初中数学竞赛——勾股定理及其应用
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一条基础定理，也是几何中一个重要的概念。
它被广泛应用于各个领域，比如物理学、工程学和计算机科学等。
本文将对勾股定理的原理进行介绍，并探讨其在实际应用中的具体运用。
一、勾股定理的原理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。
即若在一个直角三角形中，设直角边分别为a、b，斜边为c，则有a² + b² = c²。
这一定理最早出现在古代中国的数学著作《周髀算经》中，被称为“六百年前的勾股定理”。
而在西方，古希腊数学家毕达哥拉斯被广泛认为是勾股定理的发现者。
二、勾股定理的应用1. 几何推理勾股定理在几何中有着广泛的应用。
通过勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形，以及计算出未知边长的长度。
此外，勾股定理也为我们解决各类直角三角形的问题提供了一种常用的方法。
2. 物理学领域勾股定理在物理学中有着重要的应用。
例如，在力学中，我们可以利用勾股定理来计算物体的位移和速度。
在光学中，勾股定理可用于计算光线的传播距离和角度。
在力学和光学等自然科学中，勾股定理是解决问题的基础。
3. 工程学领域在工程学领域，勾股定理也被广泛应用于测量和设计中。
例如，在建筑工程中，我们利用勾股定理来进行斜边的测量，从而确保建筑物结构的稳定性。
在工程设计中，我们可以利用勾股定理来确定设计方案的可行性。
4. 计算机科学领域在计算机科学中，勾股定理被广泛应用于图像处理和计算机图形学中。
通过勾股定理，我们可以计算图像中的像素距离，从而实现图像的缩放、旋转和变换等操作。
此外，勾股定理还在算法设计和数据结构中扮演着重要的角色，为计算机科学领域提供了一种简便而高效的方法。
结语勾股定理是数学中的一条重要定理，它不仅具有理论意义，还被广泛应用于各个领域。
几何推理、物理学、工程学和计算机科学等领域都离不开勾股定理的运用。
通过深入了解勾股定理的原理，我们可以更好地理解其应用，并在实际问题中灵活运用，从而取得更好的效果。
勾股定理在数学竞赛中的常见题型
勾股定理在数学竞赛中的常见题型勾股定理作为数学中的一条重要定理，经常在数学竞赛中出现。
它被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。
在这篇文章中，我们将介绍勾股定理在数学竞赛中的常见题型，并给出一些解题思路。
一、勾股定理的基本定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是描述直角三角形三边关系的定理。
它的基本定义如下：在一个直角三角形中，直角的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
若直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
二、题型一：已知两边求第三边这是勾股定理中最基本的应用题型之一。
题目给出两条边的长度，要求求解第三条边的长度。
解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。
2. 然后，将已知的两条边的长度代入方程，解出未知的边的长度。
3. 最后，根据题目要求确定解的范围并进行答案验证。
例如，题目给出一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，要求求解斜边的长度。
根据勾股定理，可得方程3² + 4² = c²，解得c = 5。
所以答案是5。
三、题型二：已知斜边和一直角边，求另一直角边这个题型要求根据给定的斜边和一直角边的长度，求解另一直角边的长度。
解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。
2. 其次，将已知的直角边和斜边的长度代入方程，并整理得到关于未知边的方程。
3. 最后，解方程得到未知边的长度。
例如，题目给出一个直角三角形的斜边长度为5，一直角边长度为3，要求求解另一直角边的长度。
根据勾股定理，可以得到方程3² + b²= 5²，整理得b² = 25 - 9，解得b = √16 = 4。
所以答案是4。
四、题型三：求直角三角形的面积这个题型要求根据给定的直角三角形两个直角边的长度，求解其面积。
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理是一条古老而又深远的几何定理，其内容简洁却充满力量。
它的发现和应用不仅为几何学带来了重大突破，还被广泛运用于各个领域，产生了深远的影响。
本文将介绍勾股定理的由来、几何证明和实际应用。
1. 勾股定理的由来勾股定理最早可以追溯到古代埃及、巴比伦等文明，但被广泛应用并具有明确证明的则是我国古代数学家所提出的方法。
亚里士多德学派的《几何原本》中，勾股定理首次被明确表述，并以数学推导的方式予以证明。
在中国，勾股定理被称为“勾股”或“勾三股四弦五”，并且经过了漫长的实践和完善。
2. 勾股定理的几何证明在几何证明方面，勾股定理有多种推导方法。
其中一种直观的证明方法是基于图形构造。
设有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角。
我们可以在三角形ABC的三边上分别构造正方形，使得它们的面积分别为a^2, b^2和c^2。
通过观察可以发现，三个正方形所围成的图形正好构成一个面积为c^2的正方形。
这一构造过程就是勾股定理的一个几何证明。
3. 勾股定理的应用勾股定理在数学和各个领域中都有广泛的应用。
在几何学中，勾股定理是解决直角三角形相关问题的基础，例如求解未知边长、角度和面积等。
它还是解析几何的基础，可以用来推导、证明和应用其他几何定理。
而在物理学中，勾股定理则被广泛应用于力学和电磁学等领域。
以力学为例，当一个物体在斜面上滚动时，我们可以利用勾股定理求解物体所受的重力分解和加速度。
在电磁学中，勾股定理可以用于计算电路中的电压、电流和电阻等参数。
此外，勾股定理还应用于测量学和导航学等实际领域。
例如，测量学中的三角测量方法即利用勾股定理来计算两点之间的距离。
而在导航学中，勾股定理可以帮助我们确定物体在地球上的位置和航向。
4. 总结勾股定理作为一条简洁而又实用的几何定理，在几何学、物理学、测量学和导航学等领域都有重要的应用价值。
它的发现和证明经历了漫长的历史，是古代智慧和现代科学的结合。
无论是在纯理论研究还是实际应用中，勾股定理都起到了至关重要的作用，不断推动着科学的发展。
(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用
(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用初中数学竞赛勾股定理与应用勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系:a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．证法1 如图2—16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK,ACFG，它们的面积分别是c2,a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG,所以△ACE≌△AGB（SAS）．而所以 S AEML=b2．①同理可证 S BLMD=a2．②①+②得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．证法2 如图2—17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA,CB 分别延长到D，F,使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF（它的边长为a+b），又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c,∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,因此,AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF 的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB）的面积和，即化简得 a2+b2=c2．证法3 如图2—18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D 作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S,一方面S=S ABDE+2S△ABC，①另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC．②由①，②所以 c2=a2+b2．关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边（或其延长线）上的射影的乘积的2倍．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广）．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，（1）若c2=a2+b2,则∠C=90°；（2)若c2＜a2+b2,则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形（及多边形）的问题中有着广泛的应用．例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC 的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．分析注意到正方形的特性∠CAB=45°,所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB,这启发我们去证明△ABE≌△AFE．说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF ⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡"到AF,使AF(即AB）与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2）．推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形,其中一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项,获得中线公式．①′，②′，③′中的m a，m b，m c分别表示a，b，c边上的中线长．例3 如图2-23所示．求证:任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ 的中线，利用例2的结论，不难证明本题．说明本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．例4 如图2-24所示．已知△ABC中,∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用例5 如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证:4(AM2+BN2）=5AB2．分析由于AM，BN,AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点,那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．练习十一1．用下面各图验证勾股定理（虚线代表辅助线)：(1）赵君卿图(图2-27);（2)项名达图（2—28）；（3）杨作枚图(图2-29)．2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2．（提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外,均有这个结论．）3．由△ABC内任意一点O向三边BC,CA，AB分别作垂线,垂足分别是D,E，F．求证:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．5．如图2—31所示．从锐角三角形ABC的顶点B,C分别向对边作垂线BE,CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．。
三角形中的勾股定理及其应用
三角形中的勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形中最长的边，即斜边的平方等于两个直角边平方的和。
这一定理被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域，有助于解决直角三角形相关的问题和计算。
勾股定理的一种简单表述是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方的和。
用数学符号表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b是两个直角边的长度。
勾股定理的应用非常广泛，下面将介绍其中一些常见的应用。
1. 测量直角三角形的边长：当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算斜边的长度。
这对于工程测量和建筑设计等领域非常重要。
2. 判断三角形的形状：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形就是一个直角三角形。
通过这一定理，我们可以判断任意三条边的长度是否构成直角三角形。
3. 计算角度：勾股定理可以用来计算直角三角形中的角度。
根据a²+ b² = c²，我们可以通过三角函数的逆运算，如正弦、余弦和正切等，求得角度的数值。
4. 解决问题：勾股定理在解决实际问题中有着重要的应用。
例如，在导航和航海中，我们可以利用勾股定理计算两个位置之间的直线距离。
在炮弹轨迹的分析和设计中，勾股定理可以帮助预测炮弹的轨迹和距离。
通过深入理解和应用勾股定理，可以进一步拓展我们对三角形性质的认识，并解决更为复杂的问题。
例如，我们可以探索勾股定理在多边形中的应用，以及勾股定理的扩展形式，如海伦公式等。
除了勾股定理本身，我们还可以讨论一些与之相关的概念和定理，进一步加深对三角形的理解。
例如，我们可以介绍正弦定理和余弦定理，它们可以用来计算非直角三角形中的边长和角度。
总结起来，勾股定理作为数学中一项重要而实用的定理，不仅有助于理解和解决直角三角形相关的问题，还在物理学、工程学和导航等实际应用中发挥着重要作用。
初中数学：勾股定理的妙用
初中数学：勾股定理的妙用勾股定理，作为数学中的经典定理之一，被广泛运用于各种数学问题的解决中。
在初中数学教学中，勾股定理的应用也是一个重要的内容，通过勾股定理的妙用，可以帮助学生更好地理解和掌握这一定理，提高数学解题的能力。
本文将从几个具体的例子出发，探讨勾股定理在初中数学中的妙用。
一、勾股定理的基本原理在介绍勾股定理的妙用之前，首先简要回顾一下勾股定理的基本原理。
勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边分别平方和的和。
即对于直角三角形ABC，设直角边为AB、AC，斜边为BC，则有AB²+AC²=BC²。
这一定理是数学中的重要定理之一，也是初中数学中的基础内容。
二、勾股定理在三角形面积计算中的应用首先，我们来看勾股定理在三角形面积计算中的应用。
对于一个直角三角形，已知两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，根据勾股定理可得a²+b²=c²。
那么这个三角形的面积可以通过以下公式计算：S=1/2*a*b。
这里的S表示三角形的面积，a和b分别表示两条直角边的长度。
通过勾股定理，我们可以快速计算出直角三角形的面积，为解决实际问题提供了便利。
三、勾股定理在解决勾股数问题中的应用勾股数是指满足勾股定理条件的三个正整数，即a²+b²=c²。
在初中数学中，学生常常会遇到求解勾股数的问题。
通过勾股定理，我们可以找到很多满足条件的勾股数。
例如，3、4、5就是一个勾股数，因为3²+4²=5²。
通过列举和验证，学生可以更好地理解勾股定理，并锻炼他们的逻辑推理能力。
四、勾股定理在解决实际问题中的应用除了在三角形面积计算和勾股数问题中的应用，勾股定理还可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，在测量中，我们可以利用勾股定理来计算无法直接测量的距离。
通过设置一个直角三角形，利用已知的两条边长和勾股定理，可以计算出无法直接测量的距离。
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍勾股定理的原理和证明，并介绍其在实际应用中的一些重要示例。
一、勾股定理的原理和证明勾股定理是一个关于直角三角形斜边与两个直角边的关系定理。
它的表述可以归纳为：在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
设直角三角形的斜边长度为c，两个直角边的长度分别为a和b。
根据勾股定理，有c² = a² + b²。
证明该定理的方法多种多样，其中一种比较简单的方法是利用面积关系进行证明。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
将该三角形移动到一个边长为a、边宽为b的矩形内，如图1所示。
[图1：勾股定理证明过程的示意图]显然，通过镜像方式将三角形补全，可以构成一个边长为c、边宽为c的正方形，如图2所示。
[图2：利用镜像补全三角形后构成正方形]由于正方形的面积等于边长的平方，我们可以得到两个式子：面积1 = a * b面积2 = c * c由于直角三角形的面积1等于正方形的面积2，我们可以得到：a *b =c * c进一步变换可得：c² = a² + b²上述证明过程说明了勾股定理的原理，并证明了定理的正确性。
二、勾股定理的应用示例勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍其中一些重要的示例。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以被用于测量直角三角形的边长。
当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算出斜边的长度。
例如，如果直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，可以使用勾股定理计算出斜边的长度：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = 5因此，该直角三角形的斜边长度为5。
2. 建筑和工程应用勾股定理在建筑和工程领域中具有重要的应用。
初中数学竞赛题 勾股定理
初中勾股定理甲内容提要1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c2 2. 勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段a 的2，3， 5……倍② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③ 证明线段的平方关系等。
3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4. 勾股数的推算公式① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。
③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。
④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。
简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
乙例题例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5a 求作线段5a a分析一：5a ＝25a ＝224a a + 2a∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二：5a ＝2492a a - ∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图（略）例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2求对角线AC 的长解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30∴CE ＝2CD＝4，在Rt △ABE 中设AB 为x,则AE ＝2x根据勾股定理x 2+52=(2x)2, x 2=325在Rt △ABC 中，AC ＝221+x ＝1325+＝2132例3.已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC 证明：作∠B 的平分线交AC 于D ， 则∠A ＝∠ABD ， ∠BDC ＝2∠A ＝∠C∴AD ＝BD ＝BC作BM ⊥AC 于M ，则CM ＝DM AB 2－BC 2＝（BM 2＋AM 2）－（BM 2＋CM 2）＝AM 2－CM 2＝（AM ＋CM ）（AM －CM ）＝AC ×AD ＝AB ×BC例4.如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD求证：AB ＝AC证明：设AB ，AC ，BD ，CD 分别为b,c,m,n则c+n=b+m, c-b=m-n∵AD ⊥BC ，根据勾股定理，得AD 2＝c 2-m 2=b 2-n2 ∴c 2-b 2=m 2-n 2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b∴AB ＝AC例5.已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC求证：AC ＞BD证明：作DE ∥AC ，DF ∥BC ，交BA 或延长线于点E 、FACDE 和BCDF 都是平行四边形∴DE ＝AC ，DF ＝BC ，AE ＝CD ＝BF作DH ⊥AB 于H ，根据勾股定理 AH ＝22-DH AD ，FH ＝∵AD＞BC ，AD ＞DF∴AH ＞FH ，EH ＞BH DE ＝22EH DH +，BD ＝2BH DH +∴DE ＞BD即AC ＞BD例6.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝32求：a b -的值（2001年希望杯数学邀请赛，初二）解：根据勾股定理 a 2+b 2=EF 2＝S EFGH ＝32;①∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=31② ① －②得 （a-b ）2=31∴a b -＝33丙练习311. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，③22158+＝＿＿＿，④2215-25＝＿＿＿3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。
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初中数学竞赛勾股定理与应用
勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．
勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形．
早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．
证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
所以 S AEML=b2．①
同理可证 S BLMD=a2．②
①+②得
S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，
即 c2=a2+b2．
证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
所以
AG=GH=HB=AB=c，
∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即
化简得 a2+b2=c2．
证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB 延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
设五边形ACKDE的面积为S，一方面
S=S ABDE+2S△ABC，①
另一方面
S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC．②
由①，②
所以 c2=a2+b2．
关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．
利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．
定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．
因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．
由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，
(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；
(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；
(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．
勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．
分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC 于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．推论△ABC的中线长公式：
说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的m a，m b，m c分别表示a，b，c边上的中线长．
例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．
分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．
说明本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．
分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．
例5 如图2-25所示．设直角三角形ABC 中，∠C=90°，AM ，BN 分别是BC ，AC 边上的中线． 求证：4(AM 2
+BN 2
)=5AB 2
．
分析 由于AM ，BN ，AB 均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M ，N 分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．
练习十一
1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)： (1)赵君卿图(图2-27)； (2)项名达图(2-28)； (3)杨作枚图(图2-29)．
2．已知矩形ABCD ，P 为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA 2
+PC 2
=PB 2
+PD 2．(提示：应分三种情形加以讨论，P 在矩形内、P 在矩形上、P 在矩形外，均有这个结论．
)
3．由△ABC 内任意一点O 向三边BC ，CA ，AB 分别作垂线，垂足分别是D ，E ，F ．求证：
AF 2
+BD 2
+CE 2
=FB 2
+DC 2
+EA 2
．
4．如图2-30所示．在四边形ADBC 中，对角线AB ⊥CD ．求证：AC 2
+BD 2
=AD 2
+BC 2
．它的逆定理是否成立？证明你的结论．
5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC 的顶点B ，C 分别向对边作垂线BE ，CF ．求证：
BC 2
=AB ·BF+AC ·CE ．。