在数学竞赛中出现。
它被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。
在这篇文章中，我们将介绍勾股定理在数学竞赛中的常见题型，并给出一些解题思路。
一、勾股定理的基本定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是描述直角三角形三边关系的定理。
它的基本定义如下：在一个直角三角形中，直角的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
若直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
二、题型一：已知两边求第三边这是勾股定理中最基本的应用题型之一。
题目给出两条边的长度，要求求解第三条边的长度。
解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。
2. 然后，将已知的两条边的长度代入方程，解出未知的边的长度。
3. 最后，根据题目要求确定解的范围并进行答案验证。
例如，题目给出一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，要求求解斜边的长度。
根据勾股定理，可得方程3² + 4² = c²，解得c = 5。
所以答案是5。
三、题型二：已知斜边和一直角边，求另一直角边这个题型要求根据给定的斜边和一直角边的长度，求解另一直角边的长度。
解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。
2. 其次，将已知的直角边和斜边的长度代入方程，并整理得到关于未知边的方程。
3. 最后，解方程得到未知边的长度。
例如，题目给出一个直角三角形的斜边长度为5，一直角边长度为3，要求求解另一直角边的长度。
根据勾股定理，可以得到方程3² + b²= 5²，整理得b² = 25 - 9，解得b = √16 = 4。
所以答案是4。
四、题型三：求直角三角形的面积这个题型要求根据给定的直角三角形两个直角边的长度，求解其面积。
八年级数学勾股定理3篇
八年级数学勾股定理3篇《勾股定理》知识点总结1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即：a2+b2=c2) 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：(1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2 a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 a2+b2，则△abc为锐角三角形)。
p=3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理;联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理中考数学|勾股定理知识点规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
勾股定理简介与证明(3篇)
第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
初中数学竞赛题 勾股定理
初中勾股定理甲内容提要1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c2 2. 勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段a 的2，3， 5……倍② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③ 证明线段的平方关系等。
3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4. 勾股数的推算公式① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。
③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。
④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。
简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
乙例题例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5a 求作线段5a a分析一：5a ＝25a ＝224a a + 2a∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二：5a ＝2492a a - ∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图（略）例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2求对角线AC 的长解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30∴CE ＝2CD＝4，在Rt △ABE 中设AB 为x,则AE ＝2x根据勾股定理x 2+52=(2x)2, x 2=325在Rt △ABC 中，AC ＝221+x ＝1325+＝2132例3.已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC 证明：作∠B 的平分线交AC 于D ， 则∠A ＝∠ABD ， ∠BDC ＝2∠A ＝∠C∴AD ＝BD ＝BC作BM ⊥AC 于M ，则CM ＝DM AB 2－BC 2＝（BM 2＋AM 2）－（BM 2＋CM 2）＝AM 2－CM 2＝（AM ＋CM ）（AM －CM ）＝AC ×AD ＝AB ×BC例4.如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD求证：AB ＝AC证明：设AB ，AC ，BD ，CD 分别为b,c,m,n则c+n=b+m, c-b=m-n∵AD ⊥BC ，根据勾股定理，得AD 2＝c 2-m 2=b 2-n2 ∴c 2-b 2=m 2-n 2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b∴AB ＝AC例5.已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC求证：AC ＞BD证明：作DE ∥AC ，DF ∥BC ，交BA 或延长线于点E 、FACDE 和BCDF 都是平行四边形∴DE ＝AC ，DF ＝BC ，AE ＝CD ＝BF作DH ⊥AB 于H ，根据勾股定理 AH ＝22-DH AD ，FH ＝∵AD＞BC ，AD ＞DF∴AH ＞FH ，EH ＞BH DE ＝22EH DH +，BD ＝2BH DH +∴DE ＞BD即AC ＞BD例6.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝32求：a b -的值（2001年希望杯数学邀请赛，初二）解：根据勾股定理 a 2+b 2=EF 2＝S EFGH ＝32;①∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=31② ① －②得 （a-b ）2=31∴a b -＝33丙练习311. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，③22158+＝＿＿＿，④2215-25＝＿＿＿3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。
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初二数学竞赛辅导资料勾股定理
内容提要
1．勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2=c2
2．勾股定理及逆定理的应用
1 作已知线段a的，，……倍
2 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题
3 证明线段的平方关系等．
3．勾股数的定义：如果三个正整数a，b，c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a，b，c 叫做一组勾股数.
4．勾股数的推算公式
4 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n，那么m2-n2，2mn，m2+n2是一组勾股数．
5 如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数．
6 如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数．
7 如果a，b，c是勾股数，那么na，nb，nc (n是正整数也是勾股数．
5．熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形．简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41．
例题
例1.已知线段a a a 2a 3a a
求作线段 a a
分析一：a＝＝2a
∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边．
分析二：a＝
∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边．作图（略）
例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长
解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30
∴CE＝2CD＝4，
在Rt△ABE中
设AB为x，则AE＝2x
根据勾股定理x2+52=(2x2， x2=
在Rt△ABC中，AC＝＝＝例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A
求证：AB2－BC2＝AB×BC
证明：作∠B的平分线交AC于D，
则∠A＝∠ABD，
∠BDC＝2∠A＝∠C
∴AD＝BD＝BC
作BM⊥AC于M，则CM＝DM
AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）
＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）
＝AC×AD＝AB×BC
例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD
求证：AB＝AC
证明：设AB，AC，BD，CD分别为b，c，m，n
则c+n=b+m， c-b=m-n
∵AD⊥BC，根据勾股定理，得
AD2＝c2-m2=b2-n2
∴c2-b2=m2-n2， (c+b(c-b=(m+n(m-n
(c+b(c-b =(m+n((c-b
(c+b(c-b －(m+n(c-b＝0
(c-b｛(c+b－(m+n｝＝0
∵c+b>m+n，∴c-b=0 即c=b
∴AB＝AC
例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC
求证：AC＞BD
证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F
ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF 作DH⊥AB于H，根据勾股定理
AH＝，FH＝
∵AD＞BC，AD＞DF
∴AH＞FH，EH＞BH
DE＝，BD＝
∴DE＞BD
即AC＞BD
例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a ，AF＝b，且SEFGH＝
求：的值
（希望杯数学邀请赛，初二）
解：根据勾股定理
a2+b2=EF2＝SEFGH＝;①
∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH ∴2ab=②
1 －②得（a-b）2=∴＝
练习
1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：
1 7，＿＿，＿＿②8，＿＿，＿＿③9，＿＿，＿＿
④10，＿＿，＿＿⑤11，＿＿，＿＿⑥12，＿＿，＿＿
2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：
1 252－242＝＿＿，②52＋122＝＿＿，
③＝＿＿＿，④＝＿＿＿
3.
△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高．那么S△ABC＝＿＿，C H＝＿＿，MH＝＿＿＿
4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿
5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求证：AE＝AF
6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB ，
且BD＝BF，CD＝CE
求证：AE＝AF
7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数．（用反证法）
9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长
10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2
11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC
ME⊥MF
求证：EF2＝BE2＋CF2
12.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的
延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿．（希望杯数学邀请赛，初二试题）
13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3， (100)
记mi=APi2+BPi×PiC (I=1，2……，100，则m1+m2+…＋m100=____。