初二(下)数学竞赛辅导班讲义(勾股定理)
初二(下)数学竞赛辅导班讲义(勾股定理)
班级________学号____姓名________
一、选择题：
1．如图，已知图中的小方格都是边长为1的正方形，那么四边形ABCD 的面积是( ) A ．25
B ．12.5
C ．9
D ．8.5
2．如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD ＝17，BE ＝5，那么AC 的长为( )
A ．12
B ．7
C ．5
D ．13
3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边
AB 上，且与AE 重合，则CD 等于( ) A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
4．如图，△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝7，BC ＝24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是( ) A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题：
5．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为__________．
6．在△ABC 中，∠C ＝90°，斜边AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足是E ．如果BC ＝32cm ，AE ＝20cm ，则AC 的
长度为__________cm ，DE 的长度为__________cm ．
7．如图，直线l 上依次摆放着七个正方形，且斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，其余四个正放置的正方
形的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_________．
8．将一副三角板按照图①摆放，则A 1和A 2的面积之比为A 1:A 2＝__________；若将这幅三角板按照图②摆放，则S 1和S 2的面积之比为S 1:S 2＝__________．
9．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，那么△ABC 的周长为_________． 10．已知：每一个正方形的边长都为为1．
⑴ 如图①，可以计算出正方形的对角线长为2，则如图②中两个并排成的矩形的对角线的长为__________，那么n 个时的矩形的对角线的长为__________；
⑵ 若把③，④两图拼成如下“L ”形，过C 作直线交DE 于A ，交DF 于B ．若DB ＝5
3，则DA 的长度为__________．
E
A B
C D
(第2题图)
D C B A
(第1题图)
A
C B
E
D
(第3题图)
C
(第4题图)
图①
图② 图③
图④
图⑤
(第10题图)
B
A
D
C
F 1
2
3
l
S 3 S 2
S 1
S 4
(第7题)
A 1 A 2 (第8题图①)
S 2
S 1
(第8题图②)
三、解答题：
11．已知：如图，点是长方形中的一点，且P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3．试求PD 的长．
12．如图，A ，B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，
现在要在河边建一自来水厂，向A ，B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
13．如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100 km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20 km /h
的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD ＝60 km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30 km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
14．△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．
⑴ 如图①，若∠C ＝90°，根据勾股定理有a 2＋b 2＝c 2；
⑵ 如图②，③，若△ABC 不是直角三角形，那么请你类比勾股定理，猜想a 2＋b 2与c 2之间的关系．
A B C
D c b B
A c b C
B
A A
B
C a b
c 图①
图②
图③
l
D C A
P
15．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正
方形的对角线AF 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……．
⑴ 已知正方形ABCD 的边长a 1＝1cm ，依上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请分别求出a 2，a 3，a 4的值． ⑵ 根据上述规律写出第n 个正方形的边长a n 的表达式．
16．如图，现在有一个长方体，它的底面中长为3厘米，宽为4厘米，这个长方体的高为12厘米．现有一只蚂蚁要
沿着长方体的表面从点M 处爬行到点N 处．试求这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米．
17．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 点在BC 上，∠DAE ＝45°．
求证：BD 2＋CE 2＝DE 2．
J I H G F E D C A N D
C B A
〖参考答案〗
1．B；2．D；3．B；4．B；
5．24；6．24，15；7．4；8．23:3，(3－3):2；9．42或32；10．⑴5，n2＋1，⑵2.5；
11．6(提示：过点P分别作长方形两边的平行线，然后利用勾股定理)；
12．作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B，交l于P，点P即为所求，此时P A＋PB＝P A′＋PB＝A′B＝50，∴50×3＝150(万元)；
13．接到警报后2.5小时内撤离可以脱离危险；
14．提示：分别在图②和图③中过点A作AD⊥BC于D，然后利用勾股定理可得图②中有a2＋b2＞c2，图③中有a2＋b2＜c2；
15．⑴a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝22，⑵a n＝(2)n－1；
16．193．提示：本题一共有三条最近路线，分别是193，241，265．
17．提示：过点B作BF⊥BC，且使得BF＝CE，连结AF，DF，然后证明△ADF≌△ADE．。
勾股定理—八年级培优班讲义
知识点扩充：A BCa b c弦股勾1、勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2、满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做___________.（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：____________________________________________________.3. 判断直角三角形的方法：4、直角三角形的其他性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于_________________.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么________________________.（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么________________________.5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段例题精讲类型一、三角形三边关系例题1、已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 ______三角形.例题2、在∆ABC 中，若a 2=（b+c ）（b-c ），则∆ABC 是_____三角形，且∠ __= ︒90例题3、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
变式：已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是 ____________.勾股定理总复习讲义类型二、实际应用1. 梯子滑动问题：（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图1），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，求梯子底端将向左滑动多少米？如图2，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离_____1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）如图3，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A.yx= B. yx> C. yx< D. 不能确定图1 图2 图3变式训练：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为______米.2. 爬行距离最短问题：1、.如图4，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食，要爬行的最短路线是______ cm.2、如图5，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是________ 分米.3. 如图6，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（）A. a3B. ()a21+ C. a3 D.a5BAQNMP图4 图5 图6特殊三角形三边关系训练1、小明和爸爸妈妈五一登香山，他们从地面开始，沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是_______米。
初二数学复习讲义——-勾股定理
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： ， ，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
常见图形：
题型一：直接考查勾股定理
例１.在 中， ．
（1）已知 ， ．求 的长
（2）已知 ， ，求 的长
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
1在 中， ， ， ， 于 ， ＝
2⑵已知直角三角形的两直角边长之比为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
3已知直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三： ， ，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
例7.三边长为 ， ， 满足 ， ， 的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知 中， ， ， 边上的中线 ，求证：
证明：
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜边
初二讲义：勾股定理
初二数学讲义勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． （方法一）（方法二）（方法三）a b ccb a E DC B A方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以A B方法三：，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 例题解析题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=考点一、已知两边求第三边例．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．练习一1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________．2.（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段 楼梯所铺地毯的长度应为 ．3．在数轴上作出表示10的点．4．三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜B CA 30CB A DE F 边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积考点二、利用列方程求线段的长例．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 练习二 如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m题型四：与展开图有关的计算例4、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm题型五：勾股定理的实际应用 用勾股定理求两点之间的距离问题例、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°A DE B CA B C D E 第7题F E D CB A 第9题 方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地C点。
人教版八年级数学下册 勾股定理 讲义
c b a H G F E D C B A 勾股定理知识点一、勾股定理的概念知识概念：勾股定理是指，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为“勾股形”， 因此把这个定理称为“勾股定理”。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，因此这个定理也叫做“毕达哥拉斯定理”在Rt △ACB 中，根据勾股定理：222a b c +=中国古代数学家赵爽的证明方法：将四个全等的直角三角形摆成如图所示的图形4AGB S ∆+S 正方形EFGH =ABCD S 正方形，2214()2ab b a c ⨯+-= 化简可证a 2+b 2＝c 2例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=3， b=4，求c (2)已知a=9，b=40，求c (3)已知a=6，c=10，求b1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=5， b=12，求c (2)已知a=7，b=24，求c (3)已知a=8，c=17，求b2、如图，在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别表示A ∠、B ∠、C ∠的对边。
（1）已知c ＝25，b ＝15，求a（2）已知a ＝6，∠A ＝60°，求b 、c知识概念：满足勾股定理的三个正整数称为勾股数例2、下列属于勾股数的有_________①3，4，5 ②6，8，10 ③9，12，15 ④12，16，20 ⑤5，12，13 ⑥7，24，25 ⑦9，40，41⑧10，24，26 ⑨1，1，2 ⑩0.3，0.4，0.5如果三个数满足勾股定理，那么它们的k 倍也满足勾股定理1、下列哪一组属于勾股数（ ）A 、0.6，0.8，1B 、112，2，122C 、1，2，3D 、15，20，252、在△ABC中，∠C=90°，若c=10，a:b=3:4，则ab=______3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=______4、已知直角三角形一个锐角为60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（）A、3B、1C、3+2D、3+35、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里6、请用数轴上表示出代表2的数7、如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________例3、已知Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠B=90°，则（）A、a2+b2=c2B、a2+c2=b2C、b2+c2=a2D、a+b=c例4、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是________8、如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是________米.9、如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.10、在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=_________11、若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16，则c2为（）A．25 B．7 C．7或25 D．9或1612、如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．2013、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？15、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离小明头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?16、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?。
初二数学复习讲义——-勾股定理
③用含字母的代数式表示 组勾股数:
( 为正整数);
( 为正整数）
( , 为正整数）
7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线）,构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： , ，化简可证.
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
例７.三边长为 , ， 满足 , , 的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知 中， , ， 边上的中线 ，求证:
证明：
②定理中 ， , 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， , 满足 ,那么以 , , 为三边的三角形是直角三角形,但是 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形
6.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时,称 , ， 为一组勾股数
例３.如图 中， , , ， ，求 的长
例4．如图 ， ,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积
初二数学勾股定理讲义
初二数学勾股定理【知识点归纳】考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有2c22+ba=勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、1n2+（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222+=a c b+= B.222a b cC.222+= D.以上都有可能c b a（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c mc m D、602c m B、362c m C、482（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15例3：探索勾股定理的证明有四个斜边为c 、两直角边长为a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。
初二数学复习讲义——-勾股定理
题型一：直接考查勾股定理
例１.在 中， ．
（1）已知 ， ．求 的长
（2）已知 ， ，求 的长
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
1在 中， ， ， ， 于 ， ＝
2⑵已知直角三角形的两直角边长之比为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
3已知直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 作比较，若它们相等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形；
例7.三边长为 ， ， 满足 ， ， 的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知 中， ， ， 边上的中线 ，求证：
证明：
②定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数
八年级下数学教材培训资料第十八章勾股定理
勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到其他多边形中，例如正三角形、正 四边形等。
勾股定理在日常生活中的应用
在建筑学中，勾股定理常 常被用来确定建筑物的角 度和长度，以确保建筑物 的稳定性和美观性。
建筑学中的应用
在航海学中，勾股定理被用来确定船只的位置和航 向，以确保船只能够安全地航行到目的地。
构造法
通过构造一些特殊图形，利用这些图形的性质来间接证明勾股定理。这种方法 需要较高的几何直觉和构造能力，但一旦成功，往往能给人以深刻的启示。
勾股定理的证明技巧和注意事项
数形结合
在证明过程中，充分利用数和形的结合，通过数的运算和性质 来研究形的性质，或者通过形的直观来研究数的性质。这是数 学中一种非常重要的思想方法。
在实际生活中，勾股定理的应用非常广泛，例如建筑、航海、测量等领域都 需要用到这个定理。因此，掌握勾股定理对于学生来说是非常必要的。
勾股定理的 历史和发展
勾股定理最早可以追溯 到古希腊时期，当时毕 达哥拉斯学派通过观察 直角三角形的三边关系 发现了这个定理。
在中国，商高提出了 “勾三股四弦五”的勾 股定理特例，而周朝时 期的《周髀算经》一书 中也有关于勾股定理的 记载。
注意数学表达式的规范性
在证明过程中，要注意数学表达式的规范性，避免出现逻辑错 误或者表达不清的情况。这需要严谨的数学思维和扎实的数学 基础。
第四章
勾股定理的应用实例
勾股定理在几何图形中的应用
勾股定理在直角三角形中的运用
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，通过勾股定理可以判断一个三角形是否为 直角三角形，也可以计算直角三角形的边长。
欧几里得证明法
这是勾股定理最经典的证明方法。它通过构造两个直角三角形并利 用相似三角形的性质来证明勾股定理。这种方法逻辑严谨，易于理 解。
八年级数学勾股定理专题讲义及强化练习
八年级数学勾股定理专题讲义及强化练习1. 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。
2. 勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.S c a b aba b c =-+⨯∴+=正方形EFGH（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形222.a b c ∴+=CAB cba DC B AGFEH新知学习3. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4. 勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
一 勾股定理【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c += B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c += C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c += D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为______．【练一练】在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例3】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，c bacba ED CBA 基础演练（1）如果34a b ==，， 则c =_______； （2）如果68a b ==，， 则c =_______； （3）如果512a b ==，， 则c =_______； （4）如果1520a b ==，，则c =_______。
初二数学复习讲义——-勾股定理
③用含字母的代数为正整数)
( , 为正整数)
7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线（通常作垂线）,构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
①已知直角三角形的任意两边长,求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
5.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 ， ， 满足 ,那么这个三角形是直角三角形,其中 为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 作比较,若它们相等时,以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形;若 ，时,以 ， , 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时,以 , ， 为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中 , ， 及 只是一种表现形式,不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 , , 为三边的三角形是直角三角形,但是 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 中， , , 为正整数时，称 ， , 为一组勾股数
８..勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．